Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 15·2-s + 15·3-s + 120·4-s − 225·6-s + 15·7-s − 680·8-s + 120·9-s − 7·11-s + 1.80e3·12-s + 10·13-s − 225·14-s + 3.06e3·16-s − 3·17-s − 1.80e3·18-s + 12·19-s + 225·21-s + 105·22-s − 23-s − 1.02e4·24-s − 22·25-s − 150·26-s + 680·27-s + 1.80e3·28-s − 3·29-s + 19·31-s − 1.16e4·32-s − 105·33-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 10.6·2-s + 8.66·3-s + 60·4-s − 91.8·6-s + 5.66·7-s − 240.·8-s + 40·9-s − 2.11·11-s + 519.·12-s + 2.77·13-s − 60.1·14-s + 765·16-s − 0.727·17-s − 424.·18-s + 2.75·19-s + 49.0·21-s + 22.3·22-s − 0.208·23-s − 2.08e3·24-s − 4.39·25-s − 29.4·26-s + 130.·27-s + 340.·28-s − 0.557·29-s + 3.41·31-s − 2.05e3·32-s − 18.2·33-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 191^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 191^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 191^{15}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.25428\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(8.00349\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((30,\ 2^{15} \cdot 3^{15} \cdot 7^{15} \cdot 191^{15} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(3164.148918\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(3164.148918\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( ( 1 + T )^{15} \) |
| 3 | \( ( 1 - T )^{15} \) | |
| 7 | \( ( 1 - T )^{15} \) | |
| 191 | \( ( 1 - T )^{15} \) | |
| good | 5 | \( 1 + 22 T^{2} + T^{3} + 248 T^{4} + 3 p T^{5} + 2126 T^{6} + 3 p T^{7} + 3202 p T^{8} - 131 p T^{9} + 106208 T^{10} - 6847 T^{11} + 630778 T^{12} - 65296 T^{13} + 3450179 T^{14} - 435314 T^{15} + 3450179 p T^{16} - 65296 p^{2} T^{17} + 630778 p^{3} T^{18} - 6847 p^{4} T^{19} + 106208 p^{5} T^{20} - 131 p^{7} T^{21} + 3202 p^{8} T^{22} + 3 p^{9} T^{23} + 2126 p^{9} T^{24} + 3 p^{11} T^{25} + 248 p^{11} T^{26} + p^{12} T^{27} + 22 p^{13} T^{28} + p^{15} T^{30} \) |
| 11 | \( 1 + 7 T + 7 p T^{2} + 446 T^{3} + 296 p T^{4} + 16908 T^{5} + 97699 T^{6} + 457352 T^{7} + 2250769 T^{8} + 9645294 T^{9} + 41986836 T^{10} + 15031310 p T^{11} + 648509133 T^{12} + 2353850903 T^{13} + 8429051559 T^{14} + 28201014656 T^{15} + 8429051559 p T^{16} + 2353850903 p^{2} T^{17} + 648509133 p^{3} T^{18} + 15031310 p^{5} T^{19} + 41986836 p^{5} T^{20} + 9645294 p^{6} T^{21} + 2250769 p^{7} T^{22} + 457352 p^{8} T^{23} + 97699 p^{9} T^{24} + 16908 p^{10} T^{25} + 296 p^{12} T^{26} + 446 p^{12} T^{27} + 7 p^{14} T^{28} + 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 - 10 T + 135 T^{2} - 75 p T^{3} + 8026 T^{4} - 46526 T^{5} + 295761 T^{6} - 112452 p T^{7} + 7862666 T^{8} - 34452512 T^{9} + 164607975 T^{10} - 656270253 T^{11} + 2865239906 T^{12} - 812608156 p T^{13} + 42793774814 T^{14} - 147113642296 T^{15} + 42793774814 p T^{16} - 812608156 p^{3} T^{17} + 2865239906 p^{3} T^{18} - 656270253 p^{4} T^{19} + 164607975 p^{5} T^{20} - 34452512 p^{6} T^{21} + 7862666 p^{7} T^{22} - 112452 p^{9} T^{23} + 295761 p^{9} T^{24} - 46526 p^{10} T^{25} + 8026 p^{11} T^{26} - 75 p^{13} T^{27} + 135 p^{13} T^{28} - 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 17 | \( 1 + 3 T + 4 p T^{2} + 179 T^{3} + 2585 T^{4} + 4527 T^{5} + 75657 T^{6} + 104470 T^{7} + 2005330 T^{8} + 2697408 T^{9} + 48882054 T^{10} + 60852199 T^{11} + 1017440801 T^{12} + 1092764462 T^{13} + 18701799664 T^{14} + 17690488608 T^{15} + 18701799664 p T^{16} + 1092764462 p^{2} T^{17} + 1017440801 p^{3} T^{18} + 60852199 p^{4} T^{19} + 48882054 p^{5} T^{20} + 2697408 p^{6} T^{21} + 2005330 p^{7} T^{22} + 104470 p^{8} T^{23} + 75657 p^{9} T^{24} + 4527 p^{10} T^{25} + 2585 p^{11} T^{26} + 179 p^{12} T^{27} + 4 p^{14} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 19 | \( 1 - 12 T + 223 T^{2} - 2119 T^{3} + 23431 T^{4} - 185290 T^{5} + 1562096 T^{6} - 10638814 T^{7} + 74639536 T^{8} - 447712750 T^{9} + 143357969 p T^{10} - 14590859029 T^{11} + 78680760475 T^{12} - 379383551980 T^{13} + 1835059050973 T^{14} - 7990440582092 T^{15} + 1835059050973 p T^{16} - 379383551980 p^{2} T^{17} + 78680760475 p^{3} T^{18} - 14590859029 p^{4} T^{19} + 143357969 p^{6} T^{20} - 447712750 p^{6} T^{21} + 74639536 p^{7} T^{22} - 10638814 p^{8} T^{23} + 1562096 p^{9} T^{24} - 185290 p^{10} T^{25} + 23431 p^{11} T^{26} - 2119 p^{12} T^{27} + 223 p^{13} T^{28} - 12 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 23 | \( 1 + T + 212 T^{2} + 155 T^{3} + 22401 T^{4} + 10163 T^{5} + 1564218 T^{6} + 307853 T^{7} + 80818770 T^{8} - 1436959 T^{9} + 3280208885 T^{10} - 566979943 T^{11} + 108330387848 T^{12} - 27835985461 T^{13} + 2971355707993 T^{14} - 34613273422 p T^{15} + 2971355707993 p T^{16} - 27835985461 p^{2} T^{17} + 108330387848 p^{3} T^{18} - 566979943 p^{4} T^{19} + 3280208885 p^{5} T^{20} - 1436959 p^{6} T^{21} + 80818770 p^{7} T^{22} + 307853 p^{8} T^{23} + 1564218 p^{9} T^{24} + 10163 p^{10} T^{25} + 22401 p^{11} T^{26} + 155 p^{12} T^{27} + 212 p^{13} T^{28} + p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 + 3 T + 219 T^{2} + 593 T^{3} + 24332 T^{4} + 60993 T^{5} + 1817151 T^{6} + 4297847 T^{7} + 102395349 T^{8} + 231889781 T^{9} + 4645706138 T^{10} + 10143991315 T^{11} + 177153365171 T^{12} + 371916109775 T^{13} + 5845413593987 T^{14} + 11638628584026 T^{15} + 5845413593987 p T^{16} + 371916109775 p^{2} T^{17} + 177153365171 p^{3} T^{18} + 10143991315 p^{4} T^{19} + 4645706138 p^{5} T^{20} + 231889781 p^{6} T^{21} + 102395349 p^{7} T^{22} + 4297847 p^{8} T^{23} + 1817151 p^{9} T^{24} + 60993 p^{10} T^{25} + 24332 p^{11} T^{26} + 593 p^{12} T^{27} + 219 p^{13} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 - 19 T + 351 T^{2} - 4141 T^{3} + 48521 T^{4} - 451065 T^{5} + 4218978 T^{6} - 33684646 T^{7} + 271987265 T^{8} - 1939154241 T^{9} + 14020791354 T^{10} - 91120152463 T^{11} + 601089558708 T^{12} - 3595776405331 T^{13} + 21830885188516 T^{14} - 3892032383876 p T^{15} + 21830885188516 p T^{16} - 3595776405331 p^{2} T^{17} + 601089558708 p^{3} T^{18} - 91120152463 p^{4} T^{19} + 14020791354 p^{5} T^{20} - 1939154241 p^{6} T^{21} + 271987265 p^{7} T^{22} - 33684646 p^{8} T^{23} + 4218978 p^{9} T^{24} - 451065 p^{10} T^{25} + 48521 p^{11} T^{26} - 4141 p^{12} T^{27} + 351 p^{13} T^{28} - 19 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 - 25 T + 587 T^{2} - 9145 T^{3} + 135185 T^{4} - 1630897 T^{5} + 18794870 T^{6} - 189275446 T^{7} + 1829458931 T^{8} - 15954301593 T^{9} + 134012271338 T^{10} - 1032732665019 T^{11} + 7682692426910 T^{12} - 52903927619341 T^{13} + 352146849016638 T^{14} - 2178256982282956 T^{15} + 352146849016638 p T^{16} - 52903927619341 p^{2} T^{17} + 7682692426910 p^{3} T^{18} - 1032732665019 p^{4} T^{19} + 134012271338 p^{5} T^{20} - 15954301593 p^{6} T^{21} + 1829458931 p^{7} T^{22} - 189275446 p^{8} T^{23} + 18794870 p^{9} T^{24} - 1630897 p^{10} T^{25} + 135185 p^{11} T^{26} - 9145 p^{12} T^{27} + 587 p^{13} T^{28} - 25 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 - 8 T + 393 T^{2} - 2364 T^{3} + 70999 T^{4} - 330601 T^{5} + 8201334 T^{6} - 30405740 T^{7} + 701076888 T^{8} - 2132506583 T^{9} + 47783074571 T^{10} - 122875954012 T^{11} + 2698864066385 T^{12} - 6061865363112 T^{13} + 129136294830429 T^{14} - 263336112237176 T^{15} + 129136294830429 p T^{16} - 6061865363112 p^{2} T^{17} + 2698864066385 p^{3} T^{18} - 122875954012 p^{4} T^{19} + 47783074571 p^{5} T^{20} - 2132506583 p^{6} T^{21} + 701076888 p^{7} T^{22} - 30405740 p^{8} T^{23} + 8201334 p^{9} T^{24} - 330601 p^{10} T^{25} + 70999 p^{11} T^{26} - 2364 p^{12} T^{27} + 393 p^{13} T^{28} - 8 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 - 25 T + 626 T^{2} - 10054 T^{3} + 154857 T^{4} - 1918541 T^{5} + 22745727 T^{6} - 234619412 T^{7} + 2324957047 T^{8} - 20814325507 T^{9} + 179988249983 T^{10} - 1436284572330 T^{11} + 11130046845204 T^{12} - 1874101636357 p T^{13} + 568910935038113 T^{14} - 3775163744806200 T^{15} + 568910935038113 p T^{16} - 1874101636357 p^{3} T^{17} + 11130046845204 p^{3} T^{18} - 1436284572330 p^{4} T^{19} + 179988249983 p^{5} T^{20} - 20814325507 p^{6} T^{21} + 2324957047 p^{7} T^{22} - 234619412 p^{8} T^{23} + 22745727 p^{9} T^{24} - 1918541 p^{10} T^{25} + 154857 p^{11} T^{26} - 10054 p^{12} T^{27} + 626 p^{13} T^{28} - 25 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 - 11 T + 502 T^{2} - 4665 T^{3} + 117261 T^{4} - 928711 T^{5} + 16966428 T^{6} - 114884221 T^{7} + 1714269752 T^{8} - 9933589493 T^{9} + 130359158893 T^{10} - 650458114899 T^{11} + 7961302526798 T^{12} - 35051035166905 T^{13} + 416552743028117 T^{14} - 1699113061697518 T^{15} + 416552743028117 p T^{16} - 35051035166905 p^{2} T^{17} + 7961302526798 p^{3} T^{18} - 650458114899 p^{4} T^{19} + 130359158893 p^{5} T^{20} - 9933589493 p^{6} T^{21} + 1714269752 p^{7} T^{22} - 114884221 p^{8} T^{23} + 16966428 p^{9} T^{24} - 928711 p^{10} T^{25} + 117261 p^{11} T^{26} - 4665 p^{12} T^{27} + 502 p^{13} T^{28} - 11 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 + 4 T + 455 T^{2} + 2307 T^{3} + 102636 T^{4} + 596411 T^{5} + 15460643 T^{6} + 94930793 T^{7} + 1751862991 T^{8} + 10707345889 T^{9} + 158227883656 T^{10} + 928448403425 T^{11} + 11760678955121 T^{12} + 65004232748944 T^{13} + 734052901498869 T^{14} + 71140486440030 p T^{15} + 734052901498869 p T^{16} + 65004232748944 p^{2} T^{17} + 11760678955121 p^{3} T^{18} + 928448403425 p^{4} T^{19} + 158227883656 p^{5} T^{20} + 10707345889 p^{6} T^{21} + 1751862991 p^{7} T^{22} + 94930793 p^{8} T^{23} + 15460643 p^{9} T^{24} + 596411 p^{10} T^{25} + 102636 p^{11} T^{26} + 2307 p^{12} T^{27} + 455 p^{13} T^{28} + 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 + 578 T^{2} - 748 T^{3} + 160047 T^{4} - 421560 T^{5} + 28376653 T^{6} - 113351700 T^{7} + 3637535873 T^{8} - 19255315512 T^{9} + 6132279299 p T^{10} - 2302430249124 T^{11} + 29333849590856 T^{12} - 204151070394960 T^{13} + 2008769064485109 T^{14} - 13762199760643000 T^{15} + 2008769064485109 p T^{16} - 204151070394960 p^{2} T^{17} + 29333849590856 p^{3} T^{18} - 2302430249124 p^{4} T^{19} + 6132279299 p^{6} T^{20} - 19255315512 p^{6} T^{21} + 3637535873 p^{7} T^{22} - 113351700 p^{8} T^{23} + 28376653 p^{9} T^{24} - 421560 p^{10} T^{25} + 160047 p^{11} T^{26} - 748 p^{12} T^{27} + 578 p^{13} T^{28} + p^{15} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 27 T + 778 T^{2} - 14074 T^{3} + 243587 T^{4} - 3377270 T^{5} + 44385184 T^{6} - 509280305 T^{7} + 5601891960 T^{8} - 56289113226 T^{9} + 550072370729 T^{10} - 5041481930878 T^{11} + 45271324307006 T^{12} - 385342114283597 T^{13} + 3209388871019067 T^{14} - 25367691691114382 T^{15} + 3209388871019067 p T^{16} - 385342114283597 p^{2} T^{17} + 45271324307006 p^{3} T^{18} - 5041481930878 p^{4} T^{19} + 550072370729 p^{5} T^{20} - 56289113226 p^{6} T^{21} + 5601891960 p^{7} T^{22} - 509280305 p^{8} T^{23} + 44385184 p^{9} T^{24} - 3377270 p^{10} T^{25} + 243587 p^{11} T^{26} - 14074 p^{12} T^{27} + 778 p^{13} T^{28} - 27 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 - 31 T + 972 T^{2} - 18828 T^{3} + 353546 T^{4} - 5166986 T^{5} + 73443568 T^{6} - 883588506 T^{7} + 10429032722 T^{8} - 108699508924 T^{9} + 1121802001530 T^{10} - 10491731528916 T^{11} + 98121589794852 T^{12} - 846817209762099 T^{13} + 7378119188266879 T^{14} - 59974344854106060 T^{15} + 7378119188266879 p T^{16} - 846817209762099 p^{2} T^{17} + 98121589794852 p^{3} T^{18} - 10491731528916 p^{4} T^{19} + 1121802001530 p^{5} T^{20} - 108699508924 p^{6} T^{21} + 10429032722 p^{7} T^{22} - 883588506 p^{8} T^{23} + 73443568 p^{9} T^{24} - 5166986 p^{10} T^{25} + 353546 p^{11} T^{26} - 18828 p^{12} T^{27} + 972 p^{13} T^{28} - 31 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 + 16 T + 681 T^{2} + 8192 T^{3} + 199445 T^{4} + 1845790 T^{5} + 33786071 T^{6} + 233277479 T^{7} + 3691727634 T^{8} + 16485167992 T^{9} + 271609490480 T^{10} + 333657998604 T^{11} + 13710361742356 T^{12} - 58297808382622 T^{13} + 557397116869596 T^{14} - 6844642147180278 T^{15} + 557397116869596 p T^{16} - 58297808382622 p^{2} T^{17} + 13710361742356 p^{3} T^{18} + 333657998604 p^{4} T^{19} + 271609490480 p^{5} T^{20} + 16485167992 p^{6} T^{21} + 3691727634 p^{7} T^{22} + 233277479 p^{8} T^{23} + 33786071 p^{9} T^{24} + 1845790 p^{10} T^{25} + 199445 p^{11} T^{26} + 8192 p^{12} T^{27} + 681 p^{13} T^{28} + 16 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 - 26 T + 982 T^{2} - 261 p T^{3} + 419247 T^{4} - 6615174 T^{5} + 108577055 T^{6} - 1463559315 T^{7} + 19672374182 T^{8} - 233612260703 T^{9} + 2697987391984 T^{10} - 28763400961311 T^{11} + 293482765032809 T^{12} - 2836872772241627 T^{13} + 25998682949261948 T^{14} - 228491538928394974 T^{15} + 25998682949261948 p T^{16} - 2836872772241627 p^{2} T^{17} + 293482765032809 p^{3} T^{18} - 28763400961311 p^{4} T^{19} + 2697987391984 p^{5} T^{20} - 233612260703 p^{6} T^{21} + 19672374182 p^{7} T^{22} - 1463559315 p^{8} T^{23} + 108577055 p^{9} T^{24} - 6615174 p^{10} T^{25} + 419247 p^{11} T^{26} - 261 p^{13} T^{27} + 982 p^{13} T^{28} - 26 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 - 32 T + 1205 T^{2} - 26803 T^{3} + 613058 T^{4} - 10717304 T^{5} + 186716535 T^{6} - 2723730272 T^{7} + 39248501090 T^{8} - 494498141890 T^{9} + 6142599583687 T^{10} - 68290602517777 T^{11} + 748796476726942 T^{12} - 7442840947139686 T^{13} + 73019345320177984 T^{14} - 653153745149387832 T^{15} + 73019345320177984 p T^{16} - 7442840947139686 p^{2} T^{17} + 748796476726942 p^{3} T^{18} - 68290602517777 p^{4} T^{19} + 6142599583687 p^{5} T^{20} - 494498141890 p^{6} T^{21} + 39248501090 p^{7} T^{22} - 2723730272 p^{8} T^{23} + 186716535 p^{9} T^{24} - 10717304 p^{10} T^{25} + 613058 p^{11} T^{26} - 26803 p^{12} T^{27} + 1205 p^{13} T^{28} - 32 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 - 7 T + 661 T^{2} - 3005 T^{3} + 209939 T^{4} - 560686 T^{5} + 44711962 T^{6} - 60533831 T^{7} + 7377570407 T^{8} - 4044399219 T^{9} + 1001301436724 T^{10} - 85860126785 T^{11} + 113995380078112 T^{12} + 19623659707422 T^{13} + 11021091644454876 T^{14} + 2728399320004426 T^{15} + 11021091644454876 p T^{16} + 19623659707422 p^{2} T^{17} + 113995380078112 p^{3} T^{18} - 85860126785 p^{4} T^{19} + 1001301436724 p^{5} T^{20} - 4044399219 p^{6} T^{21} + 7377570407 p^{7} T^{22} - 60533831 p^{8} T^{23} + 44711962 p^{9} T^{24} - 560686 p^{10} T^{25} + 209939 p^{11} T^{26} - 3005 p^{12} T^{27} + 661 p^{13} T^{28} - 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 + 11 T + 643 T^{2} + 5280 T^{3} + 201365 T^{4} + 1271201 T^{5} + 42321810 T^{6} + 204506354 T^{7} + 6783242052 T^{8} + 24307125199 T^{9} + 886012141853 T^{10} + 2265967480932 T^{11} + 1110376088623 p T^{12} + 182951001839461 T^{13} + 9752648333948213 T^{14} + 15193861032907796 T^{15} + 9752648333948213 p T^{16} + 182951001839461 p^{2} T^{17} + 1110376088623 p^{4} T^{18} + 2265967480932 p^{4} T^{19} + 886012141853 p^{5} T^{20} + 24307125199 p^{6} T^{21} + 6783242052 p^{7} T^{22} + 204506354 p^{8} T^{23} + 42321810 p^{9} T^{24} + 1271201 p^{10} T^{25} + 201365 p^{11} T^{26} + 5280 p^{12} T^{27} + 643 p^{13} T^{28} + 11 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 - 30 T + 1224 T^{2} - 27369 T^{3} + 672716 T^{4} - 12203143 T^{5} + 228994162 T^{6} - 3535162238 T^{7} + 55178911436 T^{8} - 746487935951 T^{9} + 10111288051844 T^{10} - 122087274944103 T^{11} + 1469505823887552 T^{12} - 16008205908154188 T^{13} + 173512363541794889 T^{14} - 1713659295888031588 T^{15} + 173512363541794889 p T^{16} - 16008205908154188 p^{2} T^{17} + 1469505823887552 p^{3} T^{18} - 122087274944103 p^{4} T^{19} + 10111288051844 p^{5} T^{20} - 746487935951 p^{6} T^{21} + 55178911436 p^{7} T^{22} - 3535162238 p^{8} T^{23} + 228994162 p^{9} T^{24} - 12203143 p^{10} T^{25} + 672716 p^{11} T^{26} - 27369 p^{12} T^{27} + 1224 p^{13} T^{28} - 30 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.81212072732611530183653268522, −1.79201819630368385903622095856, −1.73875114708461622324652208907, −1.73140056278332267912876050321, −1.68682181693408687713757324687, −1.66577362647379433210584448540, −1.64717195021603093662009678431, −1.52384397602718258370308563906, −1.52055126463833092888312400630, −1.50793019645522821475646023573, −1.03826005146978867216371929103, −1.01268742986580917504865823592, −0.975692570083135834314728072488, −0.966872853203214996776640529846, −0.931314738954447394093037178338, −0.923016441757888527525076286370, −0.808959527546273191324002606733, −0.77336284352126104987767083472, −0.72331408373596369316952533656, −0.66606377134791720454122336989, −0.64465874352040433799083522233, −0.59101008459557362097216766312, −0.56554072620600783119813744827, −0.47921346588279594538764969858, −0.28074790294158215780772780809, 0.28074790294158215780772780809, 0.47921346588279594538764969858, 0.56554072620600783119813744827, 0.59101008459557362097216766312, 0.64465874352040433799083522233, 0.66606377134791720454122336989, 0.72331408373596369316952533656, 0.77336284352126104987767083472, 0.808959527546273191324002606733, 0.923016441757888527525076286370, 0.931314738954447394093037178338, 0.966872853203214996776640529846, 0.975692570083135834314728072488, 1.01268742986580917504865823592, 1.03826005146978867216371929103, 1.50793019645522821475646023573, 1.52055126463833092888312400630, 1.52384397602718258370308563906, 1.64717195021603093662009678431, 1.66577362647379433210584448540, 1.68682181693408687713757324687, 1.73140056278332267912876050321, 1.73875114708461622324652208907, 1.79201819630368385903622095856, 1.81212072732611530183653268522
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.