Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^21 - 3*y^20 - 36*y^19 + 116*y^18 + 386*y^17 - 1470*y^16 - 1092*y^15 + 6907*y^14 - 670*y^13 - 14826*y^12 + 7395*y^11 + 15158*y^10 - 11778*y^9 - 6566*y^8 + 7595*y^7 + 422*y^6 - 1956*y^5 + 297*y^4 + 159*y^3 - 35*y^2 - 4*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1)
\( x^{21} - 3 x^{20} - 36 x^{19} + 116 x^{18} + 386 x^{17} - 1470 x^{16} - 1092 x^{15} + 6907 x^{14} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $21$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[21, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(5553311747011057717852454287020950521\)
\(\medspace = 7^{14}\cdot 14197^{6}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(56.20\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{2/3}14197^{6/7}\approx 13256.361395985126$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(14197\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $7$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{757816131400755}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{50\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a+\frac{24\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!01}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $20$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{16\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{49\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!01}a-\frac{41\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{10\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{61\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a-\frac{89\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{10\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{99\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{98\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a-\frac{35\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{27\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{62\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{58\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!01}a-\frac{36\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{21\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{40\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!01}a-\frac{27\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{37\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{67\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a-\frac{64\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{51\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a-\frac{50\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{32\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{93\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{45\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{99\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{80\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a+\frac{63\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{19\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{33\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a-\frac{34\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{28\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{88\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!01}a-\frac{34\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{51\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{78\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{94\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!01}a-\frac{50\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{47\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{63\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{66\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{83\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!01}a-\frac{12\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{11\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{96\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{68\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!01}a-\frac{44\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{29\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{56\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{41\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{51\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!01}a-\frac{41\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{13\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{33\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{84\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{43\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!01}a-\frac{87\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{68\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{79\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{74\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{80\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!01}a-\frac{77\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{29\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{28\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!01}a+\frac{24\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{18\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{74\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!01}a-\frac{32\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{31\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!78}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{55\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{97\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!01}a-\frac{63\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!01}$, $\frac{63\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{40\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!01}a-\frac{97\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!01}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 348948085655 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{21}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 348948085655 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{5553311747011057717852454287020950521}}\cr\approx \mathstrut & 0.155268982237891 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^21 - 3*x^20 - 36*x^19 + 116*x^18 + 386*x^17 - 1470*x^16 - 1092*x^15 + 6907*x^14 - 670*x^13 - 14826*x^12 + 7395*x^11 + 15158*x^10 - 11778*x^9 - 6566*x^8 + 7595*x^7 + 422*x^6 - 1956*x^5 + 297*x^4 + 159*x^3 - 35*x^2 - 4*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$C_7\wr C_3$ (as 21T28):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 1029 |
| The 133 conjugacy class representatives for $C_7\wr C_3$ |
| Character table for $C_7\wr C_3$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{7})^+\) |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 21 siblings: | data not computed |
| Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $21$ | $21$ | $21$ | R | $21$ | ${\href{/padicField/13.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ | ${\href{/padicField/29.7.0.1}{7} }^{3}$ | $21$ | $21$ | ${\href{/padicField/41.7.0.1}{7} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.7.0.1}{7} }^{2}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{7}$ | $21$ | ${\href{/padicField/53.3.0.1}{3} }^{7}$ | $21$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $21$ | $3$ | $7$ | $14$ | |||
|
\(14197\)
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| $\Q_{14197}$ | $x$ | $1$ | $1$ | $0$ | Trivial | $[\ ]$ | |
| Deg $7$ | $7$ | $1$ | $6$ |