Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 20·3-s + 9·5-s + 9·7-s + 210·9-s + 4·11-s + 21·13-s + 180·15-s + 10·17-s + 8·19-s + 180·21-s + 9·23-s + 12·25-s + 1.54e3·27-s + 18·29-s + 27·31-s + 80·33-s + 81·35-s + 33·37-s + 420·39-s + 14·41-s − 6·43-s + 1.89e3·45-s + 21·47-s − 6·49-s + 200·51-s + 23·53-s + 36·55-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 11.5·3-s + 4.02·5-s + 3.40·7-s + 70·9-s + 1.20·11-s + 5.82·13-s + 46.4·15-s + 2.42·17-s + 1.83·19-s + 39.2·21-s + 1.87·23-s + 12/5·25-s + 296.·27-s + 3.34·29-s + 4.84·31-s + 13.9·33-s + 13.6·35-s + 5.42·37-s + 67.2·39-s + 2.18·41-s − 0.914·43-s + 281.·45-s + 3.06·47-s − 6/7·49-s + 28.0·51-s + 3.15·53-s + 4.85·55-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{60} \cdot 3^{20} \cdot 251^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{60} \cdot 3^{20} \cdot 251^{20}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{20} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(40\) |
| Conductor: | \(2^{60} \cdot 3^{20} \cdot 251^{20}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(4.39786\times 10^{33}\) |
| Root analytic conductor: | \(6.93555\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((40,\ 2^{60} \cdot 3^{20} \cdot 251^{20} ,\ ( \ : [1/2]^{20} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(1.227066418\times10^{8}\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(1.227066418\times10^{8}\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 2 | \( 1 \) |
| 3 | \( ( 1 - T )^{20} \) | |
| 251 | \( ( 1 + T )^{20} \) | |
| good | 5 | \( 1 - 9 T + 69 T^{2} - 384 T^{3} + 1878 T^{4} - 7916 T^{5} + 30246 T^{6} - 105346 T^{7} + 340523 T^{8} - 1031779 T^{9} + 2958467 T^{10} - 8097606 T^{11} + 21313173 T^{12} - 54243959 T^{13} + 134346267 T^{14} - 324626256 T^{15} + 769405044 T^{16} - 1791276614 T^{17} + 4114134479 T^{18} - 9334636343 T^{19} + 20974042922 T^{20} - 9334636343 p T^{21} + 4114134479 p^{2} T^{22} - 1791276614 p^{3} T^{23} + 769405044 p^{4} T^{24} - 324626256 p^{5} T^{25} + 134346267 p^{6} T^{26} - 54243959 p^{7} T^{27} + 21313173 p^{8} T^{28} - 8097606 p^{9} T^{29} + 2958467 p^{10} T^{30} - 1031779 p^{11} T^{31} + 340523 p^{12} T^{32} - 105346 p^{13} T^{33} + 30246 p^{14} T^{34} - 7916 p^{15} T^{35} + 1878 p^{16} T^{36} - 384 p^{17} T^{37} + 69 p^{18} T^{38} - 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) |
| 7 | \( 1 - 9 T + 87 T^{2} - 526 T^{3} + 451 p T^{4} - 15049 T^{5} + 69938 T^{6} - 280990 T^{7} + 1097641 T^{8} - 3874208 T^{9} + 13348140 T^{10} - 42835214 T^{11} + 135255037 T^{12} - 407836496 T^{13} + 1219725018 T^{14} - 506641610 p T^{15} + 10245280958 T^{16} - 28968474779 T^{17} + 80905985329 T^{18} - 31544563859 p T^{19} + 84502409108 p T^{20} - 31544563859 p^{2} T^{21} + 80905985329 p^{2} T^{22} - 28968474779 p^{3} T^{23} + 10245280958 p^{4} T^{24} - 506641610 p^{6} T^{25} + 1219725018 p^{6} T^{26} - 407836496 p^{7} T^{27} + 135255037 p^{8} T^{28} - 42835214 p^{9} T^{29} + 13348140 p^{10} T^{30} - 3874208 p^{11} T^{31} + 1097641 p^{12} T^{32} - 280990 p^{13} T^{33} + 69938 p^{14} T^{34} - 15049 p^{15} T^{35} + 451 p^{17} T^{36} - 526 p^{17} T^{37} + 87 p^{18} T^{38} - 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 11 | \( 1 - 4 T + 85 T^{2} - 254 T^{3} + 3445 T^{4} - 7641 T^{5} + 92833 T^{6} - 145346 T^{7} + 1946140 T^{8} - 1974746 T^{9} + 34967299 T^{10} - 20728412 T^{11} + 567264627 T^{12} - 174286611 T^{13} + 8432018835 T^{14} - 94588061 p T^{15} + 114647051415 T^{16} - 562766507 T^{17} + 129693770588 p T^{18} + 79576341322 T^{19} + 16334562728936 T^{20} + 79576341322 p T^{21} + 129693770588 p^{3} T^{22} - 562766507 p^{3} T^{23} + 114647051415 p^{4} T^{24} - 94588061 p^{6} T^{25} + 8432018835 p^{6} T^{26} - 174286611 p^{7} T^{27} + 567264627 p^{8} T^{28} - 20728412 p^{9} T^{29} + 34967299 p^{10} T^{30} - 1974746 p^{11} T^{31} + 1946140 p^{12} T^{32} - 145346 p^{13} T^{33} + 92833 p^{14} T^{34} - 7641 p^{15} T^{35} + 3445 p^{16} T^{36} - 254 p^{17} T^{37} + 85 p^{18} T^{38} - 4 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 13 | \( 1 - 21 T + 317 T^{2} - 3619 T^{3} + 35291 T^{4} - 299898 T^{5} + 2302011 T^{6} - 16133548 T^{7} + 104892180 T^{8} - 636673933 T^{9} + 3639029206 T^{10} - 19664545061 T^{11} + 100986756726 T^{12} - 494124547323 T^{13} + 2311198014634 T^{14} - 10350442327915 T^{15} + 44476762952235 T^{16} - 183546920897667 T^{17} + 56032473000272 p T^{18} - 2780874974996559 T^{19} + 10220138717769374 T^{20} - 2780874974996559 p T^{21} + 56032473000272 p^{3} T^{22} - 183546920897667 p^{3} T^{23} + 44476762952235 p^{4} T^{24} - 10350442327915 p^{5} T^{25} + 2311198014634 p^{6} T^{26} - 494124547323 p^{7} T^{27} + 100986756726 p^{8} T^{28} - 19664545061 p^{9} T^{29} + 3639029206 p^{10} T^{30} - 636673933 p^{11} T^{31} + 104892180 p^{12} T^{32} - 16133548 p^{13} T^{33} + 2302011 p^{14} T^{34} - 299898 p^{15} T^{35} + 35291 p^{16} T^{36} - 3619 p^{17} T^{37} + 317 p^{18} T^{38} - 21 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 17 | \( 1 - 10 T + 179 T^{2} - 1437 T^{3} + 14842 T^{4} - 101053 T^{5} + 46761 p T^{6} - 4802965 T^{7} + 32208006 T^{8} - 178449756 T^{9} + 1075652508 T^{10} - 5559648236 T^{11} + 30813601139 T^{12} - 8802110460 p T^{13} + 771569297860 T^{14} - 3538225804502 T^{15} + 17136103279745 T^{16} - 74524003205647 T^{17} + 341205875463732 T^{18} - 1409088909798462 T^{19} + 6114046852935382 T^{20} - 1409088909798462 p T^{21} + 341205875463732 p^{2} T^{22} - 74524003205647 p^{3} T^{23} + 17136103279745 p^{4} T^{24} - 3538225804502 p^{5} T^{25} + 771569297860 p^{6} T^{26} - 8802110460 p^{8} T^{27} + 30813601139 p^{8} T^{28} - 5559648236 p^{9} T^{29} + 1075652508 p^{10} T^{30} - 178449756 p^{11} T^{31} + 32208006 p^{12} T^{32} - 4802965 p^{13} T^{33} + 46761 p^{15} T^{34} - 101053 p^{15} T^{35} + 14842 p^{16} T^{36} - 1437 p^{17} T^{37} + 179 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 19 | \( 1 - 8 T + 189 T^{2} - 68 p T^{3} + 17891 T^{4} - 106854 T^{5} + 1127482 T^{6} - 6003683 T^{7} + 53414270 T^{8} - 257789875 T^{9} + 107321254 p T^{10} - 9035979257 T^{11} + 65562490070 T^{12} - 269486854699 T^{13} + 1828038735028 T^{14} - 7026515021779 T^{15} + 45075010604033 T^{16} - 163148791863787 T^{17} + 995970860741107 T^{18} - 3415493189800088 T^{19} + 19881269164971022 T^{20} - 3415493189800088 p T^{21} + 995970860741107 p^{2} T^{22} - 163148791863787 p^{3} T^{23} + 45075010604033 p^{4} T^{24} - 7026515021779 p^{5} T^{25} + 1828038735028 p^{6} T^{26} - 269486854699 p^{7} T^{27} + 65562490070 p^{8} T^{28} - 9035979257 p^{9} T^{29} + 107321254 p^{11} T^{30} - 257789875 p^{11} T^{31} + 53414270 p^{12} T^{32} - 6003683 p^{13} T^{33} + 1127482 p^{14} T^{34} - 106854 p^{15} T^{35} + 17891 p^{16} T^{36} - 68 p^{18} T^{37} + 189 p^{18} T^{38} - 8 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 23 | \( 1 - 9 T + 260 T^{2} - 2135 T^{3} + 33389 T^{4} - 252254 T^{5} + 2838011 T^{6} - 19870349 T^{7} + 180255273 T^{8} - 1176369429 T^{9} + 9138131381 T^{10} - 55841519537 T^{11} + 385032640352 T^{12} - 2211195985860 T^{13} + 13849126708346 T^{14} - 74953073504936 T^{15} + 433107970378656 T^{16} - 2212720881066063 T^{17} + 11921762616780738 T^{18} - 57507267332470618 T^{19} + 290895615954107346 T^{20} - 57507267332470618 p T^{21} + 11921762616780738 p^{2} T^{22} - 2212720881066063 p^{3} T^{23} + 433107970378656 p^{4} T^{24} - 74953073504936 p^{5} T^{25} + 13849126708346 p^{6} T^{26} - 2211195985860 p^{7} T^{27} + 385032640352 p^{8} T^{28} - 55841519537 p^{9} T^{29} + 9138131381 p^{10} T^{30} - 1176369429 p^{11} T^{31} + 180255273 p^{12} T^{32} - 19870349 p^{13} T^{33} + 2838011 p^{14} T^{34} - 252254 p^{15} T^{35} + 33389 p^{16} T^{36} - 2135 p^{17} T^{37} + 260 p^{18} T^{38} - 9 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 29 | \( 1 - 18 T + 385 T^{2} - 4620 T^{3} + 60616 T^{4} - 571332 T^{5} + 5816504 T^{6} - 46290236 T^{7} + 399124022 T^{8} - 2782586993 T^{9} + 21229165595 T^{10} - 132279691214 T^{11} + 917995838736 T^{12} - 5182103060678 T^{13} + 33498152168573 T^{14} - 173799091552833 T^{15} + 1074216789664937 T^{16} - 5236114122943572 T^{17} + 31866932352263703 T^{18} - 150768179655311428 T^{19} + 923267377593229520 T^{20} - 150768179655311428 p T^{21} + 31866932352263703 p^{2} T^{22} - 5236114122943572 p^{3} T^{23} + 1074216789664937 p^{4} T^{24} - 173799091552833 p^{5} T^{25} + 33498152168573 p^{6} T^{26} - 5182103060678 p^{7} T^{27} + 917995838736 p^{8} T^{28} - 132279691214 p^{9} T^{29} + 21229165595 p^{10} T^{30} - 2782586993 p^{11} T^{31} + 399124022 p^{12} T^{32} - 46290236 p^{13} T^{33} + 5816504 p^{14} T^{34} - 571332 p^{15} T^{35} + 60616 p^{16} T^{36} - 4620 p^{17} T^{37} + 385 p^{18} T^{38} - 18 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 31 | \( 1 - 27 T + 677 T^{2} - 11038 T^{3} + 167192 T^{4} - 2025744 T^{5} + 23163398 T^{6} - 227491856 T^{7} + 2138336568 T^{8} - 576086287 p T^{9} + 144553794808 T^{10} - 1059498323751 T^{11} + 7621291456207 T^{12} - 50236689457069 T^{13} + 329554445619482 T^{14} - 1998539228420833 T^{15} + 12258016873910447 T^{16} - 70052361626232085 T^{17} + 411771201545737347 T^{18} - 2270768403759855112 T^{19} + 13033453451740646626 T^{20} - 2270768403759855112 p T^{21} + 411771201545737347 p^{2} T^{22} - 70052361626232085 p^{3} T^{23} + 12258016873910447 p^{4} T^{24} - 1998539228420833 p^{5} T^{25} + 329554445619482 p^{6} T^{26} - 50236689457069 p^{7} T^{27} + 7621291456207 p^{8} T^{28} - 1059498323751 p^{9} T^{29} + 144553794808 p^{10} T^{30} - 576086287 p^{12} T^{31} + 2138336568 p^{12} T^{32} - 227491856 p^{13} T^{33} + 23163398 p^{14} T^{34} - 2025744 p^{15} T^{35} + 167192 p^{16} T^{36} - 11038 p^{17} T^{37} + 677 p^{18} T^{38} - 27 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 37 | \( 1 - 33 T + 875 T^{2} - 16759 T^{3} + 280737 T^{4} - 4020748 T^{5} + 52418037 T^{6} - 617705812 T^{7} + 6775200644 T^{8} - 68973437950 T^{9} + 662551902704 T^{10} - 5996027930238 T^{11} + 51659628647926 T^{12} - 423207951001952 T^{13} + 3320400757556020 T^{14} - 24918192462846572 T^{15} + 179803373601083131 T^{16} - 1245632942335623217 T^{17} + 8317632715985735572 T^{18} - 53434596690269302335 T^{19} + \)\(33\!\cdots\!78\)\( T^{20} - 53434596690269302335 p T^{21} + 8317632715985735572 p^{2} T^{22} - 1245632942335623217 p^{3} T^{23} + 179803373601083131 p^{4} T^{24} - 24918192462846572 p^{5} T^{25} + 3320400757556020 p^{6} T^{26} - 423207951001952 p^{7} T^{27} + 51659628647926 p^{8} T^{28} - 5996027930238 p^{9} T^{29} + 662551902704 p^{10} T^{30} - 68973437950 p^{11} T^{31} + 6775200644 p^{12} T^{32} - 617705812 p^{13} T^{33} + 52418037 p^{14} T^{34} - 4020748 p^{15} T^{35} + 280737 p^{16} T^{36} - 16759 p^{17} T^{37} + 875 p^{18} T^{38} - 33 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 41 | \( 1 - 14 T + 565 T^{2} - 6739 T^{3} + 155343 T^{4} - 1635226 T^{5} + 27942249 T^{6} - 265040117 T^{7} + 3704526785 T^{8} - 32079644271 T^{9} + 385499304614 T^{10} - 3073579246717 T^{11} + 32691604954313 T^{12} - 241286988307443 T^{13} + 2313748180406394 T^{14} - 15859292751321829 T^{15} + 138788615881355974 T^{16} - 884743843350772249 T^{17} + 7124412636321405042 T^{18} - 42233140849717775147 T^{19} + \)\(31\!\cdots\!60\)\( T^{20} - 42233140849717775147 p T^{21} + 7124412636321405042 p^{2} T^{22} - 884743843350772249 p^{3} T^{23} + 138788615881355974 p^{4} T^{24} - 15859292751321829 p^{5} T^{25} + 2313748180406394 p^{6} T^{26} - 241286988307443 p^{7} T^{27} + 32691604954313 p^{8} T^{28} - 3073579246717 p^{9} T^{29} + 385499304614 p^{10} T^{30} - 32079644271 p^{11} T^{31} + 3704526785 p^{12} T^{32} - 265040117 p^{13} T^{33} + 27942249 p^{14} T^{34} - 1635226 p^{15} T^{35} + 155343 p^{16} T^{36} - 6739 p^{17} T^{37} + 565 p^{18} T^{38} - 14 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 43 | \( 1 + 6 T + 463 T^{2} + 2724 T^{3} + 105308 T^{4} + 594778 T^{5} + 15704858 T^{6} + 82991980 T^{7} + 1724734932 T^{8} + 8292321081 T^{9} + 148412970003 T^{10} + 630237843534 T^{11} + 10419204912576 T^{12} + 37880623482486 T^{13} + 616979951233701 T^{14} + 1866571587097803 T^{15} + 31896548451525187 T^{16} + 79682533096828988 T^{17} + 1495766929090441223 T^{18} + 3243571868032014566 T^{19} + 65877362500588476376 T^{20} + 3243571868032014566 p T^{21} + 1495766929090441223 p^{2} T^{22} + 79682533096828988 p^{3} T^{23} + 31896548451525187 p^{4} T^{24} + 1866571587097803 p^{5} T^{25} + 616979951233701 p^{6} T^{26} + 37880623482486 p^{7} T^{27} + 10419204912576 p^{8} T^{28} + 630237843534 p^{9} T^{29} + 148412970003 p^{10} T^{30} + 8292321081 p^{11} T^{31} + 1724734932 p^{12} T^{32} + 82991980 p^{13} T^{33} + 15704858 p^{14} T^{34} + 594778 p^{15} T^{35} + 105308 p^{16} T^{36} + 2724 p^{17} T^{37} + 463 p^{18} T^{38} + 6 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 47 | \( 1 - 21 T + 589 T^{2} - 8591 T^{3} + 144381 T^{4} - 1677089 T^{5} + 21515536 T^{6} - 211792569 T^{7} + 2254578999 T^{8} - 19278888294 T^{9} + 176063520361 T^{10} - 1312701976064 T^{11} + 10397975922056 T^{12} - 66555915616544 T^{13} + 453550445397763 T^{14} - 2354557481091422 T^{15} + 13222279800903240 T^{16} - 44253044958898444 T^{17} + 170947728671586199 T^{18} + 374334483050932638 T^{19} - 1355308834616544650 T^{20} + 374334483050932638 p T^{21} + 170947728671586199 p^{2} T^{22} - 44253044958898444 p^{3} T^{23} + 13222279800903240 p^{4} T^{24} - 2354557481091422 p^{5} T^{25} + 453550445397763 p^{6} T^{26} - 66555915616544 p^{7} T^{27} + 10397975922056 p^{8} T^{28} - 1312701976064 p^{9} T^{29} + 176063520361 p^{10} T^{30} - 19278888294 p^{11} T^{31} + 2254578999 p^{12} T^{32} - 211792569 p^{13} T^{33} + 21515536 p^{14} T^{34} - 1677089 p^{15} T^{35} + 144381 p^{16} T^{36} - 8591 p^{17} T^{37} + 589 p^{18} T^{38} - 21 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 53 | \( 1 - 23 T + 801 T^{2} - 12706 T^{3} + 257143 T^{4} - 3094830 T^{5} + 46688820 T^{6} - 445355704 T^{7} + 5600957037 T^{8} - 43394491907 T^{9} + 498603833035 T^{10} - 3216663293451 T^{11} + 37099402996120 T^{12} - 207155019715295 T^{13} + 2548682813923221 T^{14} - 12820815724995985 T^{15} + 166048528262617330 T^{16} - 767205081332252097 T^{17} + 10024313937817381475 T^{18} - 43196984680169026930 T^{19} + \)\(55\!\cdots\!66\)\( T^{20} - 43196984680169026930 p T^{21} + 10024313937817381475 p^{2} T^{22} - 767205081332252097 p^{3} T^{23} + 166048528262617330 p^{4} T^{24} - 12820815724995985 p^{5} T^{25} + 2548682813923221 p^{6} T^{26} - 207155019715295 p^{7} T^{27} + 37099402996120 p^{8} T^{28} - 3216663293451 p^{9} T^{29} + 498603833035 p^{10} T^{30} - 43394491907 p^{11} T^{31} + 5600957037 p^{12} T^{32} - 445355704 p^{13} T^{33} + 46688820 p^{14} T^{34} - 3094830 p^{15} T^{35} + 257143 p^{16} T^{36} - 12706 p^{17} T^{37} + 801 p^{18} T^{38} - 23 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 59 | \( 1 - 10 T + 612 T^{2} - 4416 T^{3} + 177987 T^{4} - 935798 T^{5} + 34361469 T^{6} - 130132970 T^{7} + 5079536203 T^{8} - 13421118457 T^{9} + 615953604946 T^{10} - 1071637481829 T^{11} + 63507569449492 T^{12} - 66659216500356 T^{13} + 5692074081146160 T^{14} - 3189780009484912 T^{15} + 449542527238014764 T^{16} - 114044535596443275 T^{17} + 31511646191231572053 T^{18} - 3376000805654466153 T^{19} + \)\(19\!\cdots\!34\)\( T^{20} - 3376000805654466153 p T^{21} + 31511646191231572053 p^{2} T^{22} - 114044535596443275 p^{3} T^{23} + 449542527238014764 p^{4} T^{24} - 3189780009484912 p^{5} T^{25} + 5692074081146160 p^{6} T^{26} - 66659216500356 p^{7} T^{27} + 63507569449492 p^{8} T^{28} - 1071637481829 p^{9} T^{29} + 615953604946 p^{10} T^{30} - 13421118457 p^{11} T^{31} + 5079536203 p^{12} T^{32} - 130132970 p^{13} T^{33} + 34361469 p^{14} T^{34} - 935798 p^{15} T^{35} + 177987 p^{16} T^{36} - 4416 p^{17} T^{37} + 612 p^{18} T^{38} - 10 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 61 | \( 1 - 28 T + 909 T^{2} - 17465 T^{3} + 349313 T^{4} - 5390271 T^{5} + 84012312 T^{6} - 1114726027 T^{7} + 14741767194 T^{8} - 174309168306 T^{9} + 2040848585809 T^{10} - 21967545122265 T^{11} + 233394087409331 T^{12} - 2317852549402298 T^{13} + 22690665684577921 T^{14} - 209704620649003827 T^{15} + 1909878127820565261 T^{16} - 16515117214543647120 T^{17} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( T^{18} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( T^{19} + \)\(91\!\cdots\!48\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!65\)\( p T^{21} + \)\(14\!\cdots\!21\)\( p^{2} T^{22} - 16515117214543647120 p^{3} T^{23} + 1909878127820565261 p^{4} T^{24} - 209704620649003827 p^{5} T^{25} + 22690665684577921 p^{6} T^{26} - 2317852549402298 p^{7} T^{27} + 233394087409331 p^{8} T^{28} - 21967545122265 p^{9} T^{29} + 2040848585809 p^{10} T^{30} - 174309168306 p^{11} T^{31} + 14741767194 p^{12} T^{32} - 1114726027 p^{13} T^{33} + 84012312 p^{14} T^{34} - 5390271 p^{15} T^{35} + 349313 p^{16} T^{36} - 17465 p^{17} T^{37} + 909 p^{18} T^{38} - 28 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 67 | \( 1 - 15 T + 911 T^{2} - 13016 T^{3} + 412723 T^{4} - 5589376 T^{5} + 123577008 T^{6} - 1577779542 T^{7} + 27385620457 T^{8} - 328118374417 T^{9} + 4765766489395 T^{10} - 53405078715982 T^{11} + 674557524722742 T^{12} - 7054270339675893 T^{13} + 79403049260152113 T^{14} - 773735208322387708 T^{15} + 7885905602689467286 T^{16} - 71499611138264298438 T^{17} + \)\(66\!\cdots\!65\)\( T^{18} - \)\(56\!\cdots\!47\)\( T^{19} + \)\(48\!\cdots\!10\)\( T^{20} - \)\(56\!\cdots\!47\)\( p T^{21} + \)\(66\!\cdots\!65\)\( p^{2} T^{22} - 71499611138264298438 p^{3} T^{23} + 7885905602689467286 p^{4} T^{24} - 773735208322387708 p^{5} T^{25} + 79403049260152113 p^{6} T^{26} - 7054270339675893 p^{7} T^{27} + 674557524722742 p^{8} T^{28} - 53405078715982 p^{9} T^{29} + 4765766489395 p^{10} T^{30} - 328118374417 p^{11} T^{31} + 27385620457 p^{12} T^{32} - 1577779542 p^{13} T^{33} + 123577008 p^{14} T^{34} - 5589376 p^{15} T^{35} + 412723 p^{16} T^{36} - 13016 p^{17} T^{37} + 911 p^{18} T^{38} - 15 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 71 | \( 1 - 33 T + 1140 T^{2} - 25227 T^{3} + 546711 T^{4} - 9497554 T^{5} + 160100455 T^{6} - 2337526596 T^{7} + 33151321315 T^{8} - 422434912089 T^{9} + 5247959973681 T^{10} - 59808012391673 T^{11} + 667745604647696 T^{12} - 6932435572208661 T^{13} + 70928246902299435 T^{14} - 681669509562081269 T^{15} + 91558101337795780 p T^{16} - 58709626320238717143 T^{17} + \)\(52\!\cdots\!69\)\( T^{18} - \)\(45\!\cdots\!15\)\( T^{19} + \)\(39\!\cdots\!06\)\( T^{20} - \)\(45\!\cdots\!15\)\( p T^{21} + \)\(52\!\cdots\!69\)\( p^{2} T^{22} - 58709626320238717143 p^{3} T^{23} + 91558101337795780 p^{5} T^{24} - 681669509562081269 p^{5} T^{25} + 70928246902299435 p^{6} T^{26} - 6932435572208661 p^{7} T^{27} + 667745604647696 p^{8} T^{28} - 59808012391673 p^{9} T^{29} + 5247959973681 p^{10} T^{30} - 422434912089 p^{11} T^{31} + 33151321315 p^{12} T^{32} - 2337526596 p^{13} T^{33} + 160100455 p^{14} T^{34} - 9497554 p^{15} T^{35} + 546711 p^{16} T^{36} - 25227 p^{17} T^{37} + 1140 p^{18} T^{38} - 33 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 73 | \( 1 - 50 T + 1859 T^{2} - 49692 T^{3} + 1136833 T^{4} - 22023309 T^{5} + 384505647 T^{6} - 6017255654 T^{7} + 87268428207 T^{8} - 1168503263731 T^{9} + 14770864950260 T^{10} - 175685236370840 T^{11} + 1999686411605505 T^{12} - 21700343990439437 T^{13} + 227542248372967244 T^{14} - 2294222746343326953 T^{15} + 22478936332252015519 T^{16} - \)\(21\!\cdots\!83\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!31\)\( T^{18} - \)\(17\!\cdots\!83\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{20} - \)\(17\!\cdots\!83\)\( p T^{21} + \)\(19\!\cdots\!31\)\( p^{2} T^{22} - \)\(21\!\cdots\!83\)\( p^{3} T^{23} + 22478936332252015519 p^{4} T^{24} - 2294222746343326953 p^{5} T^{25} + 227542248372967244 p^{6} T^{26} - 21700343990439437 p^{7} T^{27} + 1999686411605505 p^{8} T^{28} - 175685236370840 p^{9} T^{29} + 14770864950260 p^{10} T^{30} - 1168503263731 p^{11} T^{31} + 87268428207 p^{12} T^{32} - 6017255654 p^{13} T^{33} + 384505647 p^{14} T^{34} - 22023309 p^{15} T^{35} + 1136833 p^{16} T^{36} - 49692 p^{17} T^{37} + 1859 p^{18} T^{38} - 50 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 79 | \( 1 - 17 T + 628 T^{2} - 8083 T^{3} + 184072 T^{4} - 1903152 T^{5} + 35095190 T^{6} - 304816236 T^{7} + 5175592540 T^{8} - 39434118060 T^{9} + 658209334343 T^{10} - 4540707785687 T^{11} + 75595360424147 T^{12} - 478764821792655 T^{13} + 7911921568685671 T^{14} - 46445874039663954 T^{15} + 760104274590028351 T^{16} - 4200219876429789305 T^{17} + 67596379381025101544 T^{18} - \)\(35\!\cdots\!89\)\( T^{19} + \)\(55\!\cdots\!58\)\( T^{20} - \)\(35\!\cdots\!89\)\( p T^{21} + 67596379381025101544 p^{2} T^{22} - 4200219876429789305 p^{3} T^{23} + 760104274590028351 p^{4} T^{24} - 46445874039663954 p^{5} T^{25} + 7911921568685671 p^{6} T^{26} - 478764821792655 p^{7} T^{27} + 75595360424147 p^{8} T^{28} - 4540707785687 p^{9} T^{29} + 658209334343 p^{10} T^{30} - 39434118060 p^{11} T^{31} + 5175592540 p^{12} T^{32} - 304816236 p^{13} T^{33} + 35095190 p^{14} T^{34} - 1903152 p^{15} T^{35} + 184072 p^{16} T^{36} - 8083 p^{17} T^{37} + 628 p^{18} T^{38} - 17 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 83 | \( 1 + 19 T + 825 T^{2} + 11822 T^{3} + 316307 T^{4} + 3661095 T^{5} + 77212859 T^{6} + 731169830 T^{7} + 13546378427 T^{8} + 102833986379 T^{9} + 1819868273649 T^{10} + 10311583755134 T^{11} + 194700809425554 T^{12} + 670842167170156 T^{13} + 17132964970278193 T^{14} + 11337757276001087 T^{15} + 1295282310057114140 T^{16} - 3627019367654141189 T^{17} + 91671463411376527146 T^{18} - \)\(56\!\cdots\!41\)\( T^{19} + \)\(70\!\cdots\!30\)\( T^{20} - \)\(56\!\cdots\!41\)\( p T^{21} + 91671463411376527146 p^{2} T^{22} - 3627019367654141189 p^{3} T^{23} + 1295282310057114140 p^{4} T^{24} + 11337757276001087 p^{5} T^{25} + 17132964970278193 p^{6} T^{26} + 670842167170156 p^{7} T^{27} + 194700809425554 p^{8} T^{28} + 10311583755134 p^{9} T^{29} + 1819868273649 p^{10} T^{30} + 102833986379 p^{11} T^{31} + 13546378427 p^{12} T^{32} + 731169830 p^{13} T^{33} + 77212859 p^{14} T^{34} + 3661095 p^{15} T^{35} + 316307 p^{16} T^{36} + 11822 p^{17} T^{37} + 825 p^{18} T^{38} + 19 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 89 | \( 1 - 21 T + 907 T^{2} - 16079 T^{3} + 413784 T^{4} - 6512568 T^{5} + 127725896 T^{6} - 1830409937 T^{7} + 30030876867 T^{8} - 397399201017 T^{9} + 5722313420305 T^{10} - 70524555420946 T^{11} + 917173182823512 T^{12} - 10584162388377568 T^{13} + 126600334099456887 T^{14} - 1372642619151205161 T^{15} + 15277679241367250876 T^{16} - \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( T^{18} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!64\)\( T^{20} - \)\(15\!\cdots\!59\)\( p T^{21} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( p^{2} T^{22} - \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{3} T^{23} + 15277679241367250876 p^{4} T^{24} - 1372642619151205161 p^{5} T^{25} + 126600334099456887 p^{6} T^{26} - 10584162388377568 p^{7} T^{27} + 917173182823512 p^{8} T^{28} - 70524555420946 p^{9} T^{29} + 5722313420305 p^{10} T^{30} - 397399201017 p^{11} T^{31} + 30030876867 p^{12} T^{32} - 1830409937 p^{13} T^{33} + 127725896 p^{14} T^{34} - 6512568 p^{15} T^{35} + 413784 p^{16} T^{36} - 16079 p^{17} T^{37} + 907 p^{18} T^{38} - 21 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| 97 | \( 1 - 47 T + 1856 T^{2} - 51233 T^{3} + 1247618 T^{4} - 25477701 T^{5} + 473566195 T^{6} - 7837052025 T^{7} + 120336923475 T^{8} - 1690372988894 T^{9} + 22285572993485 T^{10} - 272323678729396 T^{11} + 3143323868039196 T^{12} - 33823591399830924 T^{13} + 345393393762367463 T^{14} - 3301768916179058666 T^{15} + 30281842762902093932 T^{16} - \)\(26\!\cdots\!60\)\( T^{17} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( T^{18} - \)\(20\!\cdots\!10\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!48\)\( T^{20} - \)\(20\!\cdots\!10\)\( p T^{21} + \)\(23\!\cdots\!41\)\( p^{2} T^{22} - \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{3} T^{23} + 30281842762902093932 p^{4} T^{24} - 3301768916179058666 p^{5} T^{25} + 345393393762367463 p^{6} T^{26} - 33823591399830924 p^{7} T^{27} + 3143323868039196 p^{8} T^{28} - 272323678729396 p^{9} T^{29} + 22285572993485 p^{10} T^{30} - 1690372988894 p^{11} T^{31} + 120336923475 p^{12} T^{32} - 7837052025 p^{13} T^{33} + 473566195 p^{14} T^{34} - 25477701 p^{15} T^{35} + 1247618 p^{16} T^{36} - 51233 p^{17} T^{37} + 1856 p^{18} T^{38} - 47 p^{19} T^{39} + p^{20} T^{40} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{40} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−1.76622175068005133839715656221, −1.72122306216498488712347684243, −1.69681071241948759277462710314, −1.60369309773298843647408220941, −1.57504643157253472520699477638, −1.30410361691749226604414036212, −1.25069150444273177369495475648, −1.16243866067097904783612820447, −1.12501329897120086249963955664, −1.11567023882515199746780255886, −1.08923742530210391513660630930, −1.07492721843464835562214050625, −1.04949044460875522154443155483, −0.981606479021676844746443614184, −0.956844682739404990843189778141, −0.914005085916133644744598845585, −0.878913938014832471830929707425, −0.847377927233882079342570705551, −0.74982397642631482481850143560, −0.72092752962009114369414669038, −0.69084006526072261046098045117, −0.62534812571293285721488922937, −0.59323692946365162049238812743, −0.51629059200047323192397975089, −0.31673859618523257009722936306, 0.31673859618523257009722936306, 0.51629059200047323192397975089, 0.59323692946365162049238812743, 0.62534812571293285721488922937, 0.69084006526072261046098045117, 0.72092752962009114369414669038, 0.74982397642631482481850143560, 0.847377927233882079342570705551, 0.878913938014832471830929707425, 0.914005085916133644744598845585, 0.956844682739404990843189778141, 0.981606479021676844746443614184, 1.04949044460875522154443155483, 1.07492721843464835562214050625, 1.08923742530210391513660630930, 1.11567023882515199746780255886, 1.12501329897120086249963955664, 1.16243866067097904783612820447, 1.25069150444273177369495475648, 1.30410361691749226604414036212, 1.57504643157253472520699477638, 1.60369309773298843647408220941, 1.69681071241948759277462710314, 1.72122306216498488712347684243, 1.76622175068005133839715656221
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.