Properties

Degree 38
Conductor $ 2^{57} \cdot 5^{19} \cdot 151^{19} $
Sign $-1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 19

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 5·3-s + 19·5-s − 8·7-s − 3·9-s − 18·11-s + 5·13-s − 95·15-s − 4·17-s − 27·19-s + 40·21-s − 25·23-s + 190·25-s + 50·27-s − 35·29-s − 26·31-s + 90·33-s − 152·35-s − 10·37-s − 25·39-s − 14·41-s − 21·43-s − 57·45-s − 40·47-s − 23·49-s + 20·51-s − 3·53-s − 342·55-s + ⋯
L(s)  = 1  − 2.88·3-s + 8.49·5-s − 3.02·7-s − 9-s − 5.42·11-s + 1.38·13-s − 24.5·15-s − 0.970·17-s − 6.19·19-s + 8.72·21-s − 5.21·23-s + 38·25-s + 9.62·27-s − 6.49·29-s − 4.66·31-s + 15.6·33-s − 25.6·35-s − 1.64·37-s − 4.00·39-s − 2.18·41-s − 3.20·43-s − 8.49·45-s − 5.83·47-s − 3.28·49-s + 2.80·51-s − 0.412·53-s − 46.1·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{57} \cdot 5^{19} \cdot 151^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{19} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{57} \cdot 5^{19} \cdot 151^{19}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{19} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(38\)
\( N \)  =  \(2^{57} \cdot 5^{19} \cdot 151^{19}\)
\( \varepsilon \)  =  $-1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{6040} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  19
Selberg data  =  $(38,\ 2^{57} \cdot 5^{19} \cdot 151^{19} ,\ ( \ : [1/2]^{19} ),\ -1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;5,\;151\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 38. If $p \in \{2,\;5,\;151\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 37.
$p$$F_p$
bad2 \( 1 \)
5 \( ( 1 - T )^{19} \)
151 \( ( 1 - T )^{19} \)
good3 \( 1 + 5 T + 28 T^{2} + 35 p T^{3} + 385 T^{4} + 391 p T^{5} + 3401 T^{6} + 8801 T^{7} + 21544 T^{8} + 16099 p T^{9} + 102298 T^{10} + 7417 p^{3} T^{11} + 41071 p^{2} T^{12} + 629345 T^{13} + 12440 p^{4} T^{14} + 1476676 T^{15} + 2050061 T^{16} + 2643230 T^{17} + 1196585 p T^{18} + 1805906 p T^{19} + 1196585 p^{2} T^{20} + 2643230 p^{2} T^{21} + 2050061 p^{3} T^{22} + 1476676 p^{4} T^{23} + 12440 p^{9} T^{24} + 629345 p^{6} T^{25} + 41071 p^{9} T^{26} + 7417 p^{11} T^{27} + 102298 p^{9} T^{28} + 16099 p^{11} T^{29} + 21544 p^{11} T^{30} + 8801 p^{12} T^{31} + 3401 p^{13} T^{32} + 391 p^{15} T^{33} + 385 p^{15} T^{34} + 35 p^{17} T^{35} + 28 p^{17} T^{36} + 5 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
7 \( 1 + 8 T + 87 T^{2} + 543 T^{3} + 3565 T^{4} + 18384 T^{5} + 93619 T^{6} + 415955 T^{7} + 1798485 T^{8} + 7097291 T^{9} + 27221401 T^{10} + 97470412 T^{11} + 339791807 T^{12} + 1119899050 T^{13} + 3599730515 T^{14} + 11020265087 T^{15} + 4705913312 p T^{16} + 13453341429 p T^{17} + 263041879420 T^{18} + 703999382598 T^{19} + 263041879420 p T^{20} + 13453341429 p^{3} T^{21} + 4705913312 p^{4} T^{22} + 11020265087 p^{4} T^{23} + 3599730515 p^{5} T^{24} + 1119899050 p^{6} T^{25} + 339791807 p^{7} T^{26} + 97470412 p^{8} T^{27} + 27221401 p^{9} T^{28} + 7097291 p^{10} T^{29} + 1798485 p^{11} T^{30} + 415955 p^{12} T^{31} + 93619 p^{13} T^{32} + 18384 p^{14} T^{33} + 3565 p^{15} T^{34} + 543 p^{16} T^{35} + 87 p^{17} T^{36} + 8 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
11 \( 1 + 18 T + 247 T^{2} + 2454 T^{3} + 21181 T^{4} + 156509 T^{5} + 1054756 T^{6} + 53200 p^{2} T^{7} + 36707246 T^{8} + 194628472 T^{9} + 977384365 T^{10} + 4629917152 T^{11} + 20942197301 T^{12} + 90115730775 T^{13} + 372151751391 T^{14} + 1469604097856 T^{15} + 5586871636156 T^{16} + 20369777201669 T^{17} + 71617697359258 T^{18} + 241820759643478 T^{19} + 71617697359258 p T^{20} + 20369777201669 p^{2} T^{21} + 5586871636156 p^{3} T^{22} + 1469604097856 p^{4} T^{23} + 372151751391 p^{5} T^{24} + 90115730775 p^{6} T^{25} + 20942197301 p^{7} T^{26} + 4629917152 p^{8} T^{27} + 977384365 p^{9} T^{28} + 194628472 p^{10} T^{29} + 36707246 p^{11} T^{30} + 53200 p^{14} T^{31} + 1054756 p^{13} T^{32} + 156509 p^{14} T^{33} + 21181 p^{15} T^{34} + 2454 p^{16} T^{35} + 247 p^{17} T^{36} + 18 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
13 \( 1 - 5 T + 103 T^{2} - 415 T^{3} + 5372 T^{4} - 20237 T^{5} + 1179 p^{2} T^{6} - 742795 T^{7} + 5808966 T^{8} - 21876562 T^{9} + 140058255 T^{10} - 538343803 T^{11} + 2894272436 T^{12} - 11321669092 T^{13} + 52360879452 T^{14} - 205835429828 T^{15} + 841516816285 T^{16} - 3263227299131 T^{17} + 12138647794523 T^{18} - 45310613127736 T^{19} + 12138647794523 p T^{20} - 3263227299131 p^{2} T^{21} + 841516816285 p^{3} T^{22} - 205835429828 p^{4} T^{23} + 52360879452 p^{5} T^{24} - 11321669092 p^{6} T^{25} + 2894272436 p^{7} T^{26} - 538343803 p^{8} T^{27} + 140058255 p^{9} T^{28} - 21876562 p^{10} T^{29} + 5808966 p^{11} T^{30} - 742795 p^{12} T^{31} + 1179 p^{15} T^{32} - 20237 p^{14} T^{33} + 5372 p^{15} T^{34} - 415 p^{16} T^{35} + 103 p^{17} T^{36} - 5 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
17 \( 1 + 4 T + 129 T^{2} + 555 T^{3} + 8680 T^{4} + 38720 T^{5} + 23711 p T^{6} + 1830895 T^{7} + 14546768 T^{8} + 66293924 T^{9} + 437116547 T^{10} + 1967353042 T^{11} + 39526821 p^{2} T^{12} + 49921515276 T^{13} + 266126037332 T^{14} + 1112655834529 T^{15} + 5581247893596 T^{16} + 22133710651532 T^{17} + 6203859963951 p T^{18} + 396183904285542 T^{19} + 6203859963951 p^{2} T^{20} + 22133710651532 p^{2} T^{21} + 5581247893596 p^{3} T^{22} + 1112655834529 p^{4} T^{23} + 266126037332 p^{5} T^{24} + 49921515276 p^{6} T^{25} + 39526821 p^{9} T^{26} + 1967353042 p^{8} T^{27} + 437116547 p^{9} T^{28} + 66293924 p^{10} T^{29} + 14546768 p^{11} T^{30} + 1830895 p^{12} T^{31} + 23711 p^{14} T^{32} + 38720 p^{14} T^{33} + 8680 p^{15} T^{34} + 555 p^{16} T^{35} + 129 p^{17} T^{36} + 4 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
19 \( 1 + 27 T + 535 T^{2} + 7831 T^{3} + 97628 T^{4} + 1046136 T^{5} + 10062922 T^{6} + 87462094 T^{7} + 700547907 T^{8} + 5194046040 T^{9} + 36042332073 T^{10} + 234789044331 T^{11} + 1445917508080 T^{12} + 8435292346429 T^{13} + 46841230345474 T^{14} + 247896735734358 T^{15} + 1254523249513997 T^{16} + 6073818712825768 T^{17} + 28195688928536073 T^{18} + 125457254289174004 T^{19} + 28195688928536073 p T^{20} + 6073818712825768 p^{2} T^{21} + 1254523249513997 p^{3} T^{22} + 247896735734358 p^{4} T^{23} + 46841230345474 p^{5} T^{24} + 8435292346429 p^{6} T^{25} + 1445917508080 p^{7} T^{26} + 234789044331 p^{8} T^{27} + 36042332073 p^{9} T^{28} + 5194046040 p^{10} T^{29} + 700547907 p^{11} T^{30} + 87462094 p^{12} T^{31} + 10062922 p^{13} T^{32} + 1046136 p^{14} T^{33} + 97628 p^{15} T^{34} + 7831 p^{16} T^{35} + 535 p^{17} T^{36} + 27 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
23 \( 1 + 25 T + 21 p T^{2} + 6657 T^{3} + 78929 T^{4} + 788614 T^{5} + 7089783 T^{6} + 56746078 T^{7} + 418193193 T^{8} + 122249487 p T^{9} + 17621204996 T^{10} + 101906218735 T^{11} + 553061386246 T^{12} + 2784525495916 T^{13} + 13243571803035 T^{14} + 58857507541326 T^{15} + 252296052575820 T^{16} + 1045218587025787 T^{17} + 4488879747048825 T^{18} + 20343701113662066 T^{19} + 4488879747048825 p T^{20} + 1045218587025787 p^{2} T^{21} + 252296052575820 p^{3} T^{22} + 58857507541326 p^{4} T^{23} + 13243571803035 p^{5} T^{24} + 2784525495916 p^{6} T^{25} + 553061386246 p^{7} T^{26} + 101906218735 p^{8} T^{27} + 17621204996 p^{9} T^{28} + 122249487 p^{11} T^{29} + 418193193 p^{11} T^{30} + 56746078 p^{12} T^{31} + 7089783 p^{13} T^{32} + 788614 p^{14} T^{33} + 78929 p^{15} T^{34} + 6657 p^{16} T^{35} + 21 p^{18} T^{36} + 25 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
29 \( 1 + 35 T + 756 T^{2} + 12298 T^{3} + 167884 T^{4} + 2006813 T^{5} + 21660828 T^{6} + 214507339 T^{7} + 1974741700 T^{8} + 17035008433 T^{9} + 138669684363 T^{10} + 1070096187532 T^{11} + 7860580603761 T^{12} + 55116418019285 T^{13} + 369831555544579 T^{14} + 2378774068521476 T^{15} + 14689079687025666 T^{16} + 87161365931198394 T^{17} + 497392064222251313 T^{18} + 2730581369496168420 T^{19} + 497392064222251313 p T^{20} + 87161365931198394 p^{2} T^{21} + 14689079687025666 p^{3} T^{22} + 2378774068521476 p^{4} T^{23} + 369831555544579 p^{5} T^{24} + 55116418019285 p^{6} T^{25} + 7860580603761 p^{7} T^{26} + 1070096187532 p^{8} T^{27} + 138669684363 p^{9} T^{28} + 17035008433 p^{10} T^{29} + 1974741700 p^{11} T^{30} + 214507339 p^{12} T^{31} + 21660828 p^{13} T^{32} + 2006813 p^{14} T^{33} + 167884 p^{15} T^{34} + 12298 p^{16} T^{35} + 756 p^{17} T^{36} + 35 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
31 \( 1 + 26 T + 505 T^{2} + 7507 T^{3} + 97022 T^{4} + 1106201 T^{5} + 11561741 T^{6} + 111535761 T^{7} + 1009177797 T^{8} + 8601913136 T^{9} + 69613352337 T^{10} + 536555748661 T^{11} + 3956081439850 T^{12} + 27961546276091 T^{13} + 189939104670201 T^{14} + 1241754799579918 T^{15} + 7824148963012716 T^{16} + 47555622396051041 T^{17} + 9000366594405025 p T^{18} + 1580753440138227764 T^{19} + 9000366594405025 p^{2} T^{20} + 47555622396051041 p^{2} T^{21} + 7824148963012716 p^{3} T^{22} + 1241754799579918 p^{4} T^{23} + 189939104670201 p^{5} T^{24} + 27961546276091 p^{6} T^{25} + 3956081439850 p^{7} T^{26} + 536555748661 p^{8} T^{27} + 69613352337 p^{9} T^{28} + 8601913136 p^{10} T^{29} + 1009177797 p^{11} T^{30} + 111535761 p^{12} T^{31} + 11561741 p^{13} T^{32} + 1106201 p^{14} T^{33} + 97022 p^{15} T^{34} + 7507 p^{16} T^{35} + 505 p^{17} T^{36} + 26 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
37 \( 1 + 10 T + 270 T^{2} + 2394 T^{3} + 37842 T^{4} + 314825 T^{5} + 3792127 T^{6} + 30123787 T^{7} + 303631628 T^{8} + 2309430713 T^{9} + 20449708618 T^{10} + 148909147614 T^{11} + 1194431191170 T^{12} + 8309492269427 T^{13} + 61540830059600 T^{14} + 408036887621621 T^{15} + 2825032416976248 T^{16} + 17821276585784641 T^{17} + 116274960721861956 T^{18} + 696464521225933360 T^{19} + 116274960721861956 p T^{20} + 17821276585784641 p^{2} T^{21} + 2825032416976248 p^{3} T^{22} + 408036887621621 p^{4} T^{23} + 61540830059600 p^{5} T^{24} + 8309492269427 p^{6} T^{25} + 1194431191170 p^{7} T^{26} + 148909147614 p^{8} T^{27} + 20449708618 p^{9} T^{28} + 2309430713 p^{10} T^{29} + 303631628 p^{11} T^{30} + 30123787 p^{12} T^{31} + 3792127 p^{13} T^{32} + 314825 p^{14} T^{33} + 37842 p^{15} T^{34} + 2394 p^{16} T^{35} + 270 p^{17} T^{36} + 10 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
41 \( 1 + 14 T + 424 T^{2} + 4604 T^{3} + 81835 T^{4} + 748985 T^{5} + 10179182 T^{6} + 82890787 T^{7} + 951974493 T^{8} + 7136986289 T^{9} + 72632117051 T^{10} + 511503471494 T^{11} + 4731577791669 T^{12} + 31643979398651 T^{13} + 270180953787955 T^{14} + 1723542871284813 T^{15} + 13724585484282873 T^{16} + 83506658146740621 T^{17} + 625184036814135869 T^{18} + 3617718144565975516 T^{19} + 625184036814135869 p T^{20} + 83506658146740621 p^{2} T^{21} + 13724585484282873 p^{3} T^{22} + 1723542871284813 p^{4} T^{23} + 270180953787955 p^{5} T^{24} + 31643979398651 p^{6} T^{25} + 4731577791669 p^{7} T^{26} + 511503471494 p^{8} T^{27} + 72632117051 p^{9} T^{28} + 7136986289 p^{10} T^{29} + 951974493 p^{11} T^{30} + 82890787 p^{12} T^{31} + 10179182 p^{13} T^{32} + 748985 p^{14} T^{33} + 81835 p^{15} T^{34} + 4604 p^{16} T^{35} + 424 p^{17} T^{36} + 14 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
43 \( 1 + 21 T + 596 T^{2} + 9234 T^{3} + 161038 T^{4} + 2053315 T^{5} + 27773232 T^{6} + 306654655 T^{7} + 3499525009 T^{8} + 34439534170 T^{9} + 345679890922 T^{10} + 71780772050 p T^{11} + 27903332082978 T^{12} + 228654724550094 T^{13} + 1889108123082193 T^{14} + 14311447324461569 T^{15} + 109051257094336819 T^{16} + 767083715981138168 T^{17} + 5420618127619235826 T^{18} + 35470483556462799472 T^{19} + 5420618127619235826 p T^{20} + 767083715981138168 p^{2} T^{21} + 109051257094336819 p^{3} T^{22} + 14311447324461569 p^{4} T^{23} + 1889108123082193 p^{5} T^{24} + 228654724550094 p^{6} T^{25} + 27903332082978 p^{7} T^{26} + 71780772050 p^{9} T^{27} + 345679890922 p^{9} T^{28} + 34439534170 p^{10} T^{29} + 3499525009 p^{11} T^{30} + 306654655 p^{12} T^{31} + 27773232 p^{13} T^{32} + 2053315 p^{14} T^{33} + 161038 p^{15} T^{34} + 9234 p^{16} T^{35} + 596 p^{17} T^{36} + 21 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
47 \( 1 + 40 T + 1054 T^{2} + 20442 T^{3} + 330523 T^{4} + 4599591 T^{5} + 57356270 T^{6} + 649908779 T^{7} + 6822561735 T^{8} + 66872497541 T^{9} + 619557355221 T^{10} + 5455180703414 T^{11} + 46061513183161 T^{12} + 374366454288919 T^{13} + 2947923948738331 T^{14} + 22533311972141893 T^{15} + 167907295819012305 T^{16} + 1219811438775488341 T^{17} + 8661349157140592161 T^{18} + 60044945349966815104 T^{19} + 8661349157140592161 p T^{20} + 1219811438775488341 p^{2} T^{21} + 167907295819012305 p^{3} T^{22} + 22533311972141893 p^{4} T^{23} + 2947923948738331 p^{5} T^{24} + 374366454288919 p^{6} T^{25} + 46061513183161 p^{7} T^{26} + 5455180703414 p^{8} T^{27} + 619557355221 p^{9} T^{28} + 66872497541 p^{10} T^{29} + 6822561735 p^{11} T^{30} + 649908779 p^{12} T^{31} + 57356270 p^{13} T^{32} + 4599591 p^{14} T^{33} + 330523 p^{15} T^{34} + 20442 p^{16} T^{35} + 1054 p^{17} T^{36} + 40 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
53 \( 1 + 3 T + 412 T^{2} + 998 T^{3} + 88593 T^{4} + 177385 T^{5} + 13348140 T^{6} + 22498941 T^{7} + 1580929971 T^{8} + 2273397458 T^{9} + 155879855657 T^{10} + 193226190074 T^{11} + 13213544307947 T^{12} + 14274004331766 T^{13} + 982162404430577 T^{14} + 940719453256547 T^{15} + 64825708012701211 T^{16} + 56418963351739284 T^{17} + 3827617461797003727 T^{18} + 3112679846710590048 T^{19} + 3827617461797003727 p T^{20} + 56418963351739284 p^{2} T^{21} + 64825708012701211 p^{3} T^{22} + 940719453256547 p^{4} T^{23} + 982162404430577 p^{5} T^{24} + 14274004331766 p^{6} T^{25} + 13213544307947 p^{7} T^{26} + 193226190074 p^{8} T^{27} + 155879855657 p^{9} T^{28} + 2273397458 p^{10} T^{29} + 1580929971 p^{11} T^{30} + 22498941 p^{12} T^{31} + 13348140 p^{13} T^{32} + 177385 p^{14} T^{33} + 88593 p^{15} T^{34} + 998 p^{16} T^{35} + 412 p^{17} T^{36} + 3 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
59 \( 1 + 28 T + 834 T^{2} + 16479 T^{3} + 311813 T^{4} + 4943073 T^{5} + 74128844 T^{6} + 1002325477 T^{7} + 12868359737 T^{8} + 2603646864 p T^{9} + 1751527999988 T^{10} + 18854002002405 T^{11} + 194823653348045 T^{12} + 1916799758931661 T^{13} + 18167671021569848 T^{14} + 164792443459516498 T^{15} + 1443189299739530571 T^{16} + 12132068388706314585 T^{17} + 98584033478702479197 T^{18} + \)\(77\!\cdots\!48\)\( T^{19} + 98584033478702479197 p T^{20} + 12132068388706314585 p^{2} T^{21} + 1443189299739530571 p^{3} T^{22} + 164792443459516498 p^{4} T^{23} + 18167671021569848 p^{5} T^{24} + 1916799758931661 p^{6} T^{25} + 194823653348045 p^{7} T^{26} + 18854002002405 p^{8} T^{27} + 1751527999988 p^{9} T^{28} + 2603646864 p^{11} T^{29} + 12868359737 p^{11} T^{30} + 1002325477 p^{12} T^{31} + 74128844 p^{13} T^{32} + 4943073 p^{14} T^{33} + 311813 p^{15} T^{34} + 16479 p^{16} T^{35} + 834 p^{17} T^{36} + 28 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
61 \( 1 + 46 T + 1446 T^{2} + 33221 T^{3} + 645076 T^{4} + 10758279 T^{5} + 162008665 T^{6} + 2216232209 T^{7} + 28251487284 T^{8} + 336372180939 T^{9} + 3798545625234 T^{10} + 40686985743326 T^{11} + 417543179461438 T^{12} + 4100061559925217 T^{13} + 38797876798529420 T^{14} + 353056458691331983 T^{15} + 3106272555322987178 T^{16} + 26354879086383658111 T^{17} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( p T^{20} + 26354879086383658111 p^{2} T^{21} + 3106272555322987178 p^{3} T^{22} + 353056458691331983 p^{4} T^{23} + 38797876798529420 p^{5} T^{24} + 4100061559925217 p^{6} T^{25} + 417543179461438 p^{7} T^{26} + 40686985743326 p^{8} T^{27} + 3798545625234 p^{9} T^{28} + 336372180939 p^{10} T^{29} + 28251487284 p^{11} T^{30} + 2216232209 p^{12} T^{31} + 162008665 p^{13} T^{32} + 10758279 p^{14} T^{33} + 645076 p^{15} T^{34} + 33221 p^{16} T^{35} + 1446 p^{17} T^{36} + 46 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
67 \( 1 + 42 T + 1575 T^{2} + 39878 T^{3} + 908009 T^{4} + 16969283 T^{5} + 290907710 T^{6} + 4373018796 T^{7} + 61331474684 T^{8} + 780283200836 T^{9} + 9405518849175 T^{10} + 105231969621198 T^{11} + 16894297617283 p T^{12} + 11498704416367879 T^{13} + 113622583192346603 T^{14} + 1071932815093372898 T^{15} + 9891341460679541474 T^{16} + 87446819829371019123 T^{17} + \)\(75\!\cdots\!50\)\( T^{18} + \)\(62\!\cdots\!98\)\( T^{19} + \)\(75\!\cdots\!50\)\( p T^{20} + 87446819829371019123 p^{2} T^{21} + 9891341460679541474 p^{3} T^{22} + 1071932815093372898 p^{4} T^{23} + 113622583192346603 p^{5} T^{24} + 11498704416367879 p^{6} T^{25} + 16894297617283 p^{8} T^{26} + 105231969621198 p^{8} T^{27} + 9405518849175 p^{9} T^{28} + 780283200836 p^{10} T^{29} + 61331474684 p^{11} T^{30} + 4373018796 p^{12} T^{31} + 290907710 p^{13} T^{32} + 16969283 p^{14} T^{33} + 908009 p^{15} T^{34} + 39878 p^{16} T^{35} + 1575 p^{17} T^{36} + 42 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
71 \( 1 + 46 T + 1416 T^{2} + 31979 T^{3} + 610138 T^{4} + 10061445 T^{5} + 150970465 T^{6} + 2079366941 T^{7} + 26960668746 T^{8} + 329623790121 T^{9} + 3852796195242 T^{10} + 43000970977110 T^{11} + 462356794054962 T^{12} + 4780075558168587 T^{13} + 47827348859556946 T^{14} + 462049404462359699 T^{15} + 4331617893151475920 T^{16} + 39302095847057353817 T^{17} + \)\(34\!\cdots\!18\)\( T^{18} + \)\(29\!\cdots\!46\)\( T^{19} + \)\(34\!\cdots\!18\)\( p T^{20} + 39302095847057353817 p^{2} T^{21} + 4331617893151475920 p^{3} T^{22} + 462049404462359699 p^{4} T^{23} + 47827348859556946 p^{5} T^{24} + 4780075558168587 p^{6} T^{25} + 462356794054962 p^{7} T^{26} + 43000970977110 p^{8} T^{27} + 3852796195242 p^{9} T^{28} + 329623790121 p^{10} T^{29} + 26960668746 p^{11} T^{30} + 2079366941 p^{12} T^{31} + 150970465 p^{13} T^{32} + 10061445 p^{14} T^{33} + 610138 p^{15} T^{34} + 31979 p^{16} T^{35} + 1416 p^{17} T^{36} + 46 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
73 \( 1 - 31 T + 1294 T^{2} - 29370 T^{3} + 741362 T^{4} - 13655959 T^{5} + 263513554 T^{6} - 4142758475 T^{7} + 66520605294 T^{8} - 918746991765 T^{9} + 12799746997835 T^{10} - 158132703251184 T^{11} + 1957544533024645 T^{12} - 21886220625034447 T^{13} + 244276817435380915 T^{14} - 2490133454428234836 T^{15} + 25287937970432991546 T^{16} - \)\(23\!\cdots\!44\)\( T^{17} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!84\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!99\)\( p T^{20} - \)\(23\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{21} + 25287937970432991546 p^{3} T^{22} - 2490133454428234836 p^{4} T^{23} + 244276817435380915 p^{5} T^{24} - 21886220625034447 p^{6} T^{25} + 1957544533024645 p^{7} T^{26} - 158132703251184 p^{8} T^{27} + 12799746997835 p^{9} T^{28} - 918746991765 p^{10} T^{29} + 66520605294 p^{11} T^{30} - 4142758475 p^{12} T^{31} + 263513554 p^{13} T^{32} - 13655959 p^{14} T^{33} + 741362 p^{15} T^{34} - 29370 p^{16} T^{35} + 1294 p^{17} T^{36} - 31 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
79 \( 1 + 56 T + 1751 T^{2} + 40251 T^{3} + 768165 T^{4} + 12982463 T^{5} + 200498578 T^{6} + 2871717245 T^{7} + 38535946843 T^{8} + 488856506209 T^{9} + 5906021798132 T^{10} + 68290067433246 T^{11} + 758626958932316 T^{12} + 8125309517850771 T^{13} + 84172064243536311 T^{14} + 845374015350145971 T^{15} + 8245992766585914749 T^{16} + 78232615790179343445 T^{17} + \)\(72\!\cdots\!46\)\( T^{18} + \)\(65\!\cdots\!74\)\( T^{19} + \)\(72\!\cdots\!46\)\( p T^{20} + 78232615790179343445 p^{2} T^{21} + 8245992766585914749 p^{3} T^{22} + 845374015350145971 p^{4} T^{23} + 84172064243536311 p^{5} T^{24} + 8125309517850771 p^{6} T^{25} + 758626958932316 p^{7} T^{26} + 68290067433246 p^{8} T^{27} + 5906021798132 p^{9} T^{28} + 488856506209 p^{10} T^{29} + 38535946843 p^{11} T^{30} + 2871717245 p^{12} T^{31} + 200498578 p^{13} T^{32} + 12982463 p^{14} T^{33} + 768165 p^{15} T^{34} + 40251 p^{16} T^{35} + 1751 p^{17} T^{36} + 56 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
83 \( 1 + 25 T + 1051 T^{2} + 20585 T^{3} + 510946 T^{4} + 8368347 T^{5} + 157295265 T^{6} + 2243056623 T^{7} + 35101450564 T^{8} + 448135896138 T^{9} + 6135824348909 T^{10} + 71553214836029 T^{11} + 883311764321072 T^{12} + 9542482089027602 T^{13} + 108253626347253710 T^{14} + 1093294901011008236 T^{15} + 11535043282104115171 T^{16} + \)\(10\!\cdots\!89\)\( T^{17} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( T^{18} + \)\(96\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!07\)\( p T^{20} + \)\(10\!\cdots\!89\)\( p^{2} T^{21} + 11535043282104115171 p^{3} T^{22} + 1093294901011008236 p^{4} T^{23} + 108253626347253710 p^{5} T^{24} + 9542482089027602 p^{6} T^{25} + 883311764321072 p^{7} T^{26} + 71553214836029 p^{8} T^{27} + 6135824348909 p^{9} T^{28} + 448135896138 p^{10} T^{29} + 35101450564 p^{11} T^{30} + 2243056623 p^{12} T^{31} + 157295265 p^{13} T^{32} + 8368347 p^{14} T^{33} + 510946 p^{15} T^{34} + 20585 p^{16} T^{35} + 1051 p^{17} T^{36} + 25 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
89 \( 1 + 7 T + 964 T^{2} + 4454 T^{3} + 437542 T^{4} + 1166643 T^{5} + 128078168 T^{6} + 1583417 p T^{7} + 27834247843 T^{8} - 1650657100 T^{9} + 4860448158536 T^{10} - 3964771674614 T^{11} + 714056828966148 T^{12} - 879984127345524 T^{13} + 90678035997531389 T^{14} - 1439041707101481 p T^{15} + 10126341138806063407 T^{16} - 14697176129571376618 T^{17} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( T^{18} - \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!90\)\( p T^{20} - 14697176129571376618 p^{2} T^{21} + 10126341138806063407 p^{3} T^{22} - 1439041707101481 p^{5} T^{23} + 90678035997531389 p^{5} T^{24} - 879984127345524 p^{6} T^{25} + 714056828966148 p^{7} T^{26} - 3964771674614 p^{8} T^{27} + 4860448158536 p^{9} T^{28} - 1650657100 p^{10} T^{29} + 27834247843 p^{11} T^{30} + 1583417 p^{13} T^{31} + 128078168 p^{13} T^{32} + 1166643 p^{14} T^{33} + 437542 p^{15} T^{34} + 4454 p^{16} T^{35} + 964 p^{17} T^{36} + 7 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
97 \( 1 - 39 T + 1812 T^{2} - 48290 T^{3} + 1343996 T^{4} - 28015607 T^{5} + 591847844 T^{6} - 10331773501 T^{7} + 181372882043 T^{8} - 2762894411788 T^{9} + 42260825462822 T^{10} - 576732763030202 T^{11} + 7902903390374710 T^{12} - 98237879336580364 T^{13} + 1226269306796116981 T^{14} - 14025839064140651091 T^{15} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( T^{16} - \)\(17\!\cdots\!58\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!48\)\( p T^{20} - \)\(17\!\cdots\!58\)\( p^{2} T^{21} + \)\(16\!\cdots\!39\)\( p^{3} T^{22} - 14025839064140651091 p^{4} T^{23} + 1226269306796116981 p^{5} T^{24} - 98237879336580364 p^{6} T^{25} + 7902903390374710 p^{7} T^{26} - 576732763030202 p^{8} T^{27} + 42260825462822 p^{9} T^{28} - 2762894411788 p^{10} T^{29} + 181372882043 p^{11} T^{30} - 10331773501 p^{12} T^{31} + 591847844 p^{13} T^{32} - 28015607 p^{14} T^{33} + 1343996 p^{15} T^{34} - 48290 p^{16} T^{35} + 1812 p^{17} T^{36} - 39 p^{18} T^{37} + p^{19} T^{38} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{38} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.15747130424140685227181067600, −2.09415264406655240356120267044, −2.07434469938763996294955559101, −2.01300154652783139825887234388, −1.91314137230346783544968366268, −1.89399004432108335901745227681, −1.80201326032035768013702380445, −1.77591427713038857411955999872, −1.70393370706114242807146674208, −1.67294659163830924722304616437, −1.63274584579559044498753486014, −1.59711316806124094202263206183, −1.51694611069969245260855497706, −1.50265143432741466498284888725, −1.45202256106384352422165990557, −1.44284490147630557330809851261, −1.37667688092273586087692392041, −1.32159077462744440224022369779, −1.29168242660714256757777483219, −1.25616340787946005613562024557, −1.21891355678433128626333278294, −1.03833463078192215057342192094, −1.03686821551739188128088434589, −1.02611236756747229705119350687, −0.898756443363507894668429997423, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.898756443363507894668429997423, 1.02611236756747229705119350687, 1.03686821551739188128088434589, 1.03833463078192215057342192094, 1.21891355678433128626333278294, 1.25616340787946005613562024557, 1.29168242660714256757777483219, 1.32159077462744440224022369779, 1.37667688092273586087692392041, 1.44284490147630557330809851261, 1.45202256106384352422165990557, 1.50265143432741466498284888725, 1.51694611069969245260855497706, 1.59711316806124094202263206183, 1.63274584579559044498753486014, 1.67294659163830924722304616437, 1.70393370706114242807146674208, 1.77591427713038857411955999872, 1.80201326032035768013702380445, 1.89399004432108335901745227681, 1.91314137230346783544968366268, 2.01300154652783139825887234388, 2.07434469938763996294955559101, 2.09415264406655240356120267044, 2.15747130424140685227181067600

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.