Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27)
gp: K = bnfinit(y^21 - 5*y^20 + 11*y^19 - 20*y^18 + 37*y^17 - 68*y^16 + 120*y^15 - 168*y^14 + 237*y^13 - 331*y^12 + 362*y^11 - 431*y^10 + 452*y^9 - 381*y^8 + 350*y^7 - 238*y^6 + 169*y^5 - 90*y^4 + 43*y^3 + 6*y^2 + 27, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27)
\( x^{21} - 5 x^{20} + 11 x^{19} - 20 x^{18} + 37 x^{17} - 68 x^{16} + 120 x^{15} - 168 x^{14} + 237 x^{13} + \cdots + 27 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[3, 9]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(-3960879820606443846053527\)
\(\medspace = -\,13^{2}\cdot 1801^{2}\cdot 193327^{3}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(14.84\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $13^{2/3}1801^{2/3}193327^{1/2}\approx 359846.7897340511$ | ||
| Ramified primes: |
\(13\), \(1801\), \(193327\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{-193327}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $3$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $\frac{1}{3}a^{19}+\frac{1}{3}a^{18}-\frac{1}{3}a^{17}+\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{10}-\frac{1}{3}a^{9}+\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{86\!\cdots\!17}a^{20}+\frac{181578608182792}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!42}{86\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!55}{86\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!68}{86\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!83}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!40}{95\!\cdots\!13}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{44\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!54}{86\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!86}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!84}{86\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!43}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!40}{95\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!59}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!16}{86\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!78}{86\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!39}a+\frac{31\!\cdots\!90}{95\!\cdots\!13}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{16\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!07}{86\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!52}{86\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!98}{86\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!83}{86\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!96}{86\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!35}{86\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!53}{86\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!50}{86\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!39}a+\frac{10\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{34\!\cdots\!60}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!51}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!73}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!55}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{82\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{98\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!00}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!96}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!40}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!75}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!71}{86\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!23}{95\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!70}{86\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!39}a+\frac{20\!\cdots\!77}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{46\!\cdots\!15}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!65}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!07}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!27}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!02}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!26}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!63}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!46}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!64}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{48\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!14}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{77\!\cdots\!52}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!02}{86\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!55}{95\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!80}{86\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!39}a+\frac{92\!\cdots\!03}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{17\!\cdots\!58}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{90\!\cdots\!38}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!96}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!16}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!79}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{94\!\cdots\!26}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{47\!\cdots\!70}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!96}{95\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!68}{86\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!39}a-\frac{49\!\cdots\!86}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{21\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!30}{95\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{85\!\cdots\!34}{95\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!12}{95\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{94\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{51\!\cdots\!41}{95\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!59}{95\!\cdots\!13}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!16}{95\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!39}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!92}{95\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!39}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!39}a-\frac{11\!\cdots\!09}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{38\!\cdots\!85}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!08}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!80}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!24}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!77}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!42}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!27}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!85}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!16}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!41}{95\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!53}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!48}{86\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!32}{86\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!39}a-\frac{10\!\cdots\!98}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{11\!\cdots\!65}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!44}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!72}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!99}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{50\!\cdots\!62}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!73}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!77}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!15}{95\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!18}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!71}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!00}{86\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{98\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!39}a-\frac{12\!\cdots\!35}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{19\!\cdots\!77}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!47}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!32}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!89}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!92}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!68}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!90}{95\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!37}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!43}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!52}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!82}{95\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!48}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!59}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!73}{86\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{66\!\cdots\!46}{86\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!39}a-\frac{57\!\cdots\!45}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{16\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!07}{86\!\cdots\!17}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!52}{86\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!17}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!98}{86\!\cdots\!17}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!83}{86\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{59\!\cdots\!96}{86\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!35}{86\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!93}{86\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!53}{86\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!19}{95\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!50}{86\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!39}a+\frac{10\!\cdots\!13}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{25\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!70}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{50\!\cdots\!67}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!82}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!30}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{91\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!61}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!76}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{66\!\cdots\!12}{86\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!47}{86\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!65}{86\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!64}{95\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!39}a+\frac{69\!\cdots\!43}{95\!\cdots\!13}$, $\frac{77\!\cdots\!11}{86\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!38}{86\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{48\!\cdots\!82}{86\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!27}{86\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!08}{86\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!13}{86\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{97\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!39}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!06}{86\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!14}{86\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!38}{86\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!86}{95\!\cdots\!13}a+\frac{25\!\cdots\!08}{95\!\cdots\!13}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 6158.71427835 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{3}\cdot(2\pi)^{9}\cdot 6158.71427835 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{3960879820606443846053527}}\cr\approx \mathstrut & 0.188917865550 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 5*x^20 + 11*x^19 - 20*x^18 + 37*x^17 - 68*x^16 + 120*x^15 - 168*x^14 + 237*x^13 - 331*x^12 + 362*x^11 - 431*x^10 + 452*x^9 - 381*x^8 + 350*x^7 - 238*x^6 + 169*x^5 - 90*x^4 + 43*x^3 + 6*x^2 + 27);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_3^7.S_7$ (as 21T139):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A non-solvable group of order 11022480 |
| The 429 conjugacy class representatives for $C_3^7.S_7$ are not computed |
| Character table for $C_3^7.S_7$ is not computed |
Intermediate fields
| 7.1.193327.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 21 sibling: | data not computed |
| Degree 42 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | ${\href{/padicField/3.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/3.3.0.1}{3} }^{3}$ | $15{,}\,{\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }$ | ${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{3}$ | $21$ | R | $18{,}\,{\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{3}$ | $15{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/31.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{3}$ | $15{,}\,{\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }$ | $18{,}\,{\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/43.12.0.1}{12} }{,}\,{\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }$ | $18{,}\,{\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }{,}\,{\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{3}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(13\)
| 13.3.0.1 | $x^{3} + 2 x + 11$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 13.3.0.1 | $x^{3} + 2 x + 11$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 13.3.2.3 | $x^{3} + 52$ | $3$ | $1$ | $2$ | $C_3$ | $[\ ]_{3}$ | |
| 13.3.0.1 | $x^{3} + 2 x + 11$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ | |
| 13.9.0.1 | $x^{9} + 12 x^{4} + 8 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x + 11$ | $1$ | $9$ | $0$ | $C_9$ | $[\ ]^{9}$ | |
|
\(1801\)
| Deg $3$ | $3$ | $1$ | $2$ | |||
| Deg $18$ | $1$ | $18$ | $0$ | $C_{18}$ | $[\ ]^{18}$ | ||
|
\(193327\)
| $\Q_{193327}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{193327}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{193327}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| Deg $6$ | $2$ | $3$ | $3$ | ||||
| Deg $12$ | $1$ | $12$ | $0$ | $C_{12}$ | $[\ ]^{12}$ |