Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1)
gp: K = bnfinit(y^22 - y^21 - 13*y^20 + 54*y^18 + 93*y^17 - 138*y^16 - 339*y^15 + 439*y^14 + 258*y^13 - 887*y^12 + 343*y^11 + 764*y^10 - 601*y^9 - 162*y^8 + 341*y^7 - 73*y^6 - 118*y^5 + 5*y^4 + 25*y^3 + 10*y^2 - y - 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1)
\( x^{22} - x^{21} - 13 x^{20} + 54 x^{18} + 93 x^{17} - 138 x^{16} - 339 x^{15} + 439 x^{14} + 258 x^{13} + \cdots - 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $22$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[14, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(18194557110085700393779736328125\)
\(\medspace = 5^{11}\cdot 610429790897^{2}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(26.36\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $5^{1/2}610429790897^{1/2}\approx 1747040.0552033717$ | ||
| Ramified primes: |
\(5\), \(610429790897\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{97}a^{20}+\frac{38}{97}a^{19}-\frac{17}{97}a^{18}+\frac{2}{97}a^{17}-\frac{20}{97}a^{16}+\frac{27}{97}a^{15}-\frac{17}{97}a^{14}+\frac{4}{97}a^{13}-\frac{42}{97}a^{12}+\frac{48}{97}a^{11}-\frac{41}{97}a^{10}-\frac{28}{97}a^{9}-\frac{27}{97}a^{8}-\frac{10}{97}a^{7}-\frac{6}{97}a^{6}+\frac{29}{97}a^{5}-\frac{17}{97}a^{4}-\frac{31}{97}a^{3}+\frac{2}{97}a^{2}-\frac{3}{97}a+\frac{25}{97}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{76\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{92\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!11}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{64\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!63}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{51\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{93\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a+\frac{18\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{11\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!63}a^{17}-\frac{90\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{57\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!63}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!63}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!63}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!63}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!63}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!63}a-\frac{57\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!63}$, $\frac{57\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!63}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!63}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!63}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!63}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!63}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!63}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!63}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!63}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!63}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!63}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!63}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!63}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!63}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!63}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!63}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!63}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!63}a+\frac{14\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!63}$, $\frac{64\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{85\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!11}a-\frac{10\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{38\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{55\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{83\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a-\frac{11\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{68\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{90\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!11}a+\frac{16\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{41\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{85\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!11}a-\frac{10\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{83\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!11}a+\frac{30\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{30\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{59\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!11}a+\frac{68\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{44\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{76\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{35\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{99\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!11}a-\frac{10\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{44\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{55\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!11}a-\frac{77\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{32\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!11}a-\frac{33\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{16\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{93\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{71\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!11}a-\frac{41\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{39\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{63\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{82\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!11}a-\frac{61\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{18\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!63}a^{10}+\frac{93\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{53\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!11}a-\frac{26\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{39\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{72\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!11}a^{15}+\frac{57\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{65\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!11}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!11}a^{2}-\frac{62\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!11}a+\frac{89\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{59\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{66\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{51\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!11}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a-\frac{18\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!11}$, $\frac{22\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!11}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!11}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!11}a-\frac{13\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!11}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 51273605.8554 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{14}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 51273605.8554 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{18194557110085700393779736328125}}\cr\approx \mathstrut & 0.153473194674 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^22 - x^21 - 13*x^20 + 54*x^18 + 93*x^17 - 138*x^16 - 339*x^15 + 439*x^14 + 258*x^13 - 887*x^12 + 343*x^11 + 764*x^10 - 601*x^9 - 162*x^8 + 341*x^7 - 73*x^6 - 118*x^5 + 5*x^4 + 25*x^3 + 10*x^2 - x - 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_2\times S_{11}$ (as 22T47):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 79833600 |
| The 112 conjugacy class representatives for $C_2\times S_{11}$ are not computed |
| Character table for $C_2\times S_{11}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 11.7.610429790897.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 22 sibling: | data not computed |
| Degree 44 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $22$ | ${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }$ | R | ${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/11.11.0.1}{11} }^{2}$ | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }{,}\,{\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{2}$ | ${\href{/padicField/17.14.0.1}{14} }{,}\,{\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{2}$ | ${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{2}$ | $22$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/47.10.0.1}{10} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }$ | $22$ | ${\href{/padicField/59.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/59.1.0.1}{1} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(5\)
| 5.4.2.1 | $x^{4} + 48 x^{3} + 670 x^{2} + 2256 x + 1449$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
| 5.18.9.1 | $x^{18} + 180 x^{17} + 14445 x^{16} + 679200 x^{15} + 20664900 x^{14} + 423486000 x^{13} + 5887570504 x^{12} + 54397260480 x^{11} + 316143109712 x^{10} + 1034969211206 x^{9} + 1580754753720 x^{8} + 1360718216520 x^{7} + 746510415004 x^{6} + 357128191140 x^{5} + 552895560364 x^{4} + 1314509471572 x^{3} + 1121303668936 x^{2} + 1315877100296 x + 1500010785049$ | $2$ | $9$ | $9$ | $C_{18}$ | $[\ ]_{2}^{9}$ | |
|
\(610429790897\)
| Deg $2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
| Deg $4$ | $2$ | $2$ | $2$ | ||||
| Deg $8$ | $1$ | $8$ | $0$ | $C_8$ | $[\ ]^{8}$ | ||
| Deg $8$ | $1$ | $8$ | $0$ | $C_8$ | $[\ ]^{8}$ |