Properties

Degree 30
Conductor $ 2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 503^{15} $
Sign $-1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 15

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 15·3-s − 11·5-s − 4·7-s + 120·9-s − 5·11-s − 14·13-s − 165·15-s − 5·17-s + 3·19-s − 60·21-s − 32·23-s + 24·25-s + 680·27-s − 23·29-s − 13·31-s − 75·33-s + 44·35-s − 10·37-s − 210·39-s − 14·41-s + 4·43-s − 1.32e3·45-s − 20·47-s − 49·49-s − 75·51-s − 30·53-s + 55·55-s + ⋯
L(s)  = 1  + 8.66·3-s − 4.91·5-s − 1.51·7-s + 40·9-s − 1.50·11-s − 3.88·13-s − 42.6·15-s − 1.21·17-s + 0.688·19-s − 13.0·21-s − 6.67·23-s + 24/5·25-s + 130.·27-s − 4.27·29-s − 2.33·31-s − 13.0·33-s + 7.43·35-s − 1.64·37-s − 33.6·39-s − 2.18·41-s + 0.609·43-s − 196.·45-s − 2.91·47-s − 7·49-s − 10.5·51-s − 4.12·53-s + 7.41·55-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 503^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{15} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 503^{15}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{15} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(30\)
\( N \)  =  \(2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 503^{15}\)
\( \varepsilon \)  =  $-1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{6036} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  15
Selberg data  =  $(30,\ 2^{30} \cdot 3^{15} \cdot 503^{15} ,\ ( \ : [1/2]^{15} ),\ -1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{2,\;3,\;503\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 30. If $p \in \{2,\;3,\;503\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 29.
$p$$F_p$
bad2 \( 1 \)
3 \( ( 1 - T )^{15} \)
503 \( ( 1 + T )^{15} \)
good5 \( 1 + 11 T + 97 T^{2} + 616 T^{3} + 3396 T^{4} + 3196 p T^{5} + 68027 T^{6} + 52227 p T^{7} + 927821 T^{8} + 3047022 T^{9} + 1876281 p T^{10} + 27034937 T^{11} + 73561421 T^{12} + 188579157 T^{13} + 458143188 T^{14} + 1051725229 T^{15} + 458143188 p T^{16} + 188579157 p^{2} T^{17} + 73561421 p^{3} T^{18} + 27034937 p^{4} T^{19} + 1876281 p^{6} T^{20} + 3047022 p^{6} T^{21} + 927821 p^{7} T^{22} + 52227 p^{9} T^{23} + 68027 p^{9} T^{24} + 3196 p^{11} T^{25} + 3396 p^{11} T^{26} + 616 p^{12} T^{27} + 97 p^{13} T^{28} + 11 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
7 \( 1 + 4 T + 65 T^{2} + 228 T^{3} + 302 p T^{4} + 6590 T^{5} + 6488 p T^{6} + 18220 p T^{7} + 721881 T^{8} + 1842909 T^{9} + 9006868 T^{10} + 21021823 T^{11} + 91252090 T^{12} + 195193938 T^{13} + 765153143 T^{14} + 1498840444 T^{15} + 765153143 p T^{16} + 195193938 p^{2} T^{17} + 91252090 p^{3} T^{18} + 21021823 p^{4} T^{19} + 9006868 p^{5} T^{20} + 1842909 p^{6} T^{21} + 721881 p^{7} T^{22} + 18220 p^{9} T^{23} + 6488 p^{10} T^{24} + 6590 p^{10} T^{25} + 302 p^{12} T^{26} + 228 p^{12} T^{27} + 65 p^{13} T^{28} + 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
11 \( 1 + 5 T + 96 T^{2} + 414 T^{3} + 410 p T^{4} + 17115 T^{5} + 138898 T^{6} + 470898 T^{7} + 3168001 T^{8} + 9715381 T^{9} + 57310873 T^{10} + 160705352 T^{11} + 858815354 T^{12} + 2222037371 T^{13} + 10952894932 T^{14} + 26308166854 T^{15} + 10952894932 p T^{16} + 2222037371 p^{2} T^{17} + 858815354 p^{3} T^{18} + 160705352 p^{4} T^{19} + 57310873 p^{5} T^{20} + 9715381 p^{6} T^{21} + 3168001 p^{7} T^{22} + 470898 p^{8} T^{23} + 138898 p^{9} T^{24} + 17115 p^{10} T^{25} + 410 p^{12} T^{26} + 414 p^{12} T^{27} + 96 p^{13} T^{28} + 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
13 \( 1 + 14 T + 204 T^{2} + 11 p^{2} T^{3} + 1280 p T^{4} + 117460 T^{5} + 807785 T^{6} + 4750311 T^{7} + 27210272 T^{8} + 138491856 T^{9} + 687684056 T^{10} + 3097624923 T^{11} + 13636038487 T^{12} + 55072726104 T^{13} + 217638242505 T^{14} + 793114521453 T^{15} + 217638242505 p T^{16} + 55072726104 p^{2} T^{17} + 13636038487 p^{3} T^{18} + 3097624923 p^{4} T^{19} + 687684056 p^{5} T^{20} + 138491856 p^{6} T^{21} + 27210272 p^{7} T^{22} + 4750311 p^{8} T^{23} + 807785 p^{9} T^{24} + 117460 p^{10} T^{25} + 1280 p^{12} T^{26} + 11 p^{14} T^{27} + 204 p^{13} T^{28} + 14 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
17 \( 1 + 5 T + 131 T^{2} + 447 T^{3} + 448 p T^{4} + 16419 T^{5} + 277311 T^{6} + 298729 T^{7} + 7593465 T^{8} + 1108333 T^{9} + 173452021 T^{10} - 111422650 T^{11} + 3443718565 T^{12} - 4326811700 T^{13} + 61687686178 T^{14} - 92569555454 T^{15} + 61687686178 p T^{16} - 4326811700 p^{2} T^{17} + 3443718565 p^{3} T^{18} - 111422650 p^{4} T^{19} + 173452021 p^{5} T^{20} + 1108333 p^{6} T^{21} + 7593465 p^{7} T^{22} + 298729 p^{8} T^{23} + 277311 p^{9} T^{24} + 16419 p^{10} T^{25} + 448 p^{12} T^{26} + 447 p^{12} T^{27} + 131 p^{13} T^{28} + 5 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
19 \( 1 - 3 T + 179 T^{2} - 522 T^{3} + 15816 T^{4} - 43527 T^{5} + 48120 p T^{6} - 2325442 T^{7} + 38758469 T^{8} - 89897111 T^{9} + 1283413374 T^{10} - 2699693157 T^{11} + 34558912227 T^{12} - 66104402547 T^{13} + 776572610391 T^{14} - 1361691218254 T^{15} + 776572610391 p T^{16} - 66104402547 p^{2} T^{17} + 34558912227 p^{3} T^{18} - 2699693157 p^{4} T^{19} + 1283413374 p^{5} T^{20} - 89897111 p^{6} T^{21} + 38758469 p^{7} T^{22} - 2325442 p^{8} T^{23} + 48120 p^{10} T^{24} - 43527 p^{10} T^{25} + 15816 p^{11} T^{26} - 522 p^{12} T^{27} + 179 p^{13} T^{28} - 3 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
23 \( 1 + 32 T + 675 T^{2} + 10221 T^{3} + 125843 T^{4} + 56223 p T^{5} + 11560958 T^{6} + 91264720 T^{7} + 651244412 T^{8} + 4251771928 T^{9} + 25854263491 T^{10} + 147969413794 T^{11} + 807530442302 T^{12} + 4226179381988 T^{13} + 21345250240231 T^{14} + 104073730215610 T^{15} + 21345250240231 p T^{16} + 4226179381988 p^{2} T^{17} + 807530442302 p^{3} T^{18} + 147969413794 p^{4} T^{19} + 25854263491 p^{5} T^{20} + 4251771928 p^{6} T^{21} + 651244412 p^{7} T^{22} + 91264720 p^{8} T^{23} + 11560958 p^{9} T^{24} + 56223 p^{11} T^{25} + 125843 p^{11} T^{26} + 10221 p^{12} T^{27} + 675 p^{13} T^{28} + 32 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
29 \( 1 + 23 T + 514 T^{2} + 7334 T^{3} + 3398 p T^{4} + 1046586 T^{5} + 10531319 T^{6} + 90084320 T^{7} + 738210906 T^{8} + 5328365805 T^{9} + 37357344720 T^{10} + 236020665719 T^{11} + 1473381984059 T^{12} + 8440342260900 T^{13} + 48606194334639 T^{14} + 260032255592519 T^{15} + 48606194334639 p T^{16} + 8440342260900 p^{2} T^{17} + 1473381984059 p^{3} T^{18} + 236020665719 p^{4} T^{19} + 37357344720 p^{5} T^{20} + 5328365805 p^{6} T^{21} + 738210906 p^{7} T^{22} + 90084320 p^{8} T^{23} + 10531319 p^{9} T^{24} + 1046586 p^{10} T^{25} + 3398 p^{12} T^{26} + 7334 p^{12} T^{27} + 514 p^{13} T^{28} + 23 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
31 \( 1 + 13 T + 350 T^{2} + 3724 T^{3} + 57830 T^{4} + 525958 T^{5} + 6095013 T^{6} + 1570071 p T^{7} + 463198093 T^{8} + 3302098968 T^{9} + 27052271652 T^{10} + 173874277858 T^{11} + 1258629282260 T^{12} + 7330062865708 T^{13} + 47586918523056 T^{14} + 251344206014494 T^{15} + 47586918523056 p T^{16} + 7330062865708 p^{2} T^{17} + 1258629282260 p^{3} T^{18} + 173874277858 p^{4} T^{19} + 27052271652 p^{5} T^{20} + 3302098968 p^{6} T^{21} + 463198093 p^{7} T^{22} + 1570071 p^{9} T^{23} + 6095013 p^{9} T^{24} + 525958 p^{10} T^{25} + 57830 p^{11} T^{26} + 3724 p^{12} T^{27} + 350 p^{13} T^{28} + 13 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
37 \( 1 + 10 T + 329 T^{2} + 3282 T^{3} + 53337 T^{4} + 520011 T^{5} + 5751981 T^{6} + 53146601 T^{7} + 467221691 T^{8} + 3955514081 T^{9} + 820783415 p T^{10} + 229905059087 T^{11} + 1623277397842 T^{12} + 10934109413996 T^{13} + 72084819753152 T^{14} + 438327255088672 T^{15} + 72084819753152 p T^{16} + 10934109413996 p^{2} T^{17} + 1623277397842 p^{3} T^{18} + 229905059087 p^{4} T^{19} + 820783415 p^{6} T^{20} + 3955514081 p^{6} T^{21} + 467221691 p^{7} T^{22} + 53146601 p^{8} T^{23} + 5751981 p^{9} T^{24} + 520011 p^{10} T^{25} + 53337 p^{11} T^{26} + 3282 p^{12} T^{27} + 329 p^{13} T^{28} + 10 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
41 \( 1 + 14 T + 479 T^{2} + 5551 T^{3} + 106705 T^{4} + 1052098 T^{5} + 14823137 T^{6} + 126912011 T^{7} + 1452705140 T^{8} + 10982758517 T^{9} + 107907749962 T^{10} + 731233210951 T^{11} + 6383015747014 T^{12} + 39284435845650 T^{13} + 311349214849579 T^{14} + 1756057900273881 T^{15} + 311349214849579 p T^{16} + 39284435845650 p^{2} T^{17} + 6383015747014 p^{3} T^{18} + 731233210951 p^{4} T^{19} + 107907749962 p^{5} T^{20} + 10982758517 p^{6} T^{21} + 1452705140 p^{7} T^{22} + 126912011 p^{8} T^{23} + 14823137 p^{9} T^{24} + 1052098 p^{10} T^{25} + 106705 p^{11} T^{26} + 5551 p^{12} T^{27} + 479 p^{13} T^{28} + 14 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
43 \( 1 - 4 T + 421 T^{2} - 1830 T^{3} + 87666 T^{4} - 399757 T^{5} + 12027826 T^{6} - 55696692 T^{7} + 1217627048 T^{8} - 5559377275 T^{9} + 96277781559 T^{10} - 422260041628 T^{11} + 6132011183759 T^{12} - 25246133662968 T^{13} + 319768346240448 T^{14} - 1209410534970396 T^{15} + 319768346240448 p T^{16} - 25246133662968 p^{2} T^{17} + 6132011183759 p^{3} T^{18} - 422260041628 p^{4} T^{19} + 96277781559 p^{5} T^{20} - 5559377275 p^{6} T^{21} + 1217627048 p^{7} T^{22} - 55696692 p^{8} T^{23} + 12027826 p^{9} T^{24} - 399757 p^{10} T^{25} + 87666 p^{11} T^{26} - 1830 p^{12} T^{27} + 421 p^{13} T^{28} - 4 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
47 \( 1 + 20 T + 642 T^{2} + 9279 T^{3} + 172060 T^{4} + 1952844 T^{5} + 26758946 T^{6} + 248999182 T^{7} + 2776360166 T^{8} + 21763431995 T^{9} + 209481578906 T^{10} + 1419201259152 T^{11} + 12424584353155 T^{12} + 75576607562502 T^{13} + 632424307836997 T^{14} + 3639160633167956 T^{15} + 632424307836997 p T^{16} + 75576607562502 p^{2} T^{17} + 12424584353155 p^{3} T^{18} + 1419201259152 p^{4} T^{19} + 209481578906 p^{5} T^{20} + 21763431995 p^{6} T^{21} + 2776360166 p^{7} T^{22} + 248999182 p^{8} T^{23} + 26758946 p^{9} T^{24} + 1952844 p^{10} T^{25} + 172060 p^{11} T^{26} + 9279 p^{12} T^{27} + 642 p^{13} T^{28} + 20 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
53 \( 1 + 30 T + 966 T^{2} + 18783 T^{3} + 359830 T^{4} + 5293042 T^{5} + 75851543 T^{6} + 908859649 T^{7} + 10641202903 T^{8} + 108623061234 T^{9} + 1090764414128 T^{10} + 9780044092726 T^{11} + 86854118392617 T^{12} + 698283563027325 T^{13} + 5587637615344376 T^{14} + 40738950287754171 T^{15} + 5587637615344376 p T^{16} + 698283563027325 p^{2} T^{17} + 86854118392617 p^{3} T^{18} + 9780044092726 p^{4} T^{19} + 1090764414128 p^{5} T^{20} + 108623061234 p^{6} T^{21} + 10641202903 p^{7} T^{22} + 908859649 p^{8} T^{23} + 75851543 p^{9} T^{24} + 5293042 p^{10} T^{25} + 359830 p^{11} T^{26} + 18783 p^{12} T^{27} + 966 p^{13} T^{28} + 30 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
59 \( 1 + 14 T + 707 T^{2} + 8920 T^{3} + 240924 T^{4} + 46367 p T^{5} + 52405270 T^{6} + 536415800 T^{7} + 8137407681 T^{8} + 75244007539 T^{9} + 956253552971 T^{10} + 7995971749086 T^{11} + 87940876062190 T^{12} + 664344623419966 T^{13} + 6449903247407469 T^{14} + 43860651689011190 T^{15} + 6449903247407469 p T^{16} + 664344623419966 p^{2} T^{17} + 87940876062190 p^{3} T^{18} + 7995971749086 p^{4} T^{19} + 956253552971 p^{5} T^{20} + 75244007539 p^{6} T^{21} + 8137407681 p^{7} T^{22} + 536415800 p^{8} T^{23} + 52405270 p^{9} T^{24} + 46367 p^{11} T^{25} + 240924 p^{11} T^{26} + 8920 p^{12} T^{27} + 707 p^{13} T^{28} + 14 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
61 \( 1 + 38 T + 1249 T^{2} + 28683 T^{3} + 583564 T^{4} + 9978576 T^{5} + 155131571 T^{6} + 2150978410 T^{7} + 27589205231 T^{8} + 324297245352 T^{9} + 3565921240973 T^{10} + 36457211714766 T^{11} + 351121289554624 T^{12} + 3169009981931552 T^{13} + 27047697578657986 T^{14} + 217098127688769025 T^{15} + 27047697578657986 p T^{16} + 3169009981931552 p^{2} T^{17} + 351121289554624 p^{3} T^{18} + 36457211714766 p^{4} T^{19} + 3565921240973 p^{5} T^{20} + 324297245352 p^{6} T^{21} + 27589205231 p^{7} T^{22} + 2150978410 p^{8} T^{23} + 155131571 p^{9} T^{24} + 9978576 p^{10} T^{25} + 583564 p^{11} T^{26} + 28683 p^{12} T^{27} + 1249 p^{13} T^{28} + 38 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
67 \( 1 + 8 T + 645 T^{2} + 5241 T^{3} + 201142 T^{4} + 1664395 T^{5} + 40358982 T^{6} + 341133804 T^{7} + 5867089076 T^{8} + 50650011539 T^{9} + 662220847794 T^{10} + 5790514870397 T^{11} + 60933255794926 T^{12} + 527945746988497 T^{13} + 4736397212919384 T^{14} + 39119402570507002 T^{15} + 4736397212919384 p T^{16} + 527945746988497 p^{2} T^{17} + 60933255794926 p^{3} T^{18} + 5790514870397 p^{4} T^{19} + 662220847794 p^{5} T^{20} + 50650011539 p^{6} T^{21} + 5867089076 p^{7} T^{22} + 341133804 p^{8} T^{23} + 40358982 p^{9} T^{24} + 1664395 p^{10} T^{25} + 201142 p^{11} T^{26} + 5241 p^{12} T^{27} + 645 p^{13} T^{28} + 8 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
71 \( 1 + 41 T + 1359 T^{2} + 32319 T^{3} + 673145 T^{4} + 11908316 T^{5} + 191259886 T^{6} + 2756273537 T^{7} + 36801863178 T^{8} + 452479565833 T^{9} + 5220162399675 T^{10} + 56265067088856 T^{11} + 573713331700676 T^{12} + 5511186382209690 T^{13} + 50321251921007876 T^{14} + 434571199063636192 T^{15} + 50321251921007876 p T^{16} + 5511186382209690 p^{2} T^{17} + 573713331700676 p^{3} T^{18} + 56265067088856 p^{4} T^{19} + 5220162399675 p^{5} T^{20} + 452479565833 p^{6} T^{21} + 36801863178 p^{7} T^{22} + 2756273537 p^{8} T^{23} + 191259886 p^{9} T^{24} + 11908316 p^{10} T^{25} + 673145 p^{11} T^{26} + 32319 p^{12} T^{27} + 1359 p^{13} T^{28} + 41 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
73 \( 1 + 19 T + 650 T^{2} + 9798 T^{3} + 201934 T^{4} + 2585383 T^{5} + 41250209 T^{6} + 466546467 T^{7} + 6310478170 T^{8} + 64540557982 T^{9} + 771996028786 T^{10} + 7231790197260 T^{11} + 78233997131423 T^{12} + 675655659989171 T^{13} + 6697432416039189 T^{14} + 53458301377682301 T^{15} + 6697432416039189 p T^{16} + 675655659989171 p^{2} T^{17} + 78233997131423 p^{3} T^{18} + 7231790197260 p^{4} T^{19} + 771996028786 p^{5} T^{20} + 64540557982 p^{6} T^{21} + 6310478170 p^{7} T^{22} + 466546467 p^{8} T^{23} + 41250209 p^{9} T^{24} + 2585383 p^{10} T^{25} + 201934 p^{11} T^{26} + 9798 p^{12} T^{27} + 650 p^{13} T^{28} + 19 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
79 \( 1 + 27 T + 1050 T^{2} + 22566 T^{3} + 518502 T^{4} + 9196810 T^{5} + 160555048 T^{6} + 2416244311 T^{7} + 34979676440 T^{8} + 456116023448 T^{9} + 5694059388913 T^{10} + 65303238285547 T^{11} + 716843029794602 T^{12} + 7299877657233390 T^{13} + 71170413195654204 T^{14} + 646469808318244446 T^{15} + 71170413195654204 p T^{16} + 7299877657233390 p^{2} T^{17} + 716843029794602 p^{3} T^{18} + 65303238285547 p^{4} T^{19} + 5694059388913 p^{5} T^{20} + 456116023448 p^{6} T^{21} + 34979676440 p^{7} T^{22} + 2416244311 p^{8} T^{23} + 160555048 p^{9} T^{24} + 9196810 p^{10} T^{25} + 518502 p^{11} T^{26} + 22566 p^{12} T^{27} + 1050 p^{13} T^{28} + 27 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
83 \( 1 + 17 T + 895 T^{2} + 12903 T^{3} + 380827 T^{4} + 4778944 T^{5} + 103534520 T^{6} + 1153374804 T^{7} + 20353992719 T^{8} + 204192205836 T^{9} + 3094174002223 T^{10} + 28210128415843 T^{11} + 378014911572701 T^{12} + 3144855770268248 T^{13} + 456576282424525 p T^{14} + 287535856869273600 T^{15} + 456576282424525 p^{2} T^{16} + 3144855770268248 p^{2} T^{17} + 378014911572701 p^{3} T^{18} + 28210128415843 p^{4} T^{19} + 3094174002223 p^{5} T^{20} + 204192205836 p^{6} T^{21} + 20353992719 p^{7} T^{22} + 1153374804 p^{8} T^{23} + 103534520 p^{9} T^{24} + 4778944 p^{10} T^{25} + 380827 p^{11} T^{26} + 12903 p^{12} T^{27} + 895 p^{13} T^{28} + 17 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
89 \( 1 + 23 T + 912 T^{2} + 15483 T^{3} + 363334 T^{4} + 5035500 T^{5} + 89766795 T^{6} + 1076202962 T^{7} + 16100580714 T^{8} + 174169158601 T^{9} + 2306508428369 T^{10} + 23131651321022 T^{11} + 278472354864998 T^{12} + 2610951093355554 T^{13} + 28861293727805253 T^{14} + 251706236092035502 T^{15} + 28861293727805253 p T^{16} + 2610951093355554 p^{2} T^{17} + 278472354864998 p^{3} T^{18} + 23131651321022 p^{4} T^{19} + 2306508428369 p^{5} T^{20} + 174169158601 p^{6} T^{21} + 16100580714 p^{7} T^{22} + 1076202962 p^{8} T^{23} + 89766795 p^{9} T^{24} + 5035500 p^{10} T^{25} + 363334 p^{11} T^{26} + 15483 p^{12} T^{27} + 912 p^{13} T^{28} + 23 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
97 \( 1 + 18 T + 944 T^{2} + 14099 T^{3} + 423722 T^{4} + 5568897 T^{5} + 123896511 T^{6} + 1479342346 T^{7} + 26781985186 T^{8} + 295205318823 T^{9} + 4561806513400 T^{10} + 46677685715020 T^{11} + 633987153680113 T^{12} + 6013643233271767 T^{13} + 73285993532563989 T^{14} + 640258982828617327 T^{15} + 73285993532563989 p T^{16} + 6013643233271767 p^{2} T^{17} + 633987153680113 p^{3} T^{18} + 46677685715020 p^{4} T^{19} + 4561806513400 p^{5} T^{20} + 295205318823 p^{6} T^{21} + 26781985186 p^{7} T^{22} + 1479342346 p^{8} T^{23} + 123896511 p^{9} T^{24} + 5568897 p^{10} T^{25} + 423722 p^{11} T^{26} + 14099 p^{12} T^{27} + 944 p^{13} T^{28} + 18 p^{14} T^{29} + p^{15} T^{30} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{30} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.43288863216256088132689546784, −2.41465203339204784271170965162, −2.40955826455452552664092931560, −2.40542409684536935116215416149, −2.32724918308872616838923837090, −2.27927551005999053936854837649, −2.25739287819806364572051122350, −2.22942785802605598597860674717, −2.16448588238808329773340238288, −2.11401428398453786493827221554, −1.71568578591468912463258273597, −1.66971185223449705088234789797, −1.63515291823377262767417812054, −1.61592603011217542881398785583, −1.56436602121338502018088697102, −1.54178442154159973370982534611, −1.48262556560617263098500624049, −1.43655800615453784533159122833, −1.42786930227913356198329182258, −1.37410577090458877680436467261, −1.36566509646770508664526433346, −1.33199506475897315149074044766, −1.29125001879399607322396531797, −1.26008824744431192658065527817, −1.08996770885750032809396032239, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.08996770885750032809396032239, 1.26008824744431192658065527817, 1.29125001879399607322396531797, 1.33199506475897315149074044766, 1.36566509646770508664526433346, 1.37410577090458877680436467261, 1.42786930227913356198329182258, 1.43655800615453784533159122833, 1.48262556560617263098500624049, 1.54178442154159973370982534611, 1.56436602121338502018088697102, 1.61592603011217542881398785583, 1.63515291823377262767417812054, 1.66971185223449705088234789797, 1.71568578591468912463258273597, 2.11401428398453786493827221554, 2.16448588238808329773340238288, 2.22942785802605598597860674717, 2.25739287819806364572051122350, 2.27927551005999053936854837649, 2.32724918308872616838923837090, 2.40542409684536935116215416149, 2.40955826455452552664092931560, 2.41465203339204784271170965162, 2.43288863216256088132689546784

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.