Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 16·2-s + 16·3-s + 136·4-s + 5·5-s + 256·6-s + 4·7-s + 816·8-s + 136·9-s + 80·10-s + 18·11-s + 2.17e3·12-s − 16·13-s + 64·14-s + 80·15-s + 3.87e3·16-s + 17·17-s + 2.17e3·18-s + 8·19-s + 680·20-s + 64·21-s + 288·22-s + 9·23-s + 1.30e4·24-s − 19·25-s − 256·26-s + 816·27-s + 544·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 11.3·2-s + 9.23·3-s + 68·4-s + 2.23·5-s + 104.·6-s + 1.51·7-s + 288.·8-s + 45.3·9-s + 25.2·10-s + 5.42·11-s + 628.·12-s − 4.43·13-s + 17.1·14-s + 20.6·15-s + 969·16-s + 4.12·17-s + 512.·18-s + 1.83·19-s + 152.·20-s + 13.9·21-s + 61.4·22-s + 1.87·23-s + 2.66e3·24-s − 3.79·25-s − 50.2·26-s + 157.·27-s + 102.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{16} \cdot 3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(2^{16} \cdot 3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(8.22892\times 10^{28}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.00948\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((32,\ 2^{16} \cdot 3^{16} \cdot 13^{16} \cdot 103^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(1.827304400\times10^{10}\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(1.827304400\times10^{10}\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T )^{16} \) |
| 3 | \( ( 1 - T )^{16} \) | |
| 13 | \( ( 1 + T )^{16} \) | |
| 103 | \( ( 1 - T )^{16} \) | |
| good | 5 | \( 1 - p T + 44 T^{2} - 179 T^{3} + 978 T^{4} - 3486 T^{5} + 2966 p T^{6} - 47362 T^{7} + 170463 T^{8} - 494728 T^{9} + 1569001 T^{10} - 4172967 T^{11} + 476884 p^{2} T^{12} - 29207576 T^{13} + 76147049 T^{14} - 172205237 T^{15} + 412689308 T^{16} - 172205237 p T^{17} + 76147049 p^{2} T^{18} - 29207576 p^{3} T^{19} + 476884 p^{6} T^{20} - 4172967 p^{5} T^{21} + 1569001 p^{6} T^{22} - 494728 p^{7} T^{23} + 170463 p^{8} T^{24} - 47362 p^{9} T^{25} + 2966 p^{11} T^{26} - 3486 p^{11} T^{27} + 978 p^{12} T^{28} - 179 p^{13} T^{29} + 44 p^{14} T^{30} - p^{16} T^{31} + p^{16} T^{32} \) |
| 7 | \( 1 - 4 T + 46 T^{2} - 143 T^{3} + 1004 T^{4} - 2510 T^{5} + 14304 T^{6} - 29403 T^{7} + 154340 T^{8} - 258336 T^{9} + 1366553 T^{10} - 1787711 T^{11} + 10480872 T^{12} - 1456773 p T^{13} + 10561581 p T^{14} - 55711752 T^{15} + 513067434 T^{16} - 55711752 p T^{17} + 10561581 p^{3} T^{18} - 1456773 p^{4} T^{19} + 10480872 p^{4} T^{20} - 1787711 p^{5} T^{21} + 1366553 p^{6} T^{22} - 258336 p^{7} T^{23} + 154340 p^{8} T^{24} - 29403 p^{9} T^{25} + 14304 p^{10} T^{26} - 2510 p^{11} T^{27} + 1004 p^{12} T^{28} - 143 p^{13} T^{29} + 46 p^{14} T^{30} - 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 11 | \( 1 - 18 T + 222 T^{2} - 1987 T^{3} + 14824 T^{4} - 93992 T^{5} + 532681 T^{6} - 2730734 T^{7} + 13026106 T^{8} - 58197357 T^{9} + 247564285 T^{10} - 1003286131 T^{11} + 3908767024 T^{12} - 14608731198 T^{13} + 52737399316 T^{14} - 183510103533 T^{15} + 619164682490 T^{16} - 183510103533 p T^{17} + 52737399316 p^{2} T^{18} - 14608731198 p^{3} T^{19} + 3908767024 p^{4} T^{20} - 1003286131 p^{5} T^{21} + 247564285 p^{6} T^{22} - 58197357 p^{7} T^{23} + 13026106 p^{8} T^{24} - 2730734 p^{9} T^{25} + 532681 p^{10} T^{26} - 93992 p^{11} T^{27} + 14824 p^{12} T^{28} - 1987 p^{13} T^{29} + 222 p^{14} T^{30} - 18 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 17 | \( 1 - p T + 239 T^{2} - 2365 T^{3} + 20934 T^{4} - 157674 T^{5} + 1101441 T^{6} - 6967309 T^{7} + 41698740 T^{8} - 232884971 T^{9} + 1247156179 T^{10} - 6334270028 T^{11} + 31065016074 T^{12} - 145589136725 T^{13} + 660576422525 T^{14} - 2872258232223 T^{15} + 711458219926 p T^{16} - 2872258232223 p T^{17} + 660576422525 p^{2} T^{18} - 145589136725 p^{3} T^{19} + 31065016074 p^{4} T^{20} - 6334270028 p^{5} T^{21} + 1247156179 p^{6} T^{22} - 232884971 p^{7} T^{23} + 41698740 p^{8} T^{24} - 6967309 p^{9} T^{25} + 1101441 p^{10} T^{26} - 157674 p^{11} T^{27} + 20934 p^{12} T^{28} - 2365 p^{13} T^{29} + 239 p^{14} T^{30} - p^{16} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 - 8 T + 174 T^{2} - 1168 T^{3} + 14381 T^{4} - 86472 T^{5} + 778232 T^{6} - 4352887 T^{7} + 1653546 p T^{8} - 8787919 p T^{9} + 1014611644 T^{10} - 5179103620 T^{11} + 27393112675 T^{12} - 134398590804 T^{13} + 635857427246 T^{14} - 2972024352442 T^{15} + 12892474396930 T^{16} - 2972024352442 p T^{17} + 635857427246 p^{2} T^{18} - 134398590804 p^{3} T^{19} + 27393112675 p^{4} T^{20} - 5179103620 p^{5} T^{21} + 1014611644 p^{6} T^{22} - 8787919 p^{8} T^{23} + 1653546 p^{9} T^{24} - 4352887 p^{9} T^{25} + 778232 p^{10} T^{26} - 86472 p^{11} T^{27} + 14381 p^{12} T^{28} - 1168 p^{13} T^{29} + 174 p^{14} T^{30} - 8 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 23 | \( 1 - 9 T + 215 T^{2} - 1397 T^{3} + 20893 T^{4} - 106801 T^{5} + 1308494 T^{6} - 5434270 T^{7} + 60807819 T^{8} - 206840189 T^{9} + 2259169676 T^{10} - 6331804517 T^{11} + 70594666072 T^{12} - 166376157997 T^{13} + 1922330798959 T^{14} - 3995384062124 T^{15} + 46645041506046 T^{16} - 3995384062124 p T^{17} + 1922330798959 p^{2} T^{18} - 166376157997 p^{3} T^{19} + 70594666072 p^{4} T^{20} - 6331804517 p^{5} T^{21} + 2259169676 p^{6} T^{22} - 206840189 p^{7} T^{23} + 60807819 p^{8} T^{24} - 5434270 p^{9} T^{25} + 1308494 p^{10} T^{26} - 106801 p^{11} T^{27} + 20893 p^{12} T^{28} - 1397 p^{13} T^{29} + 215 p^{14} T^{30} - 9 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 29 | \( 1 - 14 T + 363 T^{2} - 3784 T^{3} + 57687 T^{4} - 485905 T^{5} + 5596325 T^{6} - 39845926 T^{7} + 382677987 T^{8} - 2374133520 T^{9} + 20075682866 T^{10} - 111107231470 T^{11} + 855577268701 T^{12} - 4306759012511 T^{13} + 30791526054198 T^{14} - 143152941955934 T^{15} + 957227518695760 T^{16} - 143152941955934 p T^{17} + 30791526054198 p^{2} T^{18} - 4306759012511 p^{3} T^{19} + 855577268701 p^{4} T^{20} - 111107231470 p^{5} T^{21} + 20075682866 p^{6} T^{22} - 2374133520 p^{7} T^{23} + 382677987 p^{8} T^{24} - 39845926 p^{9} T^{25} + 5596325 p^{10} T^{26} - 485905 p^{11} T^{27} + 57687 p^{12} T^{28} - 3784 p^{13} T^{29} + 363 p^{14} T^{30} - 14 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 31 | \( 1 - 12 T + 242 T^{2} - 1868 T^{3} + 23811 T^{4} - 134798 T^{5} + 1453454 T^{6} - 6071611 T^{7} + 64167772 T^{8} - 170180139 T^{9} + 2164384854 T^{10} - 1609886068 T^{11} + 58820785357 T^{12} + 108118581150 T^{13} + 1425717210538 T^{14} + 6884627377524 T^{15} + 38315233057190 T^{16} + 6884627377524 p T^{17} + 1425717210538 p^{2} T^{18} + 108118581150 p^{3} T^{19} + 58820785357 p^{4} T^{20} - 1609886068 p^{5} T^{21} + 2164384854 p^{6} T^{22} - 170180139 p^{7} T^{23} + 64167772 p^{8} T^{24} - 6071611 p^{9} T^{25} + 1453454 p^{10} T^{26} - 134798 p^{11} T^{27} + 23811 p^{12} T^{28} - 1868 p^{13} T^{29} + 242 p^{14} T^{30} - 12 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 - 31 T + 754 T^{2} - 12946 T^{3} + 190736 T^{4} - 2348853 T^{5} + 25831880 T^{6} - 251058916 T^{7} + 2228836341 T^{8} - 17973740021 T^{9} + 134598123464 T^{10} - 933972070364 T^{11} + 6132901071232 T^{12} - 38247599798141 T^{13} + 232742218915806 T^{14} - 1394690371823392 T^{15} + 8452192989535540 T^{16} - 1394690371823392 p T^{17} + 232742218915806 p^{2} T^{18} - 38247599798141 p^{3} T^{19} + 6132901071232 p^{4} T^{20} - 933972070364 p^{5} T^{21} + 134598123464 p^{6} T^{22} - 17973740021 p^{7} T^{23} + 2228836341 p^{8} T^{24} - 251058916 p^{9} T^{25} + 25831880 p^{10} T^{26} - 2348853 p^{11} T^{27} + 190736 p^{12} T^{28} - 12946 p^{13} T^{29} + 754 p^{14} T^{30} - 31 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 41 | \( 1 - 29 T + 705 T^{2} - 11962 T^{3} + 178582 T^{4} - 54560 p T^{5} + 25459115 T^{6} - 258955312 T^{7} + 2448304670 T^{8} - 21381960159 T^{9} + 176773823974 T^{10} - 1379175637927 T^{11} + 10334227830435 T^{12} - 74086484916755 T^{13} + 514886627051218 T^{14} - 3447544393960184 T^{15} + 22468553587821000 T^{16} - 3447544393960184 p T^{17} + 514886627051218 p^{2} T^{18} - 74086484916755 p^{3} T^{19} + 10334227830435 p^{4} T^{20} - 1379175637927 p^{5} T^{21} + 176773823974 p^{6} T^{22} - 21381960159 p^{7} T^{23} + 2448304670 p^{8} T^{24} - 258955312 p^{9} T^{25} + 25459115 p^{10} T^{26} - 54560 p^{12} T^{27} + 178582 p^{12} T^{28} - 11962 p^{13} T^{29} + 705 p^{14} T^{30} - 29 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 43 | \( 1 - 30 T + 753 T^{2} - 13538 T^{3} + 211812 T^{4} - 2841218 T^{5} + 34443732 T^{6} - 379159713 T^{7} + 3871789827 T^{8} - 36847112340 T^{9} + 330610251346 T^{10} - 2801607814827 T^{11} + 22585491182096 T^{12} - 173209703194475 T^{13} + 1269592396734257 T^{14} - 8888276249156005 T^{15} + 59596840617230128 T^{16} - 8888276249156005 p T^{17} + 1269592396734257 p^{2} T^{18} - 173209703194475 p^{3} T^{19} + 22585491182096 p^{4} T^{20} - 2801607814827 p^{5} T^{21} + 330610251346 p^{6} T^{22} - 36847112340 p^{7} T^{23} + 3871789827 p^{8} T^{24} - 379159713 p^{9} T^{25} + 34443732 p^{10} T^{26} - 2841218 p^{11} T^{27} + 211812 p^{12} T^{28} - 13538 p^{13} T^{29} + 753 p^{14} T^{30} - 30 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 47 | \( 1 + T + 198 T^{2} + 582 T^{3} + 20803 T^{4} + 53517 T^{5} + 1765785 T^{6} + 1234928 T^{7} + 113994985 T^{8} - 67893476 T^{9} + 5834256239 T^{10} - 14609562287 T^{11} + 297660346061 T^{12} - 1395538072257 T^{13} + 13891813886354 T^{14} - 77951950606532 T^{15} + 604027334011596 T^{16} - 77951950606532 p T^{17} + 13891813886354 p^{2} T^{18} - 1395538072257 p^{3} T^{19} + 297660346061 p^{4} T^{20} - 14609562287 p^{5} T^{21} + 5834256239 p^{6} T^{22} - 67893476 p^{7} T^{23} + 113994985 p^{8} T^{24} + 1234928 p^{9} T^{25} + 1765785 p^{10} T^{26} + 53517 p^{11} T^{27} + 20803 p^{12} T^{28} + 582 p^{13} T^{29} + 198 p^{14} T^{30} + p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 - 12 T + 568 T^{2} - 5149 T^{3} + 145525 T^{4} - 1046110 T^{5} + 23545152 T^{6} - 139497358 T^{7} + 2803144996 T^{8} - 14169466826 T^{9} + 266231223656 T^{10} - 1181358941884 T^{11} + 20997704216835 T^{12} - 83575642193485 T^{13} + 1402678955948192 T^{14} - 5096652195214124 T^{15} + 80205921351636774 T^{16} - 5096652195214124 p T^{17} + 1402678955948192 p^{2} T^{18} - 83575642193485 p^{3} T^{19} + 20997704216835 p^{4} T^{20} - 1181358941884 p^{5} T^{21} + 266231223656 p^{6} T^{22} - 14169466826 p^{7} T^{23} + 2803144996 p^{8} T^{24} - 139497358 p^{9} T^{25} + 23545152 p^{10} T^{26} - 1046110 p^{11} T^{27} + 145525 p^{12} T^{28} - 5149 p^{13} T^{29} + 568 p^{14} T^{30} - 12 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 - 38 T + 1095 T^{2} - 23297 T^{3} + 424605 T^{4} - 6672795 T^{5} + 94580432 T^{6} - 1217058846 T^{7} + 14511574567 T^{8} - 161041405813 T^{9} + 1682485451586 T^{10} - 16594154775321 T^{11} + 155630262017655 T^{12} - 1389923566921313 T^{13} + 11876680328710591 T^{14} - 97108684461423523 T^{15} + 761932837815421832 T^{16} - 97108684461423523 p T^{17} + 11876680328710591 p^{2} T^{18} - 1389923566921313 p^{3} T^{19} + 155630262017655 p^{4} T^{20} - 16594154775321 p^{5} T^{21} + 1682485451586 p^{6} T^{22} - 161041405813 p^{7} T^{23} + 14511574567 p^{8} T^{24} - 1217058846 p^{9} T^{25} + 94580432 p^{10} T^{26} - 6672795 p^{11} T^{27} + 424605 p^{12} T^{28} - 23297 p^{13} T^{29} + 1095 p^{14} T^{30} - 38 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 + 459 T^{2} - 318 T^{3} + 103898 T^{4} - 159398 T^{5} + 15704366 T^{6} - 38331037 T^{7} + 1814368519 T^{8} - 5937657768 T^{9} + 173417385168 T^{10} - 671036989903 T^{11} + 14346471436314 T^{12} - 59441130966933 T^{13} + 1047651981169903 T^{14} - 4318613747814279 T^{15} + 67852682743911080 T^{16} - 4318613747814279 p T^{17} + 1047651981169903 p^{2} T^{18} - 59441130966933 p^{3} T^{19} + 14346471436314 p^{4} T^{20} - 671036989903 p^{5} T^{21} + 173417385168 p^{6} T^{22} - 5937657768 p^{7} T^{23} + 1814368519 p^{8} T^{24} - 38331037 p^{9} T^{25} + 15704366 p^{10} T^{26} - 159398 p^{11} T^{27} + 103898 p^{12} T^{28} - 318 p^{13} T^{29} + 459 p^{14} T^{30} + p^{16} T^{32} \) | |
| 67 | \( 1 - 28 T + 858 T^{2} - 15649 T^{3} + 292080 T^{4} - 4225007 T^{5} + 61602204 T^{6} - 771198098 T^{7} + 9574930223 T^{8} - 107511352491 T^{9} + 1179390780967 T^{10} - 12081186344489 T^{11} + 119596924133268 T^{12} - 1127862817133331 T^{13} + 10201063163519899 T^{14} - 88868275954132921 T^{15} + 739804228787108344 T^{16} - 88868275954132921 p T^{17} + 10201063163519899 p^{2} T^{18} - 1127862817133331 p^{3} T^{19} + 119596924133268 p^{4} T^{20} - 12081186344489 p^{5} T^{21} + 1179390780967 p^{6} T^{22} - 107511352491 p^{7} T^{23} + 9574930223 p^{8} T^{24} - 771198098 p^{9} T^{25} + 61602204 p^{10} T^{26} - 4225007 p^{11} T^{27} + 292080 p^{12} T^{28} - 15649 p^{13} T^{29} + 858 p^{14} T^{30} - 28 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 71 | \( 1 - 32 T + 995 T^{2} - 20508 T^{3} + 395622 T^{4} - 6259188 T^{5} + 93755982 T^{6} - 1239096885 T^{7} + 15716903928 T^{8} - 182294906860 T^{9} + 2049415143507 T^{10} - 21476154775115 T^{11} + 219328591407162 T^{12} - 2107956202438259 T^{13} + 19784162377688964 T^{14} - 175455499172719087 T^{15} + 1520075125513646654 T^{16} - 175455499172719087 p T^{17} + 19784162377688964 p^{2} T^{18} - 2107956202438259 p^{3} T^{19} + 219328591407162 p^{4} T^{20} - 21476154775115 p^{5} T^{21} + 2049415143507 p^{6} T^{22} - 182294906860 p^{7} T^{23} + 15716903928 p^{8} T^{24} - 1239096885 p^{9} T^{25} + 93755982 p^{10} T^{26} - 6259188 p^{11} T^{27} + 395622 p^{12} T^{28} - 20508 p^{13} T^{29} + 995 p^{14} T^{30} - 32 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 73 | \( 1 - 20 T + 513 T^{2} - 9247 T^{3} + 2181 p T^{4} - 2321194 T^{5} + 33317650 T^{6} - 424662675 T^{7} + 5258202404 T^{8} - 60372874351 T^{9} + 673283949509 T^{10} - 7023205288675 T^{11} + 71674972251759 T^{12} - 691734325623476 T^{13} + 6508014098139040 T^{14} - 58294144897789706 T^{15} + 511105999549900974 T^{16} - 58294144897789706 p T^{17} + 6508014098139040 p^{2} T^{18} - 691734325623476 p^{3} T^{19} + 71674972251759 p^{4} T^{20} - 7023205288675 p^{5} T^{21} + 673283949509 p^{6} T^{22} - 60372874351 p^{7} T^{23} + 5258202404 p^{8} T^{24} - 424662675 p^{9} T^{25} + 33317650 p^{10} T^{26} - 2321194 p^{11} T^{27} + 2181 p^{13} T^{28} - 9247 p^{13} T^{29} + 513 p^{14} T^{30} - 20 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 - 13 T + 775 T^{2} - 8945 T^{3} + 289929 T^{4} - 3056030 T^{5} + 70650878 T^{6} - 693207671 T^{7} + 12711402618 T^{8} - 117556710631 T^{9} + 1809285303132 T^{10} - 15865666579748 T^{11} + 212444210262071 T^{12} - 1764614755495823 T^{13} + 21101642992512959 T^{14} - 164760112592133413 T^{15} + 1796776883123990538 T^{16} - 164760112592133413 p T^{17} + 21101642992512959 p^{2} T^{18} - 1764614755495823 p^{3} T^{19} + 212444210262071 p^{4} T^{20} - 15865666579748 p^{5} T^{21} + 1809285303132 p^{6} T^{22} - 117556710631 p^{7} T^{23} + 12711402618 p^{8} T^{24} - 693207671 p^{9} T^{25} + 70650878 p^{10} T^{26} - 3056030 p^{11} T^{27} + 289929 p^{12} T^{28} - 8945 p^{13} T^{29} + 775 p^{14} T^{30} - 13 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 83 | \( 1 - 39 T + 1238 T^{2} - 27953 T^{3} + 559862 T^{4} - 9568089 T^{5} + 150555772 T^{6} - 2148033125 T^{7} + 28809842394 T^{8} - 360796910182 T^{9} + 4303964232376 T^{10} - 48724320977567 T^{11} + 529549317747542 T^{12} - 5508676566066797 T^{13} + 55217376675221526 T^{14} - 531723737916086202 T^{15} + 4939932734933838930 T^{16} - 531723737916086202 p T^{17} + 55217376675221526 p^{2} T^{18} - 5508676566066797 p^{3} T^{19} + 529549317747542 p^{4} T^{20} - 48724320977567 p^{5} T^{21} + 4303964232376 p^{6} T^{22} - 360796910182 p^{7} T^{23} + 28809842394 p^{8} T^{24} - 2148033125 p^{9} T^{25} + 150555772 p^{10} T^{26} - 9568089 p^{11} T^{27} + 559862 p^{12} T^{28} - 27953 p^{13} T^{29} + 1238 p^{14} T^{30} - 39 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 89 | \( 1 - 9 T + 685 T^{2} - 5312 T^{3} + 236340 T^{4} - 1586649 T^{5} + 55425874 T^{6} - 328282965 T^{7} + 10036323760 T^{8} - 53526070565 T^{9} + 1494977776540 T^{10} - 7283797771011 T^{11} + 189005283129452 T^{12} - 849011488066604 T^{13} + 20626626362065045 T^{14} - 86079699007121821 T^{15} + 1962582005966434910 T^{16} - 86079699007121821 p T^{17} + 20626626362065045 p^{2} T^{18} - 849011488066604 p^{3} T^{19} + 189005283129452 p^{4} T^{20} - 7283797771011 p^{5} T^{21} + 1494977776540 p^{6} T^{22} - 53526070565 p^{7} T^{23} + 10036323760 p^{8} T^{24} - 328282965 p^{9} T^{25} + 55425874 p^{10} T^{26} - 1586649 p^{11} T^{27} + 236340 p^{12} T^{28} - 5312 p^{13} T^{29} + 685 p^{14} T^{30} - 9 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 97 | \( 1 - 35 T + 1528 T^{2} - 38061 T^{3} + 988783 T^{4} - 19478483 T^{5} + 381496493 T^{6} - 6282347494 T^{7} + 101281076724 T^{8} - 1443044226028 T^{9} + 20048497517841 T^{10} - 253126336351305 T^{11} + 3118810776277033 T^{12} - 35509515023167295 T^{13} + 395496750669768458 T^{14} - 4108810659268075107 T^{15} + 41835419836014023142 T^{16} - 4108810659268075107 p T^{17} + 395496750669768458 p^{2} T^{18} - 35509515023167295 p^{3} T^{19} + 3118810776277033 p^{4} T^{20} - 253126336351305 p^{5} T^{21} + 20048497517841 p^{6} T^{22} - 1443044226028 p^{7} T^{23} + 101281076724 p^{8} T^{24} - 6282347494 p^{9} T^{25} + 381496493 p^{10} T^{26} - 19478483 p^{11} T^{27} + 988783 p^{12} T^{28} - 38061 p^{13} T^{29} + 1528 p^{14} T^{30} - 35 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.98251978921842307358774370432, −1.97782583231134702602743564179, −1.97559725900928472278163484649, −1.93032536496956986854046634611, −1.92646891694993146575789618779, −1.91264859343902289113051487978, −1.87117904347517330228278087718, −1.85209759797776693054592715548, −1.64076043929971618211285035487, −1.33799839497889227256628301565, −1.31583749230059509228673796369, −1.30175393418075412375756651050, −1.20767329727359477131783546416, −1.14485984564208366572354886253, −1.08347156483314789424691467887, −1.05487874709382298750313115394, −1.05262784849918099496942219699, −1.01204457945034578346561775095, −0.983567581403692682013370579969, −0.899302482724470505046413739572, −0.76945833045029498477677712178, −0.74269354665933928400946158372, −0.67758188417422609440357581549, −0.58352387901451015617690406329, −0.57494660254573188590646031201, 0.57494660254573188590646031201, 0.58352387901451015617690406329, 0.67758188417422609440357581549, 0.74269354665933928400946158372, 0.76945833045029498477677712178, 0.899302482724470505046413739572, 0.983567581403692682013370579969, 1.01204457945034578346561775095, 1.05262784849918099496942219699, 1.05487874709382298750313115394, 1.08347156483314789424691467887, 1.14485984564208366572354886253, 1.20767329727359477131783546416, 1.30175393418075412375756651050, 1.31583749230059509228673796369, 1.33799839497889227256628301565, 1.64076043929971618211285035487, 1.85209759797776693054592715548, 1.87117904347517330228278087718, 1.91264859343902289113051487978, 1.92646891694993146575789618779, 1.93032536496956986854046634611, 1.97559725900928472278163484649, 1.97782583231134702602743564179, 1.98251978921842307358774370432
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.