Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 19·2-s + 10·3-s + 190·4-s + 19·5-s + 190·6-s + 8·7-s + 1.33e3·8-s + 35·9-s + 361·10-s + 19·11-s + 1.90e3·12-s + 16·13-s + 152·14-s + 190·15-s + 7.31e3·16-s + 12·17-s + 665·18-s + 12·19-s + 3.61e3·20-s + 80·21-s + 361·22-s + 26·23-s + 1.33e4·24-s + 190·25-s + 304·26-s + 15·27-s + 1.52e3·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 13.4·2-s + 5.77·3-s + 95·4-s + 8.49·5-s + 77.5·6-s + 3.02·7-s + 470.·8-s + 35/3·9-s + 114.·10-s + 5.72·11-s + 548.·12-s + 4.43·13-s + 40.6·14-s + 49.0·15-s + 1.82e3·16-s + 2.91·17-s + 156.·18-s + 2.75·19-s + 807.·20-s + 17.4·21-s + 76.9·22-s + 5.42·23-s + 2.71e3·24-s + 38·25-s + 59.6·26-s + 2.88·27-s + 287.·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{19} \cdot 5^{19} \cdot 11^{19} \cdot 73^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{19} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{19} \cdot 5^{19} \cdot 11^{19} \cdot 73^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{19} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(38\) |
| Conductor: | \(2^{19} \cdot 5^{19} \cdot 11^{19} \cdot 73^{19}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(2.15208\times 10^{34}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.00748\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((38,\ 2^{19} \cdot 5^{19} \cdot 11^{19} \cdot 73^{19} ,\ ( \ : [1/2]^{19} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(7.195423607\times10^{11}\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(7.195423607\times10^{11}\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 - T )^{19} \) |
| 5 | \( ( 1 - T )^{19} \) | |
| 11 | \( ( 1 - T )^{19} \) | |
| 73 | \( ( 1 + T )^{19} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 10 T + 65 T^{2} - 35 p^{2} T^{3} + 1280 T^{4} - 1511 p T^{5} + 14530 T^{6} - 42887 T^{7} + 39469 p T^{8} - 308186 T^{9} + 761603 T^{10} - 1794787 T^{11} + 4049984 T^{12} - 8777039 T^{13} + 18313766 T^{14} - 36859633 T^{15} + 71652011 T^{16} - 134674316 T^{17} + 81633187 p T^{18} - 431113520 T^{19} + 81633187 p^{2} T^{20} - 134674316 p^{2} T^{21} + 71652011 p^{3} T^{22} - 36859633 p^{4} T^{23} + 18313766 p^{5} T^{24} - 8777039 p^{6} T^{25} + 4049984 p^{7} T^{26} - 1794787 p^{8} T^{27} + 761603 p^{9} T^{28} - 308186 p^{10} T^{29} + 39469 p^{12} T^{30} - 42887 p^{12} T^{31} + 14530 p^{13} T^{32} - 1511 p^{15} T^{33} + 1280 p^{15} T^{34} - 35 p^{18} T^{35} + 65 p^{17} T^{36} - 10 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) |
| 7 | \( 1 - 8 T + 85 T^{2} - 498 T^{3} + 3244 T^{4} - 316 p^{2} T^{5} + 78395 T^{6} - 46210 p T^{7} + 1392578 T^{8} - 5151980 T^{9} + 19743464 T^{10} - 66997072 T^{11} + 234455728 T^{12} - 739561252 T^{13} + 2397895644 T^{14} - 1011903366 p T^{15} + 21457412972 T^{16} - 59588706092 T^{17} + 24211090681 p T^{18} - 443169507084 T^{19} + 24211090681 p^{2} T^{20} - 59588706092 p^{2} T^{21} + 21457412972 p^{3} T^{22} - 1011903366 p^{5} T^{23} + 2397895644 p^{5} T^{24} - 739561252 p^{6} T^{25} + 234455728 p^{7} T^{26} - 66997072 p^{8} T^{27} + 19743464 p^{9} T^{28} - 5151980 p^{10} T^{29} + 1392578 p^{11} T^{30} - 46210 p^{13} T^{31} + 78395 p^{13} T^{32} - 316 p^{16} T^{33} + 3244 p^{15} T^{34} - 498 p^{16} T^{35} + 85 p^{17} T^{36} - 8 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 13 | \( 1 - 16 T + 255 T^{2} - 2679 T^{3} + 2047 p T^{4} - 216771 T^{5} + 1670522 T^{6} - 11360397 T^{7} + 73537073 T^{8} - 434606740 T^{9} + 2458565745 T^{10} - 12935439909 T^{11} + 65420717712 T^{12} - 311096106367 T^{13} + 1426300007025 T^{14} - 6189099694519 T^{15} + 25944226409475 T^{16} - 103323867997862 T^{17} + 397966048044861 T^{18} - 1458799694098280 T^{19} + 397966048044861 p T^{20} - 103323867997862 p^{2} T^{21} + 25944226409475 p^{3} T^{22} - 6189099694519 p^{4} T^{23} + 1426300007025 p^{5} T^{24} - 311096106367 p^{6} T^{25} + 65420717712 p^{7} T^{26} - 12935439909 p^{8} T^{27} + 2458565745 p^{9} T^{28} - 434606740 p^{10} T^{29} + 73537073 p^{11} T^{30} - 11360397 p^{12} T^{31} + 1670522 p^{13} T^{32} - 216771 p^{14} T^{33} + 2047 p^{16} T^{34} - 2679 p^{16} T^{35} + 255 p^{17} T^{36} - 16 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 17 | \( 1 - 12 T + 240 T^{2} - 2187 T^{3} + 25549 T^{4} - 190121 T^{5} + 1664676 T^{6} - 10550042 T^{7} + 76133256 T^{8} - 422562706 T^{9} + 2645081987 T^{10} - 13129966801 T^{11} + 73758934224 T^{12} - 333418904530 T^{13} + 1725852790727 T^{14} - 7230769445970 T^{15} + 35250030029696 T^{16} - 139321913031015 T^{17} + 650032827192652 T^{18} - 2459493374586064 T^{19} + 650032827192652 p T^{20} - 139321913031015 p^{2} T^{21} + 35250030029696 p^{3} T^{22} - 7230769445970 p^{4} T^{23} + 1725852790727 p^{5} T^{24} - 333418904530 p^{6} T^{25} + 73758934224 p^{7} T^{26} - 13129966801 p^{8} T^{27} + 2645081987 p^{9} T^{28} - 422562706 p^{10} T^{29} + 76133256 p^{11} T^{30} - 10550042 p^{12} T^{31} + 1664676 p^{13} T^{32} - 190121 p^{14} T^{33} + 25549 p^{15} T^{34} - 2187 p^{16} T^{35} + 240 p^{17} T^{36} - 12 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 19 | \( 1 - 12 T + 231 T^{2} - 2191 T^{3} + 25257 T^{4} - 203337 T^{5} + 1798652 T^{6} - 12771936 T^{7} + 94983198 T^{8} - 608589520 T^{9} + 3980373497 T^{10} - 23340781159 T^{11} + 137712156575 T^{12} - 745810434254 T^{13} + 4031410730209 T^{14} - 20282655525320 T^{15} + 101412724410008 T^{16} - 475639310265817 T^{17} + 2212381447848170 T^{18} - 9686608870705364 T^{19} + 2212381447848170 p T^{20} - 475639310265817 p^{2} T^{21} + 101412724410008 p^{3} T^{22} - 20282655525320 p^{4} T^{23} + 4031410730209 p^{5} T^{24} - 745810434254 p^{6} T^{25} + 137712156575 p^{7} T^{26} - 23340781159 p^{8} T^{27} + 3980373497 p^{9} T^{28} - 608589520 p^{10} T^{29} + 94983198 p^{11} T^{30} - 12771936 p^{12} T^{31} + 1798652 p^{13} T^{32} - 203337 p^{14} T^{33} + 25257 p^{15} T^{34} - 2191 p^{16} T^{35} + 231 p^{17} T^{36} - 12 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 23 | \( 1 - 26 T + 595 T^{2} - 9458 T^{3} + 134702 T^{4} - 1612780 T^{5} + 769167 p T^{6} - 173584948 T^{7} + 1584600814 T^{8} - 13312514554 T^{9} + 105127442562 T^{10} - 775855463326 T^{11} + 5419698723124 T^{12} - 35703860457906 T^{13} + 223666325171962 T^{14} - 1328671656883132 T^{15} + 7527832674702212 T^{16} - 40572802585374638 T^{17} + 208908240294803781 T^{18} - 1024768724293984640 T^{19} + 208908240294803781 p T^{20} - 40572802585374638 p^{2} T^{21} + 7527832674702212 p^{3} T^{22} - 1328671656883132 p^{4} T^{23} + 223666325171962 p^{5} T^{24} - 35703860457906 p^{6} T^{25} + 5419698723124 p^{7} T^{26} - 775855463326 p^{8} T^{27} + 105127442562 p^{9} T^{28} - 13312514554 p^{10} T^{29} + 1584600814 p^{11} T^{30} - 173584948 p^{12} T^{31} + 769167 p^{14} T^{32} - 1612780 p^{14} T^{33} + 134702 p^{15} T^{34} - 9458 p^{16} T^{35} + 595 p^{17} T^{36} - 26 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 29 | \( 1 - T + 192 T^{2} - 117 T^{3} + 20583 T^{4} - 4663 T^{5} + 54290 p T^{6} + 219537 T^{7} + 95688000 T^{8} + 44602041 T^{9} + 4892507121 T^{10} + 3540802940 T^{11} + 217936262552 T^{12} + 195114495747 T^{13} + 8630156481085 T^{14} + 8464807595119 T^{15} + 307007479568552 T^{16} + 306568963212412 T^{17} + 9854120075112032 T^{18} + 9541049568560690 T^{19} + 9854120075112032 p T^{20} + 306568963212412 p^{2} T^{21} + 307007479568552 p^{3} T^{22} + 8464807595119 p^{4} T^{23} + 8630156481085 p^{5} T^{24} + 195114495747 p^{6} T^{25} + 217936262552 p^{7} T^{26} + 3540802940 p^{8} T^{27} + 4892507121 p^{9} T^{28} + 44602041 p^{10} T^{29} + 95688000 p^{11} T^{30} + 219537 p^{12} T^{31} + 54290 p^{14} T^{32} - 4663 p^{14} T^{33} + 20583 p^{15} T^{34} - 117 p^{16} T^{35} + 192 p^{17} T^{36} - p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 31 | \( 1 - 24 T + 597 T^{2} - 9658 T^{3} + 147924 T^{4} - 1859470 T^{5} + 21958006 T^{6} - 229839200 T^{7} + 2271642275 T^{8} - 20609752698 T^{9} + 177734287693 T^{10} - 1433682279320 T^{11} + 11055332776577 T^{12} - 80628305844302 T^{13} + 564552372760879 T^{14} - 3763925666672416 T^{15} + 24162785135043489 T^{16} - 148274801694750354 T^{17} + 877577214983095059 T^{18} - 4973922499895731292 T^{19} + 877577214983095059 p T^{20} - 148274801694750354 p^{2} T^{21} + 24162785135043489 p^{3} T^{22} - 3763925666672416 p^{4} T^{23} + 564552372760879 p^{5} T^{24} - 80628305844302 p^{6} T^{25} + 11055332776577 p^{7} T^{26} - 1433682279320 p^{8} T^{27} + 177734287693 p^{9} T^{28} - 20609752698 p^{10} T^{29} + 2271642275 p^{11} T^{30} - 229839200 p^{12} T^{31} + 21958006 p^{13} T^{32} - 1859470 p^{14} T^{33} + 147924 p^{15} T^{34} - 9658 p^{16} T^{35} + 597 p^{17} T^{36} - 24 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 37 | \( 1 - 23 T + 591 T^{2} - 9720 T^{3} + 156837 T^{4} - 2065218 T^{5} + 26101365 T^{6} - 291634843 T^{7} + 3119819840 T^{8} - 30580841735 T^{9} + 287532821834 T^{10} - 2524061234161 T^{11} + 21307058830501 T^{12} - 169736527240911 T^{13} + 1303130325141513 T^{14} - 9501170695207689 T^{15} + 66868134438547749 T^{16} - 448538780540866585 T^{17} + 2907017881096022761 T^{18} - 17986487166723681414 T^{19} + 2907017881096022761 p T^{20} - 448538780540866585 p^{2} T^{21} + 66868134438547749 p^{3} T^{22} - 9501170695207689 p^{4} T^{23} + 1303130325141513 p^{5} T^{24} - 169736527240911 p^{6} T^{25} + 21307058830501 p^{7} T^{26} - 2524061234161 p^{8} T^{27} + 287532821834 p^{9} T^{28} - 30580841735 p^{10} T^{29} + 3119819840 p^{11} T^{30} - 291634843 p^{12} T^{31} + 26101365 p^{13} T^{32} - 2065218 p^{14} T^{33} + 156837 p^{15} T^{34} - 9720 p^{16} T^{35} + 591 p^{17} T^{36} - 23 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 41 | \( 1 + 412 T^{2} + 132 T^{3} + 86941 T^{4} + 52120 T^{5} + 12496851 T^{6} + 10259764 T^{7} + 1368516266 T^{8} + 1343797952 T^{9} + 120917256463 T^{10} + 131402891920 T^{11} + 8911857813261 T^{12} + 10175165355872 T^{13} + 559239197944926 T^{14} + 645045281675276 T^{15} + 30263884473927420 T^{16} + 34123898464078152 T^{17} + 1423042481821086875 T^{18} + 1521554164544660824 T^{19} + 1423042481821086875 p T^{20} + 34123898464078152 p^{2} T^{21} + 30263884473927420 p^{3} T^{22} + 645045281675276 p^{4} T^{23} + 559239197944926 p^{5} T^{24} + 10175165355872 p^{6} T^{25} + 8911857813261 p^{7} T^{26} + 131402891920 p^{8} T^{27} + 120917256463 p^{9} T^{28} + 1343797952 p^{10} T^{29} + 1368516266 p^{11} T^{30} + 10259764 p^{12} T^{31} + 12496851 p^{13} T^{32} + 52120 p^{14} T^{33} + 86941 p^{15} T^{34} + 132 p^{16} T^{35} + 412 p^{17} T^{36} + p^{19} T^{38} \) | |
| 43 | \( 1 - 8 T + 521 T^{2} - 3593 T^{3} + 129414 T^{4} - 771767 T^{5} + 20550478 T^{6} - 106189558 T^{7} + 2365123737 T^{8} - 10627889168 T^{9} + 4941906188 p T^{10} - 837362451403 T^{11} + 15690497767523 T^{12} - 55024556113322 T^{13} + 987335490992430 T^{14} - 3141119597755078 T^{15} + 54199027318253870 T^{16} - 3705306947038845 p T^{17} + 2627288571901951716 T^{18} - 7236353133970495104 T^{19} + 2627288571901951716 p T^{20} - 3705306947038845 p^{3} T^{21} + 54199027318253870 p^{3} T^{22} - 3141119597755078 p^{4} T^{23} + 987335490992430 p^{5} T^{24} - 55024556113322 p^{6} T^{25} + 15690497767523 p^{7} T^{26} - 837362451403 p^{8} T^{27} + 4941906188 p^{10} T^{28} - 10627889168 p^{10} T^{29} + 2365123737 p^{11} T^{30} - 106189558 p^{12} T^{31} + 20550478 p^{13} T^{32} - 771767 p^{14} T^{33} + 129414 p^{15} T^{34} - 3593 p^{16} T^{35} + 521 p^{17} T^{36} - 8 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 47 | \( 1 - 34 T + 1008 T^{2} - 20773 T^{3} + 384096 T^{4} - 5969596 T^{5} + 1818049 p T^{6} - 1095691232 T^{7} + 13167832488 T^{8} - 146113575407 T^{9} + 1537105170895 T^{10} - 15182006452236 T^{11} + 143240354103477 T^{12} - 1281500635206447 T^{13} + 11005194798549216 T^{14} - 90154041897493136 T^{15} + 711058491955976670 T^{16} - 5368039013946562916 T^{17} + 39081128750296895246 T^{18} - \)\(27\!\cdots\!50\)\( T^{19} + 39081128750296895246 p T^{20} - 5368039013946562916 p^{2} T^{21} + 711058491955976670 p^{3} T^{22} - 90154041897493136 p^{4} T^{23} + 11005194798549216 p^{5} T^{24} - 1281500635206447 p^{6} T^{25} + 143240354103477 p^{7} T^{26} - 15182006452236 p^{8} T^{27} + 1537105170895 p^{9} T^{28} - 146113575407 p^{10} T^{29} + 13167832488 p^{11} T^{30} - 1095691232 p^{12} T^{31} + 1818049 p^{14} T^{32} - 5969596 p^{14} T^{33} + 384096 p^{15} T^{34} - 20773 p^{16} T^{35} + 1008 p^{17} T^{36} - 34 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 53 | \( 1 - 25 T + 832 T^{2} - 14805 T^{3} + 294079 T^{4} - 4131969 T^{5} + 61859577 T^{6} - 13625882 p T^{7} + 8871277784 T^{8} - 88504739372 T^{9} + 931777938621 T^{10} - 8076705176400 T^{11} + 1415622183783 p T^{12} - 571942401917900 T^{13} + 4823924626330160 T^{14} - 32910561742694846 T^{15} + 262688927440742042 T^{16} - 1669877207516624774 T^{17} + 13384678671800798297 T^{18} - 84996244439546679286 T^{19} + 13384678671800798297 p T^{20} - 1669877207516624774 p^{2} T^{21} + 262688927440742042 p^{3} T^{22} - 32910561742694846 p^{4} T^{23} + 4823924626330160 p^{5} T^{24} - 571942401917900 p^{6} T^{25} + 1415622183783 p^{8} T^{26} - 8076705176400 p^{8} T^{27} + 931777938621 p^{9} T^{28} - 88504739372 p^{10} T^{29} + 8871277784 p^{11} T^{30} - 13625882 p^{13} T^{31} + 61859577 p^{13} T^{32} - 4131969 p^{14} T^{33} + 294079 p^{15} T^{34} - 14805 p^{16} T^{35} + 832 p^{17} T^{36} - 25 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 59 | \( 1 - 24 T + 723 T^{2} - 12989 T^{3} + 243146 T^{4} - 3546819 T^{5} + 51746213 T^{6} - 644692723 T^{7} + 7942705878 T^{8} - 87249966321 T^{9} + 946115874068 T^{10} - 9369595264008 T^{11} + 91824325424492 T^{12} - 834616943902347 T^{13} + 7542688495195280 T^{14} - 63928774194963637 T^{15} + 541892745694338202 T^{16} - 4343107605026635865 T^{17} + 34990860400932157071 T^{18} - \)\(26\!\cdots\!18\)\( T^{19} + 34990860400932157071 p T^{20} - 4343107605026635865 p^{2} T^{21} + 541892745694338202 p^{3} T^{22} - 63928774194963637 p^{4} T^{23} + 7542688495195280 p^{5} T^{24} - 834616943902347 p^{6} T^{25} + 91824325424492 p^{7} T^{26} - 9369595264008 p^{8} T^{27} + 946115874068 p^{9} T^{28} - 87249966321 p^{10} T^{29} + 7942705878 p^{11} T^{30} - 644692723 p^{12} T^{31} + 51746213 p^{13} T^{32} - 3546819 p^{14} T^{33} + 243146 p^{15} T^{34} - 12989 p^{16} T^{35} + 723 p^{17} T^{36} - 24 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 61 | \( 1 - 31 T + 1120 T^{2} - 23111 T^{3} + 496866 T^{4} - 7839375 T^{5} + 125896083 T^{6} - 1612591385 T^{7} + 20960752345 T^{8} - 223829935001 T^{9} + 2440557278227 T^{10} - 21818965203822 T^{11} + 202430934191502 T^{12} - 1481867471668287 T^{13} + 11697350033493946 T^{14} - 64729117084650559 T^{15} + 434789387860478157 T^{16} - 1337847133089401034 T^{17} + 9860201825626676285 T^{18} - 3078376778636677766 T^{19} + 9860201825626676285 p T^{20} - 1337847133089401034 p^{2} T^{21} + 434789387860478157 p^{3} T^{22} - 64729117084650559 p^{4} T^{23} + 11697350033493946 p^{5} T^{24} - 1481867471668287 p^{6} T^{25} + 202430934191502 p^{7} T^{26} - 21818965203822 p^{8} T^{27} + 2440557278227 p^{9} T^{28} - 223829935001 p^{10} T^{29} + 20960752345 p^{11} T^{30} - 1612591385 p^{12} T^{31} + 125896083 p^{13} T^{32} - 7839375 p^{14} T^{33} + 496866 p^{15} T^{34} - 23111 p^{16} T^{35} + 1120 p^{17} T^{36} - 31 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 67 | \( 1 - 24 T + 895 T^{2} - 17317 T^{3} + 381191 T^{4} - 6132291 T^{5} + 102333108 T^{6} - 1408168913 T^{7} + 19463229181 T^{8} - 234258948244 T^{9} + 2801714620727 T^{10} - 30031735562247 T^{11} + 319558784873010 T^{12} - 3102579162592617 T^{13} + 30053672550603419 T^{14} - 269268254025179767 T^{15} + 2429434315773827065 T^{16} - 20510880394011033780 T^{17} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{18} - \)\(14\!\cdots\!16\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( p T^{20} - 20510880394011033780 p^{2} T^{21} + 2429434315773827065 p^{3} T^{22} - 269268254025179767 p^{4} T^{23} + 30053672550603419 p^{5} T^{24} - 3102579162592617 p^{6} T^{25} + 319558784873010 p^{7} T^{26} - 30031735562247 p^{8} T^{27} + 2801714620727 p^{9} T^{28} - 234258948244 p^{10} T^{29} + 19463229181 p^{11} T^{30} - 1408168913 p^{12} T^{31} + 102333108 p^{13} T^{32} - 6132291 p^{14} T^{33} + 381191 p^{15} T^{34} - 17317 p^{16} T^{35} + 895 p^{17} T^{36} - 24 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 71 | \( 1 - 5 T + 789 T^{2} - 3800 T^{3} + 298847 T^{4} - 1381421 T^{5} + 72670728 T^{6} - 324117282 T^{7} + 12833702948 T^{8} - 56148706524 T^{9} + 1770901905520 T^{10} - 7796806533938 T^{11} + 201195292651208 T^{12} - 913524138384195 T^{13} + 19604330115795683 T^{14} - 92589675447874664 T^{15} + 1689986164303280813 T^{16} - 8159462020453752551 T^{17} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( T^{18} - \)\(62\!\cdots\!84\)\( T^{19} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( p T^{20} - 8159462020453752551 p^{2} T^{21} + 1689986164303280813 p^{3} T^{22} - 92589675447874664 p^{4} T^{23} + 19604330115795683 p^{5} T^{24} - 913524138384195 p^{6} T^{25} + 201195292651208 p^{7} T^{26} - 7796806533938 p^{8} T^{27} + 1770901905520 p^{9} T^{28} - 56148706524 p^{10} T^{29} + 12833702948 p^{11} T^{30} - 324117282 p^{12} T^{31} + 72670728 p^{13} T^{32} - 1381421 p^{14} T^{33} + 298847 p^{15} T^{34} - 3800 p^{16} T^{35} + 789 p^{17} T^{36} - 5 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 79 | \( 1 - 18 T + 1146 T^{2} - 18268 T^{3} + 639143 T^{4} - 9141992 T^{5} + 230666374 T^{6} - 2990669176 T^{7} + 60454202559 T^{8} - 715838324770 T^{9} + 12238317054317 T^{10} - 133049381394128 T^{11} + 1986461846638737 T^{12} - 19894566765235254 T^{13} + 264756409600314611 T^{14} - 2446597775473822408 T^{15} + 29419577199069993257 T^{16} - \)\(25\!\cdots\!34\)\( T^{17} + \)\(27\!\cdots\!73\)\( T^{18} - \)\(21\!\cdots\!20\)\( T^{19} + \)\(27\!\cdots\!73\)\( p T^{20} - \)\(25\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{21} + 29419577199069993257 p^{3} T^{22} - 2446597775473822408 p^{4} T^{23} + 264756409600314611 p^{5} T^{24} - 19894566765235254 p^{6} T^{25} + 1986461846638737 p^{7} T^{26} - 133049381394128 p^{8} T^{27} + 12238317054317 p^{9} T^{28} - 715838324770 p^{10} T^{29} + 60454202559 p^{11} T^{30} - 2990669176 p^{12} T^{31} + 230666374 p^{13} T^{32} - 9141992 p^{14} T^{33} + 639143 p^{15} T^{34} - 18268 p^{16} T^{35} + 1146 p^{17} T^{36} - 18 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 83 | \( 1 - 12 T + 1000 T^{2} - 11429 T^{3} + 495226 T^{4} - 5418030 T^{5} + 161778433 T^{6} - 1696836451 T^{7} + 39138235888 T^{8} - 393317601118 T^{9} + 7459965908778 T^{10} - 71683388497257 T^{11} + 1163432425877605 T^{12} - 10654356944886704 T^{13} + 152159524997999070 T^{14} - 1321766379901938709 T^{15} + 16960602445671481632 T^{16} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( T^{18} - \)\(12\!\cdots\!52\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!95\)\( p T^{20} - \)\(13\!\cdots\!28\)\( p^{2} T^{21} + 16960602445671481632 p^{3} T^{22} - 1321766379901938709 p^{4} T^{23} + 152159524997999070 p^{5} T^{24} - 10654356944886704 p^{6} T^{25} + 1163432425877605 p^{7} T^{26} - 71683388497257 p^{8} T^{27} + 7459965908778 p^{9} T^{28} - 393317601118 p^{10} T^{29} + 39138235888 p^{11} T^{30} - 1696836451 p^{12} T^{31} + 161778433 p^{13} T^{32} - 5418030 p^{14} T^{33} + 495226 p^{15} T^{34} - 11429 p^{16} T^{35} + 1000 p^{17} T^{36} - 12 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| 89 | \( 1 + 843 T^{2} + 73 T^{3} + 362238 T^{4} + 194529 T^{5} + 105209193 T^{6} + 123464956 T^{7} + 23157185326 T^{8} + 43038270305 T^{9} + 4118485489213 T^{10} + 10211946715450 T^{11} + 616627222362006 T^{12} + 1818035258888619 T^{13} + 79791273365417959 T^{14} + 256652719066017629 T^{15} + 9060982020327803048 T^{16} + 29733444261689009140 T^{17} + \)\(90\!\cdots\!50\)\( T^{18} + \)\(28\!\cdots\!00\)\( T^{19} + \)\(90\!\cdots\!50\)\( p T^{20} + 29733444261689009140 p^{2} T^{21} + 9060982020327803048 p^{3} T^{22} + 256652719066017629 p^{4} T^{23} + 79791273365417959 p^{5} T^{24} + 1818035258888619 p^{6} T^{25} + 616627222362006 p^{7} T^{26} + 10211946715450 p^{8} T^{27} + 4118485489213 p^{9} T^{28} + 43038270305 p^{10} T^{29} + 23157185326 p^{11} T^{30} + 123464956 p^{12} T^{31} + 105209193 p^{13} T^{32} + 194529 p^{14} T^{33} + 362238 p^{15} T^{34} + 73 p^{16} T^{35} + 843 p^{17} T^{36} + p^{19} T^{38} \) | |
| 97 | \( 1 - 15 T + 993 T^{2} - 13326 T^{3} + 498238 T^{4} - 6122579 T^{5} + 168099618 T^{6} - 1912401291 T^{7} + 42687443742 T^{8} - 452886048182 T^{9} + 8670466920496 T^{10} - 86228444853726 T^{11} + 1463222016232154 T^{12} - 13691332985656534 T^{13} + 210553087766151288 T^{14} - 1857910333839112869 T^{15} + 26305156046626521655 T^{16} - \)\(21\!\cdots\!34\)\( T^{17} + \)\(28\!\cdots\!87\)\( T^{18} - \)\(22\!\cdots\!60\)\( T^{19} + \)\(28\!\cdots\!87\)\( p T^{20} - \)\(21\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{21} + 26305156046626521655 p^{3} T^{22} - 1857910333839112869 p^{4} T^{23} + 210553087766151288 p^{5} T^{24} - 13691332985656534 p^{6} T^{25} + 1463222016232154 p^{7} T^{26} - 86228444853726 p^{8} T^{27} + 8670466920496 p^{9} T^{28} - 452886048182 p^{10} T^{29} + 42687443742 p^{11} T^{30} - 1912401291 p^{12} T^{31} + 168099618 p^{13} T^{32} - 6122579 p^{14} T^{33} + 498238 p^{15} T^{34} - 13326 p^{16} T^{35} + 993 p^{17} T^{36} - 15 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{38} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.86426964810025914340134081901, −1.80426224647879737016291594180, −1.77261817792795006517059399029, −1.66314502388964639512858317667, −1.62537297818190405724123808643, −1.39622562415455637530627723488, −1.34907088830840382777257672531, −1.31684595331616606080830346124, −1.31609235316905972731541005414, −1.30576215847645310878900157703, −1.22272613135461103285263912754, −1.18670730743621747806206942782, −1.08515215496370157740275308457, −1.07140407943244281766546012423, −1.03696094437396598068229118409, −1.01567451286837309904750294288, −0.997673101413571330947949684714, −0.963726314573311365565556904286, −0.827655450974849209327545471185, −0.809550174804525825767712181591, −0.77295990891361615016967735145, −0.73178795106869973460893815499, −0.71006660830206080625096499446, −0.68860608276241712940130260468, −0.44108898597962148086342196873, 0.44108898597962148086342196873, 0.68860608276241712940130260468, 0.71006660830206080625096499446, 0.73178795106869973460893815499, 0.77295990891361615016967735145, 0.809550174804525825767712181591, 0.827655450974849209327545471185, 0.963726314573311365565556904286, 0.997673101413571330947949684714, 1.01567451286837309904750294288, 1.03696094437396598068229118409, 1.07140407943244281766546012423, 1.08515215496370157740275308457, 1.18670730743621747806206942782, 1.22272613135461103285263912754, 1.30576215847645310878900157703, 1.31609235316905972731541005414, 1.31684595331616606080830346124, 1.34907088830840382777257672531, 1.39622562415455637530627723488, 1.62537297818190405724123808643, 1.66314502388964639512858317667, 1.77261817792795006517059399029, 1.80426224647879737016291594180, 1.86426964810025914340134081901
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.