Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 2·2-s − 17·3-s − 5·4-s + 17·5-s − 34·6-s + 18·7-s − 11·8-s + 153·9-s + 34·10-s + 3·11-s + 85·12-s + 17·13-s + 36·14-s − 289·15-s + 11·16-s + 306·18-s + 10·19-s − 85·20-s − 306·21-s + 6·22-s + 16·23-s + 187·24-s + 153·25-s + 34·26-s − 969·27-s − 90·28-s − 3·29-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 1.41·2-s − 9.81·3-s − 5/2·4-s + 7.60·5-s − 13.8·6-s + 6.80·7-s − 3.88·8-s + 51·9-s + 10.7·10-s + 0.904·11-s + 24.5·12-s + 4.71·13-s + 9.62·14-s − 74.6·15-s + 11/4·16-s + 72.1·18-s + 2.29·19-s − 19.0·20-s − 66.7·21-s + 1.27·22-s + 3.33·23-s + 38.1·24-s + 30.5·25-s + 6.66·26-s − 186.·27-s − 17.0·28-s − 0.557·29-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 5^{17} \cdot 13^{17} \cdot 31^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{17} \cdot 5^{17} \cdot 13^{17} \cdot 31^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(3^{17} \cdot 5^{17} \cdot 13^{17} \cdot 31^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.19225\times 10^{28}\) |
| Root analytic conductor: | \(6.94763\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 3^{17} \cdot 5^{17} \cdot 13^{17} \cdot 31^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(6613.022969\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(6613.022969\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 + T )^{17} \) |
| 5 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| 13 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| 31 | \( ( 1 - T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - p T + 9 T^{2} - 17 T^{3} + 23 p T^{4} - 81 T^{5} + 173 T^{6} - 71 p^{2} T^{7} + 135 p^{2} T^{8} - 825 T^{9} + 185 p^{3} T^{10} - 2141 T^{11} + 3653 T^{12} - 2533 p T^{13} + 2059 p^{2} T^{14} - 2769 p^{2} T^{15} + 8667 p T^{16} - 2845 p^{3} T^{17} + 8667 p^{2} T^{18} - 2769 p^{4} T^{19} + 2059 p^{5} T^{20} - 2533 p^{5} T^{21} + 3653 p^{5} T^{22} - 2141 p^{6} T^{23} + 185 p^{10} T^{24} - 825 p^{8} T^{25} + 135 p^{11} T^{26} - 71 p^{12} T^{27} + 173 p^{11} T^{28} - 81 p^{12} T^{29} + 23 p^{14} T^{30} - 17 p^{14} T^{31} + 9 p^{15} T^{32} - p^{17} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 7 | \( 1 - 18 T + 206 T^{2} - 1731 T^{3} + 11913 T^{4} - 69754 T^{5} + 359752 T^{6} - 1664599 T^{7} + 7033205 T^{8} - 3923223 p T^{9} + 100255355 T^{10} - 345218168 T^{11} + 1130172584 T^{12} - 3538199787 T^{13} + 10638418997 T^{14} - 4400085506 p T^{15} + 85984427551 T^{16} - 231593372880 T^{17} + 85984427551 p T^{18} - 4400085506 p^{3} T^{19} + 10638418997 p^{3} T^{20} - 3538199787 p^{4} T^{21} + 1130172584 p^{5} T^{22} - 345218168 p^{6} T^{23} + 100255355 p^{7} T^{24} - 3923223 p^{9} T^{25} + 7033205 p^{9} T^{26} - 1664599 p^{10} T^{27} + 359752 p^{11} T^{28} - 69754 p^{12} T^{29} + 11913 p^{13} T^{30} - 1731 p^{14} T^{31} + 206 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 3 T + 69 T^{2} - 196 T^{3} + 2559 T^{4} - 6371 T^{5} + 63903 T^{6} - 131084 T^{7} + 1178333 T^{8} - 1771155 T^{9} + 16886960 T^{10} - 13498915 T^{11} + 195733792 T^{12} + 22235977 T^{13} + 1954512904 T^{14} + 2285206971 T^{15} + 18991083295 T^{16} + 34825013312 T^{17} + 18991083295 p T^{18} + 2285206971 p^{2} T^{19} + 1954512904 p^{3} T^{20} + 22235977 p^{4} T^{21} + 195733792 p^{5} T^{22} - 13498915 p^{6} T^{23} + 16886960 p^{7} T^{24} - 1771155 p^{8} T^{25} + 1178333 p^{9} T^{26} - 131084 p^{10} T^{27} + 63903 p^{11} T^{28} - 6371 p^{12} T^{29} + 2559 p^{13} T^{30} - 196 p^{14} T^{31} + 69 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 95 T^{2} + 116 T^{3} + 4790 T^{4} + 660 p T^{5} + 177539 T^{6} + 573158 T^{7} + 5461282 T^{8} + 20548805 T^{9} + 147124628 T^{10} + 579451110 T^{11} + 3519626141 T^{12} + 13740026928 T^{13} + 74787768266 T^{14} + 283103223456 T^{15} + 1418518270090 T^{16} + 5126107033006 T^{17} + 1418518270090 p T^{18} + 283103223456 p^{2} T^{19} + 74787768266 p^{3} T^{20} + 13740026928 p^{4} T^{21} + 3519626141 p^{5} T^{22} + 579451110 p^{6} T^{23} + 147124628 p^{7} T^{24} + 20548805 p^{8} T^{25} + 5461282 p^{9} T^{26} + 573158 p^{10} T^{27} + 177539 p^{11} T^{28} + 660 p^{13} T^{29} + 4790 p^{13} T^{30} + 116 p^{14} T^{31} + 95 p^{15} T^{32} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 - 10 T + 234 T^{2} - 2064 T^{3} + 27012 T^{4} - 210502 T^{5} + 2028477 T^{6} - 14072190 T^{7} + 110732557 T^{8} - 689842134 T^{9} + 4662930766 T^{10} - 26287376786 T^{11} + 8262205794 p T^{12} - 805408431460 T^{13} + 4320326816631 T^{14} - 20239872690700 T^{15} + 98488791031084 T^{16} - 421650713872052 T^{17} + 98488791031084 p T^{18} - 20239872690700 p^{2} T^{19} + 4320326816631 p^{3} T^{20} - 805408431460 p^{4} T^{21} + 8262205794 p^{6} T^{22} - 26287376786 p^{6} T^{23} + 4662930766 p^{7} T^{24} - 689842134 p^{8} T^{25} + 110732557 p^{9} T^{26} - 14072190 p^{10} T^{27} + 2028477 p^{11} T^{28} - 210502 p^{12} T^{29} + 27012 p^{13} T^{30} - 2064 p^{14} T^{31} + 234 p^{15} T^{32} - 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 16 T + 348 T^{2} - 4147 T^{3} + 53558 T^{4} - 516538 T^{5} + 5048758 T^{6} - 41291154 T^{7} + 333996758 T^{8} - 2386483631 T^{9} + 16714885382 T^{10} - 106520718599 T^{11} + 663652869072 T^{12} - 3828320250680 T^{13} + 21586834718048 T^{14} - 113859525107508 T^{15} + 587348209609435 T^{16} - 2847907929633182 T^{17} + 587348209609435 p T^{18} - 113859525107508 p^{2} T^{19} + 21586834718048 p^{3} T^{20} - 3828320250680 p^{4} T^{21} + 663652869072 p^{5} T^{22} - 106520718599 p^{6} T^{23} + 16714885382 p^{7} T^{24} - 2386483631 p^{8} T^{25} + 333996758 p^{9} T^{26} - 41291154 p^{10} T^{27} + 5048758 p^{11} T^{28} - 516538 p^{12} T^{29} + 53558 p^{13} T^{30} - 4147 p^{14} T^{31} + 348 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 + 3 T + 249 T^{2} + 414 T^{3} + 30207 T^{4} + 15376 T^{5} + 2455814 T^{6} - 1017185 T^{7} + 154525094 T^{8} - 159955992 T^{9} + 8076700686 T^{10} - 11089809224 T^{11} + 359856051275 T^{12} - 550546852903 T^{13} + 13781837438629 T^{14} - 21772603938401 T^{15} + 457491618076085 T^{16} - 700189963637360 T^{17} + 457491618076085 p T^{18} - 21772603938401 p^{2} T^{19} + 13781837438629 p^{3} T^{20} - 550546852903 p^{4} T^{21} + 359856051275 p^{5} T^{22} - 11089809224 p^{6} T^{23} + 8076700686 p^{7} T^{24} - 159955992 p^{8} T^{25} + 154525094 p^{9} T^{26} - 1017185 p^{10} T^{27} + 2455814 p^{11} T^{28} + 15376 p^{12} T^{29} + 30207 p^{13} T^{30} + 414 p^{14} T^{31} + 249 p^{15} T^{32} + 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 14 T + 503 T^{2} - 6014 T^{3} + 120949 T^{4} - 1262916 T^{5} + 18561894 T^{6} - 171998384 T^{7} + 2044497979 T^{8} - 17006343027 T^{9} + 172072635605 T^{10} - 1295238742256 T^{11} + 11489710885330 T^{12} - 78668332272016 T^{13} + 623024780364015 T^{14} - 3889908618101714 T^{15} + 27816251733830112 T^{16} - 158346544661150006 T^{17} + 27816251733830112 p T^{18} - 3889908618101714 p^{2} T^{19} + 623024780364015 p^{3} T^{20} - 78668332272016 p^{4} T^{21} + 11489710885330 p^{5} T^{22} - 1295238742256 p^{6} T^{23} + 172072635605 p^{7} T^{24} - 17006343027 p^{8} T^{25} + 2044497979 p^{9} T^{26} - 171998384 p^{10} T^{27} + 18561894 p^{11} T^{28} - 1262916 p^{12} T^{29} + 120949 p^{13} T^{30} - 6014 p^{14} T^{31} + 503 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 41 | \( 1 + 6 T + 315 T^{2} + 1652 T^{3} + 49758 T^{4} + 215787 T^{5} + 5254328 T^{6} + 18017332 T^{7} + 419678468 T^{8} + 1082875639 T^{9} + 27281027879 T^{10} + 49357881269 T^{11} + 1513694571614 T^{12} + 1748388345783 T^{13} + 74146064744781 T^{14} + 51610314779612 T^{15} + 3293881447837780 T^{16} + 1710122735982616 T^{17} + 3293881447837780 p T^{18} + 51610314779612 p^{2} T^{19} + 74146064744781 p^{3} T^{20} + 1748388345783 p^{4} T^{21} + 1513694571614 p^{5} T^{22} + 49357881269 p^{6} T^{23} + 27281027879 p^{7} T^{24} + 1082875639 p^{8} T^{25} + 419678468 p^{9} T^{26} + 18017332 p^{10} T^{27} + 5254328 p^{11} T^{28} + 215787 p^{12} T^{29} + 49758 p^{13} T^{30} + 1652 p^{14} T^{31} + 315 p^{15} T^{32} + 6 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 24 T + 592 T^{2} - 9348 T^{3} + 142980 T^{4} - 40765 p T^{5} + 20798356 T^{6} - 214136244 T^{7} + 2148571462 T^{8} - 19448193533 T^{9} + 172725821415 T^{10} - 1414252044024 T^{11} + 11419490380082 T^{12} - 86096905346259 T^{13} + 642490138634096 T^{14} - 4510864259365808 T^{15} + 31426637548546866 T^{16} - 206774089004413650 T^{17} + 31426637548546866 p T^{18} - 4510864259365808 p^{2} T^{19} + 642490138634096 p^{3} T^{20} - 86096905346259 p^{4} T^{21} + 11419490380082 p^{5} T^{22} - 1414252044024 p^{6} T^{23} + 172725821415 p^{7} T^{24} - 19448193533 p^{8} T^{25} + 2148571462 p^{9} T^{26} - 214136244 p^{10} T^{27} + 20798356 p^{11} T^{28} - 40765 p^{13} T^{29} + 142980 p^{13} T^{30} - 9348 p^{14} T^{31} + 592 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 - 25 T + 694 T^{2} - 12218 T^{3} + 209931 T^{4} - 2939796 T^{5} + 39321311 T^{6} - 465335957 T^{7} + 5254420352 T^{8} - 54393835702 T^{9} + 538937226653 T^{10} - 4983721167035 T^{11} + 44249242386484 T^{12} - 370267979621862 T^{13} + 2981649884997362 T^{14} - 22748875605342038 T^{15} + 167250689643068156 T^{16} - 1167807891792401006 T^{17} + 167250689643068156 p T^{18} - 22748875605342038 p^{2} T^{19} + 2981649884997362 p^{3} T^{20} - 370267979621862 p^{4} T^{21} + 44249242386484 p^{5} T^{22} - 4983721167035 p^{6} T^{23} + 538937226653 p^{7} T^{24} - 54393835702 p^{8} T^{25} + 5254420352 p^{9} T^{26} - 465335957 p^{10} T^{27} + 39321311 p^{11} T^{28} - 2939796 p^{12} T^{29} + 209931 p^{13} T^{30} - 12218 p^{14} T^{31} + 694 p^{15} T^{32} - 25 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 + 15 T + 626 T^{2} + 7628 T^{3} + 186034 T^{4} + 1952826 T^{5} + 35881329 T^{6} + 334572283 T^{7} + 5083742205 T^{8} + 42832497803 T^{9} + 563605750307 T^{10} + 4334400167675 T^{11} + 50710780831141 T^{12} + 358058725305920 T^{13} + 3785273088154228 T^{14} + 24604202633250126 T^{15} + 237390547574488873 T^{16} + 1420438944530240840 T^{17} + 237390547574488873 p T^{18} + 24604202633250126 p^{2} T^{19} + 3785273088154228 p^{3} T^{20} + 358058725305920 p^{4} T^{21} + 50710780831141 p^{5} T^{22} + 4334400167675 p^{6} T^{23} + 563605750307 p^{7} T^{24} + 42832497803 p^{8} T^{25} + 5083742205 p^{9} T^{26} + 334572283 p^{10} T^{27} + 35881329 p^{11} T^{28} + 1952826 p^{12} T^{29} + 186034 p^{13} T^{30} + 7628 p^{14} T^{31} + 626 p^{15} T^{32} + 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 16 T + 692 T^{2} - 10431 T^{3} + 243426 T^{4} - 3336906 T^{5} + 56571657 T^{6} - 697912251 T^{7} + 9617477587 T^{8} - 106881874736 T^{9} + 1263468857887 T^{10} - 12706993859966 T^{11} + 132654404682112 T^{12} - 1213038085695312 T^{13} + 11371597153381255 T^{14} - 94851369797687568 T^{15} + 806249537441222545 T^{16} - 6140160515320885100 T^{17} + 806249537441222545 p T^{18} - 94851369797687568 p^{2} T^{19} + 11371597153381255 p^{3} T^{20} - 1213038085695312 p^{4} T^{21} + 132654404682112 p^{5} T^{22} - 12706993859966 p^{6} T^{23} + 1263468857887 p^{7} T^{24} - 106881874736 p^{8} T^{25} + 9617477587 p^{9} T^{26} - 697912251 p^{10} T^{27} + 56571657 p^{11} T^{28} - 3336906 p^{12} T^{29} + 243426 p^{13} T^{30} - 10431 p^{14} T^{31} + 692 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 + 5 T + 607 T^{2} + 3638 T^{3} + 185628 T^{4} + 1223984 T^{5} + 38208016 T^{6} + 261205930 T^{7} + 5918057343 T^{8} + 40349317469 T^{9} + 729132631557 T^{10} + 4834465524392 T^{11} + 73760476831710 T^{12} + 467284272452070 T^{13} + 6245901169936830 T^{14} + 37274342382208360 T^{15} + 447719062151805708 T^{16} + 2483319805869915088 T^{17} + 447719062151805708 p T^{18} + 37274342382208360 p^{2} T^{19} + 6245901169936830 p^{3} T^{20} + 467284272452070 p^{4} T^{21} + 73760476831710 p^{5} T^{22} + 4834465524392 p^{6} T^{23} + 729132631557 p^{7} T^{24} + 40349317469 p^{8} T^{25} + 5918057343 p^{9} T^{26} + 261205930 p^{10} T^{27} + 38208016 p^{11} T^{28} + 1223984 p^{12} T^{29} + 185628 p^{13} T^{30} + 3638 p^{14} T^{31} + 607 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 50 T + 1870 T^{2} - 50595 T^{3} + 1169408 T^{4} - 22991524 T^{5} + 405906310 T^{6} - 6433966800 T^{7} + 93914257120 T^{8} - 1262557164584 T^{9} + 15856793814281 T^{10} - 185999426577146 T^{11} + 2055938243441140 T^{12} - 21397238281652020 T^{13} + 210938301985320124 T^{14} - 1966913253872756267 T^{15} + 17420913761934560952 T^{16} - \)\(14\!\cdots\!88\)\( T^{17} + 17420913761934560952 p T^{18} - 1966913253872756267 p^{2} T^{19} + 210938301985320124 p^{3} T^{20} - 21397238281652020 p^{4} T^{21} + 2055938243441140 p^{5} T^{22} - 185999426577146 p^{6} T^{23} + 15856793814281 p^{7} T^{24} - 1262557164584 p^{8} T^{25} + 93914257120 p^{9} T^{26} - 6433966800 p^{10} T^{27} + 405906310 p^{11} T^{28} - 22991524 p^{12} T^{29} + 1169408 p^{13} T^{30} - 50595 p^{14} T^{31} + 1870 p^{15} T^{32} - 50 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 16 T + 645 T^{2} - 7098 T^{3} + 175150 T^{4} - 1407359 T^{5} + 29265525 T^{6} - 176707157 T^{7} + 3695450162 T^{8} - 17395389355 T^{9} + 400226580974 T^{10} - 1551993703449 T^{11} + 38889062423775 T^{12} - 129842105205365 T^{13} + 3386489458672264 T^{14} - 10030234313120552 T^{15} + 264862914064535120 T^{16} - 727578502459693986 T^{17} + 264862914064535120 p T^{18} - 10030234313120552 p^{2} T^{19} + 3386489458672264 p^{3} T^{20} - 129842105205365 p^{4} T^{21} + 38889062423775 p^{5} T^{22} - 1551993703449 p^{6} T^{23} + 400226580974 p^{7} T^{24} - 17395389355 p^{8} T^{25} + 3695450162 p^{9} T^{26} - 176707157 p^{10} T^{27} + 29265525 p^{11} T^{28} - 1407359 p^{12} T^{29} + 175150 p^{13} T^{30} - 7098 p^{14} T^{31} + 645 p^{15} T^{32} - 16 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 33 T + 1223 T^{2} - 27362 T^{3} + 610446 T^{4} - 10600805 T^{5} + 179600690 T^{6} - 2591515227 T^{7} + 36396784331 T^{8} - 454723309208 T^{9} + 5545150403727 T^{10} - 61657577523995 T^{11} + 671913817450144 T^{12} - 6779135056505375 T^{13} + 67299821146441524 T^{14} - 624384781585962072 T^{15} + 5716752507331765802 T^{16} - 49140759526440458374 T^{17} + 5716752507331765802 p T^{18} - 624384781585962072 p^{2} T^{19} + 67299821146441524 p^{3} T^{20} - 6779135056505375 p^{4} T^{21} + 671913817450144 p^{5} T^{22} - 61657577523995 p^{6} T^{23} + 5545150403727 p^{7} T^{24} - 454723309208 p^{8} T^{25} + 36396784331 p^{9} T^{26} - 2591515227 p^{10} T^{27} + 179600690 p^{11} T^{28} - 10600805 p^{12} T^{29} + 610446 p^{13} T^{30} - 27362 p^{14} T^{31} + 1223 p^{15} T^{32} - 33 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 + 10 T + 638 T^{2} + 5415 T^{3} + 202785 T^{4} + 1529364 T^{5} + 43460937 T^{6} + 303975982 T^{7} + 7140123348 T^{8} + 47848691463 T^{9} + 961754772050 T^{10} + 6290814750004 T^{11} + 110429548379449 T^{12} + 708189515604870 T^{13} + 11071375896961249 T^{14} + 69041692547698263 T^{15} + 982534301031371755 T^{16} + 5849577109375341354 T^{17} + 982534301031371755 p T^{18} + 69041692547698263 p^{2} T^{19} + 11071375896961249 p^{3} T^{20} + 708189515604870 p^{4} T^{21} + 110429548379449 p^{5} T^{22} + 6290814750004 p^{6} T^{23} + 961754772050 p^{7} T^{24} + 47848691463 p^{8} T^{25} + 7140123348 p^{9} T^{26} + 303975982 p^{10} T^{27} + 43460937 p^{11} T^{28} + 1529364 p^{12} T^{29} + 202785 p^{13} T^{30} + 5415 p^{14} T^{31} + 638 p^{15} T^{32} + 10 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 27 T + 12 p T^{2} - 19667 T^{3} + 452480 T^{4} - 7431489 T^{5} + 133441760 T^{6} - 23013957 p T^{7} + 28977192136 T^{8} - 370882975102 T^{9} + 4944843894969 T^{10} - 57432096086472 T^{11} + 687849413995642 T^{12} - 7313917619367503 T^{13} + 79731136138968000 T^{14} - 779946410396645758 T^{15} + 7798004828441941902 T^{16} - 70303909447267313390 T^{17} + 7798004828441941902 p T^{18} - 779946410396645758 p^{2} T^{19} + 79731136138968000 p^{3} T^{20} - 7313917619367503 p^{4} T^{21} + 687849413995642 p^{5} T^{22} - 57432096086472 p^{6} T^{23} + 4944843894969 p^{7} T^{24} - 370882975102 p^{8} T^{25} + 28977192136 p^{9} T^{26} - 23013957 p^{11} T^{27} + 133441760 p^{11} T^{28} - 7431489 p^{12} T^{29} + 452480 p^{13} T^{30} - 19667 p^{14} T^{31} + 12 p^{16} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 24 T + 1086 T^{2} + 20951 T^{3} + 558286 T^{4} + 9130858 T^{5} + 184197506 T^{6} + 2641607394 T^{7} + 44269447927 T^{8} + 568718954473 T^{9} + 8287662204035 T^{10} + 96651433774092 T^{11} + 1256244947434000 T^{12} + 13404462019296786 T^{13} + 1772485112826856 p T^{14} + 195228255704987 p^{2} T^{15} + 16626703884170538951 T^{16} + \)\(14\!\cdots\!66\)\( T^{17} + 16626703884170538951 p T^{18} + 195228255704987 p^{4} T^{19} + 1772485112826856 p^{4} T^{20} + 13404462019296786 p^{4} T^{21} + 1256244947434000 p^{5} T^{22} + 96651433774092 p^{6} T^{23} + 8287662204035 p^{7} T^{24} + 568718954473 p^{8} T^{25} + 44269447927 p^{9} T^{26} + 2641607394 p^{10} T^{27} + 184197506 p^{11} T^{28} + 9130858 p^{12} T^{29} + 558286 p^{13} T^{30} + 20951 p^{14} T^{31} + 1086 p^{15} T^{32} + 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 - 48 T + 1887 T^{2} - 52393 T^{3} + 1283948 T^{4} - 26611097 T^{5} + 505762407 T^{6} - 8645209280 T^{7} + 138442830844 T^{8} - 2052134126338 T^{9} + 28847445551387 T^{10} - 381122774025014 T^{11} + 4809679602321638 T^{12} - 57543086922359530 T^{13} + 660478425851852843 T^{14} - 7222269761571427641 T^{15} + 75944685371170474837 T^{16} - \)\(76\!\cdots\!46\)\( T^{17} + 75944685371170474837 p T^{18} - 7222269761571427641 p^{2} T^{19} + 660478425851852843 p^{3} T^{20} - 57543086922359530 p^{4} T^{21} + 4809679602321638 p^{5} T^{22} - 381122774025014 p^{6} T^{23} + 28847445551387 p^{7} T^{24} - 2052134126338 p^{8} T^{25} + 138442830844 p^{9} T^{26} - 8645209280 p^{10} T^{27} + 505762407 p^{11} T^{28} - 26611097 p^{12} T^{29} + 1283948 p^{13} T^{30} - 52393 p^{14} T^{31} + 1887 p^{15} T^{32} - 48 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.59969280754881082155266387855, −1.58946498546053391875332651572, −1.58275541735177675536128248705, −1.56080237868884140496604179085, −1.49618814537325791919125033089, −1.49009234469761469728471289618, −1.43965490851662062796112945739, −1.37443270887814195792990222424, −1.26118160479018448554176070358, −1.15363553426638481180374490828, −1.12829539836531548690680125663, −0.965894180599438061777675938086, −0.876469722475378416902303905209, −0.873615074643418898074344046378, −0.858147058574460298084730185316, −0.847516605625159654704565625444, −0.801238400258483125957870509261, −0.75220307444631755495556009702, −0.75131317984977275581917636377, −0.64491761800352609011637551677, −0.58370590263550753297257535961, −0.52950523016932681724982374496, −0.42466991679852006864661321678, −0.41315389685437426677371962638, −0.39492371654400062893703074083, 0.39492371654400062893703074083, 0.41315389685437426677371962638, 0.42466991679852006864661321678, 0.52950523016932681724982374496, 0.58370590263550753297257535961, 0.64491761800352609011637551677, 0.75131317984977275581917636377, 0.75220307444631755495556009702, 0.801238400258483125957870509261, 0.847516605625159654704565625444, 0.858147058574460298084730185316, 0.873615074643418898074344046378, 0.876469722475378416902303905209, 0.965894180599438061777675938086, 1.12829539836531548690680125663, 1.15363553426638481180374490828, 1.26118160479018448554176070358, 1.37443270887814195792990222424, 1.43965490851662062796112945739, 1.49009234469761469728471289618, 1.49618814537325791919125033089, 1.56080237868884140496604179085, 1.58275541735177675536128248705, 1.58946498546053391875332651572, 1.59969280754881082155266387855
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.