Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1)
gp: K = bnfinit(y^21 - y^20 - 7*y^19 + 6*y^18 + 16*y^17 - 27*y^16 + 3*y^15 + 119*y^14 + 23*y^13 - 181*y^12 - 153*y^11 + 154*y^10 + 417*y^9 - 133*y^8 - 395*y^7 + 153*y^6 + 61*y^5 - 33*y^4 + 2*y^3 + 7*y^2 - 2*y - 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1)
\( x^{21} - x^{20} - 7 x^{19} + 6 x^{18} + 16 x^{17} - 27 x^{16} + 3 x^{15} + 119 x^{14} + 23 x^{13} + \cdots - 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[3, 9]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(-4266945093472415611428661007\)
\(\medspace = -\,7^{14}\cdot 184607^{3}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(20.69\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{2/3}184607^{1/2}\approx 1572.2542440732786$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(184607\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-184607}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{71\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a-\frac{38\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{15\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{93\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a+\frac{18\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{69\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a+\frac{40\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{25\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{79\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{76\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{86\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a-\frac{48\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{18\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{66\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a-\frac{54\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{86\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a-\frac{80\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{86\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{71\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{59\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{49\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!67}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a+\frac{78\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{16\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{71\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a+\frac{11\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{64\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{74\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{70\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a-\frac{18\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{18\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{48\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a+\frac{19\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{21\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{79\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a+\frac{60\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{18\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!67}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{56\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{80\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{53\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a+\frac{20\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 201933.335135 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{3}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 201933.335135 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{4266945093472415611428661007}}\cr\approx \mathstrut & 0.188724506101 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - x^20 - 7*x^19 + 6*x^18 + 16*x^17 - 27*x^16 + 3*x^15 + 119*x^14 + 23*x^13 - 181*x^12 - 153*x^11 + 154*x^10 + 417*x^9 - 133*x^8 - 395*x^7 + 153*x^6 + 61*x^5 - 33*x^4 + 2*x^3 + 7*x^2 - 2*x - 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3\times S_7$ (as 21T56):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 15120 |
| The 45 conjugacy class representatives for $C_3\times S_7$ |
| Character table for $C_3\times S_7$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{7})^+\), 7.1.184607.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 42 sibling: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | $21$ | $15{,}\,{\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }$ | R | $15{,}\,{\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/13.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{7}$ | $15{,}\,{\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{2}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{5}$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{6}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/37.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/41.1.0.1}{1} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $21$ | $3$ | $7$ | $14$ | |||
|
\(184607\)
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
| Deg $3$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | ||
| Deg $6$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | ||
| Deg $6$ | $2$ | $3$ | $3$ |