Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544)
gp: K = bnfinit(y^21 - 63*y^19 + 1638*y^17 - 22925*y^15 - 528*y^14 + 189189*y^13 + 17598*y^12 - 950355*y^11 - 214326*y^10 + 2897321*y^9 + 1205064*y^8 - 5090418*y^7 - 3298680*y^6 + 4361112*y^5 + 4078368*y^4 - 908327*y^3 - 1614354*y^2 - 218484*y + 85544, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544)
\( x^{21} - 63 x^{19} + 1638 x^{17} - 22925 x^{15} - 528 x^{14} + 189189 x^{13} + 17598 x^{12} + \cdots + 85544 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(80851377332871149873039593691602344912617472\)
\(\medspace = 2^{18}\cdot 3^{28}\cdot 7^{21}\cdot 17^{6}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(123.27\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | not computed | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(3\), \(7\), \(17\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{7}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $1$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{34}a^{18}+\frac{5}{34}a^{16}+\frac{3}{17}a^{14}+\frac{4}{17}a^{12}+\frac{8}{17}a^{11}-\frac{2}{17}a^{10}-\frac{7}{17}a^{9}-\frac{2}{17}a^{8}+\frac{5}{17}a^{7}-\frac{3}{17}a^{6}+\frac{1}{17}a^{5}+\frac{11}{34}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{680}a^{19}-\frac{1}{85}a^{18}+\frac{1}{136}a^{17}+\frac{7}{170}a^{16}+\frac{37}{340}a^{15}+\frac{1}{34}a^{14}-\frac{9}{680}a^{13}+\frac{28}{85}a^{12}+\frac{21}{680}a^{11}+\frac{43}{340}a^{10}+\frac{261}{680}a^{9}-\frac{23}{68}a^{8}+\frac{61}{136}a^{7}-\frac{32}{85}a^{6}-\frac{9}{68}a^{5}-\frac{28}{85}a^{4}+\frac{3}{10}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{3}{40}a+\frac{1}{20}$, $\frac{1}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!00}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!33}{53\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!00}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{75\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!00}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!60}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!17}{67\!\cdots\!00}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!52}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!00}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!07}{33\!\cdots\!00}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!31}{99\!\cdots\!50}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!00}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!20}a-\frac{14\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!00}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{75\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{46\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!43}{79\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{52\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!97}{63\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!89}{39\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!56}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!87}{79\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!42}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!20}a+\frac{17\!\cdots\!67}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{23\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!17}{63\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!31}{63\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!20}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!41}{63\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!57}{63\!\cdots\!80}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!59}{63\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!56}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!80}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!57}{99\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!59}{63\!\cdots\!80}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!20}a+\frac{55\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!20}$, $\frac{28\!\cdots\!83}{67\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!97}{67\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!81}{67\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!79}{67\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!59}{33\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!81}{33\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!67}{67\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!29}{67\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!03}{39\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!47}{26\!\cdots\!44}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!44}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!13}{67\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!51}{33\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!18}{84\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!61}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!32}a+\frac{81\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!00}$, $\frac{42\!\cdots\!33}{53\!\cdots\!00}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!11}{53\!\cdots\!00}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!00}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!17}{53\!\cdots\!00}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!41}{53\!\cdots\!00}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!60}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!61}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!21}{21\!\cdots\!52}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!00}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!79}{79\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!77}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!20}a+\frac{20\!\cdots\!01}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{28\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!82}{49\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{59\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!63}{67\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!97}{49\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!50}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!44}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{76\!\cdots\!07}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!27}{53\!\cdots\!88}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!50}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!57}{67\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!56}{84\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!01}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!33}{79\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!32}a+\frac{20\!\cdots\!11}{99\!\cdots\!50}$, $\frac{20\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{93\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!13}{53\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{58\!\cdots\!81}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{35\!\cdots\!63}{53\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!87}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{49\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!58}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!20}a+\frac{28\!\cdots\!83}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{23\!\cdots\!49}{67\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!43}{67\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!27}{33\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!77}{99\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!01}{67\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!81}{33\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!53}{67\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!23}{67\!\cdots\!86}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!67}{79\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!82}{84\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!29}{26\!\cdots\!44}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!57}{33\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!25}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!79}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!65}{39\!\cdots\!58}a+\frac{32\!\cdots\!63}{99\!\cdots\!50}$, $\frac{71\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!50}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!50}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!50}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!28}{84\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{56\!\cdots\!16}{84\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!25}a^{15}-\frac{76\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!25}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!58}{84\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!25}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!65}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!64}{33\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{36\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!89}{99\!\cdots\!50}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!93}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!58}{49\!\cdots\!25}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!83}{99\!\cdots\!45}a+\frac{19\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!25}$, $\frac{60\!\cdots\!41}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{37\!\cdots\!27}{53\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{47\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!97}{53\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!52}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!73}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{57\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{83\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!23}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!32}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!20}a+\frac{81\!\cdots\!57}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{11\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!89}{26\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{91\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!07}{67\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!09}{53\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!43}{67\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!98}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{97\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!81}{79\!\cdots\!60}a+\frac{16\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!00}$, $\frac{20\!\cdots\!03}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{92\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{57\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!19}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{45\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!91}{53\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!88}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{57\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!61}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!64}a+\frac{30\!\cdots\!11}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{51\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{22\!\cdots\!13}{99\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!91}{99\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!97}{99\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!41}{99\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{52\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!39}{39\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!21}{79\!\cdots\!12}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!77}{99\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!83}{99\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!43}{18\!\cdots\!75}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!84}a+\frac{73\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!00}$, $\frac{43\!\cdots\!77}{53\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!51}{53\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!97}{26\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!20}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!73}{53\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{81\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!76}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!31}{53\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!17}{33\!\cdots\!30}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!96}{33\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!82}{99\!\cdots\!45}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!40}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!93}{79\!\cdots\!60}a+\frac{60\!\cdots\!41}{79\!\cdots\!60}$, $\frac{14\!\cdots\!57}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{88\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!83}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!53}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!73}{26\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!25}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{68\!\cdots\!01}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!01}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!29}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!20}a+\frac{19\!\cdots\!29}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{16\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!73}{79\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!51}{79\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!49}{33\!\cdots\!30}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!43}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{81\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!33}{79\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!97}{67\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!49}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!90}a+\frac{23\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!00}$, $\frac{37\!\cdots\!39}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!43}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!93}{53\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!41}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!11}{53\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!11}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!43}{53\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!13}{26\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!57}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!87}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!51}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!20}a+\frac{53\!\cdots\!63}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{46\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!25}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!78}{84\!\cdots\!25}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!33}{67\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!50}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!25}a^{13}+\frac{78\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!85}{26\!\cdots\!44}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!31}{26\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!37}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{43\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!88}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!25}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!87}{67\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!50}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!33}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!03}{79\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!32}a+\frac{30\!\cdots\!51}{99\!\cdots\!50}$, $\frac{28\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!37}{26\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!81}{67\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{49\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{99\!\cdots\!99}{67\!\cdots\!86}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!81}{53\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!51}{67\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!76}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!84}{84\!\cdots\!25}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!43}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!29}a+\frac{41\!\cdots\!17}{39\!\cdots\!00}$, $\frac{11\!\cdots\!03}{53\!\cdots\!00}a^{20}-\frac{47\!\cdots\!71}{26\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!00}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!57}{26\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!59}{26\!\cdots\!00}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!00}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!31}{53\!\cdots\!00}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!50}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!21}{26\!\cdots\!00}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!79}{33\!\cdots\!00}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!07}{99\!\cdots\!50}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!00}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!20}a+\frac{15\!\cdots\!91}{79\!\cdots\!00}$, $\frac{43\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!50}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!07}{67\!\cdots\!00}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!25}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!29}{67\!\cdots\!00}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!25}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!51}{33\!\cdots\!00}a^{15}-\frac{47\!\cdots\!24}{84\!\cdots\!25}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!19}{67\!\cdots\!00}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!50}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!72}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!00}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!72}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!63}{67\!\cdots\!00}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!47}{49\!\cdots\!25}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!00}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!50}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!25}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!61}{99\!\cdots\!50}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!59}{79\!\cdots\!60}a+\frac{47\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!00}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 5102009942530000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 5102009942530000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{80851377332871149873039593691602344912617472}}\cr\approx \mathstrut & 0.594973335299323 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 63*x^19 + 1638*x^17 - 22925*x^15 - 528*x^14 + 189189*x^13 + 17598*x^12 - 950355*x^11 - 214326*x^10 + 2897321*x^9 + 1205064*x^8 - 5090418*x^7 - 3298680*x^6 + 4361112*x^5 + 4078368*x^4 - 908327*x^3 - 1614354*x^2 - 218484*x + 85544);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_5^4:D_4$ (as 21T43):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 6174 |
| The 45 conjugacy class representatives for $C_5^4:D_4$ |
| Character table for $C_5^4:D_4$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{9})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 21 siblings: | data not computed |
| Degree 42 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/5.3.0.1}{3} }$ | R | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/13.3.0.1}{3} }$ | R | ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/19.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{3}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/41.3.0.1}{3} }$ | ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{3}{,}\,{\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }$ | $21$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{6}{,}\,{\href{/padicField/53.1.0.1}{1} }^{3}$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| 2.3.0.1 | $x^{3} + x + 1$ | $1$ | $3$ | $0$ | $C_3$ | $[\ ]^{3}$ |
| 2.6.6.3 | $x^{6} + 6 x^{5} + 20 x^{4} + 42 x^{3} + 55 x^{2} + 36 x + 9$ | $2$ | $3$ | $6$ | $C_6$ | $[2]^{3}$ | |
| 2.6.6.3 | $x^{6} + 6 x^{5} + 20 x^{4} + 42 x^{3} + 55 x^{2} + 36 x + 9$ | $2$ | $3$ | $6$ | $C_6$ | $[2]^{3}$ | |
| 2.6.6.3 | $x^{6} + 6 x^{5} + 20 x^{4} + 42 x^{3} + 55 x^{2} + 36 x + 9$ | $2$ | $3$ | $6$ | $C_6$ | $[2]^{3}$ | |
|
\(3\)
| 3.3.4.2 | $x^{3} + 6 x^{2} + 3$ | $3$ | $1$ | $4$ | $C_3$ | $[2]$ |
| 3.9.12.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$ | $3$ | $3$ | $12$ | $C_3^2$ | $[2]^{3}$ | |
| 3.9.12.1 | $x^{9} + 18 x^{8} + 108 x^{7} + 225 x^{6} + 108 x^{5} + 324 x^{4} + 675 x^{3} + 4050 x^{2} - 3861$ | $3$ | $3$ | $12$ | $C_3^2$ | $[2]^{3}$ | |
|
\(7\)
| Deg $21$ | $7$ | $3$ | $21$ | |||
|
\(17\)
| $\Q_{17}$ | $x + 14$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{17}$ | $x + 14$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| 17.6.0.1 | $x^{6} + 2 x^{4} + 10 x^{2} + 3 x + 3$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 17.6.0.1 | $x^{6} + 2 x^{4} + 10 x^{2} + 3 x + 3$ | $1$ | $6$ | $0$ | $C_6$ | $[\ ]^{6}$ | |
| 17.7.6.1 | $x^{7} + 17$ | $7$ | $1$ | $6$ | $F_7$ | $[\ ]_{7}^{6}$ |