Normalized defining polynomial
\( x^{16} - 6 x^{15} - 19 x^{14} + 105 x^{13} - 37 x^{12} + 1620 x^{11} - 3133 x^{10} - 16161 x^{9} + \cdots - 5129 \)
Invariants
Degree: | $16$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[8, 4]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(826443003617417898900549004041\) \(\medspace = 3^{12}\cdot 41^{15}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(74.10\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $3^{3/4}41^{15/16}\approx 74.10129651935623$ | ||
Ramified primes: | \(3\), \(41\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{41}) \) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $8$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!17}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{36\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{58\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!17}a+\frac{68\!\cdots\!11}{53\!\cdots\!79}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $11$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{15\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!37}{19\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!44}{19\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!52}{19\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!51}a-\frac{14\!\cdots\!46}{19\!\cdots\!51}$, $\frac{24\!\cdots\!72}{19\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!65}{19\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!10}{19\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!86}{19\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{44\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!56}{19\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!17}{19\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!64}{19\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!94}{19\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!62}{19\!\cdots\!51}a-\frac{26\!\cdots\!54}{19\!\cdots\!51}$, $\frac{41\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{94\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!99}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!91}{12\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{75\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!17}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!17}a+\frac{45\!\cdots\!18}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{11\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{85\!\cdots\!84}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{57\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{47\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!17}a-\frac{13\!\cdots\!48}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{11\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{81\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!50}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{94\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!17}a-\frac{12\!\cdots\!45}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{13\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{94\!\cdots\!02}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!17}a+\frac{74\!\cdots\!18}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{99\!\cdots\!38}{19\!\cdots\!51}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!51}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!51}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!03}{19\!\cdots\!51}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!12}{19\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!82}{19\!\cdots\!51}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!51}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!58}{19\!\cdots\!51}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!51}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!98}{19\!\cdots\!51}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!51}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!51}a+\frac{13\!\cdots\!18}{19\!\cdots\!51}$, $\frac{43\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!40}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{67\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{86\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{75\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{99\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!17}a-\frac{35\!\cdots\!14}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{17\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!17}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!75}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{80\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!17}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{86\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!17}a+\frac{92\!\cdots\!85}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{11\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{83\!\cdots\!58}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!18}{12\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!17}a-\frac{10\!\cdots\!74}{53\!\cdots\!79}$, $\frac{20\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!17}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!65}{53\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!70}{12\!\cdots\!17}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!17}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!17}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!17}a+\frac{27\!\cdots\!19}{53\!\cdots\!79}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 847278146.588 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{8}\cdot(2\pi)^{4}\cdot 847278146.588 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{826443003617417898900549004041}}\cr\approx \mathstrut & 0.185929796680 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$\OD_{32}$ (as 16T22):
A solvable group of order 32 |
The 20 conjugacy class representatives for $C_{16} : C_2$ |
Character table for $C_{16} : C_2$ |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{41}) \), 4.4.68921.1, 8.8.15775096184361.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Galois closure: | deg 32 |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.8.0.1}{8} }^{2}$ | R | ${\href{/padicField/5.8.0.1}{8} }^{2}$ | $16$ | $16$ | $16$ | $16$ | $16$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/23.1.0.1}{1} }^{8}$ | $16$ | ${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{4}$ | ${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{8}$ | R | ${\href{/padicField/43.8.0.1}{8} }^{2}$ | $16$ | $16$ | ${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(3\) | 3.16.12.3 | $x^{16} - 6 x^{12} + 162$ | $4$ | $4$ | $12$ | $C_{16} : C_2$ | $[\ ]_{4}^{8}$ |
\(41\) | 41.16.15.1 | $x^{16} + 164$ | $16$ | $1$ | $15$ | $C_{16} : C_2$ | $[\ ]_{16}^{2}$ |