Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1)
gp: K = bnfinit(y^22 - y^21 + 2*y^20 + y^19 - 13*y^18 + 3*y^17 - 35*y^16 - 18*y^15 + 37*y^14 + 27*y^13 + 152*y^12 + 277*y^11 + 160*y^10 + 72*y^9 - 42*y^8 - 69*y^7 - 31*y^6 - 22*y^5 + 3*y^4 + 4*y^3 + y^2 + y - 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1)
\( x^{22} - x^{21} + 2 x^{20} + x^{19} - 13 x^{18} + 3 x^{17} - 35 x^{16} - 18 x^{15} + 37 x^{14} + \cdots - 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[2, 10]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(1734677982017693835986328125\)
\(\medspace = 5^{11}\cdot 64661^{2}\cdot 92179^{2}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(17.30\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $5^{1/2}64661^{1/2}92179^{1/2}\approx 172632.35964036407$ | ||
| Ramified primes: |
\(5\), \(64661\), \(92179\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{21\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{82\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{83\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!11}a+\frac{93\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a+\frac{13\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{14\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!70}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{83\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{36\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{92\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!76}{21\!\cdots\!11}a-\frac{83\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{18\!\cdots\!02}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!56}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!16}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!32}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a-\frac{21\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{92\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{75\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{98\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!04}{21\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{82\!\cdots\!92}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{70\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{90\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!00}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!54}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!10}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!34}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{53\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!78}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{57\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a-\frac{31\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{69\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!63}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{57\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!28}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!80}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!11}a-\frac{13\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{39\!\cdots\!20}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!85}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!98}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{73\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a+\frac{17\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{54\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!62}{21\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!68}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{84\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{86\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!64}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!82}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!94}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!11}a-\frac{55\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{65\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!06}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!66}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!36}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!79}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!52}{21\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!12}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!81}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a-\frac{27\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{42\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!60}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!84}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!50}{21\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!88}{21\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!46}{21\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{77\!\cdots\!42}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!48}{21\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!11}a-\frac{27\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!11}$, $\frac{89\!\cdots\!90}{21\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!95}{21\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!26}{21\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!18}{21\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!24}{21\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!40}{21\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!38}{21\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!72}{21\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!74}{21\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!45}{21\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!86}{21\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!96}{21\!\cdots\!11}a+\frac{48\!\cdots\!08}{21\!\cdots\!11}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 38336.3977164 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{2}\cdot(2\pi)^{10}\cdot 38336.3977164 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1734677982017693835986328125}}\cr\approx \mathstrut & 0.176534888715 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - x^21 + 2*x^20 + x^19 - 13*x^18 + 3*x^17 - 35*x^16 - 18*x^15 + 37*x^14 + 27*x^13 + 152*x^12 + 277*x^11 + 160*x^10 + 72*x^9 - 42*x^8 - 69*x^7 - 31*x^6 - 22*x^5 + 3*x^4 + 4*x^3 + x^2 + x - 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2\times S_{11}$ (as 22T47):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 79833600 |
| The 112 conjugacy class representatives for $C_2\times S_{11}$ are not computed |
| Character table for $C_2\times S_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 11.1.5960386319.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 sibling: | data not computed |
| Degree 44 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $22$ | ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{4}$ | R | $22$ | ${\href{/padicField/11.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{2}$ | $18{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.5.0.1}{5} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{4}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{4}$ | ${\href{/padicField/59.11.0.1}{11} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(5\)
| 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ |
| 5.6.3.1 | $x^{6} + 60 x^{5} + 1221 x^{4} + 8846 x^{3} + 9864 x^{2} + 29208 x + 29309$ | $2$ | $3$ | $3$ | $C_6$ | $[\ ]_{2}^{3}$ | |
| 5.10.5.1 | $x^{10} + 100 x^{9} + 4025 x^{8} + 82000 x^{7} + 860258 x^{6} + 4015486 x^{5} + 4317350 x^{4} + 2373700 x^{3} + 3853141 x^{2} + 15123594 x + 12051954$ | $2$ | $5$ | $5$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{2}^{5}$ | |
|
\(64661\)
| $\Q_{64661}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{64661}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
| Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
| Deg $5$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | ||
| Deg $5$ | $1$ | $5$ | $0$ | $C_5$ | $[\ ]^{5}$ | ||
|
\(92179\)
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | ||
| Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
| Deg $2$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ | ||
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
| Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ | ||
| Deg $4$ | $1$ | $4$ | $0$ | $C_4$ | $[\ ]^{4}$ |