Normalized defining polynomial
\( x^{22} - x^{21} + 3 x^{20} + 3 x^{18} + 5 x^{17} + 7 x^{16} + 4 x^{15} + 12 x^{14} - 17 x^{13} + \cdots - 1 \)
Invariants
Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[4, 9]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(-969538443288973935184255159\) \(\medspace = -\,173\cdot 7043\cdot 28208540809^{2}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(16.85\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $173^{1/2}7043^{1/2}28208540809^{1/2}\approx 185392519.41428798$ | ||
Ramified primes: | \(173\), \(7043\), \(28208540809\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-1218439}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!38}{82\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{91\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!39}{82\!\cdots\!11}a+\frac{19\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!11}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $12$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{13\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!70}{82\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!11}a-\frac{66\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{20\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!25}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!09}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{70\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{69\!\cdots\!76}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!60}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!21}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!11}a+\frac{80\!\cdots\!77}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{25\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!35}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!01}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a+\frac{23\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{48\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!75}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!24}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{62\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!89}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{64\!\cdots\!64}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!61}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a+\frac{11\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{94\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!88}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!53}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!51}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!11}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a+\frac{51\!\cdots\!29}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{54\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!99}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!06}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!83}{82\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!46}{82\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!47}{82\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a+\frac{20\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{23\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!43}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!52}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!14}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{62\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!66}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!85}{82\!\cdots\!11}a+\frac{16\!\cdots\!12}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{38\!\cdots\!67}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!72}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!18}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!13}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!92}{82\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!42}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!40}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!20}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!57}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!27}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!91}{82\!\cdots\!11}a+\frac{27\!\cdots\!41}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{15\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!69}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{88281973666942}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!94}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!34}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!44}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!82}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!73}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!84}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!11}a+\frac{83\!\cdots\!00}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{13\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!96}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!98}{82\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!95}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!04}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!45}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!49}{82\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!62}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!56}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!28}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!48}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{31\!\cdots\!22}{82\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!71}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!68}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!10}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!15}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!79}{82\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!02}{82\!\cdots\!11}$, $\frac{29\!\cdots\!16}{82\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!65}{82\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!30}{82\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!50}{82\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!19}{82\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!32}{82\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{74\!\cdots\!80}{82\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!90}{82\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!54}{82\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!31}{82\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!93}{82\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!36}{82\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!17}{82\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!08}{82\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!26}{82\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!78}{82\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!59}{82\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!86}{82\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!63}{82\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!11}a-\frac{27\!\cdots\!05}{82\!\cdots\!11}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 42357.726741 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{4}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 42357.726741 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{969538443288973935184255159}}\cr\approx \mathstrut & 0.16609590661 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^{10}.(C_2\times S_{11})$ (as 22T53):
A non-solvable group of order 81749606400 |
The 752 conjugacy class representatives for $C_2^{10}.(C_2\times S_{11})$ are not computed |
Character table for $C_2^{10}.(C_2\times S_{11})$ is not computed |
Intermediate fields
11.3.28208540809.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 22 sibling: | data not computed |
Degree 44 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.11.0.1}{11} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/11.8.0.1}{8} }{,}\,{\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }$ | $16{,}\,{\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/23.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }$ | $16{,}\,{\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/37.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/47.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/47.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/53.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$ |
Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(173\) | 173.2.1.2 | $x^{2} + 346$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
173.10.0.1 | $x^{10} + x^{6} + 156 x^{5} + 164 x^{4} + 48 x^{3} + 106 x^{2} + 58 x + 2$ | $1$ | $10$ | $0$ | $C_{10}$ | $[\ ]^{10}$ | |
173.10.0.1 | $x^{10} + x^{6} + 156 x^{5} + 164 x^{4} + 48 x^{3} + 106 x^{2} + 58 x + 2$ | $1$ | $10$ | $0$ | $C_{10}$ | $[\ ]^{10}$ | |
\(7043\) | $\Q_{7043}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{7043}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $7$ | $1$ | $7$ | $0$ | $C_7$ | $[\ ]^{7}$ | ||
Deg $7$ | $1$ | $7$ | $0$ | $C_7$ | $[\ ]^{7}$ | ||
\(28208540809\) | $\Q_{28208540809}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
$\Q_{28208540809}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
Deg $10$ | $1$ | $10$ | $0$ | $C_{10}$ | $[\ ]^{10}$ |