Properties

Label 36-8037e18-1.1-c1e18-0-0
Degree $36$
Conductor $1.957\times 10^{70}$
Sign $1$
Analytic cond. $3.40941\times 10^{32}$
Root an. cond. $8.01097$
Motivic weight $1$
Arithmetic yes
Rational yes
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank $0$

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2-s − 7·4-s − 5·5-s + 3·7-s + 6·8-s + 5·10-s − 6·11-s + 21·13-s − 3·14-s + 21·16-s + 4·17-s − 18·19-s + 35·20-s + 6·22-s − 9·23-s − 27·25-s − 21·26-s − 21·28-s − 12·29-s + 26·31-s − 9·32-s − 4·34-s − 15·35-s + 8·37-s + 18·38-s − 30·40-s − 12·41-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.707·2-s − 7/2·4-s − 2.23·5-s + 1.13·7-s + 2.12·8-s + 1.58·10-s − 1.80·11-s + 5.82·13-s − 0.801·14-s + 21/4·16-s + 0.970·17-s − 4.12·19-s + 7.82·20-s + 1.27·22-s − 1.87·23-s − 5.39·25-s − 4.11·26-s − 3.96·28-s − 2.22·29-s + 4.66·31-s − 1.59·32-s − 0.685·34-s − 2.53·35-s + 1.31·37-s + 2.91·38-s − 4.74·40-s − 1.87·41-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36} \cdot 19^{18} \cdot 47^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{36} \cdot 19^{18} \cdot 47^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree: \(36\)
Conductor: \(3^{36} \cdot 19^{18} \cdot 47^{18}\)
Sign: $1$
Analytic conductor: \(3.40941\times 10^{32}\)
Root analytic conductor: \(8.01097\)
Motivic weight: \(1\)
Rational: yes
Arithmetic: yes
Character: Trivial
Primitive: no
Self-dual: yes
Analytic rank: \(0\)
Selberg data: \((36,\ 3^{36} \cdot 19^{18} \cdot 47^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\)

Particular Values

\(L(1)\) \(\approx\) \(21.76296542\)
\(L(\frac12)\) \(\approx\) \(21.76296542\)
\(L(\frac{3}{2})\) not available
\(L(1)\) not available

Euler product

   \(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
$p$$F_p(T)$
bad3 \( 1 \)
19 \( ( 1 + T )^{18} \)
47 \( ( 1 + T )^{18} \)
good2 \( 1 + T + p^{3} T^{2} + 9 T^{3} + 19 p T^{4} + 41 T^{5} + 133 T^{6} + 131 T^{7} + 377 T^{8} + 345 T^{9} + 961 T^{10} + 27 p^{5} T^{11} + 1151 p T^{12} + 1095 p T^{13} + 5369 T^{14} + 2647 p T^{15} + 6013 p T^{16} + 11775 T^{17} + 25001 T^{18} + 11775 p T^{19} + 6013 p^{3} T^{20} + 2647 p^{4} T^{21} + 5369 p^{4} T^{22} + 1095 p^{6} T^{23} + 1151 p^{7} T^{24} + 27 p^{12} T^{25} + 961 p^{8} T^{26} + 345 p^{9} T^{27} + 377 p^{10} T^{28} + 131 p^{11} T^{29} + 133 p^{12} T^{30} + 41 p^{13} T^{31} + 19 p^{15} T^{32} + 9 p^{15} T^{33} + p^{19} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
5 \( 1 + p T + 52 T^{2} + 209 T^{3} + 1292 T^{4} + 4477 T^{5} + 841 p^{2} T^{6} + 65008 T^{7} + 254198 T^{8} + 716912 T^{9} + 97922 p^{2} T^{10} + 6393828 T^{11} + 19624839 T^{12} + 9591358 p T^{13} + 134877833 T^{14} + 310264153 T^{15} + 162051142 p T^{16} + 1758222082 T^{17} + 4301699264 T^{18} + 1758222082 p T^{19} + 162051142 p^{3} T^{20} + 310264153 p^{3} T^{21} + 134877833 p^{4} T^{22} + 9591358 p^{6} T^{23} + 19624839 p^{6} T^{24} + 6393828 p^{7} T^{25} + 97922 p^{10} T^{26} + 716912 p^{9} T^{27} + 254198 p^{10} T^{28} + 65008 p^{11} T^{29} + 841 p^{14} T^{30} + 4477 p^{13} T^{31} + 1292 p^{14} T^{32} + 209 p^{15} T^{33} + 52 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
7 \( 1 - 3 T + 59 T^{2} - 160 T^{3} + 235 p T^{4} - 3937 T^{5} + 28890 T^{6} - 60114 T^{7} + 365909 T^{8} - 663029 T^{9} + 3717604 T^{10} - 6074498 T^{11} + 33412952 T^{12} - 52561877 T^{13} + 282658128 T^{14} - 446868664 T^{15} + 2257702389 T^{16} - 3538830622 T^{17} + 16588483566 T^{18} - 3538830622 p T^{19} + 2257702389 p^{2} T^{20} - 446868664 p^{3} T^{21} + 282658128 p^{4} T^{22} - 52561877 p^{5} T^{23} + 33412952 p^{6} T^{24} - 6074498 p^{7} T^{25} + 3717604 p^{8} T^{26} - 663029 p^{9} T^{27} + 365909 p^{10} T^{28} - 60114 p^{11} T^{29} + 28890 p^{12} T^{30} - 3937 p^{13} T^{31} + 235 p^{15} T^{32} - 160 p^{15} T^{33} + 59 p^{16} T^{34} - 3 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
11 \( 1 + 6 T + 122 T^{2} + 640 T^{3} + 656 p T^{4} + 33684 T^{5} + 278406 T^{6} + 1176986 T^{7} + 7946172 T^{8} + 30861793 T^{9} + 179766704 T^{10} + 647716788 T^{11} + 3359002143 T^{12} + 11292001285 T^{13} + 53162545666 T^{14} + 167147428842 T^{15} + 723562078313 T^{16} + 2126916441934 T^{17} + 8537467399845 T^{18} + 2126916441934 p T^{19} + 723562078313 p^{2} T^{20} + 167147428842 p^{3} T^{21} + 53162545666 p^{4} T^{22} + 11292001285 p^{5} T^{23} + 3359002143 p^{6} T^{24} + 647716788 p^{7} T^{25} + 179766704 p^{8} T^{26} + 30861793 p^{9} T^{27} + 7946172 p^{10} T^{28} + 1176986 p^{11} T^{29} + 278406 p^{12} T^{30} + 33684 p^{13} T^{31} + 656 p^{15} T^{32} + 640 p^{15} T^{33} + 122 p^{16} T^{34} + 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
13 \( 1 - 21 T + 335 T^{2} - 3863 T^{3} + 38163 T^{4} - 320961 T^{5} + 2426981 T^{6} - 16506731 T^{7} + 103597654 T^{8} - 600863582 T^{9} + 3268139118 T^{10} - 16690540572 T^{11} + 80790133927 T^{12} - 370878302146 T^{13} + 1624935263384 T^{14} - 6793432127928 T^{15} + 27218835767771 T^{16} - 104406235821636 T^{17} + 384535804122975 T^{18} - 104406235821636 p T^{19} + 27218835767771 p^{2} T^{20} - 6793432127928 p^{3} T^{21} + 1624935263384 p^{4} T^{22} - 370878302146 p^{5} T^{23} + 80790133927 p^{6} T^{24} - 16690540572 p^{7} T^{25} + 3268139118 p^{8} T^{26} - 600863582 p^{9} T^{27} + 103597654 p^{10} T^{28} - 16506731 p^{11} T^{29} + 2426981 p^{12} T^{30} - 320961 p^{13} T^{31} + 38163 p^{14} T^{32} - 3863 p^{15} T^{33} + 335 p^{16} T^{34} - 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
17 \( 1 - 4 T + 173 T^{2} - 711 T^{3} + 15001 T^{4} - 62760 T^{5} + 867933 T^{6} - 3669942 T^{7} + 37635081 T^{8} - 159661515 T^{9} + 1301976115 T^{10} - 5492516174 T^{11} + 37326143966 T^{12} - 154798681521 T^{13} + 53435171685 p T^{14} - 3650477112902 T^{15} + 19048745018309 T^{16} - 72894822982447 T^{17} + 346993154168581 T^{18} - 72894822982447 p T^{19} + 19048745018309 p^{2} T^{20} - 3650477112902 p^{3} T^{21} + 53435171685 p^{5} T^{22} - 154798681521 p^{5} T^{23} + 37326143966 p^{6} T^{24} - 5492516174 p^{7} T^{25} + 1301976115 p^{8} T^{26} - 159661515 p^{9} T^{27} + 37635081 p^{10} T^{28} - 3669942 p^{11} T^{29} + 867933 p^{12} T^{30} - 62760 p^{13} T^{31} + 15001 p^{14} T^{32} - 711 p^{15} T^{33} + 173 p^{16} T^{34} - 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
23 \( 1 + 9 T + 245 T^{2} + 2223 T^{3} + 31718 T^{4} + 271698 T^{5} + 2794836 T^{6} + 21993494 T^{7} + 8015695 p T^{8} + 1322436754 T^{9} + 9578791935 T^{10} + 62664914992 T^{11} + 404561713838 T^{12} + 2421938224106 T^{13} + 14179101462599 T^{14} + 77952903444439 T^{15} + 417845054757850 T^{16} + 2114971018583409 T^{17} + 10429894897399883 T^{18} + 2114971018583409 p T^{19} + 417845054757850 p^{2} T^{20} + 77952903444439 p^{3} T^{21} + 14179101462599 p^{4} T^{22} + 2421938224106 p^{5} T^{23} + 404561713838 p^{6} T^{24} + 62664914992 p^{7} T^{25} + 9578791935 p^{8} T^{26} + 1322436754 p^{9} T^{27} + 8015695 p^{11} T^{28} + 21993494 p^{11} T^{29} + 2794836 p^{12} T^{30} + 271698 p^{13} T^{31} + 31718 p^{14} T^{32} + 2223 p^{15} T^{33} + 245 p^{16} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
29 \( 1 + 12 T + 357 T^{2} + 3868 T^{3} + 62597 T^{4} + 612974 T^{5} + 248113 p T^{6} + 63751507 T^{7} + 608671097 T^{8} + 4891970326 T^{9} + 40247157101 T^{10} + 294621462631 T^{11} + 74317092756 p T^{12} + 14437348657218 T^{13} + 95554012068769 T^{14} + 588130685773203 T^{15} + 3556591297098741 T^{16} + 20159624207853512 T^{17} + 111995152668714367 T^{18} + 20159624207853512 p T^{19} + 3556591297098741 p^{2} T^{20} + 588130685773203 p^{3} T^{21} + 95554012068769 p^{4} T^{22} + 14437348657218 p^{5} T^{23} + 74317092756 p^{7} T^{24} + 294621462631 p^{7} T^{25} + 40247157101 p^{8} T^{26} + 4891970326 p^{9} T^{27} + 608671097 p^{10} T^{28} + 63751507 p^{11} T^{29} + 248113 p^{13} T^{30} + 612974 p^{13} T^{31} + 62597 p^{14} T^{32} + 3868 p^{15} T^{33} + 357 p^{16} T^{34} + 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
31 \( 1 - 26 T + 670 T^{2} - 11049 T^{3} + 172410 T^{4} - 69080 p T^{5} + 25176788 T^{6} - 253654669 T^{7} + 2434450939 T^{8} - 20727439950 T^{9} + 169450715722 T^{10} - 1253653651939 T^{11} + 8993558586016 T^{12} - 59238963941170 T^{13} + 383318995133822 T^{14} - 2308253324389905 T^{15} + 13870690552689898 T^{16} - 78533966308920040 T^{17} + 449215772033867724 T^{18} - 78533966308920040 p T^{19} + 13870690552689898 p^{2} T^{20} - 2308253324389905 p^{3} T^{21} + 383318995133822 p^{4} T^{22} - 59238963941170 p^{5} T^{23} + 8993558586016 p^{6} T^{24} - 1253653651939 p^{7} T^{25} + 169450715722 p^{8} T^{26} - 20727439950 p^{9} T^{27} + 2434450939 p^{10} T^{28} - 253654669 p^{11} T^{29} + 25176788 p^{12} T^{30} - 69080 p^{14} T^{31} + 172410 p^{14} T^{32} - 11049 p^{15} T^{33} + 670 p^{16} T^{34} - 26 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
37 \( 1 - 8 T + 388 T^{2} - 2107 T^{3} + 68436 T^{4} - 240802 T^{5} + 7713897 T^{6} - 14933190 T^{7} + 646819116 T^{8} - 357926799 T^{9} + 43644916797 T^{10} + 28615525580 T^{11} + 2476937471899 T^{12} + 4078308863633 T^{13} + 121811482525721 T^{14} + 283774864650103 T^{15} + 5301816410433628 T^{16} + 13884575155025374 T^{17} + 206798371787621146 T^{18} + 13884575155025374 p T^{19} + 5301816410433628 p^{2} T^{20} + 283774864650103 p^{3} T^{21} + 121811482525721 p^{4} T^{22} + 4078308863633 p^{5} T^{23} + 2476937471899 p^{6} T^{24} + 28615525580 p^{7} T^{25} + 43644916797 p^{8} T^{26} - 357926799 p^{9} T^{27} + 646819116 p^{10} T^{28} - 14933190 p^{11} T^{29} + 7713897 p^{12} T^{30} - 240802 p^{13} T^{31} + 68436 p^{14} T^{32} - 2107 p^{15} T^{33} + 388 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
41 \( 1 + 12 T + 505 T^{2} + 5431 T^{3} + 124042 T^{4} + 1214061 T^{5} + 19854973 T^{6} + 178544730 T^{7} + 2333390781 T^{8} + 19386309252 T^{9} + 214520327205 T^{10} + 1651509825010 T^{11} + 16018878311034 T^{12} + 114399856669600 T^{13} + 994306684370847 T^{14} + 6584993515988334 T^{15} + 52023680751764639 T^{16} + 318967151703915460 T^{17} + 2311745240177687601 T^{18} + 318967151703915460 p T^{19} + 52023680751764639 p^{2} T^{20} + 6584993515988334 p^{3} T^{21} + 994306684370847 p^{4} T^{22} + 114399856669600 p^{5} T^{23} + 16018878311034 p^{6} T^{24} + 1651509825010 p^{7} T^{25} + 214520327205 p^{8} T^{26} + 19386309252 p^{9} T^{27} + 2333390781 p^{10} T^{28} + 178544730 p^{11} T^{29} + 19854973 p^{12} T^{30} + 1214061 p^{13} T^{31} + 124042 p^{14} T^{32} + 5431 p^{15} T^{33} + 505 p^{16} T^{34} + 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
43 \( 1 - 28 T + 825 T^{2} - 15461 T^{3} + 277056 T^{4} - 4018158 T^{5} + 55018814 T^{6} - 662387230 T^{7} + 175469065 p T^{8} - 78542922731 T^{9} + 777516734087 T^{10} - 7180557848920 T^{11} + 63377593772464 T^{12} - 527990283095305 T^{13} + 4220691004718129 T^{14} - 32055788414655758 T^{15} + 5447888610726804 p T^{16} - 1631969048566572819 T^{17} + 10954908606833484581 T^{18} - 1631969048566572819 p T^{19} + 5447888610726804 p^{3} T^{20} - 32055788414655758 p^{3} T^{21} + 4220691004718129 p^{4} T^{22} - 527990283095305 p^{5} T^{23} + 63377593772464 p^{6} T^{24} - 7180557848920 p^{7} T^{25} + 777516734087 p^{8} T^{26} - 78542922731 p^{9} T^{27} + 175469065 p^{11} T^{28} - 662387230 p^{11} T^{29} + 55018814 p^{12} T^{30} - 4018158 p^{13} T^{31} + 277056 p^{14} T^{32} - 15461 p^{15} T^{33} + 825 p^{16} T^{34} - 28 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
53 \( 1 + 5 T + 639 T^{2} + 3016 T^{3} + 203508 T^{4} + 916128 T^{5} + 42782005 T^{6} + 184302690 T^{7} + 6637052685 T^{8} + 27341392973 T^{9} + 805598427259 T^{10} + 3161978462763 T^{11} + 79197998208986 T^{12} + 294434815035510 T^{13} + 6443016714963277 T^{14} + 22511217764806584 T^{15} + 439498930090228292 T^{16} + 1429243205046337375 T^{17} + 25318282675365507368 T^{18} + 1429243205046337375 p T^{19} + 439498930090228292 p^{2} T^{20} + 22511217764806584 p^{3} T^{21} + 6443016714963277 p^{4} T^{22} + 294434815035510 p^{5} T^{23} + 79197998208986 p^{6} T^{24} + 3161978462763 p^{7} T^{25} + 805598427259 p^{8} T^{26} + 27341392973 p^{9} T^{27} + 6637052685 p^{10} T^{28} + 184302690 p^{11} T^{29} + 42782005 p^{12} T^{30} + 916128 p^{13} T^{31} + 203508 p^{14} T^{32} + 3016 p^{15} T^{33} + 639 p^{16} T^{34} + 5 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
59 \( 1 + 30 T + 939 T^{2} + 18570 T^{3} + 348562 T^{4} + 5233829 T^{5} + 73743039 T^{6} + 899272606 T^{7} + 10325195941 T^{8} + 106260309016 T^{9} + 1036732164633 T^{10} + 9226687070193 T^{11} + 78558301777168 T^{12} + 617033194522276 T^{13} + 4714184397379129 T^{14} + 33828590630813912 T^{15} + 245495253371469781 T^{16} + 1745027909606948601 T^{17} + 13310725814927030989 T^{18} + 1745027909606948601 p T^{19} + 245495253371469781 p^{2} T^{20} + 33828590630813912 p^{3} T^{21} + 4714184397379129 p^{4} T^{22} + 617033194522276 p^{5} T^{23} + 78558301777168 p^{6} T^{24} + 9226687070193 p^{7} T^{25} + 1036732164633 p^{8} T^{26} + 106260309016 p^{9} T^{27} + 10325195941 p^{10} T^{28} + 899272606 p^{11} T^{29} + 73743039 p^{12} T^{30} + 5233829 p^{13} T^{31} + 348562 p^{14} T^{32} + 18570 p^{15} T^{33} + 939 p^{16} T^{34} + 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
61 \( 1 + 16 T + 635 T^{2} + 8274 T^{3} + 190205 T^{4} + 2115992 T^{5} + 36623586 T^{6} + 359612043 T^{7} + 5198578276 T^{8} + 46225068986 T^{9} + 590034567044 T^{10} + 4845704680425 T^{11} + 56406599465773 T^{12} + 433502131256906 T^{13} + 4683367264611202 T^{14} + 33894926246635977 T^{15} + 342675430157075814 T^{16} + 2338116470211927036 T^{17} + 22203319144025769863 T^{18} + 2338116470211927036 p T^{19} + 342675430157075814 p^{2} T^{20} + 33894926246635977 p^{3} T^{21} + 4683367264611202 p^{4} T^{22} + 433502131256906 p^{5} T^{23} + 56406599465773 p^{6} T^{24} + 4845704680425 p^{7} T^{25} + 590034567044 p^{8} T^{26} + 46225068986 p^{9} T^{27} + 5198578276 p^{10} T^{28} + 359612043 p^{11} T^{29} + 36623586 p^{12} T^{30} + 2115992 p^{13} T^{31} + 190205 p^{14} T^{32} + 8274 p^{15} T^{33} + 635 p^{16} T^{34} + 16 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
67 \( 1 - 45 T + 1619 T^{2} - 40961 T^{3} + 903236 T^{4} - 16752042 T^{5} + 282142140 T^{6} - 4251394407 T^{7} + 59562572753 T^{8} - 769561280196 T^{9} + 9381916524697 T^{10} - 107312178625829 T^{11} + 1169159156121800 T^{12} - 12074819098175338 T^{13} + 119488098569606282 T^{14} - 1127729409926138009 T^{15} + 10233984387413210162 T^{16} - 88868205469163094169 T^{17} + \)\(74\!\cdots\!88\)\( T^{18} - 88868205469163094169 p T^{19} + 10233984387413210162 p^{2} T^{20} - 1127729409926138009 p^{3} T^{21} + 119488098569606282 p^{4} T^{22} - 12074819098175338 p^{5} T^{23} + 1169159156121800 p^{6} T^{24} - 107312178625829 p^{7} T^{25} + 9381916524697 p^{8} T^{26} - 769561280196 p^{9} T^{27} + 59562572753 p^{10} T^{28} - 4251394407 p^{11} T^{29} + 282142140 p^{12} T^{30} - 16752042 p^{13} T^{31} + 903236 p^{14} T^{32} - 40961 p^{15} T^{33} + 1619 p^{16} T^{34} - 45 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
71 \( 1 - T + 655 T^{2} - 1170 T^{3} + 215424 T^{4} - 524996 T^{5} + 47444837 T^{6} - 141601338 T^{7} + 7871382101 T^{8} - 27164097828 T^{9} + 1049623943727 T^{10} - 4028692914822 T^{11} + 117265269964886 T^{12} - 483557296120122 T^{13} + 11292828800498759 T^{14} - 48190518319771745 T^{15} + 955526981037203369 T^{16} - 4041956554543093858 T^{17} + 71838640088911533167 T^{18} - 4041956554543093858 p T^{19} + 955526981037203369 p^{2} T^{20} - 48190518319771745 p^{3} T^{21} + 11292828800498759 p^{4} T^{22} - 483557296120122 p^{5} T^{23} + 117265269964886 p^{6} T^{24} - 4028692914822 p^{7} T^{25} + 1049623943727 p^{8} T^{26} - 27164097828 p^{9} T^{27} + 7871382101 p^{10} T^{28} - 141601338 p^{11} T^{29} + 47444837 p^{12} T^{30} - 524996 p^{13} T^{31} + 215424 p^{14} T^{32} - 1170 p^{15} T^{33} + 655 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
73 \( 1 + 24 T + 834 T^{2} + 14790 T^{3} + 306017 T^{4} + 4417584 T^{5} + 69752979 T^{6} + 869681164 T^{7} + 11562686568 T^{8} + 129600204555 T^{9} + 1530042331395 T^{10} + 15823074859231 T^{11} + 171040370073539 T^{12} + 1656167927597004 T^{13} + 16674858722223171 T^{14} + 152249618393120072 T^{15} + 1440957987460033875 T^{16} + 12441358532495166384 T^{17} + \)\(11\!\cdots\!82\)\( T^{18} + 12441358532495166384 p T^{19} + 1440957987460033875 p^{2} T^{20} + 152249618393120072 p^{3} T^{21} + 16674858722223171 p^{4} T^{22} + 1656167927597004 p^{5} T^{23} + 171040370073539 p^{6} T^{24} + 15823074859231 p^{7} T^{25} + 1530042331395 p^{8} T^{26} + 129600204555 p^{9} T^{27} + 11562686568 p^{10} T^{28} + 869681164 p^{11} T^{29} + 69752979 p^{12} T^{30} + 4417584 p^{13} T^{31} + 306017 p^{14} T^{32} + 14790 p^{15} T^{33} + 834 p^{16} T^{34} + 24 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
79 \( 1 - 33 T + 1298 T^{2} - 30775 T^{3} + 733967 T^{4} - 13884997 T^{5} + 253758243 T^{6} - 4049126474 T^{7} + 61792165990 T^{8} - 860380543149 T^{9} + 11449887489617 T^{10} - 142238037407177 T^{11} + 1692665596598240 T^{12} - 19037261546483737 T^{13} + 205655357009227862 T^{14} - 2113488504246191355 T^{15} + 20905085799133222308 T^{16} - \)\(19\!\cdots\!14\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( T^{18} - \)\(19\!\cdots\!14\)\( p T^{19} + 20905085799133222308 p^{2} T^{20} - 2113488504246191355 p^{3} T^{21} + 205655357009227862 p^{4} T^{22} - 19037261546483737 p^{5} T^{23} + 1692665596598240 p^{6} T^{24} - 142238037407177 p^{7} T^{25} + 11449887489617 p^{8} T^{26} - 860380543149 p^{9} T^{27} + 61792165990 p^{10} T^{28} - 4049126474 p^{11} T^{29} + 253758243 p^{12} T^{30} - 13884997 p^{13} T^{31} + 733967 p^{14} T^{32} - 30775 p^{15} T^{33} + 1298 p^{16} T^{34} - 33 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
83 \( 1 - 13 T + 1017 T^{2} - 12396 T^{3} + 511078 T^{4} - 5859372 T^{5} + 168913808 T^{6} - 1821407218 T^{7} + 41132155543 T^{8} - 416555938248 T^{9} + 7830203336517 T^{10} - 74312947912952 T^{11} + 1206709488178616 T^{12} - 10701139969508128 T^{13} + 153836481746874886 T^{14} - 1269866808957070178 T^{15} + 16439465558954538154 T^{16} - \)\(12\!\cdots\!87\)\( T^{17} + 17870604803361918920 p T^{18} - \)\(12\!\cdots\!87\)\( p T^{19} + 16439465558954538154 p^{2} T^{20} - 1269866808957070178 p^{3} T^{21} + 153836481746874886 p^{4} T^{22} - 10701139969508128 p^{5} T^{23} + 1206709488178616 p^{6} T^{24} - 74312947912952 p^{7} T^{25} + 7830203336517 p^{8} T^{26} - 416555938248 p^{9} T^{27} + 41132155543 p^{10} T^{28} - 1821407218 p^{11} T^{29} + 168913808 p^{12} T^{30} - 5859372 p^{13} T^{31} + 511078 p^{14} T^{32} - 12396 p^{15} T^{33} + 1017 p^{16} T^{34} - 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
89 \( 1 - 6 T + 751 T^{2} - 5253 T^{3} + 310780 T^{4} - 2260073 T^{5} + 90238706 T^{6} - 656743431 T^{7} + 20210258818 T^{8} - 144087004319 T^{9} + 3669251388133 T^{10} - 25276385570659 T^{11} + 555930611699455 T^{12} - 3662815496607251 T^{13} + 71576728027088732 T^{14} - 447059018535138261 T^{15} + 7918386504179247410 T^{16} - 46475316225943993531 T^{17} + \)\(75\!\cdots\!88\)\( T^{18} - 46475316225943993531 p T^{19} + 7918386504179247410 p^{2} T^{20} - 447059018535138261 p^{3} T^{21} + 71576728027088732 p^{4} T^{22} - 3662815496607251 p^{5} T^{23} + 555930611699455 p^{6} T^{24} - 25276385570659 p^{7} T^{25} + 3669251388133 p^{8} T^{26} - 144087004319 p^{9} T^{27} + 20210258818 p^{10} T^{28} - 656743431 p^{11} T^{29} + 90238706 p^{12} T^{30} - 2260073 p^{13} T^{31} + 310780 p^{14} T^{32} - 5253 p^{15} T^{33} + 751 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
97 \( 1 - 44 T + 1821 T^{2} - 49106 T^{3} + 1226393 T^{4} - 24664459 T^{5} + 465684311 T^{6} - 7633655815 T^{7} + 119311188344 T^{8} - 1684203858461 T^{9} + 23001836120175 T^{10} - 290940777671635 T^{11} + 3602909271691719 T^{12} - 41983169417612355 T^{13} + 482276516285357759 T^{14} - 5254588430664366987 T^{15} + 56541736858256393623 T^{16} - \)\(57\!\cdots\!54\)\( T^{17} + \)\(58\!\cdots\!44\)\( T^{18} - \)\(57\!\cdots\!54\)\( p T^{19} + 56541736858256393623 p^{2} T^{20} - 5254588430664366987 p^{3} T^{21} + 482276516285357759 p^{4} T^{22} - 41983169417612355 p^{5} T^{23} + 3602909271691719 p^{6} T^{24} - 290940777671635 p^{7} T^{25} + 23001836120175 p^{8} T^{26} - 1684203858461 p^{9} T^{27} + 119311188344 p^{10} T^{28} - 7633655815 p^{11} T^{29} + 465684311 p^{12} T^{30} - 24664459 p^{13} T^{31} + 1226393 p^{14} T^{32} - 49106 p^{15} T^{33} + 1821 p^{16} T^{34} - 44 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \)
show more
show less
   \(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.63874331918140410063105546647, −1.62909888256047007306252922895, −1.62387361291673750052717826066, −1.56840157786135869796471080514, −1.43938039203062587206879949163, −1.41720480908182950717479990768, −1.32689707658538292098089010346, −1.29340551618424458110867729351, −1.15432679494835921465481179588, −1.09115263651172413126489497859, −0.973927501530247373313843545701, −0.881356499691484736839267495383, −0.77330209971316356461217505268, −0.73938815895793776788802191980, −0.60524203666189679914062308466, −0.57993301404207758911455953099, −0.52746470705506317215730050743, −0.51573793950150406838355002461, −0.47663984649143606775890001074, −0.35915352766708932271656513233, −0.35014193444037043870470443955, −0.33825707244385100907871054325, −0.29870067914586453570561598245, −0.25444957903513295166006036246, −0.25070090328859253289020188654, 0.25070090328859253289020188654, 0.25444957903513295166006036246, 0.29870067914586453570561598245, 0.33825707244385100907871054325, 0.35014193444037043870470443955, 0.35915352766708932271656513233, 0.47663984649143606775890001074, 0.51573793950150406838355002461, 0.52746470705506317215730050743, 0.57993301404207758911455953099, 0.60524203666189679914062308466, 0.73938815895793776788802191980, 0.77330209971316356461217505268, 0.881356499691484736839267495383, 0.973927501530247373313843545701, 1.09115263651172413126489497859, 1.15432679494835921465481179588, 1.29340551618424458110867729351, 1.32689707658538292098089010346, 1.41720480908182950717479990768, 1.43938039203062587206879949163, 1.56840157786135869796471080514, 1.62387361291673750052717826066, 1.62909888256047007306252922895, 1.63874331918140410063105546647

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.