Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 5·3-s + 15·5-s + 7·7-s − 9-s + 7·11-s + 2·13-s + 75·15-s − 3·17-s + 8·19-s + 35·21-s + 15·23-s + 120·25-s − 44·27-s + 5·29-s + 27·31-s + 35·33-s + 105·35-s − 4·37-s + 10·39-s + 20·41-s + 25·43-s − 15·45-s + 35·47-s − 35·49-s − 15·51-s − 2·53-s + 105·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.88·3-s + 6.70·5-s + 2.64·7-s − 1/3·9-s + 2.11·11-s + 0.554·13-s + 19.3·15-s − 0.727·17-s + 1.83·19-s + 7.63·21-s + 3.12·23-s + 24·25-s − 8.46·27-s + 0.928·29-s + 4.84·31-s + 6.09·33-s + 17.7·35-s − 0.657·37-s + 1.60·39-s + 3.12·41-s + 3.81·43-s − 2.23·45-s + 5.10·47-s − 5·49-s − 2.10·51-s − 0.274·53-s + 14.1·55-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{45} \cdot 5^{15} \cdot 151^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{45} \cdot 5^{15} \cdot 151^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(30\) |
| Conductor: | \(2^{45} \cdot 5^{15} \cdot 151^{15}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.77709\times 10^{25}\) |
| Root analytic conductor: | \(6.94475\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((30,\ 2^{45} \cdot 5^{15} \cdot 151^{15} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(100018.9167\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(100018.9167\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 5 | \( ( 1 - T )^{15} \) | |
| 151 | \( ( 1 + T )^{15} \) | |
| good | 3 | \( 1 - 5 T + 26 T^{2} - 91 T^{3} + 310 T^{4} - 874 T^{5} + 799 p T^{6} - 5834 T^{7} + 13891 T^{8} - 30332 T^{9} + 65131 T^{10} - 130558 T^{11} + 258316 T^{12} - 481397 T^{13} + 886876 T^{14} - 1544842 T^{15} + 886876 p T^{16} - 481397 p^{2} T^{17} + 258316 p^{3} T^{18} - 130558 p^{4} T^{19} + 65131 p^{5} T^{20} - 30332 p^{6} T^{21} + 13891 p^{7} T^{22} - 5834 p^{8} T^{23} + 799 p^{10} T^{24} - 874 p^{10} T^{25} + 310 p^{11} T^{26} - 91 p^{12} T^{27} + 26 p^{13} T^{28} - 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) |
| 7 | \( 1 - p T + 12 p T^{2} - 466 T^{3} + 3301 T^{4} - 15364 T^{5} + 11735 p T^{6} - 331367 T^{7} + 1462068 T^{8} - 5213280 T^{9} + 19821780 T^{10} - 63223382 T^{11} + 212116643 T^{12} - 609156101 T^{13} + 1827630012 T^{14} - 4735701986 T^{15} + 1827630012 p T^{16} - 609156101 p^{2} T^{17} + 212116643 p^{3} T^{18} - 63223382 p^{4} T^{19} + 19821780 p^{5} T^{20} - 5213280 p^{6} T^{21} + 1462068 p^{7} T^{22} - 331367 p^{8} T^{23} + 11735 p^{10} T^{24} - 15364 p^{10} T^{25} + 3301 p^{11} T^{26} - 466 p^{12} T^{27} + 12 p^{14} T^{28} - p^{15} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 11 | \( 1 - 7 T + 112 T^{2} - 727 T^{3} + 6434 T^{4} - 37328 T^{5} + 244109 T^{6} - 1258208 T^{7} + 6751611 T^{8} - 31034182 T^{9} + 143445213 T^{10} - 591173358 T^{11} + 2413073976 T^{12} - 8953166139 T^{13} + 32697622592 T^{14} - 109396144614 T^{15} + 32697622592 p T^{16} - 8953166139 p^{2} T^{17} + 2413073976 p^{3} T^{18} - 591173358 p^{4} T^{19} + 143445213 p^{5} T^{20} - 31034182 p^{6} T^{21} + 6751611 p^{7} T^{22} - 1258208 p^{8} T^{23} + 244109 p^{9} T^{24} - 37328 p^{10} T^{25} + 6434 p^{11} T^{26} - 727 p^{12} T^{27} + 112 p^{13} T^{28} - 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 13 | \( 1 - 2 T + 103 T^{2} - 229 T^{3} + 5480 T^{4} - 12104 T^{5} + 197291 T^{6} - 31625 p T^{7} + 5332914 T^{8} - 10236830 T^{9} + 114781094 T^{10} - 201050431 T^{11} + 157248640 p T^{12} - 3274982462 T^{13} + 30900140413 T^{14} - 45718983610 T^{15} + 30900140413 p T^{16} - 3274982462 p^{2} T^{17} + 157248640 p^{4} T^{18} - 201050431 p^{4} T^{19} + 114781094 p^{5} T^{20} - 10236830 p^{6} T^{21} + 5332914 p^{7} T^{22} - 31625 p^{9} T^{23} + 197291 p^{9} T^{24} - 12104 p^{10} T^{25} + 5480 p^{11} T^{26} - 229 p^{12} T^{27} + 103 p^{13} T^{28} - 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 17 | \( 1 + 3 T + 135 T^{2} + 191 T^{3} + 8257 T^{4} - 428 T^{5} + 326534 T^{6} - 435554 T^{7} + 10120515 T^{8} - 22367840 T^{9} + 267372044 T^{10} - 710136995 T^{11} + 6037518112 T^{12} - 17239853495 T^{13} + 116919420242 T^{14} - 330700272052 T^{15} + 116919420242 p T^{16} - 17239853495 p^{2} T^{17} + 6037518112 p^{3} T^{18} - 710136995 p^{4} T^{19} + 267372044 p^{5} T^{20} - 22367840 p^{6} T^{21} + 10120515 p^{7} T^{22} - 435554 p^{8} T^{23} + 326534 p^{9} T^{24} - 428 p^{10} T^{25} + 8257 p^{11} T^{26} + 191 p^{12} T^{27} + 135 p^{13} T^{28} + 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 19 | \( 1 - 8 T + 183 T^{2} - 1323 T^{3} + 16330 T^{4} - 5677 p T^{5} + 951855 T^{6} - 303022 p T^{7} + 40839169 T^{8} - 225904422 T^{9} + 1373989109 T^{10} - 6939982240 T^{11} + 37586571994 T^{12} - 173413555983 T^{13} + 853052093451 T^{14} - 3601342087998 T^{15} + 853052093451 p T^{16} - 173413555983 p^{2} T^{17} + 37586571994 p^{3} T^{18} - 6939982240 p^{4} T^{19} + 1373989109 p^{5} T^{20} - 225904422 p^{6} T^{21} + 40839169 p^{7} T^{22} - 303022 p^{9} T^{23} + 951855 p^{9} T^{24} - 5677 p^{11} T^{25} + 16330 p^{11} T^{26} - 1323 p^{12} T^{27} + 183 p^{13} T^{28} - 8 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 23 | \( 1 - 15 T + 314 T^{2} - 3218 T^{3} + 39572 T^{4} - 314597 T^{5} + 2922471 T^{6} - 19356629 T^{7} + 150439325 T^{8} - 868735490 T^{9} + 5953482271 T^{10} - 30806961835 T^{11} + 191340028196 T^{12} - 902290213496 T^{13} + 224187094704 p T^{14} - 22416930858984 T^{15} + 224187094704 p^{2} T^{16} - 902290213496 p^{2} T^{17} + 191340028196 p^{3} T^{18} - 30806961835 p^{4} T^{19} + 5953482271 p^{5} T^{20} - 868735490 p^{6} T^{21} + 150439325 p^{7} T^{22} - 19356629 p^{8} T^{23} + 2922471 p^{9} T^{24} - 314597 p^{10} T^{25} + 39572 p^{11} T^{26} - 3218 p^{12} T^{27} + 314 p^{13} T^{28} - 15 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 29 | \( 1 - 5 T + 285 T^{2} - 1297 T^{3} + 39420 T^{4} - 164025 T^{5} + 3529105 T^{6} - 13467799 T^{7} + 230168464 T^{8} - 807618258 T^{9} + 11678884490 T^{10} - 37767346607 T^{11} + 480799802498 T^{12} - 1435318103556 T^{13} + 16499278352309 T^{14} - 45424943311210 T^{15} + 16499278352309 p T^{16} - 1435318103556 p^{2} T^{17} + 480799802498 p^{3} T^{18} - 37767346607 p^{4} T^{19} + 11678884490 p^{5} T^{20} - 807618258 p^{6} T^{21} + 230168464 p^{7} T^{22} - 13467799 p^{8} T^{23} + 3529105 p^{9} T^{24} - 164025 p^{10} T^{25} + 39420 p^{11} T^{26} - 1297 p^{12} T^{27} + 285 p^{13} T^{28} - 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 31 | \( 1 - 27 T + 654 T^{2} - 10624 T^{3} + 156540 T^{4} - 1886930 T^{5} + 21019985 T^{6} - 204884254 T^{7} + 1871310206 T^{8} - 498130643 p T^{9} + 120601145202 T^{10} - 866328731732 T^{11} + 5931292477740 T^{12} - 37735985874125 T^{13} + 229812434587298 T^{14} - 1306856099382354 T^{15} + 229812434587298 p T^{16} - 37735985874125 p^{2} T^{17} + 5931292477740 p^{3} T^{18} - 866328731732 p^{4} T^{19} + 120601145202 p^{5} T^{20} - 498130643 p^{7} T^{21} + 1871310206 p^{7} T^{22} - 204884254 p^{8} T^{23} + 21019985 p^{9} T^{24} - 1886930 p^{10} T^{25} + 156540 p^{11} T^{26} - 10624 p^{12} T^{27} + 654 p^{13} T^{28} - 27 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 37 | \( 1 + 4 T + 342 T^{2} + 1132 T^{3} + 57624 T^{4} + 163275 T^{5} + 6417097 T^{6} + 15994583 T^{7} + 530753443 T^{8} + 1186930711 T^{9} + 34605400036 T^{10} + 70331963896 T^{11} + 1839417388070 T^{12} + 3420682929346 T^{13} + 81222928474307 T^{14} + 138446947060522 T^{15} + 81222928474307 p T^{16} + 3420682929346 p^{2} T^{17} + 1839417388070 p^{3} T^{18} + 70331963896 p^{4} T^{19} + 34605400036 p^{5} T^{20} + 1186930711 p^{6} T^{21} + 530753443 p^{7} T^{22} + 15994583 p^{8} T^{23} + 6417097 p^{9} T^{24} + 163275 p^{10} T^{25} + 57624 p^{11} T^{26} + 1132 p^{12} T^{27} + 342 p^{13} T^{28} + 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 41 | \( 1 - 20 T + 592 T^{2} - 8658 T^{3} + 151271 T^{4} - 1784615 T^{5} + 23476382 T^{6} - 234996301 T^{7} + 2544497378 T^{8} - 22236081499 T^{9} + 206969899761 T^{10} - 1605433624426 T^{11} + 13154830002152 T^{12} - 91404805790618 T^{13} + 668146613064223 T^{14} - 4173760166461870 T^{15} + 668146613064223 p T^{16} - 91404805790618 p^{2} T^{17} + 13154830002152 p^{3} T^{18} - 1605433624426 p^{4} T^{19} + 206969899761 p^{5} T^{20} - 22236081499 p^{6} T^{21} + 2544497378 p^{7} T^{22} - 234996301 p^{8} T^{23} + 23476382 p^{9} T^{24} - 1784615 p^{10} T^{25} + 151271 p^{11} T^{26} - 8658 p^{12} T^{27} + 592 p^{13} T^{28} - 20 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 43 | \( 1 - 25 T + 702 T^{2} - 11576 T^{3} + 192762 T^{4} - 2416005 T^{5} + 30015940 T^{6} - 306283387 T^{7} + 3101351742 T^{8} - 26905822427 T^{9} + 233779343434 T^{10} - 1784699215484 T^{11} + 13835908280982 T^{12} - 95879420155335 T^{13} + 684132155182855 T^{14} - 4407555954419778 T^{15} + 684132155182855 p T^{16} - 95879420155335 p^{2} T^{17} + 13835908280982 p^{3} T^{18} - 1784699215484 p^{4} T^{19} + 233779343434 p^{5} T^{20} - 26905822427 p^{6} T^{21} + 3101351742 p^{7} T^{22} - 306283387 p^{8} T^{23} + 30015940 p^{9} T^{24} - 2416005 p^{10} T^{25} + 192762 p^{11} T^{26} - 11576 p^{12} T^{27} + 702 p^{13} T^{28} - 25 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 47 | \( 1 - 35 T + 1058 T^{2} - 22303 T^{3} + 8853 p T^{4} - 6511973 T^{5} + 92434535 T^{6} - 1167735175 T^{7} + 13596093140 T^{8} - 144682157195 T^{9} + 1433468206674 T^{10} - 13160580788645 T^{11} + 113197625639101 T^{12} - 908815291751341 T^{13} + 6858913899062018 T^{14} - 48473135287908458 T^{15} + 6858913899062018 p T^{16} - 908815291751341 p^{2} T^{17} + 113197625639101 p^{3} T^{18} - 13160580788645 p^{4} T^{19} + 1433468206674 p^{5} T^{20} - 144682157195 p^{6} T^{21} + 13596093140 p^{7} T^{22} - 1167735175 p^{8} T^{23} + 92434535 p^{9} T^{24} - 6511973 p^{10} T^{25} + 8853 p^{12} T^{26} - 22303 p^{12} T^{27} + 1058 p^{13} T^{28} - 35 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 53 | \( 1 + 2 T + 501 T^{2} + 1065 T^{3} + 126368 T^{4} + 275499 T^{5} + 21172086 T^{6} + 46100521 T^{7} + 2625273049 T^{8} + 5584221641 T^{9} + 254534369865 T^{10} + 518392662039 T^{11} + 19899651890494 T^{12} + 38051626661586 T^{13} + 1276049033124980 T^{14} + 2244275628406830 T^{15} + 1276049033124980 p T^{16} + 38051626661586 p^{2} T^{17} + 19899651890494 p^{3} T^{18} + 518392662039 p^{4} T^{19} + 254534369865 p^{5} T^{20} + 5584221641 p^{6} T^{21} + 2625273049 p^{7} T^{22} + 46100521 p^{8} T^{23} + 21172086 p^{9} T^{24} + 275499 p^{10} T^{25} + 126368 p^{11} T^{26} + 1065 p^{12} T^{27} + 501 p^{13} T^{28} + 2 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 59 | \( 1 - 39 T + 1305 T^{2} - 30215 T^{3} + 619400 T^{4} - 10570103 T^{5} + 163941581 T^{6} - 2249674639 T^{7} + 28551056406 T^{8} - 330015630310 T^{9} + 3570603828708 T^{10} - 35769095599899 T^{11} + 338219711313728 T^{12} - 2990021950651696 T^{13} + 25078988874765213 T^{14} - 197593260006048326 T^{15} + 25078988874765213 p T^{16} - 2990021950651696 p^{2} T^{17} + 338219711313728 p^{3} T^{18} - 35769095599899 p^{4} T^{19} + 3570603828708 p^{5} T^{20} - 330015630310 p^{6} T^{21} + 28551056406 p^{7} T^{22} - 2249674639 p^{8} T^{23} + 163941581 p^{9} T^{24} - 10570103 p^{10} T^{25} + 619400 p^{11} T^{26} - 30215 p^{12} T^{27} + 1305 p^{13} T^{28} - 39 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 61 | \( 1 - 23 T + 786 T^{2} - 14322 T^{3} + 283157 T^{4} - 4266020 T^{5} + 63232257 T^{6} - 811733173 T^{7} + 9932480960 T^{8} - 111072676284 T^{9} + 1176017440650 T^{10} - 11644534827070 T^{11} + 109405782823559 T^{12} - 970259556868769 T^{13} + 8194703922341442 T^{14} - 65532501113010326 T^{15} + 8194703922341442 p T^{16} - 970259556868769 p^{2} T^{17} + 109405782823559 p^{3} T^{18} - 11644534827070 p^{4} T^{19} + 1176017440650 p^{5} T^{20} - 111072676284 p^{6} T^{21} + 9932480960 p^{7} T^{22} - 811733173 p^{8} T^{23} + 63232257 p^{9} T^{24} - 4266020 p^{10} T^{25} + 283157 p^{11} T^{26} - 14322 p^{12} T^{27} + 786 p^{13} T^{28} - 23 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 67 | \( 1 - 32 T + 991 T^{2} - 21236 T^{3} + 416924 T^{4} - 6930159 T^{5} + 106468485 T^{6} - 1471208004 T^{7} + 19000635277 T^{8} - 226536817371 T^{9} + 2544073950885 T^{10} - 26726471566662 T^{11} + 265769342627684 T^{12} - 2489210260894379 T^{13} + 22129061901794521 T^{14} - 185837808364801502 T^{15} + 22129061901794521 p T^{16} - 2489210260894379 p^{2} T^{17} + 265769342627684 p^{3} T^{18} - 26726471566662 p^{4} T^{19} + 2544073950885 p^{5} T^{20} - 226536817371 p^{6} T^{21} + 19000635277 p^{7} T^{22} - 1471208004 p^{8} T^{23} + 106468485 p^{9} T^{24} - 6930159 p^{10} T^{25} + 416924 p^{11} T^{26} - 21236 p^{12} T^{27} + 991 p^{13} T^{28} - 32 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 71 | \( 1 - 30 T + 1236 T^{2} - 27311 T^{3} + 657652 T^{4} - 11593205 T^{5} + 207630185 T^{6} - 3052828373 T^{7} + 44377613727 T^{8} - 559208794785 T^{9} + 6885681211534 T^{10} - 75640524373453 T^{11} + 807741028833350 T^{12} - 7813951774661788 T^{13} + 73322025601429983 T^{14} - 627494556611979870 T^{15} + 73322025601429983 p T^{16} - 7813951774661788 p^{2} T^{17} + 807741028833350 p^{3} T^{18} - 75640524373453 p^{4} T^{19} + 6885681211534 p^{5} T^{20} - 559208794785 p^{6} T^{21} + 44377613727 p^{7} T^{22} - 3052828373 p^{8} T^{23} + 207630185 p^{9} T^{24} - 11593205 p^{10} T^{25} + 657652 p^{11} T^{26} - 27311 p^{12} T^{27} + 1236 p^{13} T^{28} - 30 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 73 | \( 1 - 7 T + 583 T^{2} - 3893 T^{3} + 164476 T^{4} - 1051095 T^{5} + 30328551 T^{6} - 184327331 T^{7} + 4158209336 T^{8} - 23829000050 T^{9} + 456578515114 T^{10} - 2460208029889 T^{11} + 42270731409214 T^{12} - 215251983612670 T^{13} + 3432994492168803 T^{14} - 16610860472146262 T^{15} + 3432994492168803 p T^{16} - 215251983612670 p^{2} T^{17} + 42270731409214 p^{3} T^{18} - 2460208029889 p^{4} T^{19} + 456578515114 p^{5} T^{20} - 23829000050 p^{6} T^{21} + 4158209336 p^{7} T^{22} - 184327331 p^{8} T^{23} + 30328551 p^{9} T^{24} - 1051095 p^{10} T^{25} + 164476 p^{11} T^{26} - 3893 p^{12} T^{27} + 583 p^{13} T^{28} - 7 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 79 | \( 1 - 38 T + 1485 T^{2} - 37017 T^{3} + 876231 T^{4} - 16709753 T^{5} + 299688498 T^{6} - 4689010953 T^{7} + 69102003990 T^{8} - 921578723941 T^{9} + 11613388640965 T^{10} - 135003888913283 T^{11} + 1487000481031499 T^{12} - 15263660272623196 T^{13} + 148710765475130805 T^{14} - 1356310036247888950 T^{15} + 148710765475130805 p T^{16} - 15263660272623196 p^{2} T^{17} + 1487000481031499 p^{3} T^{18} - 135003888913283 p^{4} T^{19} + 11613388640965 p^{5} T^{20} - 921578723941 p^{6} T^{21} + 69102003990 p^{7} T^{22} - 4689010953 p^{8} T^{23} + 299688498 p^{9} T^{24} - 16709753 p^{10} T^{25} + 876231 p^{11} T^{26} - 37017 p^{12} T^{27} + 1485 p^{13} T^{28} - 38 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 83 | \( 1 - 29 T + 1185 T^{2} - 25389 T^{3} + 600153 T^{4} - 10276532 T^{5} + 179001262 T^{6} - 2563506102 T^{7} + 36020968176 T^{8} - 445565013881 T^{9} + 5311836590620 T^{10} - 58364817616840 T^{11} + 613314019969625 T^{12} - 6147154425437853 T^{13} + 58842171714124416 T^{14} - 548426223370991568 T^{15} + 58842171714124416 p T^{16} - 6147154425437853 p^{2} T^{17} + 613314019969625 p^{3} T^{18} - 58364817616840 p^{4} T^{19} + 5311836590620 p^{5} T^{20} - 445565013881 p^{6} T^{21} + 36020968176 p^{7} T^{22} - 2563506102 p^{8} T^{23} + 179001262 p^{9} T^{24} - 10276532 p^{10} T^{25} + 600153 p^{11} T^{26} - 25389 p^{12} T^{27} + 1185 p^{13} T^{28} - 29 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 89 | \( 1 - 19 T + 1190 T^{2} - 19912 T^{3} + 7520 p T^{4} - 9950377 T^{5} + 236525874 T^{6} - 3142538391 T^{7} + 58821873944 T^{8} - 700736154159 T^{9} + 10913498105048 T^{10} - 116702861037044 T^{11} + 1561368359376938 T^{12} - 14970132876839669 T^{13} + 175453434740369589 T^{14} - 1502547658278786074 T^{15} + 175453434740369589 p T^{16} - 14970132876839669 p^{2} T^{17} + 1561368359376938 p^{3} T^{18} - 116702861037044 p^{4} T^{19} + 10913498105048 p^{5} T^{20} - 700736154159 p^{6} T^{21} + 58821873944 p^{7} T^{22} - 3142538391 p^{8} T^{23} + 236525874 p^{9} T^{24} - 9950377 p^{10} T^{25} + 7520 p^{12} T^{26} - 19912 p^{12} T^{27} + 1190 p^{13} T^{28} - 19 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| 97 | \( 1 + 8 T + 1079 T^{2} + 8047 T^{3} + 564101 T^{4} + 3938060 T^{5} + 190168386 T^{6} + 1243438406 T^{7} + 46322170917 T^{8} + 282873276440 T^{9} + 8645373821974 T^{10} + 49011429523145 T^{11} + 1277914773988946 T^{12} + 6665406320437460 T^{13} + 152384590518767700 T^{14} + 722493776397475588 T^{15} + 152384590518767700 p T^{16} + 6665406320437460 p^{2} T^{17} + 1277914773988946 p^{3} T^{18} + 49011429523145 p^{4} T^{19} + 8645373821974 p^{5} T^{20} + 282873276440 p^{6} T^{21} + 46322170917 p^{7} T^{22} + 1243438406 p^{8} T^{23} + 190168386 p^{9} T^{24} + 3938060 p^{10} T^{25} + 564101 p^{11} T^{26} + 8047 p^{12} T^{27} + 1079 p^{13} T^{28} + 8 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.01871003923426226083684983915, −1.99756288189821115933140318707, −1.91745727173153766514193019166, −1.89802551420748863281970268609, −1.88644118752605178831599244770, −1.73604936492117955876216289965, −1.69643548936309666884237838333, −1.61873354668354396760710067826, −1.55658001657607505438306574317, −1.46103153189072953697171224939, −1.33450514968962826098361401548, −1.16891864012084012385345752641, −1.14397402490125733558700153219, −1.06286938586593700896679224401, −0.994813597413007908953938463820, −0.877071531784472227425680516335, −0.825819776520468999183663427840, −0.798096319885146376277538249355, −0.75559603225307328750245399195, −0.74600581342199580820819453319, −0.74049359260996754094798392526, −0.71509005468382842979785476489, −0.46897086900568735206927426812, −0.46000721835540637076595618042, −0.43968632585494777681884219991, 0.43968632585494777681884219991, 0.46000721835540637076595618042, 0.46897086900568735206927426812, 0.71509005468382842979785476489, 0.74049359260996754094798392526, 0.74600581342199580820819453319, 0.75559603225307328750245399195, 0.798096319885146376277538249355, 0.825819776520468999183663427840, 0.877071531784472227425680516335, 0.994813597413007908953938463820, 1.06286938586593700896679224401, 1.14397402490125733558700153219, 1.16891864012084012385345752641, 1.33450514968962826098361401548, 1.46103153189072953697171224939, 1.55658001657607505438306574317, 1.61873354668354396760710067826, 1.69643548936309666884237838333, 1.73604936492117955876216289965, 1.88644118752605178831599244770, 1.89802551420748863281970268609, 1.91745727173153766514193019166, 1.99756288189821115933140318707, 2.01871003923426226083684983915
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.