Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 8·4-s − 7·5-s − 15·7-s − 14·11-s + 6·13-s + 30·16-s − 10·17-s + 13·19-s + 56·20-s − 15·23-s − 13·25-s + 120·28-s − 16·29-s + 22·31-s + 105·35-s − 14·37-s − 19·41-s − 43-s + 112·44-s − 49·47-s + 120·49-s − 48·52-s + 28·53-s + 98·55-s − 43·59-s + 27·61-s − 73·64-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 4·4-s − 3.13·5-s − 5.66·7-s − 4.22·11-s + 1.66·13-s + 15/2·16-s − 2.42·17-s + 2.98·19-s + 12.5·20-s − 3.12·23-s − 2.59·25-s + 22.6·28-s − 2.97·29-s + 3.95·31-s + 17.7·35-s − 2.30·37-s − 2.96·41-s − 0.152·43-s + 16.8·44-s − 7.14·47-s + 17.1·49-s − 6.65·52-s + 3.84·53-s + 13.2·55-s − 5.59·59-s + 3.45·61-s − 9.12·64-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{30} \cdot 7^{15} \cdot 127^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{30} \cdot 7^{15} \cdot 127^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(3^{30} \cdot 7^{15} \cdot 127^{15}\) |
| Sign: | $-1$ |
| Analytic conductor: | \(1.20592\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(7.99301\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(15\) |
| Selberg data: | \((30,\ 3^{30} \cdot 7^{15} \cdot 127^{15} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ -1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( 1 \) |
| 7 | \( ( 1 + T )^{15} \) | |
| 127 | \( ( 1 - T )^{15} \) | |
| good | 2 | \( 1 + p^{3} T^{2} + 17 p T^{4} + 105 T^{6} - 7 T^{7} + 139 p T^{8} - 3 p^{4} T^{9} + 671 T^{10} - 201 T^{11} + 371 p^{2} T^{12} - 631 T^{13} + 3081 T^{14} - 1473 T^{15} + 3081 p T^{16} - 631 p^{2} T^{17} + 371 p^{5} T^{18} - 201 p^{4} T^{19} + 671 p^{5} T^{20} - 3 p^{10} T^{21} + 139 p^{8} T^{22} - 7 p^{8} T^{23} + 105 p^{9} T^{24} + 17 p^{12} T^{26} + p^{16} T^{28} + p^{15} T^{30} \) |
| 5 | \( 1 + 7 T + 62 T^{2} + 323 T^{3} + 1738 T^{4} + 7382 T^{5} + 30572 T^{6} + 110791 T^{7} + 384068 T^{8} + 1219524 T^{9} + 3681308 T^{10} + 10409846 T^{11} + 27934651 T^{12} + 71019999 T^{13} + 171277768 T^{14} + 393239734 T^{15} + 171277768 p T^{16} + 71019999 p^{2} T^{17} + 27934651 p^{3} T^{18} + 10409846 p^{4} T^{19} + 3681308 p^{5} T^{20} + 1219524 p^{6} T^{21} + 384068 p^{7} T^{22} + 110791 p^{8} T^{23} + 30572 p^{9} T^{24} + 7382 p^{10} T^{25} + 1738 p^{11} T^{26} + 323 p^{12} T^{27} + 62 p^{13} T^{28} + 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 11 | \( 1 + 14 T + 167 T^{2} + 1413 T^{3} + 10646 T^{4} + 68458 T^{5} + 403828 T^{6} + 2160209 T^{7} + 10789709 T^{8} + 50218601 T^{9} + 220459489 T^{10} + 914244521 T^{11} + 3596539995 T^{12} + 1223627281 p T^{13} + 47930979387 T^{14} + 162887274074 T^{15} + 47930979387 p T^{16} + 1223627281 p^{3} T^{17} + 3596539995 p^{3} T^{18} + 914244521 p^{4} T^{19} + 220459489 p^{5} T^{20} + 50218601 p^{6} T^{21} + 10789709 p^{7} T^{22} + 2160209 p^{8} T^{23} + 403828 p^{9} T^{24} + 68458 p^{10} T^{25} + 10646 p^{11} T^{26} + 1413 p^{12} T^{27} + 167 p^{13} T^{28} + 14 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 - 6 T + 133 T^{2} - 774 T^{3} + 8561 T^{4} - 47366 T^{5} + 355898 T^{6} - 1836543 T^{7} + 10757093 T^{8} - 50957299 T^{9} + 252119588 T^{10} - 1085754117 T^{11} + 366436597 p T^{12} - 18617446491 T^{13} + 74253115613 T^{14} - 264522490424 T^{15} + 74253115613 p T^{16} - 18617446491 p^{2} T^{17} + 366436597 p^{4} T^{18} - 1085754117 p^{4} T^{19} + 252119588 p^{5} T^{20} - 50957299 p^{6} T^{21} + 10757093 p^{7} T^{22} - 1836543 p^{8} T^{23} + 355898 p^{9} T^{24} - 47366 p^{10} T^{25} + 8561 p^{11} T^{26} - 774 p^{12} T^{27} + 133 p^{13} T^{28} - 6 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 17 | \( 1 + 10 T + 207 T^{2} + 1775 T^{3} + 20208 T^{4} + 150815 T^{5} + 1244627 T^{6} + 8171636 T^{7} + 54477014 T^{8} + 317264820 T^{9} + 1805939268 T^{10} + 9392982639 T^{11} + 47074285810 T^{12} + 12933479393 p T^{13} + 985970961441 T^{14} + 4149634681808 T^{15} + 985970961441 p T^{16} + 12933479393 p^{3} T^{17} + 47074285810 p^{3} T^{18} + 9392982639 p^{4} T^{19} + 1805939268 p^{5} T^{20} + 317264820 p^{6} T^{21} + 54477014 p^{7} T^{22} + 8171636 p^{8} T^{23} + 1244627 p^{9} T^{24} + 150815 p^{10} T^{25} + 20208 p^{11} T^{26} + 1775 p^{12} T^{27} + 207 p^{13} T^{28} + 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 19 | \( 1 - 13 T + 242 T^{2} - 2450 T^{3} + 27197 T^{4} - 226930 T^{5} + 1919820 T^{6} - 13675328 T^{7} + 96099554 T^{8} - 597938602 T^{9} + 3632296392 T^{10} - 20032584862 T^{11} + 107415475528 T^{12} - 529641457367 T^{13} + 2534855671164 T^{14} - 11217526412978 T^{15} + 2534855671164 p T^{16} - 529641457367 p^{2} T^{17} + 107415475528 p^{3} T^{18} - 20032584862 p^{4} T^{19} + 3632296392 p^{5} T^{20} - 597938602 p^{6} T^{21} + 96099554 p^{7} T^{22} - 13675328 p^{8} T^{23} + 1919820 p^{9} T^{24} - 226930 p^{10} T^{25} + 27197 p^{11} T^{26} - 2450 p^{12} T^{27} + 242 p^{13} T^{28} - 13 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 23 | \( 1 + 15 T + 319 T^{2} + 3514 T^{3} + 43459 T^{4} + 379903 T^{5} + 3477374 T^{6} + 25218919 T^{7} + 186966261 T^{8} + 1160793560 T^{9} + 7337809832 T^{10} + 40158240336 T^{11} + 225676584167 T^{12} + 1125042894714 T^{13} + 5842956250911 T^{14} + 27348850752266 T^{15} + 5842956250911 p T^{16} + 1125042894714 p^{2} T^{17} + 225676584167 p^{3} T^{18} + 40158240336 p^{4} T^{19} + 7337809832 p^{5} T^{20} + 1160793560 p^{6} T^{21} + 186966261 p^{7} T^{22} + 25218919 p^{8} T^{23} + 3477374 p^{9} T^{24} + 379903 p^{10} T^{25} + 43459 p^{11} T^{26} + 3514 p^{12} T^{27} + 319 p^{13} T^{28} + 15 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 + 16 T + 379 T^{2} + 4614 T^{3} + 64307 T^{4} + 640183 T^{5} + 6718538 T^{6} + 56998817 T^{7} + 493332872 T^{8} + 3661907872 T^{9} + 27353673352 T^{10} + 180793063122 T^{11} + 1196007936757 T^{12} + 7118154232879 T^{13} + 42323896693918 T^{14} + 228075963529810 T^{15} + 42323896693918 p T^{16} + 7118154232879 p^{2} T^{17} + 1196007936757 p^{3} T^{18} + 180793063122 p^{4} T^{19} + 27353673352 p^{5} T^{20} + 3661907872 p^{6} T^{21} + 493332872 p^{7} T^{22} + 56998817 p^{8} T^{23} + 6718538 p^{9} T^{24} + 640183 p^{10} T^{25} + 64307 p^{11} T^{26} + 4614 p^{12} T^{27} + 379 p^{13} T^{28} + 16 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 - 22 T + 474 T^{2} - 7120 T^{3} + 96914 T^{4} - 1130351 T^{5} + 12021443 T^{6} - 115999913 T^{7} + 1034977627 T^{8} - 8563103055 T^{9} + 66223444534 T^{10} - 479776903952 T^{11} + 3271499383577 T^{12} - 21006345812376 T^{13} + 127423644360050 T^{14} - 729507315777320 T^{15} + 127423644360050 p T^{16} - 21006345812376 p^{2} T^{17} + 3271499383577 p^{3} T^{18} - 479776903952 p^{4} T^{19} + 66223444534 p^{5} T^{20} - 8563103055 p^{6} T^{21} + 1034977627 p^{7} T^{22} - 115999913 p^{8} T^{23} + 12021443 p^{9} T^{24} - 1130351 p^{10} T^{25} + 96914 p^{11} T^{26} - 7120 p^{12} T^{27} + 474 p^{13} T^{28} - 22 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 + 14 T + 288 T^{2} + 2748 T^{3} + 35324 T^{4} + 7332 p T^{5} + 2852101 T^{6} + 19453960 T^{7} + 185158539 T^{8} + 1173233154 T^{9} + 10308679891 T^{10} + 60801417791 T^{11} + 494016436494 T^{12} + 2714240787458 T^{13} + 20617596357650 T^{14} + 106455120276378 T^{15} + 20617596357650 p T^{16} + 2714240787458 p^{2} T^{17} + 494016436494 p^{3} T^{18} + 60801417791 p^{4} T^{19} + 10308679891 p^{5} T^{20} + 1173233154 p^{6} T^{21} + 185158539 p^{7} T^{22} + 19453960 p^{8} T^{23} + 2852101 p^{9} T^{24} + 7332 p^{11} T^{25} + 35324 p^{11} T^{26} + 2748 p^{12} T^{27} + 288 p^{13} T^{28} + 14 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 + 19 T + 532 T^{2} + 7338 T^{3} + 121645 T^{4} + 1345432 T^{5} + 16855523 T^{6} + 157724050 T^{7} + 1637222589 T^{8} + 13397789210 T^{9} + 120864639297 T^{10} + 884486368766 T^{11} + 7136153432277 T^{12} + 47424413455885 T^{13} + 348181555651272 T^{14} + 2119997251802376 T^{15} + 348181555651272 p T^{16} + 47424413455885 p^{2} T^{17} + 7136153432277 p^{3} T^{18} + 884486368766 p^{4} T^{19} + 120864639297 p^{5} T^{20} + 13397789210 p^{6} T^{21} + 1637222589 p^{7} T^{22} + 157724050 p^{8} T^{23} + 16855523 p^{9} T^{24} + 1345432 p^{10} T^{25} + 121645 p^{11} T^{26} + 7338 p^{12} T^{27} + 532 p^{13} T^{28} + 19 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 + T + 330 T^{2} + 38 T^{3} + 53720 T^{4} - 28248 T^{5} + 5826528 T^{6} - 5492086 T^{7} + 478656266 T^{8} - 552517270 T^{9} + 31981624259 T^{10} - 38704211440 T^{11} + 1811181410982 T^{12} - 2134620863615 T^{13} + 88930689853300 T^{14} - 98993796885108 T^{15} + 88930689853300 p T^{16} - 2134620863615 p^{2} T^{17} + 1811181410982 p^{3} T^{18} - 38704211440 p^{4} T^{19} + 31981624259 p^{5} T^{20} - 552517270 p^{6} T^{21} + 478656266 p^{7} T^{22} - 5492086 p^{8} T^{23} + 5826528 p^{9} T^{24} - 28248 p^{10} T^{25} + 53720 p^{11} T^{26} + 38 p^{12} T^{27} + 330 p^{13} T^{28} + p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 + 49 T + 1434 T^{2} + 30746 T^{3} + 11438 p T^{4} + 8047024 T^{5} + 106717719 T^{6} + 1278768232 T^{7} + 14052035680 T^{8} + 142912564543 T^{9} + 1355206857946 T^{10} + 12040876058313 T^{11} + 100648277341743 T^{12} + 793498139366530 T^{13} + 125791421533993 p T^{14} + 41665525117345972 T^{15} + 125791421533993 p^{2} T^{16} + 793498139366530 p^{2} T^{17} + 100648277341743 p^{3} T^{18} + 12040876058313 p^{4} T^{19} + 1355206857946 p^{5} T^{20} + 142912564543 p^{6} T^{21} + 14052035680 p^{7} T^{22} + 1278768232 p^{8} T^{23} + 106717719 p^{9} T^{24} + 8047024 p^{10} T^{25} + 11438 p^{12} T^{26} + 30746 p^{12} T^{27} + 1434 p^{13} T^{28} + 49 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 - 28 T + 893 T^{2} - 17122 T^{3} + 331666 T^{4} - 4977591 T^{5} + 73393432 T^{6} - 916167356 T^{7} + 11140949120 T^{8} - 119513436347 T^{9} + 1245525940040 T^{10} - 11699341693109 T^{11} + 106674030249872 T^{12} - 886636387615880 T^{13} + 7152223363507572 T^{14} - 52854190040185918 T^{15} + 7152223363507572 p T^{16} - 886636387615880 p^{2} T^{17} + 106674030249872 p^{3} T^{18} - 11699341693109 p^{4} T^{19} + 1245525940040 p^{5} T^{20} - 119513436347 p^{6} T^{21} + 11140949120 p^{7} T^{22} - 916167356 p^{8} T^{23} + 73393432 p^{9} T^{24} - 4977591 p^{10} T^{25} + 331666 p^{11} T^{26} - 17122 p^{12} T^{27} + 893 p^{13} T^{28} - 28 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 + 43 T + 1156 T^{2} + 22561 T^{3} + 359863 T^{4} + 4876122 T^{5} + 58319530 T^{6} + 625342312 T^{7} + 6122995252 T^{8} + 55250448075 T^{9} + 465868338618 T^{10} + 3708053643183 T^{11} + 28343891411622 T^{12} + 211583215348728 T^{13} + 1579066430020326 T^{14} + 11974711862120544 T^{15} + 1579066430020326 p T^{16} + 211583215348728 p^{2} T^{17} + 28343891411622 p^{3} T^{18} + 3708053643183 p^{4} T^{19} + 465868338618 p^{5} T^{20} + 55250448075 p^{6} T^{21} + 6122995252 p^{7} T^{22} + 625342312 p^{8} T^{23} + 58319530 p^{9} T^{24} + 4876122 p^{10} T^{25} + 359863 p^{11} T^{26} + 22561 p^{12} T^{27} + 1156 p^{13} T^{28} + 43 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 27 T + 721 T^{2} - 11873 T^{3} + 185956 T^{4} - 2263878 T^{5} + 26233158 T^{6} - 256288316 T^{7} + 2354109666 T^{8} - 18705554295 T^{9} + 133271191906 T^{10} - 807430101147 T^{11} + 3693776056040 T^{12} - 11284956262802 T^{13} - 39808083940908 T^{14} + 467116003789060 T^{15} - 39808083940908 p T^{16} - 11284956262802 p^{2} T^{17} + 3693776056040 p^{3} T^{18} - 807430101147 p^{4} T^{19} + 133271191906 p^{5} T^{20} - 18705554295 p^{6} T^{21} + 2354109666 p^{7} T^{22} - 256288316 p^{8} T^{23} + 26233158 p^{9} T^{24} - 2263878 p^{10} T^{25} + 185956 p^{11} T^{26} - 11873 p^{12} T^{27} + 721 p^{13} T^{28} - 27 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 - 3 T + 576 T^{2} - 2705 T^{3} + 166067 T^{4} - 1024378 T^{5} + 32254475 T^{6} - 231648370 T^{7} + 4766074801 T^{8} - 36195460120 T^{9} + 566959421282 T^{10} - 4232810253731 T^{11} + 55503986966566 T^{12} - 388903213413955 T^{13} + 4495264645998566 T^{14} - 28860521166489764 T^{15} + 4495264645998566 p T^{16} - 388903213413955 p^{2} T^{17} + 55503986966566 p^{3} T^{18} - 4232810253731 p^{4} T^{19} + 566959421282 p^{5} T^{20} - 36195460120 p^{6} T^{21} + 4766074801 p^{7} T^{22} - 231648370 p^{8} T^{23} + 32254475 p^{9} T^{24} - 1024378 p^{10} T^{25} + 166067 p^{11} T^{26} - 2705 p^{12} T^{27} + 576 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 + 55 T + 2072 T^{2} + 56220 T^{3} + 1261178 T^{4} + 23751782 T^{5} + 393120384 T^{6} + 5760964589 T^{7} + 76536328702 T^{8} + 926256666977 T^{9} + 10380978809587 T^{10} + 108218029385410 T^{11} + 1064396494086232 T^{12} + 9918377198060630 T^{13} + 88623617446446226 T^{14} + 759902916103906834 T^{15} + 88623617446446226 p T^{16} + 9918377198060630 p^{2} T^{17} + 1064396494086232 p^{3} T^{18} + 108218029385410 p^{4} T^{19} + 10380978809587 p^{5} T^{20} + 926256666977 p^{6} T^{21} + 76536328702 p^{7} T^{22} + 5760964589 p^{8} T^{23} + 393120384 p^{9} T^{24} + 23751782 p^{10} T^{25} + 1261178 p^{11} T^{26} + 56220 p^{12} T^{27} + 2072 p^{13} T^{28} + 55 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 + 3 T + 598 T^{2} - 153 T^{3} + 164770 T^{4} - 611311 T^{5} + 29401478 T^{6} - 206330032 T^{7} + 4115534744 T^{8} - 37479019847 T^{9} + 503329722743 T^{10} - 4641410795609 T^{11} + 54066551464868 T^{12} - 441674923905531 T^{13} + 4868516952319638 T^{14} - 34879506586221136 T^{15} + 4868516952319638 p T^{16} - 441674923905531 p^{2} T^{17} + 54066551464868 p^{3} T^{18} - 4641410795609 p^{4} T^{19} + 503329722743 p^{5} T^{20} - 37479019847 p^{6} T^{21} + 4115534744 p^{7} T^{22} - 206330032 p^{8} T^{23} + 29401478 p^{9} T^{24} - 611311 p^{10} T^{25} + 164770 p^{11} T^{26} - 153 p^{12} T^{27} + 598 p^{13} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 - 18 T + 460 T^{2} - 6687 T^{3} + 116374 T^{4} - 1391891 T^{5} + 19636756 T^{6} - 205932437 T^{7} + 2497929957 T^{8} - 23266932306 T^{9} + 257455206682 T^{10} - 2178022362864 T^{11} + 22652395170843 T^{12} - 180936380619929 T^{13} + 1844016490716529 T^{14} - 14307814705947112 T^{15} + 1844016490716529 p T^{16} - 180936380619929 p^{2} T^{17} + 22652395170843 p^{3} T^{18} - 2178022362864 p^{4} T^{19} + 257455206682 p^{5} T^{20} - 23266932306 p^{6} T^{21} + 2497929957 p^{7} T^{22} - 205932437 p^{8} T^{23} + 19636756 p^{9} T^{24} - 1391891 p^{10} T^{25} + 116374 p^{11} T^{26} - 6687 p^{12} T^{27} + 460 p^{13} T^{28} - 18 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 + 17 T + 548 T^{2} + 7235 T^{3} + 159717 T^{4} + 1868913 T^{5} + 32854279 T^{6} + 344359561 T^{7} + 5233963035 T^{8} + 50310979703 T^{9} + 683634439156 T^{10} + 6066266298761 T^{11} + 75529628557040 T^{12} + 624497670828251 T^{13} + 7199668162970602 T^{14} + 55521239292649406 T^{15} + 7199668162970602 p T^{16} + 624497670828251 p^{2} T^{17} + 75529628557040 p^{3} T^{18} + 6066266298761 p^{4} T^{19} + 683634439156 p^{5} T^{20} + 50310979703 p^{6} T^{21} + 5233963035 p^{7} T^{22} + 344359561 p^{8} T^{23} + 32854279 p^{9} T^{24} + 1868913 p^{10} T^{25} + 159717 p^{11} T^{26} + 7235 p^{12} T^{27} + 548 p^{13} T^{28} + 17 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 + 36 T + 1309 T^{2} + 32167 T^{3} + 741397 T^{4} + 14246239 T^{5} + 256274512 T^{6} + 4104163126 T^{7} + 61882765454 T^{8} + 854773274590 T^{9} + 11174770511625 T^{10} + 135771629168046 T^{11} + 1567154404772610 T^{12} + 16936566839775001 T^{13} + 174266534670496584 T^{14} + 1684298621219882344 T^{15} + 174266534670496584 p T^{16} + 16936566839775001 p^{2} T^{17} + 1567154404772610 p^{3} T^{18} + 135771629168046 p^{4} T^{19} + 11174770511625 p^{5} T^{20} + 854773274590 p^{6} T^{21} + 61882765454 p^{7} T^{22} + 4104163126 p^{8} T^{23} + 256274512 p^{9} T^{24} + 14246239 p^{10} T^{25} + 741397 p^{11} T^{26} + 32167 p^{12} T^{27} + 1309 p^{13} T^{28} + 36 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 + 2 T + 916 T^{2} + 635 T^{3} + 412628 T^{4} - 81694 T^{5} + 123034822 T^{6} - 92508076 T^{7} + 27263497789 T^{8} - 29074002036 T^{9} + 4750843331690 T^{10} - 5774001717499 T^{11} + 671586651094183 T^{12} - 833726764140702 T^{13} + 78347351598109205 T^{14} - 91916345086808106 T^{15} + 78347351598109205 p T^{16} - 833726764140702 p^{2} T^{17} + 671586651094183 p^{3} T^{18} - 5774001717499 p^{4} T^{19} + 4750843331690 p^{5} T^{20} - 29074002036 p^{6} T^{21} + 27263497789 p^{7} T^{22} - 92508076 p^{8} T^{23} + 123034822 p^{9} T^{24} - 81694 p^{10} T^{25} + 412628 p^{11} T^{26} + 635 p^{12} T^{27} + 916 p^{13} T^{28} + 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.43656491703378826447533057125, −2.43609409006422828614666826536, −2.33658292631517206702639369034, −2.13273331981789788086963279573, −2.03280165861727823148288859277, −2.01192705644095205267528885149, −2.00600429797379613045303747232, −1.92167799124452002490404258866, −1.87715281365477109109653670399, −1.86286201576710699103293567569, −1.85712466030492440425469769987, −1.84881910490613130034532373051, −1.77789982156930920251468064004, −1.40658512589450135471306099959, −1.33920919979949778972273399981, −1.28529816939152074980905417913, −1.18796624391771415891755380632, −1.18252691627433909880581280637, −1.07343164570583139769589551979, −1.03344134568438868451810492023, −0.996419666260178457603302990898, −0.910878512888599325880069065875, −0.877335465664038184430943886279, −0.869675197856163341012637053505, −0.65975577139268783243106306102, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.65975577139268783243106306102, 0.869675197856163341012637053505, 0.877335465664038184430943886279, 0.910878512888599325880069065875, 0.996419666260178457603302990898, 1.03344134568438868451810492023, 1.07343164570583139769589551979, 1.18252691627433909880581280637, 1.18796624391771415891755380632, 1.28529816939152074980905417913, 1.33920919979949778972273399981, 1.40658512589450135471306099959, 1.77789982156930920251468064004, 1.84881910490613130034532373051, 1.85712466030492440425469769987, 1.86286201576710699103293567569, 1.87715281365477109109653670399, 1.92167799124452002490404258866, 2.00600429797379613045303747232, 2.01192705644095205267528885149, 2.03280165861727823148288859277, 2.13273331981789788086963279573, 2.33658292631517206702639369034, 2.43609409006422828614666826536, 2.43656491703378826447533057125
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.