Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329)
gp: K = bnfinit(y^20 - 90*y^18 - 165*y^17 + 2655*y^16 + 8844*y^15 - 23405*y^14 - 124135*y^13 + 25635*y^12 + 705485*y^11 + 462661*y^10 - 1893595*y^9 - 2174625*y^8 + 2297075*y^7 + 3851885*y^6 - 700216*y^5 - 2796615*y^4 - 556105*y^3 + 551050*y^2 + 127380*y - 33329, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329)
\( x^{20} - 90 x^{18} - 165 x^{17} + 2655 x^{16} + 8844 x^{15} - 23405 x^{14} - 124135 x^{13} + \cdots - 33329 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $20$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[20, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(41424612056406076855957508087158203125\)
\(\medspace = 5^{27}\cdot 11^{18}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(76.01\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $5^{27/20}11^{9/10}\approx 76.00863310368105$ | ||
| Ramified primes: |
\(5\), \(11\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $20$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{12}a^{16}+\frac{1}{6}a^{15}+\frac{1}{12}a^{14}-\frac{5}{12}a^{13}+\frac{1}{12}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{1}{12}a^{10}+\frac{1}{12}a^{9}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{5}{12}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{12}a^{4}-\frac{5}{12}a^{3}-\frac{5}{12}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{5}{12}$, $\frac{1}{12}a^{17}-\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{12}a^{14}+\frac{5}{12}a^{13}+\frac{1}{12}a^{12}+\frac{1}{12}a^{11}+\frac{5}{12}a^{10}+\frac{1}{12}a^{9}-\frac{5}{12}a^{8}-\frac{5}{12}a^{7}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{12}a^{5}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{12}a^{3}-\frac{5}{12}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{24}a^{18}-\frac{1}{24}a^{17}+\frac{1}{12}a^{15}-\frac{1}{8}a^{14}-\frac{7}{24}a^{13}-\frac{3}{8}a^{12}-\frac{5}{24}a^{11}-\frac{1}{24}a^{10}+\frac{3}{8}a^{9}+\frac{1}{8}a^{8}+\frac{11}{24}a^{7}-\frac{1}{24}a^{6}+\frac{7}{24}a^{5}+\frac{5}{24}a^{4}+\frac{5}{12}a^{3}+\frac{1}{6}a^{2}-\frac{11}{24}a+\frac{1}{24}$, $\frac{1}{41\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{33\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!33}{41\!\cdots\!84}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!53}{41\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!28}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!46}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!84}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a-\frac{41\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!23}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
$C_{5}$, which has order $5$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $19$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{13\!\cdots\!49}{90\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!65}{90\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!34}{90\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!07}{90\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!44}{90\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!02}{90\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!25}{90\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!17}{90\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!94}{90\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!01}{90\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!52}{90\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!55}{90\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!67}{90\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!24}{90\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!51}{90\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!00}{90\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{58\!\cdots\!41}{90\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!83}{90\!\cdots\!01}a-\frac{62\!\cdots\!84}{90\!\cdots\!01}$, $\frac{69\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!35}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!73}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!92}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!43}{41\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!28}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!84}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!84}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!25}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!46}a^{2}+\frac{65\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!28}a-\frac{12\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!28}$, $\frac{34\!\cdots\!01}{41\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!39}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!46}a^{17}-\frac{56\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!19}{41\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!79}{41\!\cdots\!84}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!35}{41\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!77}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!63}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!51}{51\!\cdots\!23}a^{4}-\frac{57\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!84}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a-\frac{59\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!46}$, $\frac{68\!\cdots\!25}{41\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{75\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{60\!\cdots\!09}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!46}a^{14}-\frac{67\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{94\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!41}a^{8}-\frac{38\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!23}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!92}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{90\!\cdots\!13}{68\!\cdots\!64}a^{3}+\frac{53\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!84}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!92}a-\frac{11\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!84}$, $\frac{93\!\cdots\!77}{41\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!92}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!57}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{13}-\frac{94\!\cdots\!09}{41\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!47}{41\!\cdots\!84}a^{11}+\frac{66\!\cdots\!85}{41\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!28}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!92}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!28}a-\frac{14\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!23}$, $\frac{45\!\cdots\!01}{41\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{48\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!51}{68\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!28}a^{13}-\frac{41\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{84\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{67\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{90\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!03}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!92}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!95}{41\!\cdots\!84}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!83}{41\!\cdots\!84}a-\frac{88\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!92}$, $\frac{44\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!92}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!28}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!33}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!82}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!53}{51\!\cdots\!23}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!28}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!63}{41\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!91}{41\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!19}{13\!\cdots\!28}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!28}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!83}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!31}{68\!\cdots\!64}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!23}{41\!\cdots\!84}a-\frac{18\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}$, $\frac{19\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!92}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!85}{41\!\cdots\!84}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!59}{41\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!07}{41\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!87}{41\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!09}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!03}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!46}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!51}{68\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!84}a-\frac{44\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!28}$, $\frac{67\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{97\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!46}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!33}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!09}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!64}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!66}{51\!\cdots\!23}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!92}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!46}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!46}{51\!\cdots\!23}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{80\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!82}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!75}{41\!\cdots\!84}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!23}a-\frac{56\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}$, $\frac{13\!\cdots\!89}{41\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!61}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!92}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!53}{41\!\cdots\!84}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!33}{41\!\cdots\!84}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{46\!\cdots\!25}{41\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{56\!\cdots\!05}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{37\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!92}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!28}a-\frac{72\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!82}$, $\frac{18\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!28}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!62}{51\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!52}{51\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!64}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!00}{51\!\cdots\!23}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!57}{68\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!22}{51\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!46}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!46}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!64}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!88}{51\!\cdots\!23}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!41}a-\frac{11\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!84}$, $\frac{50\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{45\!\cdots\!51}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!46}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!55}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!47}{68\!\cdots\!64}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!46}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!46}a^{11}+\frac{54\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!46}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!82}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!46}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!64}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!85}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{36\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!92}a-\frac{23\!\cdots\!77}{41\!\cdots\!84}$, $\frac{14\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!03}{68\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!46}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!46}a^{14}-\frac{75\!\cdots\!49}{34\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!46}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!46}a^{11}+\frac{65\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!23}{34\!\cdots\!82}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!19}{51\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!37}{51\!\cdots\!23}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!46}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!46}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!92}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!92}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!46}a-\frac{43\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!41}$, $\frac{23\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!82}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!31}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!19}{51\!\cdots\!23}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!64}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!82}a^{13}-\frac{65\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!92}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!92}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!46}a^{9}-\frac{82\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!92}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!64}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!97}{51\!\cdots\!23}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!09}{68\!\cdots\!64}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!84}a^{2}+\frac{29\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!82}a-\frac{53\!\cdots\!09}{41\!\cdots\!84}$, $\frac{43\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!23}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!92}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!83}{68\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!64}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!64}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!92}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!92}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!92}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!92}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!46}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!30}{51\!\cdots\!23}a-\frac{66\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!46}$, $\frac{12\!\cdots\!95}{41\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{99\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!82}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!33}{41\!\cdots\!84}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!84}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!97}{41\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!28}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!46}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!84}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!28}a-\frac{71\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!23}$, $\frac{15\!\cdots\!41}{41\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!82}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!39}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!33}{68\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!49}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!64}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!50}{51\!\cdots\!23}a^{12}+\frac{90\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!41}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!73}{68\!\cdots\!64}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!86}{51\!\cdots\!23}a^{8}-\frac{24\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!46}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!82}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!01}{68\!\cdots\!64}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!83}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!82}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!05}{51\!\cdots\!23}a-\frac{51\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!28}$, $\frac{10\!\cdots\!11}{41\!\cdots\!84}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!64}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!84}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!46}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!76}{51\!\cdots\!23}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{99\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!46}a^{12}+\frac{61\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!46}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!92}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!46}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!46}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!82}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!92}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!84}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!92}a+\frac{64\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!28}$, $\frac{50\!\cdots\!87}{68\!\cdots\!64}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!35}{41\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{94\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!46}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!03}{41\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{90\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!84}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{49\!\cdots\!07}{41\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{40\!\cdots\!83}{41\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{75\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!73}{41\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!59}{41\!\cdots\!84}a^{4}-\frac{76\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!23}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!84}a-\frac{99\!\cdots\!19}{41\!\cdots\!84}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 547793455064 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{20}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 547793455064 \cdot 5}{2\cdot\sqrt{41424612056406076855957508087158203125}}\cr\approx \mathstrut & 0.223114366674873 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^20 - 90*x^18 - 165*x^17 + 2655*x^16 + 8844*x^15 - 23405*x^14 - 124135*x^13 + 25635*x^12 + 705485*x^11 + 462661*x^10 - 1893595*x^9 - 2174625*x^8 + 2297075*x^7 + 3851885*x^6 - 700216*x^5 - 2796615*x^4 - 556105*x^3 + 551050*x^2 + 127380*x - 33329);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 20 |
| The 8 conjugacy class representatives for $C_5:C_4$ |
| Character table for $C_5:C_4$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 4.4.15125.1, 5.5.228765625.1 x5, 10.10.261668555908203125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{5}$ | R | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{5}$ | R | ${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/19.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/29.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.5.0.1}{5} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/41.10.0.1}{10} }^{2}$ | ${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{5}$ | ${\href{/padicField/59.10.0.1}{10} }^{2}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(5\)
| Deg $20$ | $20$ | $1$ | $27$ | |||
|
\(11\)
| 11.10.9.8 | $x^{10} + 33$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ |
| 11.10.9.8 | $x^{10} + 33$ | $10$ | $1$ | $9$ | $C_{10}$ | $[\ ]_{10}$ |