Properties

Label 170.2.n
Level $170$
Weight $2$
Character orbit 170.n
Rep. character $\chi_{170}(9,\cdot)$
Character field $\Q(\zeta_{8})$
Dimension $40$
Newform subspaces $2$
Sturm bound $54$
Trace bound $10$

Related objects

Downloads

Learn more about

Defining parameters

Level: \( N \) \(=\) \( 170 = 2 \cdot 5 \cdot 17 \)
Weight: \( k \) \(=\) \( 2 \)
Character orbit: \([\chi]\) \(=\) 170.n (of order \(8\) and degree \(4\))
Character conductor: \(\operatorname{cond}(\chi)\) \(=\) \( 85 \)
Character field: \(\Q(\zeta_{8})\)
Newform subspaces: \( 2 \)
Sturm bound: \(54\)
Trace bound: \(10\)
Distinguishing \(T_p\): \(3\)

Dimensions

The following table gives the dimensions of various subspaces of \(M_{2}(170, [\chi])\).

Total New Old
Modular forms 120 40 80
Cusp forms 88 40 48
Eisenstein series 32 0 32

Trace form

\( 40q - 8q^{5} + O(q^{10}) \) \( 40q - 8q^{5} + 12q^{10} - 16q^{11} + 24q^{15} - 40q^{16} + 4q^{20} - 4q^{25} - 24q^{26} - 24q^{29} + 16q^{31} + 16q^{34} - 16q^{35} + 8q^{41} - 16q^{44} - 44q^{45} + 32q^{46} - 112q^{49} + 16q^{50} - 16q^{51} - 48q^{54} + 32q^{59} + 24q^{60} + 16q^{61} - 36q^{65} - 16q^{66} - 32q^{69} - 16q^{70} + 16q^{71} + 56q^{74} + 64q^{75} + 112q^{79} + 8q^{80} + 32q^{84} + 68q^{85} + 96q^{86} + 20q^{90} - 48q^{91} + 64q^{94} + 96q^{95} + 144q^{99} + O(q^{100}) \)

Decomposition of \(S_{2}^{\mathrm{new}}(170, [\chi])\) into newform subspaces

Label Dim. \(A\) Field CM Traces $q$-expansion
\(a_2\) \(a_3\) \(a_5\) \(a_7\)
170.2.n.a \(20\) \(1.357\) \(\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)\) None \(0\) \(0\) \(-4\) \(0\) \(q+\beta _{7}q^{2}-\beta _{6}q^{3}-\beta _{10}q^{4}+\beta _{14}q^{5}+\cdots\)
170.2.n.b \(20\) \(1.357\) \(\mathbb{Q}[x]/(x^{20} - \cdots)\) None \(0\) \(0\) \(-4\) \(0\) \(q+\beta _{8}q^{2}+\beta _{5}q^{3}+\beta _{10}q^{4}-\beta _{16}q^{5}+\cdots\)

Decomposition of \(S_{2}^{\mathrm{old}}(170, [\chi])\) into lower level spaces

\( S_{2}^{\mathrm{old}}(170, [\chi]) \cong \) \(S_{2}^{\mathrm{new}}(85, [\chi])\)\(^{\oplus 2}\)

Hecke characteristic polynomials

$p$ $F_p(T)$
$2$ (\( ( 1 + T^{4} )^{5} \))(\( ( 1 + T^{4} )^{5} \))
$3$ (\( 1 - 8 T^{3} + 32 T^{5} + 28 T^{6} - 72 T^{7} - 234 T^{8} - 24 T^{9} + 1224 T^{10} + 728 T^{11} - 2488 T^{12} - 6728 T^{13} + 1256 T^{14} + 27240 T^{15} + 14713 T^{16} - 60616 T^{17} - 122316 T^{18} + 66920 T^{19} + 485264 T^{20} + 200760 T^{21} - 1100844 T^{22} - 1636632 T^{23} + 1191753 T^{24} + 6619320 T^{25} + 915624 T^{26} - 14714136 T^{27} - 16323768 T^{28} + 14329224 T^{29} + 72275976 T^{30} - 4251528 T^{31} - 124357194 T^{32} - 114791256 T^{33} + 133923132 T^{34} + 459165024 T^{35} - 1033121304 T^{37} + 3486784401 T^{40} \))(\( 1 + 8 T^{3} - 32 T^{5} + 28 T^{6} + 72 T^{7} - 234 T^{8} + 24 T^{9} + 1224 T^{10} - 728 T^{11} - 2488 T^{12} + 6728 T^{13} + 1256 T^{14} - 27240 T^{15} + 14713 T^{16} + 60616 T^{17} - 122316 T^{18} - 66920 T^{19} + 485264 T^{20} - 200760 T^{21} - 1100844 T^{22} + 1636632 T^{23} + 1191753 T^{24} - 6619320 T^{25} + 915624 T^{26} + 14714136 T^{27} - 16323768 T^{28} - 14329224 T^{29} + 72275976 T^{30} + 4251528 T^{31} - 124357194 T^{32} + 114791256 T^{33} + 133923132 T^{34} - 459165024 T^{35} + 1033121304 T^{37} + 3486784401 T^{40} \))
$5$ (\( 1 + 4 T + 14 T^{2} + 28 T^{3} + 41 T^{4} + 32 T^{5} - 72 T^{6} - 416 T^{7} - 1550 T^{8} - 4944 T^{9} - 10916 T^{10} - 24720 T^{11} - 38750 T^{12} - 52000 T^{13} - 45000 T^{14} + 100000 T^{15} + 640625 T^{16} + 2187500 T^{17} + 5468750 T^{18} + 7812500 T^{19} + 9765625 T^{20} \))(\( 1 + 4 T + 4 T^{2} - 4 T^{3} + T^{4} + 32 T^{5} + 24 T^{6} + 224 T^{7} + 906 T^{8} - 752 T^{9} - 7288 T^{10} - 3760 T^{11} + 22650 T^{12} + 28000 T^{13} + 15000 T^{14} + 100000 T^{15} + 15625 T^{16} - 312500 T^{17} + 1562500 T^{18} + 7812500 T^{19} + 9765625 T^{20} \))
$7$ (\( 1 + 28 T^{2} + 72 T^{3} + 392 T^{4} + 2152 T^{5} + 5636 T^{6} + 31696 T^{7} + 93057 T^{8} + 321232 T^{9} + 1251096 T^{10} + 3073136 T^{11} + 11857952 T^{12} + 32094064 T^{13} + 87528552 T^{14} + 298482128 T^{15} + 656393822 T^{16} + 2152770768 T^{17} + 5629095584 T^{18} + 13238676192 T^{19} + 44114872624 T^{20} + 92670733344 T^{21} + 275825683616 T^{22} + 738400373424 T^{23} + 1576001566622 T^{24} + 5016589125296 T^{25} + 10297646614248 T^{26} + 26430841748752 T^{27} + 68358733547552 T^{28} + 124012122401552 T^{29} + 353403654122904 T^{30} + 635180624307376 T^{31} + 1288028663063457 T^{32} + 3070994073860272 T^{33} + 3822465238576964 T^{34} + 10216752369397336 T^{35} + 13027308783283592 T^{36} + 16749397007078904 T^{37} + 45595580741492572 T^{38} + 79792266297612001 T^{40} \))(\( 1 + 28 T^{2} - 72 T^{3} + 392 T^{4} - 2152 T^{5} + 5636 T^{6} - 31696 T^{7} + 93057 T^{8} - 321232 T^{9} + 1251096 T^{10} - 3073136 T^{11} + 11857952 T^{12} - 32094064 T^{13} + 87528552 T^{14} - 298482128 T^{15} + 656393822 T^{16} - 2152770768 T^{17} + 5629095584 T^{18} - 13238676192 T^{19} + 44114872624 T^{20} - 92670733344 T^{21} + 275825683616 T^{22} - 738400373424 T^{23} + 1576001566622 T^{24} - 5016589125296 T^{25} + 10297646614248 T^{26} - 26430841748752 T^{27} + 68358733547552 T^{28} - 124012122401552 T^{29} + 353403654122904 T^{30} - 635180624307376 T^{31} + 1288028663063457 T^{32} - 3070994073860272 T^{33} + 3822465238576964 T^{34} - 10216752369397336 T^{35} + 13027308783283592 T^{36} - 16749397007078904 T^{37} + 45595580741492572 T^{38} + 79792266297612001 T^{40} \))
$11$ (\( 1 + 8 T + 32 T^{2} + 88 T^{3} + 192 T^{4} + 1336 T^{5} + 8272 T^{6} + 31784 T^{7} + 74909 T^{8} + 75696 T^{9} + 299120 T^{10} + 2946256 T^{11} + 14548096 T^{12} + 38626064 T^{13} + 40847888 T^{14} + 70277616 T^{15} + 1208780434 T^{16} + 7630937792 T^{17} + 25235168784 T^{18} + 46671777024 T^{19} + 75581355904 T^{20} + 513389547264 T^{21} + 3053455422864 T^{22} + 10156778201152 T^{23} + 17697754334194 T^{24} + 11318280334416 T^{25} + 72364525313168 T^{26} + 752712714224944 T^{27} + 3118513579240576 T^{28} + 6947117532294896 T^{29} + 7758402446651120 T^{30} + 21596952218570256 T^{31} + 235096531271793389 T^{32} + 1097269882782702904 T^{33} + 3141290623400569552 T^{34} + 5580803554339309736 T^{35} + 8822348133805854912 T^{36} + 44479338507937851848 T^{37} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{38} + \)\(48\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 8 T + 32 T^{2} + 88 T^{3} + 192 T^{4} + 1336 T^{5} + 8272 T^{6} + 31784 T^{7} + 74909 T^{8} + 75696 T^{9} + 299120 T^{10} + 2946256 T^{11} + 14548096 T^{12} + 38626064 T^{13} + 40847888 T^{14} + 70277616 T^{15} + 1208780434 T^{16} + 7630937792 T^{17} + 25235168784 T^{18} + 46671777024 T^{19} + 75581355904 T^{20} + 513389547264 T^{21} + 3053455422864 T^{22} + 10156778201152 T^{23} + 17697754334194 T^{24} + 11318280334416 T^{25} + 72364525313168 T^{26} + 752712714224944 T^{27} + 3118513579240576 T^{28} + 6947117532294896 T^{29} + 7758402446651120 T^{30} + 21596952218570256 T^{31} + 235096531271793389 T^{32} + 1097269882782702904 T^{33} + 3141290623400569552 T^{34} + 5580803554339309736 T^{35} + 8822348133805854912 T^{36} + 44479338507937851848 T^{37} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{38} + \)\(48\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$13$ (\( ( 1 + 12 T + 126 T^{2} + 944 T^{3} + 6370 T^{4} + 36804 T^{5} + 195036 T^{6} + 930636 T^{7} + 4101389 T^{8} + 16591780 T^{9} + 62248284 T^{10} + 215693140 T^{11} + 693134741 T^{12} + 2044607292 T^{13} + 5570423196 T^{14} + 13665067572 T^{15} + 30746773330 T^{16} + 59234600048 T^{17} + 102782070846 T^{18} + 127253992476 T^{19} + 137858491849 T^{20} )^{2} \))(\( ( 1 - 12 T + 126 T^{2} - 944 T^{3} + 6370 T^{4} - 36804 T^{5} + 195036 T^{6} - 930636 T^{7} + 4101389 T^{8} - 16591780 T^{9} + 62248284 T^{10} - 215693140 T^{11} + 693134741 T^{12} - 2044607292 T^{13} + 5570423196 T^{14} - 13665067572 T^{15} + 30746773330 T^{16} - 59234600048 T^{17} + 102782070846 T^{18} - 127253992476 T^{19} + 137858491849 T^{20} )^{2} \))
$17$ (\( 1 + 18 T^{2} - 16 T^{3} + 803 T^{4} - 1696 T^{5} + 11588 T^{6} - 48032 T^{7} + 238596 T^{8} - 1229744 T^{9} + 3632100 T^{10} - 20905648 T^{11} + 68954244 T^{12} - 235981216 T^{13} + 967841348 T^{14} - 2408077472 T^{15} + 19382467907 T^{16} - 6565418768 T^{17} + 125563633938 T^{18} + 2015993900449 T^{20} \))(\( 1 + 18 T^{2} + 16 T^{3} + 803 T^{4} + 1696 T^{5} + 11588 T^{6} + 48032 T^{7} + 238596 T^{8} + 1229744 T^{9} + 3632100 T^{10} + 20905648 T^{11} + 68954244 T^{12} + 235981216 T^{13} + 967841348 T^{14} + 2408077472 T^{15} + 19382467907 T^{16} + 6565418768 T^{17} + 125563633938 T^{18} + 2015993900449 T^{20} \))
$19$ (\( 1 - 104 T^{3} - 440 T^{4} - 1768 T^{5} + 5408 T^{6} - 5432 T^{7} + 242710 T^{8} + 738648 T^{9} + 4507360 T^{10} + 7934112 T^{11} + 6690854 T^{12} - 462658112 T^{13} - 1445661280 T^{14} - 8971090888 T^{15} - 40777542279 T^{16} - 43430694488 T^{17} + 214418884704 T^{18} + 3590696280576 T^{19} + 25541206222212 T^{20} + 68223229330944 T^{21} + 77405217378144 T^{22} - 297891133493192 T^{23} - 5314170087341559 T^{24} - 22213309176685912 T^{25} - 68012408545187680 T^{26} - 413557011135896768 T^{27} + 113634540707127014 T^{28} + 2560240335200737248 T^{29} + 27634922807761915360 T^{30} + 86045296754651667912 T^{31} + \)\(53\!\cdots\!10\)\( T^{32} - \)\(22\!\cdots\!88\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!68\)\( T^{34} - \)\(26\!\cdots\!32\)\( T^{35} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{36} - \)\(56\!\cdots\!56\)\( T^{37} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 104 T^{3} - 440 T^{4} - 1768 T^{5} + 5408 T^{6} - 5432 T^{7} + 242710 T^{8} + 738648 T^{9} + 4507360 T^{10} + 7934112 T^{11} + 6690854 T^{12} - 462658112 T^{13} - 1445661280 T^{14} - 8971090888 T^{15} - 40777542279 T^{16} - 43430694488 T^{17} + 214418884704 T^{18} + 3590696280576 T^{19} + 25541206222212 T^{20} + 68223229330944 T^{21} + 77405217378144 T^{22} - 297891133493192 T^{23} - 5314170087341559 T^{24} - 22213309176685912 T^{25} - 68012408545187680 T^{26} - 413557011135896768 T^{27} + 113634540707127014 T^{28} + 2560240335200737248 T^{29} + 27634922807761915360 T^{30} + 86045296754651667912 T^{31} + \)\(53\!\cdots\!10\)\( T^{32} - \)\(22\!\cdots\!88\)\( T^{33} + \)\(43\!\cdots\!68\)\( T^{34} - \)\(26\!\cdots\!32\)\( T^{35} - \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{36} - \)\(56\!\cdots\!56\)\( T^{37} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$23$ (\( 1 - 16 T + 56 T^{2} + 376 T^{3} - 2400 T^{4} - 7256 T^{5} + 72440 T^{6} + 121072 T^{7} - 2621531 T^{8} + 4314208 T^{9} + 70866208 T^{10} - 388785408 T^{11} - 779461504 T^{12} + 12408165568 T^{13} - 8863476320 T^{14} - 287308681888 T^{15} + 756303717514 T^{16} + 5606916061312 T^{17} - 30507258885872 T^{18} - 66054575985616 T^{19} + 960733835992000 T^{20} - 1519255247669168 T^{21} - 16138339950626288 T^{22} + 68219347717983104 T^{23} + 211644788612835274 T^{24} - 1849217223509055584 T^{25} - 1312112596661648480 T^{26} + 42247637876515608896 T^{27} - 61040398366850122624 T^{28} - \)\(70\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{30} + \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{31} - \)\(57\!\cdots\!51\)\( T^{32} + \)\(61\!\cdots\!76\)\( T^{33} + \)\(83\!\cdots\!60\)\( T^{34} - \)\(19\!\cdots\!92\)\( T^{35} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{36} + \)\(53\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{38} - \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 16 T + 56 T^{2} - 376 T^{3} - 2400 T^{4} + 7256 T^{5} + 72440 T^{6} - 121072 T^{7} - 2621531 T^{8} - 4314208 T^{9} + 70866208 T^{10} + 388785408 T^{11} - 779461504 T^{12} - 12408165568 T^{13} - 8863476320 T^{14} + 287308681888 T^{15} + 756303717514 T^{16} - 5606916061312 T^{17} - 30507258885872 T^{18} + 66054575985616 T^{19} + 960733835992000 T^{20} + 1519255247669168 T^{21} - 16138339950626288 T^{22} - 68219347717983104 T^{23} + 211644788612835274 T^{24} + 1849217223509055584 T^{25} - 1312112596661648480 T^{26} - 42247637876515608896 T^{27} - 61040398366850122624 T^{28} + \)\(70\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(29\!\cdots\!92\)\( T^{30} - \)\(41\!\cdots\!16\)\( T^{31} - \)\(57\!\cdots\!51\)\( T^{32} - \)\(61\!\cdots\!76\)\( T^{33} + \)\(83\!\cdots\!60\)\( T^{34} + \)\(19\!\cdots\!92\)\( T^{35} - \)\(14\!\cdots\!00\)\( T^{36} - \)\(53\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{38} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$29$ (\( 1 + 12 T + 38 T^{2} + 212 T^{3} + 2978 T^{4} + 17140 T^{5} + 92422 T^{6} + 571116 T^{7} + 2331938 T^{8} + 14922092 T^{9} + 130048102 T^{10} + 770925860 T^{11} + 3851687522 T^{12} + 19564235252 T^{13} + 133504284918 T^{14} + 966299457452 T^{15} + 4642708862081 T^{16} + 19643962031712 T^{17} + 123559244554608 T^{18} + 710977606960016 T^{19} + 3560114011124736 T^{20} + 20618350601840464 T^{21} + 103913324670425328 T^{22} + 479096589991423968 T^{23} + 3283699766681511761 T^{24} + 19819912150417132348 T^{25} + 79411462122654972678 T^{26} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(19\!\cdots\!42\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(54\!\cdots\!02\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(82\!\cdots\!58\)\( T^{32} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( T^{33} + \)\(27\!\cdots\!82\)\( T^{34} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{35} + \)\(74\!\cdots\!38\)\( T^{36} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{37} + \)\(79\!\cdots\!18\)\( T^{38} + \)\(73\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 12 T + 38 T^{2} + 212 T^{3} + 2978 T^{4} + 17140 T^{5} + 92422 T^{6} + 571116 T^{7} + 2331938 T^{8} + 14922092 T^{9} + 130048102 T^{10} + 770925860 T^{11} + 3851687522 T^{12} + 19564235252 T^{13} + 133504284918 T^{14} + 966299457452 T^{15} + 4642708862081 T^{16} + 19643962031712 T^{17} + 123559244554608 T^{18} + 710977606960016 T^{19} + 3560114011124736 T^{20} + 20618350601840464 T^{21} + 103913324670425328 T^{22} + 479096589991423968 T^{23} + 3283699766681511761 T^{24} + 19819912150417132348 T^{25} + 79411462122654972678 T^{26} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(19\!\cdots\!42\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(54\!\cdots\!02\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(82\!\cdots\!58\)\( T^{32} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( T^{33} + \)\(27\!\cdots\!82\)\( T^{34} + \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{35} + \)\(74\!\cdots\!38\)\( T^{36} + \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{37} + \)\(79\!\cdots\!18\)\( T^{38} + \)\(73\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(17\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$31$ (\( 1 - 8 T + 4 T^{2} + 384 T^{3} - 2296 T^{4} + 6096 T^{5} + 40040 T^{6} - 153440 T^{7} + 1584090 T^{8} - 14476232 T^{9} + 89328068 T^{10} + 315411224 T^{11} - 3760050272 T^{12} + 22889881832 T^{13} + 17254141740 T^{14} - 332815622952 T^{15} + 2990654769257 T^{16} - 6114910723832 T^{17} + 38570348356996 T^{18} + 367744608569728 T^{19} - 1791803809774288 T^{20} + 11400082865661568 T^{21} + 37066104771073156 T^{22} - 182169305373679112 T^{23} + 2761932483158993897 T^{24} - 9528228724651873752 T^{25} + 15313114306745744940 T^{26} + \)\(62\!\cdots\!52\)\( T^{27} - \)\(32\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(83\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(73\!\cdots\!68\)\( T^{30} - \)\(36\!\cdots\!92\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( T^{32} - \)\(37\!\cdots\!40\)\( T^{33} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( T^{34} + \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{35} - \)\(16\!\cdots\!76\)\( T^{36} + \)\(86\!\cdots\!24\)\( T^{37} + \)\(27\!\cdots\!64\)\( T^{38} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 8 T + 4 T^{2} + 384 T^{3} - 2296 T^{4} + 6096 T^{5} + 40040 T^{6} - 153440 T^{7} + 1584090 T^{8} - 14476232 T^{9} + 89328068 T^{10} + 315411224 T^{11} - 3760050272 T^{12} + 22889881832 T^{13} + 17254141740 T^{14} - 332815622952 T^{15} + 2990654769257 T^{16} - 6114910723832 T^{17} + 38570348356996 T^{18} + 367744608569728 T^{19} - 1791803809774288 T^{20} + 11400082865661568 T^{21} + 37066104771073156 T^{22} - 182169305373679112 T^{23} + 2761932483158993897 T^{24} - 9528228724651873752 T^{25} + 15313114306745744940 T^{26} + \)\(62\!\cdots\!52\)\( T^{27} - \)\(32\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(83\!\cdots\!04\)\( T^{29} + \)\(73\!\cdots\!68\)\( T^{30} - \)\(36\!\cdots\!92\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( T^{32} - \)\(37\!\cdots\!40\)\( T^{33} + \)\(30\!\cdots\!40\)\( T^{34} + \)\(14\!\cdots\!96\)\( T^{35} - \)\(16\!\cdots\!76\)\( T^{36} + \)\(86\!\cdots\!24\)\( T^{37} + \)\(27\!\cdots\!64\)\( T^{38} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{39} + \)\(67\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$37$ (\( 1 + 8 T + 118 T^{2} + 960 T^{3} + 8114 T^{4} + 50464 T^{5} + 338982 T^{6} + 1440600 T^{7} + 4335441 T^{8} - 9800336 T^{9} - 346829856 T^{10} - 3402505696 T^{11} - 26710359232 T^{12} - 167815912224 T^{13} - 904985189600 T^{14} - 3602804409392 T^{15} - 5581747209506 T^{16} + 63717621771584 T^{17} + 1054915539916916 T^{18} + 8107624670209056 T^{19} + 59840742028993692 T^{20} + 299982112797735072 T^{21} + 1444179374146258004 T^{22} + 3227488695596044352 T^{23} - 10461092931914974466 T^{24} - \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{25} - \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{26} - \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{27} - \)\(93\!\cdots\!72\)\( T^{28} - \)\(44\!\cdots\!92\)\( T^{29} - \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{30} - \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!21\)\( T^{32} + \)\(35\!\cdots\!00\)\( T^{33} + \)\(30\!\cdots\!98\)\( T^{34} + \)\(16\!\cdots\!52\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{36} + \)\(43\!\cdots\!20\)\( T^{37} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( T^{38} + \)\(49\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 8 T + 118 T^{2} - 960 T^{3} + 8114 T^{4} - 50464 T^{5} + 338982 T^{6} - 1440600 T^{7} + 4335441 T^{8} + 9800336 T^{9} - 346829856 T^{10} + 3402505696 T^{11} - 26710359232 T^{12} + 167815912224 T^{13} - 904985189600 T^{14} + 3602804409392 T^{15} - 5581747209506 T^{16} - 63717621771584 T^{17} + 1054915539916916 T^{18} - 8107624670209056 T^{19} + 59840742028993692 T^{20} - 299982112797735072 T^{21} + 1444179374146258004 T^{22} - 3227488695596044352 T^{23} - 10461092931914974466 T^{24} + \)\(24\!\cdots\!44\)\( T^{25} - \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{26} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{27} - \)\(93\!\cdots\!72\)\( T^{28} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( T^{29} - \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{30} + \)\(17\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!21\)\( T^{32} - \)\(35\!\cdots\!00\)\( T^{33} + \)\(30\!\cdots\!98\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!52\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{36} - \)\(43\!\cdots\!20\)\( T^{37} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( T^{38} - \)\(49\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$41$ (\( 1 - 4 T + 30 T^{2} + 92 T^{3} - 334 T^{4} - 10116 T^{5} + 85854 T^{6} - 842916 T^{7} - 2808099 T^{8} + 21400784 T^{9} - 13842264 T^{10} - 1079831088 T^{11} + 13460410040 T^{12} + 2388153040 T^{13} - 195580560792 T^{14} + 2644046148048 T^{15} + 10500427183938 T^{16} - 192141210610008 T^{17} + 664554433081812 T^{18} - 1101475111191192 T^{19} - 30298126262993364 T^{20} - 45160479558838872 T^{21} + 1117116002010525972 T^{22} - 13242564376452361368 T^{23} + 29671697619711826818 T^{24} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( T^{25} - \)\(92\!\cdots\!72\)\( T^{26} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{28} - \)\(35\!\cdots\!68\)\( T^{29} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{31} - \)\(63\!\cdots\!19\)\( T^{32} - \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{35} - \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{36} + \)\(24\!\cdots\!52\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!30\)\( T^{38} - \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 4 T + 30 T^{2} + 92 T^{3} - 334 T^{4} - 10116 T^{5} + 85854 T^{6} - 842916 T^{7} - 2808099 T^{8} + 21400784 T^{9} - 13842264 T^{10} - 1079831088 T^{11} + 13460410040 T^{12} + 2388153040 T^{13} - 195580560792 T^{14} + 2644046148048 T^{15} + 10500427183938 T^{16} - 192141210610008 T^{17} + 664554433081812 T^{18} - 1101475111191192 T^{19} - 30298126262993364 T^{20} - 45160479558838872 T^{21} + 1117116002010525972 T^{22} - 13242564376452361368 T^{23} + 29671697619711826818 T^{24} + \)\(30\!\cdots\!48\)\( T^{25} - \)\(92\!\cdots\!72\)\( T^{26} + \)\(46\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!40\)\( T^{28} - \)\(35\!\cdots\!68\)\( T^{29} - \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{30} + \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{31} - \)\(63\!\cdots\!19\)\( T^{32} - \)\(77\!\cdots\!36\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{35} - \)\(21\!\cdots\!94\)\( T^{36} + \)\(24\!\cdots\!52\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!30\)\( T^{38} - \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$43$ (\( 1 - 16 T + 128 T^{2} - 1488 T^{3} + 20694 T^{4} - 176960 T^{5} + 1289600 T^{6} - 12374208 T^{7} + 114689745 T^{8} - 816890480 T^{9} + 5773220224 T^{10} - 47396668080 T^{11} + 376357329952 T^{12} - 2558318885360 T^{13} + 17028142721920 T^{14} - 127218542416432 T^{15} + 963177088145694 T^{16} - 6226032087351344 T^{17} + 38642451157210368 T^{18} - 278587214299949552 T^{19} + 2002378843515302292 T^{20} - 11979250214897830736 T^{21} + 71449892189681970432 T^{22} - \)\(49\!\cdots\!08\)\( T^{23} + \)\(32\!\cdots\!94\)\( T^{24} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{26} - \)\(69\!\cdots\!20\)\( T^{27} + \)\(43\!\cdots\!52\)\( T^{28} - \)\(23\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{30} - \)\(75\!\cdots\!60\)\( T^{31} + \)\(45\!\cdots\!45\)\( T^{32} - \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( T^{34} - \)\(56\!\cdots\!20\)\( T^{35} + \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{36} - \)\(87\!\cdots\!84\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!72\)\( T^{38} - \)\(17\!\cdots\!12\)\( T^{39} + \)\(46\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 16 T + 128 T^{2} + 1488 T^{3} + 20694 T^{4} + 176960 T^{5} + 1289600 T^{6} + 12374208 T^{7} + 114689745 T^{8} + 816890480 T^{9} + 5773220224 T^{10} + 47396668080 T^{11} + 376357329952 T^{12} + 2558318885360 T^{13} + 17028142721920 T^{14} + 127218542416432 T^{15} + 963177088145694 T^{16} + 6226032087351344 T^{17} + 38642451157210368 T^{18} + 278587214299949552 T^{19} + 2002378843515302292 T^{20} + 11979250214897830736 T^{21} + 71449892189681970432 T^{22} + \)\(49\!\cdots\!08\)\( T^{23} + \)\(32\!\cdots\!94\)\( T^{24} + \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{26} + \)\(69\!\cdots\!20\)\( T^{27} + \)\(43\!\cdots\!52\)\( T^{28} + \)\(23\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!76\)\( T^{30} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( T^{31} + \)\(45\!\cdots\!45\)\( T^{32} + \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{33} + \)\(95\!\cdots\!00\)\( T^{34} + \)\(56\!\cdots\!20\)\( T^{35} + \)\(28\!\cdots\!94\)\( T^{36} + \)\(87\!\cdots\!84\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!72\)\( T^{38} + \)\(17\!\cdots\!12\)\( T^{39} + \)\(46\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$47$ (\( ( 1 - 20 T + 388 T^{2} - 4976 T^{3} + 62092 T^{4} - 635100 T^{5} + 6214238 T^{6} - 53431788 T^{7} + 439450571 T^{8} - 3289992044 T^{9} + 23554230924 T^{10} - 154629626068 T^{11} + 970746311339 T^{12} - 5547448525524 T^{13} + 30323499098078 T^{14} - 145657013945700 T^{15} + 669303038208268 T^{16} - 2520956647423888 T^{17} + 9238779224763268 T^{18} - 22382609462055340 T^{19} + 52599132235830049 T^{20} )^{2} \))(\( ( 1 + 20 T + 388 T^{2} + 4976 T^{3} + 62092 T^{4} + 635100 T^{5} + 6214238 T^{6} + 53431788 T^{7} + 439450571 T^{8} + 3289992044 T^{9} + 23554230924 T^{10} + 154629626068 T^{11} + 970746311339 T^{12} + 5547448525524 T^{13} + 30323499098078 T^{14} + 145657013945700 T^{15} + 669303038208268 T^{16} + 2520956647423888 T^{17} + 9238779224763268 T^{18} + 22382609462055340 T^{19} + 52599132235830049 T^{20} )^{2} \))
$53$ (\( 1 - 44 T + 968 T^{2} - 14204 T^{3} + 153360 T^{4} - 1253852 T^{5} + 7593816 T^{6} - 29525844 T^{7} + 21121854 T^{8} + 436104500 T^{9} + 1235332696 T^{10} - 80090622156 T^{11} + 970719706210 T^{12} - 6135983063340 T^{13} + 7164913588248 T^{14} + 319649478179492 T^{15} - 4261370408835583 T^{16} + 31329479689545576 T^{17} - 136710820885404048 T^{18} + 162474207458147632 T^{19} + 1532805880285790428 T^{20} + 8611132995281824496 T^{21} - \)\(38\!\cdots\!32\)\( T^{22} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( T^{23} - \)\(33\!\cdots\!23\)\( T^{24} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{26} - \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{27} + \)\(60\!\cdots\!10\)\( T^{28} - \)\(26\!\cdots\!48\)\( T^{29} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{30} + \)\(40\!\cdots\!00\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{32} - \)\(76\!\cdots\!12\)\( T^{33} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{34} - \)\(91\!\cdots\!64\)\( T^{35} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( T^{36} - \)\(29\!\cdots\!52\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{38} - \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 44 T + 968 T^{2} + 14204 T^{3} + 153360 T^{4} + 1253852 T^{5} + 7593816 T^{6} + 29525844 T^{7} + 21121854 T^{8} - 436104500 T^{9} + 1235332696 T^{10} + 80090622156 T^{11} + 970719706210 T^{12} + 6135983063340 T^{13} + 7164913588248 T^{14} - 319649478179492 T^{15} - 4261370408835583 T^{16} - 31329479689545576 T^{17} - 136710820885404048 T^{18} - 162474207458147632 T^{19} + 1532805880285790428 T^{20} - 8611132995281824496 T^{21} - \)\(38\!\cdots\!32\)\( T^{22} - \)\(46\!\cdots\!52\)\( T^{23} - \)\(33\!\cdots\!23\)\( T^{24} - \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!92\)\( T^{26} + \)\(72\!\cdots\!80\)\( T^{27} + \)\(60\!\cdots\!10\)\( T^{28} + \)\(26\!\cdots\!48\)\( T^{29} + \)\(21\!\cdots\!04\)\( T^{30} - \)\(40\!\cdots\!00\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!14\)\( T^{32} + \)\(76\!\cdots\!12\)\( T^{33} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{34} + \)\(91\!\cdots\!64\)\( T^{35} + \)\(59\!\cdots\!60\)\( T^{36} + \)\(29\!\cdots\!52\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!52\)\( T^{38} + \)\(25\!\cdots\!48\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$59$ (\( 1 - 16 T + 128 T^{2} - 640 T^{3} + 6032 T^{4} - 73144 T^{5} + 603008 T^{6} - 4225576 T^{7} + 33076134 T^{8} - 244311232 T^{9} + 1417281312 T^{10} - 16887395168 T^{11} + 211053947230 T^{12} - 1522774288880 T^{13} + 6460849018400 T^{14} - 56720710039568 T^{15} + 808791885028057 T^{16} - 6447237579834824 T^{17} + 35399211288359360 T^{18} - 220142009338344872 T^{19} + 1853897520463942116 T^{20} - 12988378550962347448 T^{21} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{22} - \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{23} + \)\(98\!\cdots\!77\)\( T^{24} - \)\(40\!\cdots\!32\)\( T^{25} + \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{26} - \)\(37\!\cdots\!20\)\( T^{27} + \)\(30\!\cdots\!30\)\( T^{28} - \)\(14\!\cdots\!52\)\( T^{29} + \)\(72\!\cdots\!12\)\( T^{30} - \)\(73\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(58\!\cdots\!54\)\( T^{32} - \)\(44\!\cdots\!04\)\( T^{33} + \)\(37\!\cdots\!88\)\( T^{34} - \)\(26\!\cdots\!56\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{36} - \)\(81\!\cdots\!60\)\( T^{37} + \)\(96\!\cdots\!88\)\( T^{38} - \)\(70\!\cdots\!24\)\( T^{39} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 16 T + 128 T^{2} - 640 T^{3} + 6032 T^{4} - 73144 T^{5} + 603008 T^{6} - 4225576 T^{7} + 33076134 T^{8} - 244311232 T^{9} + 1417281312 T^{10} - 16887395168 T^{11} + 211053947230 T^{12} - 1522774288880 T^{13} + 6460849018400 T^{14} - 56720710039568 T^{15} + 808791885028057 T^{16} - 6447237579834824 T^{17} + 35399211288359360 T^{18} - 220142009338344872 T^{19} + 1853897520463942116 T^{20} - 12988378550962347448 T^{21} + \)\(12\!\cdots\!60\)\( T^{22} - \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{23} + \)\(98\!\cdots\!77\)\( T^{24} - \)\(40\!\cdots\!32\)\( T^{25} + \)\(27\!\cdots\!00\)\( T^{26} - \)\(37\!\cdots\!20\)\( T^{27} + \)\(30\!\cdots\!30\)\( T^{28} - \)\(14\!\cdots\!52\)\( T^{29} + \)\(72\!\cdots\!12\)\( T^{30} - \)\(73\!\cdots\!88\)\( T^{31} + \)\(58\!\cdots\!54\)\( T^{32} - \)\(44\!\cdots\!04\)\( T^{33} + \)\(37\!\cdots\!88\)\( T^{34} - \)\(26\!\cdots\!56\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{36} - \)\(81\!\cdots\!60\)\( T^{37} + \)\(96\!\cdots\!88\)\( T^{38} - \)\(70\!\cdots\!24\)\( T^{39} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$61$ (\( 1 - 8 T + 10 T^{2} + 320 T^{3} - 2126 T^{4} - 27296 T^{5} - 72510 T^{6} + 8840 T^{7} - 3520990 T^{8} - 69652728 T^{9} + 659172698 T^{10} + 1929507872 T^{11} + 77537561570 T^{12} + 128446570208 T^{13} + 1861119756730 T^{14} + 37614663351992 T^{15} - 71694040127423 T^{16} - 1493114370031936 T^{17} + 3398743476006728 T^{18} - 110814064642641248 T^{19} - 1163583925604399136 T^{20} - 6759657943201116128 T^{21} + 12646724474221034888 T^{22} - \)\(33\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(99\!\cdots\!43\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!92\)\( T^{25} + \)\(95\!\cdots\!30\)\( T^{26} + \)\(40\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(22\!\cdots\!52\)\( T^{29} + \)\(47\!\cdots\!98\)\( T^{30} - \)\(30\!\cdots\!08\)\( T^{31} - \)\(93\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{33} - \)\(71\!\cdots\!10\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{35} - \)\(78\!\cdots\!86\)\( T^{36} + \)\(71\!\cdots\!20\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{38} - \)\(66\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 8 T + 10 T^{2} + 320 T^{3} - 2126 T^{4} - 27296 T^{5} - 72510 T^{6} + 8840 T^{7} - 3520990 T^{8} - 69652728 T^{9} + 659172698 T^{10} + 1929507872 T^{11} + 77537561570 T^{12} + 128446570208 T^{13} + 1861119756730 T^{14} + 37614663351992 T^{15} - 71694040127423 T^{16} - 1493114370031936 T^{17} + 3398743476006728 T^{18} - 110814064642641248 T^{19} - 1163583925604399136 T^{20} - 6759657943201116128 T^{21} + 12646724474221034888 T^{22} - \)\(33\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(99\!\cdots\!43\)\( T^{24} + \)\(31\!\cdots\!92\)\( T^{25} + \)\(95\!\cdots\!30\)\( T^{26} + \)\(40\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(22\!\cdots\!52\)\( T^{29} + \)\(47\!\cdots\!98\)\( T^{30} - \)\(30\!\cdots\!08\)\( T^{31} - \)\(93\!\cdots\!90\)\( T^{32} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{33} - \)\(71\!\cdots\!10\)\( T^{34} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{35} - \)\(78\!\cdots\!86\)\( T^{36} + \)\(71\!\cdots\!20\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!10\)\( T^{38} - \)\(66\!\cdots\!28\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$67$ (\( 1 - 532 T^{2} + 148646 T^{4} - 29200180 T^{6} + 4500891213 T^{8} - 575578725168 T^{10} + 63179028972648 T^{12} - 6089051557526448 T^{14} + 523435323978922754 T^{16} - 40558419543281652984 T^{18} + \)\(28\!\cdots\!68\)\( T^{20} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{24} - \)\(55\!\cdots\!12\)\( T^{26} + \)\(25\!\cdots\!68\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{30} + \)\(36\!\cdots\!93\)\( T^{32} - \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!26\)\( T^{36} - \)\(39\!\cdots\!88\)\( T^{38} + \)\(33\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 532 T^{2} + 148646 T^{4} - 29200180 T^{6} + 4500891213 T^{8} - 575578725168 T^{10} + 63179028972648 T^{12} - 6089051557526448 T^{14} + 523435323978922754 T^{16} - 40558419543281652984 T^{18} + \)\(28\!\cdots\!68\)\( T^{20} - \)\(18\!\cdots\!76\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!34\)\( T^{24} - \)\(55\!\cdots\!12\)\( T^{26} + \)\(25\!\cdots\!68\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{30} + \)\(36\!\cdots\!93\)\( T^{32} - \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{34} + \)\(24\!\cdots\!26\)\( T^{36} - \)\(39\!\cdots\!88\)\( T^{38} + \)\(33\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$71$ (\( 1 - 8 T + 4 T^{2} + 1064 T^{3} - 7736 T^{4} + 33056 T^{5} + 411864 T^{6} - 3498384 T^{7} + 43320906 T^{8} - 175160784 T^{9} + 1711157444 T^{10} + 23184409480 T^{11} - 282606722400 T^{12} + 2190349172904 T^{13} + 5955655055116 T^{14} - 92105865793280 T^{15} + 1484388456856825 T^{16} - 5521262001586648 T^{17} + 13570667323190324 T^{18} + 605072991295826840 T^{19} - 4474880001515114064 T^{20} + 42960182382003705640 T^{21} + 68409733976202423284 T^{22} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{23} + \)\(37\!\cdots\!25\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{25} + \)\(76\!\cdots\!36\)\( T^{26} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{27} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!44\)\( T^{30} - \)\(40\!\cdots\!64\)\( T^{31} + \)\(71\!\cdots\!46\)\( T^{32} - \)\(40\!\cdots\!24\)\( T^{33} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{34} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{35} - \)\(32\!\cdots\!56\)\( T^{36} + \)\(31\!\cdots\!24\)\( T^{37} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{38} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{39} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 8 T + 4 T^{2} + 1064 T^{3} - 7736 T^{4} + 33056 T^{5} + 411864 T^{6} - 3498384 T^{7} + 43320906 T^{8} - 175160784 T^{9} + 1711157444 T^{10} + 23184409480 T^{11} - 282606722400 T^{12} + 2190349172904 T^{13} + 5955655055116 T^{14} - 92105865793280 T^{15} + 1484388456856825 T^{16} - 5521262001586648 T^{17} + 13570667323190324 T^{18} + 605072991295826840 T^{19} - 4474880001515114064 T^{20} + 42960182382003705640 T^{21} + 68409733976202423284 T^{22} - \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{23} + \)\(37\!\cdots\!25\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{25} + \)\(76\!\cdots\!36\)\( T^{26} + \)\(19\!\cdots\!64\)\( T^{27} - \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!44\)\( T^{30} - \)\(40\!\cdots\!64\)\( T^{31} + \)\(71\!\cdots\!46\)\( T^{32} - \)\(40\!\cdots\!24\)\( T^{33} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{34} + \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{35} - \)\(32\!\cdots\!56\)\( T^{36} + \)\(31\!\cdots\!24\)\( T^{37} + \)\(84\!\cdots\!44\)\( T^{38} - \)\(11\!\cdots\!48\)\( T^{39} + \)\(10\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$73$ (\( 1 + 60 T + 1682 T^{2} + 29988 T^{3} + 398642 T^{4} + 4449180 T^{5} + 44616114 T^{6} + 400755436 T^{7} + 3146402174 T^{8} + 22577269012 T^{9} + 172416257546 T^{10} + 1548661495372 T^{11} + 15112755685578 T^{12} + 149613932704668 T^{13} + 1492299482027146 T^{14} + 14514912884993716 T^{15} + 131595396462860353 T^{16} + 1114942726481802512 T^{17} + 9296763449815475432 T^{18} + 79328198294011301400 T^{19} + \)\(68\!\cdots\!92\)\( T^{20} + \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{21} + \)\(49\!\cdots\!28\)\( T^{22} + \)\(43\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(37\!\cdots\!73\)\( T^{24} + \)\(30\!\cdots\!88\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( T^{26} + \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{28} + \)\(91\!\cdots\!36\)\( T^{29} + \)\(74\!\cdots\!54\)\( T^{30} + \)\(70\!\cdots\!24\)\( T^{31} + \)\(72\!\cdots\!54\)\( T^{32} + \)\(67\!\cdots\!88\)\( T^{33} + \)\(54\!\cdots\!26\)\( T^{34} + \)\(39\!\cdots\!60\)\( T^{35} + \)\(25\!\cdots\!62\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!64\)\( T^{37} + \)\(58\!\cdots\!58\)\( T^{38} + \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 60 T + 1682 T^{2} - 29988 T^{3} + 398642 T^{4} - 4449180 T^{5} + 44616114 T^{6} - 400755436 T^{7} + 3146402174 T^{8} - 22577269012 T^{9} + 172416257546 T^{10} - 1548661495372 T^{11} + 15112755685578 T^{12} - 149613932704668 T^{13} + 1492299482027146 T^{14} - 14514912884993716 T^{15} + 131595396462860353 T^{16} - 1114942726481802512 T^{17} + 9296763449815475432 T^{18} - 79328198294011301400 T^{19} + \)\(68\!\cdots\!92\)\( T^{20} - \)\(57\!\cdots\!00\)\( T^{21} + \)\(49\!\cdots\!28\)\( T^{22} - \)\(43\!\cdots\!04\)\( T^{23} + \)\(37\!\cdots\!73\)\( T^{24} - \)\(30\!\cdots\!88\)\( T^{25} + \)\(22\!\cdots\!94\)\( T^{26} - \)\(16\!\cdots\!96\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{28} - \)\(91\!\cdots\!36\)\( T^{29} + \)\(74\!\cdots\!54\)\( T^{30} - \)\(70\!\cdots\!24\)\( T^{31} + \)\(72\!\cdots\!54\)\( T^{32} - \)\(67\!\cdots\!88\)\( T^{33} + \)\(54\!\cdots\!26\)\( T^{34} - \)\(39\!\cdots\!60\)\( T^{35} + \)\(25\!\cdots\!62\)\( T^{36} - \)\(14\!\cdots\!64\)\( T^{37} + \)\(58\!\cdots\!58\)\( T^{38} - \)\(15\!\cdots\!20\)\( T^{39} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$79$ (\( 1 - 56 T + 1608 T^{2} - 32544 T^{3} + 531232 T^{4} - 7502656 T^{5} + 94723432 T^{6} - 1079876968 T^{7} + 11152309445 T^{8} - 104467318464 T^{9} + 885876705344 T^{10} - 6748309500960 T^{11} + 45237704790656 T^{12} - 254352077824672 T^{13} + 1043944393809024 T^{14} - 1173550884529024 T^{15} - 28330582069716470 T^{16} + 326793601144278544 T^{17} - 2173623899474329584 T^{18} + 10801150466444693600 T^{19} - 64674172953547878720 T^{20} + \)\(85\!\cdots\!00\)\( T^{21} - \)\(13\!\cdots\!44\)\( T^{22} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{24} - \)\(36\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(25\!\cdots\!04\)\( T^{26} - \)\(48\!\cdots\!48\)\( T^{27} + \)\(68\!\cdots\!16\)\( T^{28} - \)\(80\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(83\!\cdots\!44\)\( T^{30} - \)\(78\!\cdots\!56\)\( T^{31} + \)\(65\!\cdots\!45\)\( T^{32} - \)\(50\!\cdots\!52\)\( T^{33} + \)\(34\!\cdots\!92\)\( T^{34} - \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!72\)\( T^{36} - \)\(59\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{38} - \)\(63\!\cdots\!64\)\( T^{39} + \)\(89\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 56 T + 1608 T^{2} - 32544 T^{3} + 531232 T^{4} - 7502656 T^{5} + 94723432 T^{6} - 1079876968 T^{7} + 11152309445 T^{8} - 104467318464 T^{9} + 885876705344 T^{10} - 6748309500960 T^{11} + 45237704790656 T^{12} - 254352077824672 T^{13} + 1043944393809024 T^{14} - 1173550884529024 T^{15} - 28330582069716470 T^{16} + 326793601144278544 T^{17} - 2173623899474329584 T^{18} + 10801150466444693600 T^{19} - 64674172953547878720 T^{20} + \)\(85\!\cdots\!00\)\( T^{21} - \)\(13\!\cdots\!44\)\( T^{22} + \)\(16\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{24} - \)\(36\!\cdots\!76\)\( T^{25} + \)\(25\!\cdots\!04\)\( T^{26} - \)\(48\!\cdots\!48\)\( T^{27} + \)\(68\!\cdots\!16\)\( T^{28} - \)\(80\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(83\!\cdots\!44\)\( T^{30} - \)\(78\!\cdots\!56\)\( T^{31} + \)\(65\!\cdots\!45\)\( T^{32} - \)\(50\!\cdots\!52\)\( T^{33} + \)\(34\!\cdots\!92\)\( T^{34} - \)\(21\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!72\)\( T^{36} - \)\(59\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{38} - \)\(63\!\cdots\!64\)\( T^{39} + \)\(89\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$83$ (\( 1 - 544 T^{3} - 1354 T^{4} + 59152 T^{5} + 147968 T^{6} + 546160 T^{7} - 31611727 T^{8} + 119552016 T^{9} + 1652717184 T^{10} - 6405201136 T^{11} + 252699874336 T^{12} + 937926276176 T^{13} + 17620618729088 T^{14} - 121733300402992 T^{15} - 1091081305080034 T^{16} + 10833819307749168 T^{17} + 164063275302237440 T^{18} + 183331162121083376 T^{19} - 10465764546854435628 T^{20} + 15216486456049920208 T^{21} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{22} + \)\(61\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(51\!\cdots\!14\)\( T^{24} - \)\(47\!\cdots\!56\)\( T^{25} + \)\(57\!\cdots\!72\)\( T^{26} + \)\(25\!\cdots\!52\)\( T^{27} + \)\(56\!\cdots\!76\)\( T^{28} - \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{29} + \)\(25\!\cdots\!16\)\( T^{30} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{31} - \)\(33\!\cdots\!47\)\( T^{32} + \)\(48\!\cdots\!80\)\( T^{33} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( T^{34} + \)\(36\!\cdots\!64\)\( T^{35} - \)\(68\!\cdots\!74\)\( T^{36} - \)\(22\!\cdots\!12\)\( T^{37} + \)\(24\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 544 T^{3} - 1354 T^{4} - 59152 T^{5} + 147968 T^{6} - 546160 T^{7} - 31611727 T^{8} - 119552016 T^{9} + 1652717184 T^{10} + 6405201136 T^{11} + 252699874336 T^{12} - 937926276176 T^{13} + 17620618729088 T^{14} + 121733300402992 T^{15} - 1091081305080034 T^{16} - 10833819307749168 T^{17} + 164063275302237440 T^{18} - 183331162121083376 T^{19} - 10465764546854435628 T^{20} - 15216486456049920208 T^{21} + \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{22} - \)\(61\!\cdots\!16\)\( T^{23} - \)\(51\!\cdots\!14\)\( T^{24} + \)\(47\!\cdots\!56\)\( T^{25} + \)\(57\!\cdots\!72\)\( T^{26} - \)\(25\!\cdots\!52\)\( T^{27} + \)\(56\!\cdots\!76\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!08\)\( T^{29} + \)\(25\!\cdots\!16\)\( T^{30} - \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{31} - \)\(33\!\cdots\!47\)\( T^{32} - \)\(48\!\cdots\!80\)\( T^{33} + \)\(10\!\cdots\!72\)\( T^{34} - \)\(36\!\cdots\!64\)\( T^{35} - \)\(68\!\cdots\!74\)\( T^{36} + \)\(22\!\cdots\!12\)\( T^{37} + \)\(24\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$89$ (\( 1 - 948 T^{2} + 453936 T^{4} - 146353496 T^{6} + 35701988702 T^{8} - 7013810546556 T^{10} + 1152109743195558 T^{12} - 162048052656574324 T^{14} + 19816119477140894897 T^{16} - \)\(21\!\cdots\!68\)\( T^{18} + \)\(20\!\cdots\!84\)\( T^{20} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{24} - \)\(80\!\cdots\!64\)\( T^{26} + \)\(45\!\cdots\!98\)\( T^{28} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{30} + \)\(88\!\cdots\!42\)\( T^{32} - \)\(28\!\cdots\!36\)\( T^{34} + \)\(70\!\cdots\!96\)\( T^{36} - \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{38} + \)\(97\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 - 948 T^{2} + 453936 T^{4} - 146353496 T^{6} + 35701988702 T^{8} - 7013810546556 T^{10} + 1152109743195558 T^{12} - 162048052656574324 T^{14} + 19816119477140894897 T^{16} - \)\(21\!\cdots\!68\)\( T^{18} + \)\(20\!\cdots\!84\)\( T^{20} - \)\(16\!\cdots\!28\)\( T^{22} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{24} - \)\(80\!\cdots\!64\)\( T^{26} + \)\(45\!\cdots\!98\)\( T^{28} - \)\(21\!\cdots\!56\)\( T^{30} + \)\(88\!\cdots\!42\)\( T^{32} - \)\(28\!\cdots\!36\)\( T^{34} + \)\(70\!\cdots\!96\)\( T^{36} - \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{38} + \)\(97\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
$97$ (\( 1 - 48 T + 1142 T^{2} - 16936 T^{3} + 160946 T^{4} - 603200 T^{5} - 12193658 T^{6} + 329836064 T^{7} - 4766618146 T^{8} + 48871055912 T^{9} - 342706004482 T^{10} + 607199068352 T^{11} + 28990974681866 T^{12} - 605921738623824 T^{13} + 7806367455647038 T^{14} - 74491245978555832 T^{15} + 484575109311053409 T^{16} - 549564314450980192 T^{17} - 41722742455227040440 T^{18} + \)\(77\!\cdots\!16\)\( T^{19} - \)\(90\!\cdots\!40\)\( T^{20} + \)\(75\!\cdots\!52\)\( T^{21} - \)\(39\!\cdots\!60\)\( T^{22} - \)\(50\!\cdots\!16\)\( T^{23} + \)\(42\!\cdots\!29\)\( T^{24} - \)\(63\!\cdots\!24\)\( T^{25} + \)\(65\!\cdots\!02\)\( T^{26} - \)\(48\!\cdots\!12\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( T^{28} + \)\(46\!\cdots\!84\)\( T^{29} - \)\(25\!\cdots\!18\)\( T^{30} + \)\(34\!\cdots\!36\)\( T^{31} - \)\(33\!\cdots\!86\)\( T^{32} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{33} - \)\(79\!\cdots\!02\)\( T^{34} - \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{35} + \)\(98\!\cdots\!66\)\( T^{36} - \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(66\!\cdots\!38\)\( T^{38} - \)\(26\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(54\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))(\( 1 + 48 T + 1142 T^{2} + 16936 T^{3} + 160946 T^{4} + 603200 T^{5} - 12193658 T^{6} - 329836064 T^{7} - 4766618146 T^{8} - 48871055912 T^{9} - 342706004482 T^{10} - 607199068352 T^{11} + 28990974681866 T^{12} + 605921738623824 T^{13} + 7806367455647038 T^{14} + 74491245978555832 T^{15} + 484575109311053409 T^{16} + 549564314450980192 T^{17} - 41722742455227040440 T^{18} - \)\(77\!\cdots\!16\)\( T^{19} - \)\(90\!\cdots\!40\)\( T^{20} - \)\(75\!\cdots\!52\)\( T^{21} - \)\(39\!\cdots\!60\)\( T^{22} + \)\(50\!\cdots\!16\)\( T^{23} + \)\(42\!\cdots\!29\)\( T^{24} + \)\(63\!\cdots\!24\)\( T^{25} + \)\(65\!\cdots\!02\)\( T^{26} + \)\(48\!\cdots\!12\)\( T^{27} + \)\(22\!\cdots\!26\)\( T^{28} - \)\(46\!\cdots\!84\)\( T^{29} - \)\(25\!\cdots\!18\)\( T^{30} - \)\(34\!\cdots\!36\)\( T^{31} - \)\(33\!\cdots\!86\)\( T^{32} - \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{33} - \)\(79\!\cdots\!02\)\( T^{34} + \)\(38\!\cdots\!00\)\( T^{35} + \)\(98\!\cdots\!66\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(66\!\cdots\!38\)\( T^{38} + \)\(26\!\cdots\!84\)\( T^{39} + \)\(54\!\cdots\!01\)\( T^{40} \))
show more
show less