Normalized defining polynomial
\( x^{18} - 2 x^{17} - 63 x^{16} + 99 x^{15} + 1595 x^{14} - 1797 x^{13} - 20806 x^{12} + 14111 x^{11} + 148967 x^{10} - 34860 x^{9} - 572263 x^{8} - 108479 x^{7} + 1034639 x^{6} + \cdots + 5186 \)
Invariants
Degree: | $18$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[18, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(925103102315013629321000000000000\) \(\medspace = 2^{12}\cdot 5^{12}\cdot 41^{13}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(67.84\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{2/3}5^{2/3}41^{3/4}\approx 75.20635825846645$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(5\), \(41\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{41}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $2$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{5}a^{9}-\frac{1}{5}a^{8}-\frac{2}{5}a^{7}-\frac{2}{5}a^{5}+\frac{2}{5}a^{4}+\frac{2}{5}a^{2}+\frac{1}{5}a-\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}a^{10}+\frac{2}{5}a^{8}-\frac{2}{5}a^{7}-\frac{2}{5}a^{6}+\frac{2}{5}a^{4}+\frac{2}{5}a^{3}-\frac{2}{5}a^{2}-\frac{1}{5}$, $\frac{1}{5}a^{11}+\frac{2}{5}a^{7}+\frac{1}{5}a^{5}-\frac{2}{5}a^{4}-\frac{2}{5}a^{3}+\frac{1}{5}a^{2}+\frac{2}{5}a+\frac{2}{5}$, $\frac{1}{10}a^{12}-\frac{1}{10}a^{9}-\frac{1}{5}a^{8}+\frac{1}{5}a^{7}+\frac{1}{10}a^{6}-\frac{2}{5}a^{4}+\frac{1}{10}a^{3}-\frac{2}{5}a-\frac{2}{5}$, $\frac{1}{20}a^{13}-\frac{1}{20}a^{12}-\frac{1}{10}a^{11}+\frac{1}{20}a^{10}+\frac{1}{20}a^{9}-\frac{1}{5}a^{8}+\frac{7}{20}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{7}{20}a^{4}+\frac{7}{20}a^{3}+\frac{1}{5}a^{2}-\frac{1}{10}a+\frac{3}{10}$, $\frac{1}{2460}a^{14}+\frac{23}{2460}a^{13}+\frac{22}{615}a^{12}+\frac{27}{820}a^{11}+\frac{221}{2460}a^{10}-\frac{37}{1230}a^{9}-\frac{39}{164}a^{8}-\frac{49}{164}a^{7}+\frac{298}{615}a^{6}+\frac{9}{164}a^{5}-\frac{241}{492}a^{4}-\frac{83}{410}a^{3}-\frac{27}{82}a^{2}+\frac{63}{410}a+\frac{62}{615}$, $\frac{1}{4920}a^{15}-\frac{1}{4920}a^{14}-\frac{19}{984}a^{13}+\frac{1}{82}a^{12}-\frac{1}{4920}a^{11}-\frac{89}{4920}a^{10}+\frac{7}{410}a^{9}-\frac{97}{328}a^{8}+\frac{2227}{4920}a^{7}-\frac{169}{410}a^{6}-\frac{263}{4920}a^{5}+\frac{331}{1640}a^{4}-\frac{69}{328}a^{3}-\frac{223}{820}a^{2}-\frac{599}{2460}a+\frac{33}{820}$, $\frac{1}{4920}a^{16}-\frac{1}{120}a^{13}-\frac{103}{4920}a^{12}+\frac{51}{820}a^{11}+\frac{301}{4920}a^{10}+\frac{9}{328}a^{9}+\frac{421}{1230}a^{8}-\frac{251}{4920}a^{7}-\frac{281}{4920}a^{6}-\frac{289}{2460}a^{5}+\frac{27}{82}a^{4}-\frac{573}{1640}a^{3}+\frac{49}{615}a^{2}+\frac{89}{1230}a-\frac{17}{820}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!40}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!75}{19\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{83\!\cdots\!31}{24\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!23}{96\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!59}{96\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!52}{18\!\cdots\!65}a^{7}+\frac{48\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!16}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!10}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!55}{14\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!48}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!40}a+\frac{21\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!24}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{20\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!73}{38\!\cdots\!80}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!53}{76\!\cdots\!16}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!30}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!39}{38\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!60}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!05}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!48}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{74\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!40}a-\frac{33\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!20}$, $\frac{44\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{68\!\cdots\!49}{36\!\cdots\!30}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!13}{72\!\cdots\!60}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!12}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!20}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!19}{36\!\cdots\!30}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!60}a+\frac{24\!\cdots\!57}{72\!\cdots\!60}$, $\frac{40\!\cdots\!07}{72\!\cdots\!06}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!24}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!65}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!73}{14\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!60}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!20}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!10}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!79}{96\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!59}{72\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!04}a^{4}-\frac{99\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!24}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!78}{60\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!42}{18\!\cdots\!65}a+\frac{55\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!20}$, $\frac{25\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!21}{96\!\cdots\!08}a^{16}-\frac{53\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!07}{72\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!24}a^{12}-\frac{25\!\cdots\!57}{72\!\cdots\!60}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{35\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!20}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!60}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!20}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!20}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!33}{96\!\cdots\!08}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!63}{72\!\cdots\!60}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!83}{18\!\cdots\!65}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!60}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!55}a-\frac{73\!\cdots\!29}{36\!\cdots\!30}$, $\frac{12\!\cdots\!07}{36\!\cdots\!30}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!20}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!19}{72\!\cdots\!60}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!15}{96\!\cdots\!08}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!20}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!01}{72\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!03}{72\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!20}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!20}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!06}a^{3}+\frac{45\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!21}{72\!\cdots\!60}a+\frac{57\!\cdots\!23}{36\!\cdots\!30}$, $\frac{96\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!48}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!05}{24\!\cdots\!02}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!03}{72\!\cdots\!60}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!12}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{92\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!16}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!10}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!71}{96\!\cdots\!80}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!13}{72\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!16}a^{4}-\frac{86\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!48}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!10}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!20}a+\frac{20\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!40}$, $\frac{22\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{71\!\cdots\!93}{56\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{26\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!73}{33\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{91\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!56}a^{11}+\frac{96\!\cdots\!56}{42\!\cdots\!55}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!67}{67\!\cdots\!68}a^{9}-\frac{44\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!34}{42\!\cdots\!55}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!80}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!77}{33\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!80}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!10}a^{2}-\frac{51\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!20}a-\frac{25\!\cdots\!49}{41\!\cdots\!20}$, $\frac{57\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!99}{72\!\cdots\!60}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!19}{72\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!81}{96\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!92}{60\!\cdots\!55}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!20}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!60}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!31}{14\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!03}{14\!\cdots\!20}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!79}{60\!\cdots\!55}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!30}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!20}a+\frac{53\!\cdots\!73}{18\!\cdots\!65}$, $\frac{14\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!65}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!24}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!77}{72\!\cdots\!60}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!05}{96\!\cdots\!08}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!43}{72\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!37}{72\!\cdots\!60}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!69}{72\!\cdots\!60}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!17}{72\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!27}{72\!\cdots\!60}a+\frac{61\!\cdots\!49}{18\!\cdots\!65}$, $\frac{66\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!65}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!51}a^{16}-\frac{99\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!04}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!30}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!12}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!60}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!77}{18\!\cdots\!65}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!17}{14\!\cdots\!12}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!49}{72\!\cdots\!60}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!51}{36\!\cdots\!30}a^{8}-\frac{61\!\cdots\!33}{72\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!55}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!73}{72\!\cdots\!60}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!99}{36\!\cdots\!53}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!10}a+\frac{28\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!65}$, $\frac{21\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!10}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!09}{96\!\cdots\!80}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!97}{96\!\cdots\!80}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!53}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{85\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!04}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!29}{96\!\cdots\!80}a^{6}+\frac{49\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!20}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{89\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{92\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!20}a+\frac{11\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!20}$, $\frac{43\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!55}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!20}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!00}{36\!\cdots\!53}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!04}{18\!\cdots\!65}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!11}{72\!\cdots\!06}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!32}{60\!\cdots\!55}a^{12}-\frac{44\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!53}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!65}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!76}{60\!\cdots\!55}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!51}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!30}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!48}{60\!\cdots\!55}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!65}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{54\!\cdots\!68}{60\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!09}{36\!\cdots\!30}a-\frac{14\!\cdots\!41}{60\!\cdots\!55}$, $\frac{30\!\cdots\!99}{70\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!43}{96\!\cdots\!80}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!47}{72\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!65}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!16}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!81}{36\!\cdots\!30}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!73}{96\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!63}{72\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{80\!\cdots\!99}{96\!\cdots\!80}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!34}{18\!\cdots\!65}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!48}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!24}a+\frac{66\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!24}$, $\frac{16\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{48\!\cdots\!69}{14\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!11}{36\!\cdots\!30}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!21}{96\!\cdots\!80}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!72}{18\!\cdots\!65}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!19}{96\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!69}{72\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!40}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!48}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!40}a+\frac{77\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!20}$, $\frac{11\!\cdots\!77}{96\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!79}{72\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!33}{96\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!59}{14\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{66\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!24}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!01}{72\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!61}{70\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!99}{96\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{67\!\cdots\!67}{88\!\cdots\!33}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!24}a+\frac{12\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!20}$, $\frac{11\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!10}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!89}{96\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!23}{18\!\cdots\!65}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{30\!\cdots\!68}{18\!\cdots\!65}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!41}{96\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!12}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!31}{36\!\cdots\!30}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!48}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!20}a+\frac{50\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!20}$, $\frac{25\!\cdots\!81}{70\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{77\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!62}{60\!\cdots\!55}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!63}{96\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!91}{36\!\cdots\!30}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!40}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!10}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!59}{96\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!16}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!20}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!91}{36\!\cdots\!30}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!20}a-\frac{21\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!20}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 156794220435 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{18}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 156794220435 \cdot 3}{2\cdot\sqrt{925103102315013629321000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 2.02705794036859 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_3^2:C_4$ (as 18T10):
A solvable group of order 36 |
The 6 conjugacy class representatives for $C_3^2 : C_4$ |
Character table for $C_3^2 : C_4$ |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{41}) \), 6.6.7064402500.1 x2, 6.6.1130304400.1 x2, 9.9.4750104241000000.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Galois closure: | data not computed |
Degree 6 siblings: | 6.6.7064402500.1, 6.6.1130304400.1 |
Degree 9 sibling: | 9.9.4750104241000000.1 |
Degree 12 siblings: | deg 12, deg 12 |
Minimal sibling: | 6.6.1130304400.1 |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | ${\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/3.2.0.1}{2} }$ | R | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/7.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{6}$ | R | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{8}{,}\,{\href{/padicField/43.1.0.1}{1} }^{2}$ | ${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }$ | ${\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{6}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.3.2.1 | $x^{3} + 2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ |
2.3.2.1 | $x^{3} + 2$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
2.6.4.1 | $x^{6} + 3 x^{5} + 10 x^{4} + 19 x^{3} + 22 x^{2} + 11 x + 7$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
2.6.4.1 | $x^{6} + 3 x^{5} + 10 x^{4} + 19 x^{3} + 22 x^{2} + 11 x + 7$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
\(5\) | 5.3.2.1 | $x^{3} + 5$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ |
5.3.2.1 | $x^{3} + 5$ | $3$ | $1$ | $2$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
5.6.4.1 | $x^{6} + 12 x^{5} + 54 x^{4} + 122 x^{3} + 168 x^{2} + 228 x + 233$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
5.6.4.1 | $x^{6} + 12 x^{5} + 54 x^{4} + 122 x^{3} + 168 x^{2} + 228 x + 233$ | $3$ | $2$ | $4$ | $S_3$ | $[\ ]_{3}^{2}$ | |
\(41\) | 41.2.1.1 | $x^{2} + 41$ | $2$ | $1$ | $1$ | $C_2$ | $[\ ]_{2}$ |
41.4.3.1 | $x^{4} + 41$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ | |
41.4.3.1 | $x^{4} + 41$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ | |
41.4.3.1 | $x^{4} + 41$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ | |
41.4.3.1 | $x^{4} + 41$ | $4$ | $1$ | $3$ | $C_4$ | $[\ ]_{4}$ |