Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 5·2-s + 6·4-s + 5-s − 16·7-s + 13·8-s − 5·10-s − 11·11-s + 18·13-s + 80·14-s − 44·16-s + 5·17-s − 11·19-s + 6·20-s + 55·22-s − 13·23-s − 23·25-s − 90·26-s − 96·28-s − 24·29-s − 42·31-s + 22·32-s − 25·34-s − 16·35-s + 40·37-s + 55·38-s + 13·40-s − 9·41-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 3.53·2-s + 3·4-s + 0.447·5-s − 6.04·7-s + 4.59·8-s − 1.58·10-s − 3.31·11-s + 4.99·13-s + 21.3·14-s − 11·16-s + 1.21·17-s − 2.52·19-s + 1.34·20-s + 11.7·22-s − 2.71·23-s − 4.59·25-s − 17.6·26-s − 18.1·28-s − 4.45·29-s − 7.54·31-s + 3.88·32-s − 4.28·34-s − 2.70·35-s + 6.57·37-s + 8.92·38-s + 2.05·40-s − 1.40·41-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{32} \cdot 7^{16} \cdot 127^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{32} \cdot 7^{16} \cdot 127^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(32\) |
| Conductor: | \(3^{32} \cdot 7^{16} \cdot 127^{16}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(7.70445\times 10^{28}\) |
| Root analytic conductor: | \(7.99301\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(16\) |
| Selberg data: | \((32,\ 3^{32} \cdot 7^{16} \cdot 127^{16} ,\ ( \ : [1/2]^{16} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( 1 \) |
| 7 | \( ( 1 + T )^{16} \) | |
| 127 | \( ( 1 - T )^{16} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 5 T + 19 T^{2} + 13 p^{2} T^{3} + 125 T^{4} + 33 p^{3} T^{5} + 529 T^{6} + 503 p T^{7} + 929 p T^{8} + 3287 T^{9} + 5617 T^{10} + 1151 p^{3} T^{11} + 14687 T^{12} + 11375 p T^{13} + 8633 p^{2} T^{14} + 3185 p^{4} T^{15} + 18315 p^{2} T^{16} + 3185 p^{5} T^{17} + 8633 p^{4} T^{18} + 11375 p^{4} T^{19} + 14687 p^{4} T^{20} + 1151 p^{8} T^{21} + 5617 p^{6} T^{22} + 3287 p^{7} T^{23} + 929 p^{9} T^{24} + 503 p^{10} T^{25} + 529 p^{10} T^{26} + 33 p^{14} T^{27} + 125 p^{12} T^{28} + 13 p^{15} T^{29} + 19 p^{14} T^{30} + 5 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) |
| 5 | \( 1 - T + 24 T^{2} - 19 T^{3} + 329 T^{4} - 34 p T^{5} + 3169 T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + 23164 T^{8} + 13164 T^{9} + 26653 p T^{10} + 205344 T^{11} + 624119 T^{12} + 1857497 T^{13} + 2603502 T^{14} + 12171723 T^{15} + 11656934 T^{16} + 12171723 p T^{17} + 2603502 p^{2} T^{18} + 1857497 p^{3} T^{19} + 624119 p^{4} T^{20} + 205344 p^{5} T^{21} + 26653 p^{7} T^{22} + 13164 p^{7} T^{23} + 23164 p^{8} T^{24} - 2 p^{12} T^{25} + 3169 p^{10} T^{26} - 34 p^{12} T^{27} + 329 p^{12} T^{28} - 19 p^{13} T^{29} + 24 p^{14} T^{30} - p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 11 | \( 1 + p T + 127 T^{2} + 927 T^{3} + 6546 T^{4} + 37443 T^{5} + 205797 T^{6} + 90598 p T^{7} + 4658508 T^{8} + 19883514 T^{9} + 82587628 T^{10} + 319384657 T^{11} + 1213890104 T^{12} + 4356733405 T^{13} + 15506991000 T^{14} + 52671594431 T^{15} + 178444424018 T^{16} + 52671594431 p T^{17} + 15506991000 p^{2} T^{18} + 4356733405 p^{3} T^{19} + 1213890104 p^{4} T^{20} + 319384657 p^{5} T^{21} + 82587628 p^{6} T^{22} + 19883514 p^{7} T^{23} + 4658508 p^{8} T^{24} + 90598 p^{10} T^{25} + 205797 p^{10} T^{26} + 37443 p^{11} T^{27} + 6546 p^{12} T^{28} + 927 p^{13} T^{29} + 127 p^{14} T^{30} + p^{16} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 13 | \( 1 - 18 T + 219 T^{2} - 1948 T^{3} + 14614 T^{4} - 94646 T^{5} + 555983 T^{6} - 2985822 T^{7} + 14990448 T^{8} - 5425690 p T^{9} + 315528362 T^{10} - 103455238 p T^{11} + 5522268604 T^{12} - 21859541176 T^{13} + 84090414036 T^{14} - 314220696382 T^{15} + 1147549597242 T^{16} - 314220696382 p T^{17} + 84090414036 p^{2} T^{18} - 21859541176 p^{3} T^{19} + 5522268604 p^{4} T^{20} - 103455238 p^{6} T^{21} + 315528362 p^{6} T^{22} - 5425690 p^{8} T^{23} + 14990448 p^{8} T^{24} - 2985822 p^{9} T^{25} + 555983 p^{10} T^{26} - 94646 p^{11} T^{27} + 14614 p^{12} T^{28} - 1948 p^{13} T^{29} + 219 p^{14} T^{30} - 18 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 17 | \( 1 - 5 T + 158 T^{2} - 540 T^{3} + 11588 T^{4} - 27066 T^{5} + 558089 T^{6} - 870456 T^{7} + 20459225 T^{8} - 20581469 T^{9} + 610166673 T^{10} - 380514409 T^{11} + 897419382 p T^{12} - 5823688053 T^{13} + 325009231345 T^{14} - 84738254968 T^{15} + 5951336176930 T^{16} - 84738254968 p T^{17} + 325009231345 p^{2} T^{18} - 5823688053 p^{3} T^{19} + 897419382 p^{5} T^{20} - 380514409 p^{5} T^{21} + 610166673 p^{6} T^{22} - 20581469 p^{7} T^{23} + 20459225 p^{8} T^{24} - 870456 p^{9} T^{25} + 558089 p^{10} T^{26} - 27066 p^{11} T^{27} + 11588 p^{12} T^{28} - 540 p^{13} T^{29} + 158 p^{14} T^{30} - 5 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 19 | \( 1 + 11 T + 181 T^{2} + 1462 T^{3} + 14335 T^{4} + 95375 T^{5} + 719296 T^{6} + 4211650 T^{7} + 26971845 T^{8} + 143986816 T^{9} + 822044549 T^{10} + 4072545605 T^{11} + 21330650499 T^{12} + 99112960004 T^{13} + 484717258250 T^{14} + 2123022393713 T^{15} + 9768224694024 T^{16} + 2123022393713 p T^{17} + 484717258250 p^{2} T^{18} + 99112960004 p^{3} T^{19} + 21330650499 p^{4} T^{20} + 4072545605 p^{5} T^{21} + 822044549 p^{6} T^{22} + 143986816 p^{7} T^{23} + 26971845 p^{8} T^{24} + 4211650 p^{9} T^{25} + 719296 p^{10} T^{26} + 95375 p^{11} T^{27} + 14335 p^{12} T^{28} + 1462 p^{13} T^{29} + 181 p^{14} T^{30} + 11 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 23 | \( 1 + 13 T + 208 T^{2} + 2018 T^{3} + 20375 T^{4} + 160550 T^{5} + 1275907 T^{6} + 376779 p T^{7} + 58792152 T^{8} + 357162729 T^{9} + 2165764215 T^{10} + 12076345886 T^{11} + 67338196417 T^{12} + 351022119450 T^{13} + 1831885262566 T^{14} + 9017382569929 T^{15} + 44472265582174 T^{16} + 9017382569929 p T^{17} + 1831885262566 p^{2} T^{18} + 351022119450 p^{3} T^{19} + 67338196417 p^{4} T^{20} + 12076345886 p^{5} T^{21} + 2165764215 p^{6} T^{22} + 357162729 p^{7} T^{23} + 58792152 p^{8} T^{24} + 376779 p^{10} T^{25} + 1275907 p^{10} T^{26} + 160550 p^{11} T^{27} + 20375 p^{12} T^{28} + 2018 p^{13} T^{29} + 208 p^{14} T^{30} + 13 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 29 | \( 1 + 24 T + 472 T^{2} + 6622 T^{3} + 82320 T^{4} + 873128 T^{5} + 8519727 T^{6} + 75217422 T^{7} + 623444003 T^{8} + 4802217916 T^{9} + 35136436698 T^{10} + 242281577588 T^{11} + 1597747487582 T^{12} + 10006074679634 T^{13} + 60158248780719 T^{14} + 344816413108922 T^{15} + 1900626864033788 T^{16} + 344816413108922 p T^{17} + 60158248780719 p^{2} T^{18} + 10006074679634 p^{3} T^{19} + 1597747487582 p^{4} T^{20} + 242281577588 p^{5} T^{21} + 35136436698 p^{6} T^{22} + 4802217916 p^{7} T^{23} + 623444003 p^{8} T^{24} + 75217422 p^{9} T^{25} + 8519727 p^{10} T^{26} + 873128 p^{11} T^{27} + 82320 p^{12} T^{28} + 6622 p^{13} T^{29} + 472 p^{14} T^{30} + 24 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 31 | \( 1 + 42 T + 1103 T^{2} + 687 p T^{3} + 334685 T^{4} + 4460298 T^{5} + 52049742 T^{6} + 541781390 T^{7} + 5109757813 T^{8} + 44140935934 T^{9} + 352708311097 T^{10} + 2626670113330 T^{11} + 18362034468729 T^{12} + 121180561220341 T^{13} + 758925862323514 T^{14} + 4526798708422582 T^{15} + 25783901132438856 T^{16} + 4526798708422582 p T^{17} + 758925862323514 p^{2} T^{18} + 121180561220341 p^{3} T^{19} + 18362034468729 p^{4} T^{20} + 2626670113330 p^{5} T^{21} + 352708311097 p^{6} T^{22} + 44140935934 p^{7} T^{23} + 5109757813 p^{8} T^{24} + 541781390 p^{9} T^{25} + 52049742 p^{10} T^{26} + 4460298 p^{11} T^{27} + 334685 p^{12} T^{28} + 687 p^{14} T^{29} + 1103 p^{14} T^{30} + 42 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 37 | \( 1 - 40 T + 1093 T^{2} - 21915 T^{3} + 365384 T^{4} - 5189918 T^{5} + 65263975 T^{6} - 735690707 T^{7} + 7568509040 T^{8} - 71598368286 T^{9} + 629373118507 T^{10} - 5166707785384 T^{11} + 39884876555089 T^{12} - 290489859017229 T^{13} + 2005230244594602 T^{14} - 13140503504719049 T^{15} + 81949219635694490 T^{16} - 13140503504719049 p T^{17} + 2005230244594602 p^{2} T^{18} - 290489859017229 p^{3} T^{19} + 39884876555089 p^{4} T^{20} - 5166707785384 p^{5} T^{21} + 629373118507 p^{6} T^{22} - 71598368286 p^{7} T^{23} + 7568509040 p^{8} T^{24} - 735690707 p^{9} T^{25} + 65263975 p^{10} T^{26} - 5189918 p^{11} T^{27} + 365384 p^{12} T^{28} - 21915 p^{13} T^{29} + 1093 p^{14} T^{30} - 40 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 41 | \( 1 + 9 T + 262 T^{2} + 2416 T^{3} + 37769 T^{4} + 315207 T^{5} + 3782416 T^{6} + 28401838 T^{7} + 290262313 T^{8} + 2011916927 T^{9} + 18444064407 T^{10} + 119441768717 T^{11} + 1012122769428 T^{12} + 6182374690503 T^{13} + 49052876571800 T^{14} + 283552719845861 T^{15} + 2125239007937044 T^{16} + 283552719845861 p T^{17} + 49052876571800 p^{2} T^{18} + 6182374690503 p^{3} T^{19} + 1012122769428 p^{4} T^{20} + 119441768717 p^{5} T^{21} + 18444064407 p^{6} T^{22} + 2011916927 p^{7} T^{23} + 290262313 p^{8} T^{24} + 28401838 p^{9} T^{25} + 3782416 p^{10} T^{26} + 315207 p^{11} T^{27} + 37769 p^{12} T^{28} + 2416 p^{13} T^{29} + 262 p^{14} T^{30} + 9 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 43 | \( 1 - 7 T + 372 T^{2} - 3138 T^{3} + 1705 p T^{4} - 666780 T^{5} + 10087481 T^{6} - 91367841 T^{7} + 1064678040 T^{8} - 9159628901 T^{9} + 89637382245 T^{10} - 716798756168 T^{11} + 6144361260517 T^{12} - 45322086179990 T^{13} + 347525991033990 T^{14} - 2355177051473659 T^{15} + 16357027715502558 T^{16} - 2355177051473659 p T^{17} + 347525991033990 p^{2} T^{18} - 45322086179990 p^{3} T^{19} + 6144361260517 p^{4} T^{20} - 716798756168 p^{5} T^{21} + 89637382245 p^{6} T^{22} - 9159628901 p^{7} T^{23} + 1064678040 p^{8} T^{24} - 91367841 p^{9} T^{25} + 10087481 p^{10} T^{26} - 666780 p^{11} T^{27} + 1705 p^{13} T^{28} - 3138 p^{13} T^{29} + 372 p^{14} T^{30} - 7 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 47 | \( 1 + 31 T + 941 T^{2} + 18281 T^{3} + 336231 T^{4} + 4931218 T^{5} + 68745838 T^{6} + 824945998 T^{7} + 9479210063 T^{8} + 97272427247 T^{9} + 962214491659 T^{10} + 8677297342675 T^{11} + 75838894223815 T^{12} + 611669521060006 T^{13} + 4799477730874298 T^{14} + 34983489091252572 T^{15} + 248573892822537796 T^{16} + 34983489091252572 p T^{17} + 4799477730874298 p^{2} T^{18} + 611669521060006 p^{3} T^{19} + 75838894223815 p^{4} T^{20} + 8677297342675 p^{5} T^{21} + 962214491659 p^{6} T^{22} + 97272427247 p^{7} T^{23} + 9479210063 p^{8} T^{24} + 824945998 p^{9} T^{25} + 68745838 p^{10} T^{26} + 4931218 p^{11} T^{27} + 336231 p^{12} T^{28} + 18281 p^{13} T^{29} + 941 p^{14} T^{30} + 31 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 53 | \( 1 + 66 T + 2621 T^{2} + 76058 T^{3} + 1781762 T^{4} + 35276871 T^{5} + 609041687 T^{6} + 9347868667 T^{7} + 129408562699 T^{8} + 1632151424402 T^{9} + 18901860842316 T^{10} + 202148349366060 T^{11} + 2005406612147776 T^{12} + 18514212309862079 T^{13} + 159456108398381176 T^{14} + 1283208801034658221 T^{15} + 9658332823518811780 T^{16} + 1283208801034658221 p T^{17} + 159456108398381176 p^{2} T^{18} + 18514212309862079 p^{3} T^{19} + 2005406612147776 p^{4} T^{20} + 202148349366060 p^{5} T^{21} + 18901860842316 p^{6} T^{22} + 1632151424402 p^{7} T^{23} + 129408562699 p^{8} T^{24} + 9347868667 p^{9} T^{25} + 609041687 p^{10} T^{26} + 35276871 p^{11} T^{27} + 1781762 p^{12} T^{28} + 76058 p^{13} T^{29} + 2621 p^{14} T^{30} + 66 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 59 | \( 1 - 7 T + 442 T^{2} - 3508 T^{3} + 105593 T^{4} - 856382 T^{5} + 17639389 T^{6} - 139554059 T^{7} + 2261197320 T^{8} - 17115674831 T^{9} + 3968688667 p T^{10} - 1678592886254 T^{11} + 20227940459783 T^{12} - 136519444242156 T^{13} + 1488182686904536 T^{14} - 9408447183719123 T^{15} + 94379018439678286 T^{16} - 9408447183719123 p T^{17} + 1488182686904536 p^{2} T^{18} - 136519444242156 p^{3} T^{19} + 20227940459783 p^{4} T^{20} - 1678592886254 p^{5} T^{21} + 3968688667 p^{7} T^{22} - 17115674831 p^{7} T^{23} + 2261197320 p^{8} T^{24} - 139554059 p^{9} T^{25} + 17639389 p^{10} T^{26} - 856382 p^{11} T^{27} + 105593 p^{12} T^{28} - 3508 p^{13} T^{29} + 442 p^{14} T^{30} - 7 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 61 | \( 1 - 6 T + 323 T^{2} - 1803 T^{3} + 51999 T^{4} - 310708 T^{5} + 5859564 T^{6} - 41551842 T^{7} + 551504573 T^{8} - 4527561984 T^{9} + 47537189043 T^{10} - 403868693098 T^{11} + 3813583117651 T^{12} - 30173927981267 T^{13} + 277792860692578 T^{14} - 1985788550129320 T^{15} + 18004760530932760 T^{16} - 1985788550129320 p T^{17} + 277792860692578 p^{2} T^{18} - 30173927981267 p^{3} T^{19} + 3813583117651 p^{4} T^{20} - 403868693098 p^{5} T^{21} + 47537189043 p^{6} T^{22} - 4527561984 p^{7} T^{23} + 551504573 p^{8} T^{24} - 41551842 p^{9} T^{25} + 5859564 p^{10} T^{26} - 310708 p^{11} T^{27} + 51999 p^{12} T^{28} - 1803 p^{13} T^{29} + 323 p^{14} T^{30} - 6 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 67 | \( 1 - 16 T + 766 T^{2} - 9522 T^{3} + 266198 T^{4} - 2737347 T^{5} + 58496417 T^{6} - 519287669 T^{7} + 9388084842 T^{8} - 74027457819 T^{9} + 1185159368461 T^{10} - 8444953971409 T^{11} + 122332956376634 T^{12} - 795520428449380 T^{13} + 10542611262284876 T^{14} - 62937864816399986 T^{15} + 767216039759836106 T^{16} - 62937864816399986 p T^{17} + 10542611262284876 p^{2} T^{18} - 795520428449380 p^{3} T^{19} + 122332956376634 p^{4} T^{20} - 8444953971409 p^{5} T^{21} + 1185159368461 p^{6} T^{22} - 74027457819 p^{7} T^{23} + 9388084842 p^{8} T^{24} - 519287669 p^{9} T^{25} + 58496417 p^{10} T^{26} - 2737347 p^{11} T^{27} + 266198 p^{12} T^{28} - 9522 p^{13} T^{29} + 766 p^{14} T^{30} - 16 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 71 | \( 1 + 46 T + 1696 T^{2} + 44053 T^{3} + 1001168 T^{4} + 19136619 T^{5} + 332551066 T^{6} + 5155299858 T^{7} + 74144424281 T^{8} + 977582113019 T^{9} + 12099134092469 T^{10} + 139298259299498 T^{11} + 1516078883966442 T^{12} + 15474989005321276 T^{13} + 29741722290229 p^{2} T^{14} + 1368030361292835759 T^{15} + 11870282787987010192 T^{16} + 1368030361292835759 p T^{17} + 29741722290229 p^{4} T^{18} + 15474989005321276 p^{3} T^{19} + 1516078883966442 p^{4} T^{20} + 139298259299498 p^{5} T^{21} + 12099134092469 p^{6} T^{22} + 977582113019 p^{7} T^{23} + 74144424281 p^{8} T^{24} + 5155299858 p^{9} T^{25} + 332551066 p^{10} T^{26} + 19136619 p^{11} T^{27} + 1001168 p^{12} T^{28} + 44053 p^{13} T^{29} + 1696 p^{14} T^{30} + 46 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 73 | \( 1 - 39 T + 1449 T^{2} - 35633 T^{3} + 819016 T^{4} - 15354005 T^{5} + 270847213 T^{6} - 4181000932 T^{7} + 61166945860 T^{8} - 808996878016 T^{9} + 10194855445346 T^{10} - 118177368250479 T^{11} + 1310024305648818 T^{12} - 13487234128627491 T^{13} + 133088301010306108 T^{14} - 1225754844226755877 T^{15} + 10832013228567582618 T^{16} - 1225754844226755877 p T^{17} + 133088301010306108 p^{2} T^{18} - 13487234128627491 p^{3} T^{19} + 1310024305648818 p^{4} T^{20} - 118177368250479 p^{5} T^{21} + 10194855445346 p^{6} T^{22} - 808996878016 p^{7} T^{23} + 61166945860 p^{8} T^{24} - 4181000932 p^{9} T^{25} + 270847213 p^{10} T^{26} - 15354005 p^{11} T^{27} + 819016 p^{12} T^{28} - 35633 p^{13} T^{29} + 1449 p^{14} T^{30} - 39 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 79 | \( 1 - 4 T + 523 T^{2} - 2502 T^{3} + 139646 T^{4} - 789723 T^{5} + 25317681 T^{6} - 164597190 T^{7} + 3543641120 T^{8} - 25365204188 T^{9} + 414143422875 T^{10} - 3092572364282 T^{11} + 42450546057593 T^{12} - 314223074160542 T^{13} + 3907176098450002 T^{14} - 27774453730301147 T^{15} + 324801875822633630 T^{16} - 27774453730301147 p T^{17} + 3907176098450002 p^{2} T^{18} - 314223074160542 p^{3} T^{19} + 42450546057593 p^{4} T^{20} - 3092572364282 p^{5} T^{21} + 414143422875 p^{6} T^{22} - 25365204188 p^{7} T^{23} + 3543641120 p^{8} T^{24} - 164597190 p^{9} T^{25} + 25317681 p^{10} T^{26} - 789723 p^{11} T^{27} + 139646 p^{12} T^{28} - 2502 p^{13} T^{29} + 523 p^{14} T^{30} - 4 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 83 | \( 1 + 15 T + 838 T^{2} + 11765 T^{3} + 347274 T^{4} + 4483083 T^{5} + 94328215 T^{6} + 1114931415 T^{7} + 18851537694 T^{8} + 204626105391 T^{9} + 2955643532351 T^{10} + 29598435804255 T^{11} + 378062838968094 T^{12} + 42189385643635 p T^{13} + 40369874910747532 T^{14} + 345564045988135983 T^{15} + 3640146863496575154 T^{16} + 345564045988135983 p T^{17} + 40369874910747532 p^{2} T^{18} + 42189385643635 p^{4} T^{19} + 378062838968094 p^{4} T^{20} + 29598435804255 p^{5} T^{21} + 2955643532351 p^{6} T^{22} + 204626105391 p^{7} T^{23} + 18851537694 p^{8} T^{24} + 1114931415 p^{9} T^{25} + 94328215 p^{10} T^{26} + 4483083 p^{11} T^{27} + 347274 p^{12} T^{28} + 11765 p^{13} T^{29} + 838 p^{14} T^{30} + 15 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 89 | \( 1 - T + 543 T^{2} + 671 T^{3} + 152533 T^{4} + 517635 T^{5} + 30165176 T^{6} + 157224139 T^{7} + 4823063548 T^{8} + 30855005869 T^{9} + 665165199182 T^{10} + 4562642804149 T^{11} + 80959528623427 T^{12} + 549124327434249 T^{13} + 8716291116419723 T^{14} + 56211725364021865 T^{15} + 827104459422306710 T^{16} + 56211725364021865 p T^{17} + 8716291116419723 p^{2} T^{18} + 549124327434249 p^{3} T^{19} + 80959528623427 p^{4} T^{20} + 4562642804149 p^{5} T^{21} + 665165199182 p^{6} T^{22} + 30855005869 p^{7} T^{23} + 4823063548 p^{8} T^{24} + 157224139 p^{9} T^{25} + 30165176 p^{10} T^{26} + 517635 p^{11} T^{27} + 152533 p^{12} T^{28} + 671 p^{13} T^{29} + 543 p^{14} T^{30} - p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| 97 | \( 1 - 41 T + 1499 T^{2} - 38587 T^{3} + 902626 T^{4} - 17930470 T^{5} + 329984509 T^{6} - 5477364638 T^{7} + 85335761433 T^{8} - 1232122907558 T^{9} + 16844252420378 T^{10} - 216472222887038 T^{11} + 2649198951432652 T^{12} - 30719144250882281 T^{13} + 340398004753863806 T^{14} - 3588518828385646187 T^{15} + 36211946895519678800 T^{16} - 3588518828385646187 p T^{17} + 340398004753863806 p^{2} T^{18} - 30719144250882281 p^{3} T^{19} + 2649198951432652 p^{4} T^{20} - 216472222887038 p^{5} T^{21} + 16844252420378 p^{6} T^{22} - 1232122907558 p^{7} T^{23} + 85335761433 p^{8} T^{24} - 5477364638 p^{9} T^{25} + 329984509 p^{10} T^{26} - 17930470 p^{11} T^{27} + 902626 p^{12} T^{28} - 38587 p^{13} T^{29} + 1499 p^{14} T^{30} - 41 p^{15} T^{31} + p^{16} T^{32} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.30494108515338821678894841403, −2.09777116581472295400036952388, −2.07165162705821014007132020350, −2.06720410513017576848885088720, −2.02241749921676254492546844919, −2.01398286060592675017057529030, −1.99535073112783139247900384955, −1.89953067478439023793761105955, −1.76246344263137157951694125715, −1.74460808437066896212049488996, −1.63349567287706024824639619902, −1.61459067502042790587790657073, −1.41158422614610711790593003459, −1.38951589055103835488383586935, −1.24917257554006876973528623561, −1.24281503990345091351649064209, −1.22872808577451624965254824632, −1.11846487088027115600647743453, −1.10685461225756400494612377115, −1.09405676251888750178416545756, −1.06506476047545168073575219619, −0.986860515291410759584333709491, −0.879442622436091729381066234925, −0.845250678940197524652540923616, −0.841265845204250158921798730338, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.841265845204250158921798730338, 0.845250678940197524652540923616, 0.879442622436091729381066234925, 0.986860515291410759584333709491, 1.06506476047545168073575219619, 1.09405676251888750178416545756, 1.10685461225756400494612377115, 1.11846487088027115600647743453, 1.22872808577451624965254824632, 1.24281503990345091351649064209, 1.24917257554006876973528623561, 1.38951589055103835488383586935, 1.41158422614610711790593003459, 1.61459067502042790587790657073, 1.63349567287706024824639619902, 1.74460808437066896212049488996, 1.76246344263137157951694125715, 1.89953067478439023793761105955, 1.99535073112783139247900384955, 2.01398286060592675017057529030, 2.02241749921676254492546844919, 2.06720410513017576848885088720, 2.07165162705821014007132020350, 2.09777116581472295400036952388, 2.30494108515338821678894841403
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.