Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 9·3-s + 2·5-s + 11·7-s + 29·9-s − 11-s + 15·13-s + 18·15-s + 18·17-s + 26·19-s + 99·21-s + 22·23-s − 22·25-s + 24·27-s + 6·29-s + 13·31-s − 9·33-s + 22·35-s + 4·37-s + 135·39-s − 15·41-s + 12·43-s + 58·45-s + 8·47-s − 9·49-s + 162·51-s − 11·53-s − 2·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 5.19·3-s + 0.894·5-s + 4.15·7-s + 29/3·9-s − 0.301·11-s + 4.16·13-s + 4.64·15-s + 4.36·17-s + 5.96·19-s + 21.6·21-s + 4.58·23-s − 4.39·25-s + 4.61·27-s + 1.11·29-s + 2.33·31-s − 1.56·33-s + 3.71·35-s + 0.657·37-s + 21.6·39-s − 2.34·41-s + 1.82·43-s + 8.64·45-s + 1.16·47-s − 9/7·49-s + 22.6·51-s − 1.51·53-s − 0.269·55-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{54} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{54} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(2^{54} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.31149\times 10^{32}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.00449\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((36,\ 2^{54} \cdot 17^{18} \cdot 59^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(177333.0296\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(177333.0296\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 17 | \( ( 1 - T )^{18} \) | |
| 59 | \( ( 1 + T )^{18} \) | |
| good | 3 | \( 1 - p^{2} T + 52 T^{2} - 77 p T^{3} + 872 T^{4} - 968 p T^{5} + 8798 T^{6} - 8210 p T^{7} + 64564 T^{8} - 159833 T^{9} + 125459 p T^{10} - 282421 p T^{11} + 1830689 T^{12} - 423110 p^{2} T^{13} + 7641905 T^{14} - 14820802 T^{15} + 27808454 T^{16} - 50522410 T^{17} + 88904720 T^{18} - 50522410 p T^{19} + 27808454 p^{2} T^{20} - 14820802 p^{3} T^{21} + 7641905 p^{4} T^{22} - 423110 p^{7} T^{23} + 1830689 p^{6} T^{24} - 282421 p^{8} T^{25} + 125459 p^{9} T^{26} - 159833 p^{9} T^{27} + 64564 p^{10} T^{28} - 8210 p^{12} T^{29} + 8798 p^{12} T^{30} - 968 p^{14} T^{31} + 872 p^{14} T^{32} - 77 p^{16} T^{33} + 52 p^{16} T^{34} - p^{19} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 5 | \( 1 - 2 T + 26 T^{2} - 56 T^{3} + 378 T^{4} - 719 T^{5} + 794 p T^{6} - 1319 p T^{7} + 33378 T^{8} - 49812 T^{9} + 48799 p T^{10} - 325206 T^{11} + 1586803 T^{12} - 382442 p T^{13} + 1882587 p T^{14} - 10364392 T^{15} + 51976288 T^{16} - 54102248 T^{17} + 268003308 T^{18} - 54102248 p T^{19} + 51976288 p^{2} T^{20} - 10364392 p^{3} T^{21} + 1882587 p^{5} T^{22} - 382442 p^{6} T^{23} + 1586803 p^{6} T^{24} - 325206 p^{7} T^{25} + 48799 p^{9} T^{26} - 49812 p^{9} T^{27} + 33378 p^{10} T^{28} - 1319 p^{12} T^{29} + 794 p^{13} T^{30} - 719 p^{13} T^{31} + 378 p^{14} T^{32} - 56 p^{15} T^{33} + 26 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 - 11 T + 130 T^{2} - 974 T^{3} + 7092 T^{4} - 5933 p T^{5} + 33262 p T^{6} - 162549 p T^{7} + 5323100 T^{8} - 22532428 T^{9} + 91578979 T^{10} - 343685929 T^{11} + 1242420339 T^{12} - 4197294048 T^{13} + 13695253531 T^{14} - 42062029698 T^{15} + 125003584600 T^{16} - 351048170530 T^{17} + 954861749284 T^{18} - 351048170530 p T^{19} + 125003584600 p^{2} T^{20} - 42062029698 p^{3} T^{21} + 13695253531 p^{4} T^{22} - 4197294048 p^{5} T^{23} + 1242420339 p^{6} T^{24} - 343685929 p^{7} T^{25} + 91578979 p^{8} T^{26} - 22532428 p^{9} T^{27} + 5323100 p^{10} T^{28} - 162549 p^{12} T^{29} + 33262 p^{13} T^{30} - 5933 p^{14} T^{31} + 7092 p^{14} T^{32} - 974 p^{15} T^{33} + 130 p^{16} T^{34} - 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + T + 116 T^{2} + 127 T^{3} + 6530 T^{4} + 7848 T^{5} + 237313 T^{6} + 312344 T^{7} + 6256238 T^{8} + 8987337 T^{9} + 11617129 p T^{10} + 199715198 T^{11} + 2119883914 T^{12} + 3583382335 T^{13} + 29793389543 T^{14} + 4873575341 p T^{15} + 370163718149 T^{16} + 62157242777 p T^{17} + 4218637024834 T^{18} + 62157242777 p^{2} T^{19} + 370163718149 p^{2} T^{20} + 4873575341 p^{4} T^{21} + 29793389543 p^{4} T^{22} + 3583382335 p^{5} T^{23} + 2119883914 p^{6} T^{24} + 199715198 p^{7} T^{25} + 11617129 p^{9} T^{26} + 8987337 p^{9} T^{27} + 6256238 p^{10} T^{28} + 312344 p^{11} T^{29} + 237313 p^{12} T^{30} + 7848 p^{13} T^{31} + 6530 p^{14} T^{32} + 127 p^{15} T^{33} + 116 p^{16} T^{34} + p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 - 15 T + 231 T^{2} - 2313 T^{3} + 21855 T^{4} - 170211 T^{5} + 1241152 T^{6} - 8084296 T^{7} + 293030 p^{2} T^{8} - 280883572 T^{9} + 1507464963 T^{10} - 7625503152 T^{11} + 36698483558 T^{12} - 168001113926 T^{13} + 734841152860 T^{14} - 3071936520907 T^{15} + 12306276973164 T^{16} - 47222983443368 T^{17} + 173910482158612 T^{18} - 47222983443368 p T^{19} + 12306276973164 p^{2} T^{20} - 3071936520907 p^{3} T^{21} + 734841152860 p^{4} T^{22} - 168001113926 p^{5} T^{23} + 36698483558 p^{6} T^{24} - 7625503152 p^{7} T^{25} + 1507464963 p^{8} T^{26} - 280883572 p^{9} T^{27} + 293030 p^{12} T^{28} - 8084296 p^{11} T^{29} + 1241152 p^{12} T^{30} - 170211 p^{13} T^{31} + 21855 p^{14} T^{32} - 2313 p^{15} T^{33} + 231 p^{16} T^{34} - 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 - 26 T + 541 T^{2} - 7927 T^{3} + 101224 T^{4} - 1085247 T^{5} + 10542857 T^{6} - 91249570 T^{7} + 731390709 T^{8} - 5374095839 T^{9} + 1950708373 p T^{10} - 238131373614 T^{11} + 1448552047505 T^{12} - 8289033711962 T^{13} + 45158103889654 T^{14} - 232787770614004 T^{15} + 1146286244181017 T^{16} - 5357799498192801 T^{17} + 23958896507749210 T^{18} - 5357799498192801 p T^{19} + 1146286244181017 p^{2} T^{20} - 232787770614004 p^{3} T^{21} + 45158103889654 p^{4} T^{22} - 8289033711962 p^{5} T^{23} + 1448552047505 p^{6} T^{24} - 238131373614 p^{7} T^{25} + 1950708373 p^{9} T^{26} - 5374095839 p^{9} T^{27} + 731390709 p^{10} T^{28} - 91249570 p^{11} T^{29} + 10542857 p^{12} T^{30} - 1085247 p^{13} T^{31} + 101224 p^{14} T^{32} - 7927 p^{15} T^{33} + 541 p^{16} T^{34} - 26 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 - 22 T + 429 T^{2} - 5631 T^{3} + 66922 T^{4} - 651102 T^{5} + 5864150 T^{6} - 46160535 T^{7} + 341675744 T^{8} - 99058685 p T^{9} + 14459745995 T^{10} - 84090254274 T^{11} + 471194315262 T^{12} - 2451435250164 T^{13} + 12505512495450 T^{14} - 60228355992999 T^{15} + 292175864181191 T^{16} - 1368853555097188 T^{17} + 6636644485590032 T^{18} - 1368853555097188 p T^{19} + 292175864181191 p^{2} T^{20} - 60228355992999 p^{3} T^{21} + 12505512495450 p^{4} T^{22} - 2451435250164 p^{5} T^{23} + 471194315262 p^{6} T^{24} - 84090254274 p^{7} T^{25} + 14459745995 p^{8} T^{26} - 99058685 p^{10} T^{27} + 341675744 p^{10} T^{28} - 46160535 p^{11} T^{29} + 5864150 p^{12} T^{30} - 651102 p^{13} T^{31} + 66922 p^{14} T^{32} - 5631 p^{15} T^{33} + 429 p^{16} T^{34} - 22 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 - 6 T + 263 T^{2} - 1210 T^{3} + 33154 T^{4} - 116765 T^{5} + 2746614 T^{6} - 7205511 T^{7} + 171105853 T^{8} - 312932579 T^{9} + 8610273194 T^{10} - 9547822571 T^{11} + 365718882201 T^{12} - 176036328771 T^{13} + 13550532681461 T^{14} - 74748392019 T^{15} + 449774214418491 T^{16} + 110808157505976 T^{17} + 13615522499230264 T^{18} + 110808157505976 p T^{19} + 449774214418491 p^{2} T^{20} - 74748392019 p^{3} T^{21} + 13550532681461 p^{4} T^{22} - 176036328771 p^{5} T^{23} + 365718882201 p^{6} T^{24} - 9547822571 p^{7} T^{25} + 8610273194 p^{8} T^{26} - 312932579 p^{9} T^{27} + 171105853 p^{10} T^{28} - 7205511 p^{11} T^{29} + 2746614 p^{12} T^{30} - 116765 p^{13} T^{31} + 33154 p^{14} T^{32} - 1210 p^{15} T^{33} + 263 p^{16} T^{34} - 6 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 - 13 T + 304 T^{2} - 3464 T^{3} + 46889 T^{4} - 486 p^{2} T^{5} + 4823993 T^{6} - 42650928 T^{7} + 371896563 T^{8} - 2966889001 T^{9} + 22942338007 T^{10} - 167249206745 T^{11} + 1178473748987 T^{12} - 7922994857636 T^{13} + 51649776371859 T^{14} - 322418763982562 T^{15} + 1960269689652840 T^{16} - 11416874376594131 T^{17} + 64952122816206938 T^{18} - 11416874376594131 p T^{19} + 1960269689652840 p^{2} T^{20} - 322418763982562 p^{3} T^{21} + 51649776371859 p^{4} T^{22} - 7922994857636 p^{5} T^{23} + 1178473748987 p^{6} T^{24} - 167249206745 p^{7} T^{25} + 22942338007 p^{8} T^{26} - 2966889001 p^{9} T^{27} + 371896563 p^{10} T^{28} - 42650928 p^{11} T^{29} + 4823993 p^{12} T^{30} - 486 p^{15} T^{31} + 46889 p^{14} T^{32} - 3464 p^{15} T^{33} + 304 p^{16} T^{34} - 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - 4 T + 268 T^{2} - 1342 T^{3} + 37160 T^{4} - 211284 T^{5} + 3499288 T^{6} - 21360404 T^{7} + 249251087 T^{8} - 1572993116 T^{9} + 14222574991 T^{10} - 90832915676 T^{11} + 676342531777 T^{12} - 4349881244464 T^{13} + 27911878846476 T^{14} - 4926183101560 p T^{15} + 1055557930298879 T^{16} - 7045138520660686 T^{17} + 38940733655538338 T^{18} - 7045138520660686 p T^{19} + 1055557930298879 p^{2} T^{20} - 4926183101560 p^{4} T^{21} + 27911878846476 p^{4} T^{22} - 4349881244464 p^{5} T^{23} + 676342531777 p^{6} T^{24} - 90832915676 p^{7} T^{25} + 14222574991 p^{8} T^{26} - 1572993116 p^{9} T^{27} + 249251087 p^{10} T^{28} - 21360404 p^{11} T^{29} + 3499288 p^{12} T^{30} - 211284 p^{13} T^{31} + 37160 p^{14} T^{32} - 1342 p^{15} T^{33} + 268 p^{16} T^{34} - 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 + 15 T + 434 T^{2} + 4577 T^{3} + 1964 p T^{4} + 672065 T^{5} + 9523983 T^{6} + 68212797 T^{7} + 866525336 T^{8} + 5579820630 T^{9} + 65553620812 T^{10} + 385427096348 T^{11} + 4222353665467 T^{12} + 22857283065931 T^{13} + 5750687890030 p T^{14} + 1188965309629153 T^{15} + 11605010860303176 T^{16} + 54935484497321484 T^{17} + 505857690675683418 T^{18} + 54935484497321484 p T^{19} + 11605010860303176 p^{2} T^{20} + 1188965309629153 p^{3} T^{21} + 5750687890030 p^{5} T^{22} + 22857283065931 p^{5} T^{23} + 4222353665467 p^{6} T^{24} + 385427096348 p^{7} T^{25} + 65553620812 p^{8} T^{26} + 5579820630 p^{9} T^{27} + 866525336 p^{10} T^{28} + 68212797 p^{11} T^{29} + 9523983 p^{12} T^{30} + 672065 p^{13} T^{31} + 1964 p^{15} T^{32} + 4577 p^{15} T^{33} + 434 p^{16} T^{34} + 15 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 - 12 T + 514 T^{2} - 5082 T^{3} + 125863 T^{4} - 1065918 T^{5} + 19880969 T^{6} - 147762153 T^{7} + 2298936165 T^{8} - 15253716533 T^{9} + 208613065909 T^{10} - 1251766464677 T^{11} + 15502522784761 T^{12} - 84986547754121 T^{13} + 969348737840435 T^{14} - 4894837980578082 T^{15} + 51864032400846746 T^{16} - 242746003389491434 T^{17} + 2396351181373438106 T^{18} - 242746003389491434 p T^{19} + 51864032400846746 p^{2} T^{20} - 4894837980578082 p^{3} T^{21} + 969348737840435 p^{4} T^{22} - 84986547754121 p^{5} T^{23} + 15502522784761 p^{6} T^{24} - 1251766464677 p^{7} T^{25} + 208613065909 p^{8} T^{26} - 15253716533 p^{9} T^{27} + 2298936165 p^{10} T^{28} - 147762153 p^{11} T^{29} + 19880969 p^{12} T^{30} - 1065918 p^{13} T^{31} + 125863 p^{14} T^{32} - 5082 p^{15} T^{33} + 514 p^{16} T^{34} - 12 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 - 8 T + 348 T^{2} - 3062 T^{3} + 60593 T^{4} - 569354 T^{5} + 7423898 T^{6} - 69940595 T^{7} + 735602500 T^{8} - 6573641755 T^{9} + 61634993927 T^{10} - 515378643861 T^{11} + 4432476082520 T^{12} - 35020522238725 T^{13} + 278788300130722 T^{14} - 2083753124595228 T^{15} + 15584094606252306 T^{16} - 109562350055540616 T^{17} + 776513060283623874 T^{18} - 109562350055540616 p T^{19} + 15584094606252306 p^{2} T^{20} - 2083753124595228 p^{3} T^{21} + 278788300130722 p^{4} T^{22} - 35020522238725 p^{5} T^{23} + 4432476082520 p^{6} T^{24} - 515378643861 p^{7} T^{25} + 61634993927 p^{8} T^{26} - 6573641755 p^{9} T^{27} + 735602500 p^{10} T^{28} - 69940595 p^{11} T^{29} + 7423898 p^{12} T^{30} - 569354 p^{13} T^{31} + 60593 p^{14} T^{32} - 3062 p^{15} T^{33} + 348 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 + 11 T + 508 T^{2} + 6046 T^{3} + 136461 T^{4} + 1627328 T^{5} + 25581804 T^{6} + 289206895 T^{7} + 3677898175 T^{8} + 38439369122 T^{9} + 423098020863 T^{10} + 4071921388227 T^{11} + 39993791373867 T^{12} + 355445862374004 T^{13} + 3166896978615675 T^{14} + 26037685095647992 T^{15} + 212705371635334358 T^{16} + 1617913900371065215 T^{17} + 12192660155989760896 T^{18} + 1617913900371065215 p T^{19} + 212705371635334358 p^{2} T^{20} + 26037685095647992 p^{3} T^{21} + 3166896978615675 p^{4} T^{22} + 355445862374004 p^{5} T^{23} + 39993791373867 p^{6} T^{24} + 4071921388227 p^{7} T^{25} + 423098020863 p^{8} T^{26} + 38439369122 p^{9} T^{27} + 3677898175 p^{10} T^{28} + 289206895 p^{11} T^{29} + 25581804 p^{12} T^{30} + 1627328 p^{13} T^{31} + 136461 p^{14} T^{32} + 6046 p^{15} T^{33} + 508 p^{16} T^{34} + 11 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 - 53 T + 1759 T^{2} - 42054 T^{3} + 817883 T^{4} - 13422740 T^{5} + 194105740 T^{6} - 2516984956 T^{7} + 29966321204 T^{8} - 330887879806 T^{9} + 3441102713893 T^{10} - 33899059945969 T^{11} + 319754350591648 T^{12} - 2896171653504471 T^{13} + 25390994483026464 T^{14} - 215677654266217225 T^{15} + 1786274246517194120 T^{16} - 14417616636308208902 T^{17} + \)\(11\!\cdots\!52\)\( T^{18} - 14417616636308208902 p T^{19} + 1786274246517194120 p^{2} T^{20} - 215677654266217225 p^{3} T^{21} + 25390994483026464 p^{4} T^{22} - 2896171653504471 p^{5} T^{23} + 319754350591648 p^{6} T^{24} - 33899059945969 p^{7} T^{25} + 3441102713893 p^{8} T^{26} - 330887879806 p^{9} T^{27} + 29966321204 p^{10} T^{28} - 2516984956 p^{11} T^{29} + 194105740 p^{12} T^{30} - 13422740 p^{13} T^{31} + 817883 p^{14} T^{32} - 42054 p^{15} T^{33} + 1759 p^{16} T^{34} - 53 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 - 2 T + 449 T^{2} - 1060 T^{3} + 109619 T^{4} - 242118 T^{5} + 19090529 T^{6} - 35500031 T^{7} + 2622703766 T^{8} - 3927826027 T^{9} + 301370156521 T^{10} - 357032656645 T^{11} + 448353614870 p T^{12} - 28758854300905 T^{13} + 2649497909161763 T^{14} - 2164959498522724 T^{15} + 208878480614178588 T^{16} - 153935153853412624 T^{17} + 14772819405567868772 T^{18} - 153935153853412624 p T^{19} + 208878480614178588 p^{2} T^{20} - 2164959498522724 p^{3} T^{21} + 2649497909161763 p^{4} T^{22} - 28758854300905 p^{5} T^{23} + 448353614870 p^{7} T^{24} - 357032656645 p^{7} T^{25} + 301370156521 p^{8} T^{26} - 3927826027 p^{9} T^{27} + 2622703766 p^{10} T^{28} - 35500031 p^{11} T^{29} + 19090529 p^{12} T^{30} - 242118 p^{13} T^{31} + 109619 p^{14} T^{32} - 1060 p^{15} T^{33} + 449 p^{16} T^{34} - 2 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 8 T + 712 T^{2} - 4834 T^{3} + 244653 T^{4} - 1362720 T^{5} + 54016455 T^{6} - 231208999 T^{7} + 8605992902 T^{8} - 24651738572 T^{9} + 1055504869495 T^{10} - 1348612095312 T^{11} + 104442317892526 T^{12} + 48920331660955 T^{13} + 8739679189626341 T^{14} + 19118221594731538 T^{15} + 655693254318900270 T^{16} + 2207307740199207994 T^{17} + 46950582984849105322 T^{18} + 2207307740199207994 p T^{19} + 655693254318900270 p^{2} T^{20} + 19118221594731538 p^{3} T^{21} + 8739679189626341 p^{4} T^{22} + 48920331660955 p^{5} T^{23} + 104442317892526 p^{6} T^{24} - 1348612095312 p^{7} T^{25} + 1055504869495 p^{8} T^{26} - 24651738572 p^{9} T^{27} + 8605992902 p^{10} T^{28} - 231208999 p^{11} T^{29} + 54016455 p^{12} T^{30} - 1362720 p^{13} T^{31} + 244653 p^{14} T^{32} - 4834 p^{15} T^{33} + 712 p^{16} T^{34} - 8 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 + 42 T + 1423 T^{2} + 34448 T^{3} + 729958 T^{4} + 13105297 T^{5} + 213828587 T^{6} + 3124904282 T^{7} + 42383199129 T^{8} + 528810264363 T^{9} + 6210170643201 T^{10} + 68215676781284 T^{11} + 713667616741677 T^{12} + 7079269508445651 T^{13} + 67717481238675721 T^{14} + 622628805710352022 T^{15} + 5595015712846017139 T^{16} + 48941519066857381411 T^{17} + \)\(42\!\cdots\!44\)\( T^{18} + 48941519066857381411 p T^{19} + 5595015712846017139 p^{2} T^{20} + 622628805710352022 p^{3} T^{21} + 67717481238675721 p^{4} T^{22} + 7079269508445651 p^{5} T^{23} + 713667616741677 p^{6} T^{24} + 68215676781284 p^{7} T^{25} + 6210170643201 p^{8} T^{26} + 528810264363 p^{9} T^{27} + 42383199129 p^{10} T^{28} + 3124904282 p^{11} T^{29} + 213828587 p^{12} T^{30} + 13105297 p^{13} T^{31} + 729958 p^{14} T^{32} + 34448 p^{15} T^{33} + 1423 p^{16} T^{34} + 42 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 79 | \( 1 + 9 T + 532 T^{2} + 4283 T^{3} + 156830 T^{4} + 1193111 T^{5} + 33077089 T^{6} + 241363077 T^{7} + 5509078314 T^{8} + 38899303988 T^{9} + 763586583204 T^{10} + 5224746494734 T^{11} + 90913052761001 T^{12} + 602303289757813 T^{13} + 9499674354844102 T^{14} + 60652737780128841 T^{15} + 882844032737835986 T^{16} + 5395528984880743366 T^{17} + 73567545016185010650 T^{18} + 5395528984880743366 p T^{19} + 882844032737835986 p^{2} T^{20} + 60652737780128841 p^{3} T^{21} + 9499674354844102 p^{4} T^{22} + 602303289757813 p^{5} T^{23} + 90913052761001 p^{6} T^{24} + 5224746494734 p^{7} T^{25} + 763586583204 p^{8} T^{26} + 38899303988 p^{9} T^{27} + 5509078314 p^{10} T^{28} + 241363077 p^{11} T^{29} + 33077089 p^{12} T^{30} + 1193111 p^{13} T^{31} + 156830 p^{14} T^{32} + 4283 p^{15} T^{33} + 532 p^{16} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 + 4 T + 805 T^{2} + 2675 T^{3} + 325427 T^{4} + 893097 T^{5} + 88022995 T^{6} + 200231913 T^{7} + 17916279945 T^{8} + 34267673418 T^{9} + 2925321664185 T^{10} + 4823002846800 T^{11} + 398476242020905 T^{12} + 583783723738389 T^{13} + 46424277212101649 T^{14} + 62093066132950197 T^{15} + 4697070438462121114 T^{16} + 5836063015410422073 T^{17} + \)\(41\!\cdots\!92\)\( T^{18} + 5836063015410422073 p T^{19} + 4697070438462121114 p^{2} T^{20} + 62093066132950197 p^{3} T^{21} + 46424277212101649 p^{4} T^{22} + 583783723738389 p^{5} T^{23} + 398476242020905 p^{6} T^{24} + 4823002846800 p^{7} T^{25} + 2925321664185 p^{8} T^{26} + 34267673418 p^{9} T^{27} + 17916279945 p^{10} T^{28} + 200231913 p^{11} T^{29} + 88022995 p^{12} T^{30} + 893097 p^{13} T^{31} + 325427 p^{14} T^{32} + 2675 p^{15} T^{33} + 805 p^{16} T^{34} + 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 13 T + 941 T^{2} - 12049 T^{3} + 450118 T^{4} - 5566098 T^{5} + 143987971 T^{6} - 1706023907 T^{7} + 34383952663 T^{8} - 388816185087 T^{9} + 6503173918265 T^{10} - 69972641184687 T^{11} + 1010064395533489 T^{12} - 10304545133185063 T^{13} + 131873618266977177 T^{14} - 1269382084283747084 T^{15} + 14689023986403392001 T^{16} - \)\(13\!\cdots\!12\)\( T^{17} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!12\)\( p T^{19} + 14689023986403392001 p^{2} T^{20} - 1269382084283747084 p^{3} T^{21} + 131873618266977177 p^{4} T^{22} - 10304545133185063 p^{5} T^{23} + 1010064395533489 p^{6} T^{24} - 69972641184687 p^{7} T^{25} + 6503173918265 p^{8} T^{26} - 388816185087 p^{9} T^{27} + 34383952663 p^{10} T^{28} - 1706023907 p^{11} T^{29} + 143987971 p^{12} T^{30} - 5566098 p^{13} T^{31} + 450118 p^{14} T^{32} - 12049 p^{15} T^{33} + 941 p^{16} T^{34} - 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 56 T + 2334 T^{2} + 69810 T^{3} + 1793284 T^{4} + 39068386 T^{5} + 770018932 T^{6} + 13633826487 T^{7} + 224349455927 T^{8} + 3413000098634 T^{9} + 49056914031921 T^{10} + 663010730955531 T^{11} + 8557073840514985 T^{12} + 1081713950506566 p T^{13} + 1236688557812042124 T^{14} + 13929986427290176429 T^{15} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( T^{16} + \)\(15\!\cdots\!93\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!02\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!93\)\( p T^{19} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( p^{2} T^{20} + 13929986427290176429 p^{3} T^{21} + 1236688557812042124 p^{4} T^{22} + 1081713950506566 p^{6} T^{23} + 8557073840514985 p^{6} T^{24} + 663010730955531 p^{7} T^{25} + 49056914031921 p^{8} T^{26} + 3413000098634 p^{9} T^{27} + 224349455927 p^{10} T^{28} + 13633826487 p^{11} T^{29} + 770018932 p^{12} T^{30} + 39068386 p^{13} T^{31} + 1793284 p^{14} T^{32} + 69810 p^{15} T^{33} + 2334 p^{16} T^{34} + 56 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.65636375879830153850428009865, −1.61787152672569930588223148208, −1.58459886728399685599926503921, −1.56827818819802914685039222606, −1.49118197399290226434158683843, −1.44392879467341833838353997592, −1.44278326111193641757511253530, −1.38195836204725158716689304174, −1.31934818078189758017722677766, −1.27359428686018079185178976303, −1.19855173953519108556141884330, −1.00021846178588236950545498424, −0.957054880002196132805743649493, −0.914026235312891492403319511231, −0.76588407749767762750995678097, −0.76138268875345036390991182594, −0.74229161130449697355233957602, −0.72626495026392694047651460247, −0.60241828230597177657141010298, −0.59147996972370031611870173533, −0.49799584751361535443611728469, −0.40621813450551173845995600021, −0.40538432575379141602962271154, −0.36401535662765848668420125476, −0.32460235126183795825413258226, 0.32460235126183795825413258226, 0.36401535662765848668420125476, 0.40538432575379141602962271154, 0.40621813450551173845995600021, 0.49799584751361535443611728469, 0.59147996972370031611870173533, 0.60241828230597177657141010298, 0.72626495026392694047651460247, 0.74229161130449697355233957602, 0.76138268875345036390991182594, 0.76588407749767762750995678097, 0.914026235312891492403319511231, 0.957054880002196132805743649493, 1.00021846178588236950545498424, 1.19855173953519108556141884330, 1.27359428686018079185178976303, 1.31934818078189758017722677766, 1.38195836204725158716689304174, 1.44278326111193641757511253530, 1.44392879467341833838353997592, 1.49118197399290226434158683843, 1.56827818819802914685039222606, 1.58459886728399685599926503921, 1.61787152672569930588223148208, 1.65636375879830153850428009865
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.