LMFDB - L-function 32-5e16-1.1-c33e16-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 3.22e10·4^-s − 2.32e11·5^-s + 3.07e16·9^-s + 2.19e17·11^-s + 3.98e20·16^-s − 2.94e21·19^-s − 7.49e21·20^-s + 1.61e23·25^-s + 2.21e24·29^-s + 4.80e24·31^-s + 9.91e26·36^-s + 9.60e26·41^-s + 7.10e27·44^-s − 7.12e27·45^-s + 3.73e28·49^-s − 5.10e28·55^-s − 2.04e29·59^-s − 6.29e28·61^-s + 2.37e30·64^-s − 8.75e28·71^-s − 9.52e31·76^-s − 1.05e31·79^-s − 9.24e31·80^-s + 4.64e32·81^-s − 8.16e32·89^-s + 6.84e32·95^-s + 6.75e33·99^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 3.75·4^-s − 0.680·5^-s + 5.52·9^-s + 1.44·11^-s + 5.39·16^-s − 2.34·19^-s − 2.55·20^-s + 1.38·25^-s + 1.64·29^-s + 1.18·31^-s + 20.7·36^-s + 2.35·41^-s + 5.42·44^-s − 3.75·45^-s + 4.83·49^-s − 0.982·55^-s − 1.23·59^-s − 0.219·61^-s + 3.74·64^-s − 0.0249·71^-s − 8.81·76^-s − 0.517·79^-s − 3.67·80^-s + 15.0·81^-s − 5.58·89^-s + 1.59·95^-s + 7.97·99^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(34-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{16}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+33/2)^{16} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$32$
Conductor:	$5^{16}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$4.01213\times 10^{24}$
Root analytic conductor:	$5.87293$
Motivic weight:	$33$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(32,\ 5^{16} ,\ ( \ : [33/2]^{16} ),\ 1 )$

Particular Values

$L(17)$	$\approx$	$194.4566623$
$L(\frac12)$	$\approx$	$194.4566623$
$L(\frac{35}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ 1 + 46433632056 p T - $$17\!\cdots\!92$$ p^{4} T^{2} - $$36\!\cdots\!72$$ p^{9} T^{3} + $$94\!\cdots\!68$$ p^{17} T^{4} - $$29\!\cdots\!16$$ p^{27} T^{5} - $$60\!\cdots\!20$$ p^{38} T^{6} + $$29\!\cdots\!44$$ p^{50} T^{7} + $$26\!\cdots\!84$$ p^{65} T^{8} + $$29\!\cdots\!44$$ p^{83} T^{9} - $$60\!\cdots\!20$$ p^{104} T^{10} - $$29\!\cdots\!16$$ p^{126} T^{11} + $$94\!\cdots\!68$$ p^{149} T^{12} - $$36\!\cdots\!72$$ p^{174} T^{13} - $$17\!\cdots\!92$$ p^{202} T^{14} + 46433632056 p^{232} T^{15} + p^{264} T^{16} $
good	2	$ 1 - 8073453325 p^{2} T^{2} + 10071864965982111483 p^{6} T^{4} - $$31\!\cdots\!25$$ p^{15} T^{6} + $$34\!\cdots\!47$$ p^{22} T^{8} - $$64\!\cdots\!25$$ p^{38} T^{10} + $$13\!\cdots\!37$$ p^{57} T^{12} - $$16\!\cdots\!25$$ p^{70} T^{14} + $$22\!\cdots\!55$$ p^{86} T^{16} - $$16\!\cdots\!25$$ p^{136} T^{18} + $$13\!\cdots\!37$$ p^{189} T^{20} - $$64\!\cdots\!25$$ p^{236} T^{22} + $$34\!\cdots\!47$$ p^{286} T^{24} - $$31\!\cdots\!25$$ p^{345} T^{26} + 10071864965982111483 p^{402} T^{28} - 8073453325 p^{464} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	3	$ 1 - 3411656249461000 p^{2} T^{2} + $$59\!\cdots\!72$$ p^{4} T^{4} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{6} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{20} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{30} T^{10} + $$14\!\cdots\!76$$ p^{42} T^{12} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{56} T^{14} + $$22\!\cdots\!30$$ p^{70} T^{16} - $$18\!\cdots\!00$$ p^{122} T^{18} + $$14\!\cdots\!76$$ p^{174} T^{20} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{228} T^{22} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{284} T^{24} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{340} T^{26} + $$59\!\cdots\!72$$ p^{400} T^{28} - 3411656249461000 p^{464} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	7	$ 1 - $$76\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{2} + $$31\!\cdots\!92$$ p^{4} T^{4} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$38\!\cdots\!04$$ p^{9} T^{8} - $$62\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{10} + $$53\!\cdots\!44$$ p^{16} T^{12} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{25} T^{14} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{32} T^{16} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{91} T^{18} + $$53\!\cdots\!44$$ p^{148} T^{20} - $$62\!\cdots\!00$$ p^{208} T^{22} + $$38\!\cdots\!04$$ p^{273} T^{24} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{336} T^{26} + $$31\!\cdots\!92$$ p^{400} T^{28} - $$76\!\cdots\!00$$ p^{464} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	11	$ ( 1 - 9998845033748496 p T + $$68\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{2} - $$95\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$29\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{4} - $$40\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{5} + $$82\!\cdots\!48$$ p^{6} T^{6} - $$10\!\cdots\!40$$ p^{7} T^{7} + $$17\!\cdots\!70$$ p^{8} T^{8} - $$10\!\cdots\!40$$ p^{40} T^{9} + $$82\!\cdots\!48$$ p^{72} T^{10} - $$40\!\cdots\!68$$ p^{104} T^{11} + $$29\!\cdots\!20$$ p^{136} T^{12} - $$95\!\cdots\!60$$ p^{168} T^{13} + $$68\!\cdots\!20$$ p^{201} T^{14} - 9998845033748496 p^{232} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	13	$ 1 - $$40\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$85\!\cdots\!72$$ T^{4} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} + $$42\!\cdots\!88$$ p^{4} T^{8} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} + $$43\!\cdots\!76$$ p^{10} T^{12} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{14} T^{14} + $$16\!\cdots\!30$$ p^{18} T^{16} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{80} T^{18} + $$43\!\cdots\!76$$ p^{142} T^{20} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{204} T^{22} + $$42\!\cdots\!88$$ p^{268} T^{24} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{332} T^{26} + $$85\!\cdots\!72$$ p^{396} T^{28} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	17	$ 1 - $$38\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$71\!\cdots\!52$$ T^{4} - $$88\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$82\!\cdots\!08$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{10} + $$26\!\cdots\!72$$ p^{5} T^{12} - $$78\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{14} + $$11\!\cdots\!70$$ p^{8} T^{16} - $$78\!\cdots\!00$$ p^{72} T^{18} + $$26\!\cdots\!72$$ p^{137} T^{20} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{201} T^{22} + $$82\!\cdots\!08$$ p^{264} T^{24} - $$88\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$71\!\cdots\!52$$ p^{396} T^{28} - $$38\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	19	$ ( 1 + $$14\!\cdots\!00$$ T + $$67\!\cdots\!72$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$11\!\cdots\!72$$ p T^{4} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$69\!\cdots\!36$$ p^{3} T^{6} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$33\!\cdots\!30$$ p^{5} T^{8} + $$42\!\cdots\!00$$ p^{37} T^{9} + $$69\!\cdots\!36$$ p^{69} T^{10} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{102} T^{11} + $$11\!\cdots\!72$$ p^{133} T^{12} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{13} + $$67\!\cdots\!72$$ p^{198} T^{14} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	23	$ 1 - $$64\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$21\!\cdots\!12$$ T^{4} - $$93\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{6} + $$31\!\cdots\!68$$ p^{4} T^{8} - $$85\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{10} + $$19\!\cdots\!44$$ p^{8} T^{12} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{14} + $$68\!\cdots\!70$$ p^{12} T^{16} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{76} T^{18} + $$19\!\cdots\!44$$ p^{140} T^{20} - $$85\!\cdots\!00$$ p^{204} T^{22} + $$31\!\cdots\!68$$ p^{268} T^{24} - $$93\!\cdots\!00$$ p^{332} T^{26} + $$21\!\cdots\!12$$ p^{396} T^{28} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	29	$ ( 1 - $$11\!\cdots\!00$$ T + $$33\!\cdots\!28$$ p T^{2} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$17\!\cdots\!92$$ p^{3} T^{4} - $$69\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$21\!\cdots\!84$$ p^{6} T^{6} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{7} + $$15\!\cdots\!30$$ p^{7} T^{8} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{39} T^{9} + $$21\!\cdots\!84$$ p^{72} T^{10} - $$69\!\cdots\!00$$ p^{103} T^{11} + $$17\!\cdots\!92$$ p^{135} T^{12} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{167} T^{13} + $$33\!\cdots\!28$$ p^{199} T^{14} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	31	$ ( 1 - $$77\!\cdots\!56$$ p T + $$37\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{2} - $$28\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$74\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{4} - $$59\!\cdots\!68$$ p^{5} T^{5} + $$10\!\cdots\!28$$ p^{6} T^{6} - $$97\!\cdots\!40$$ p^{7} T^{7} + $$17\!\cdots\!70$$ p^{8} T^{8} - $$97\!\cdots\!40$$ p^{40} T^{9} + $$10\!\cdots\!28$$ p^{72} T^{10} - $$59\!\cdots\!68$$ p^{104} T^{11} + $$74\!\cdots\!20$$ p^{136} T^{12} - $$28\!\cdots\!60$$ p^{168} T^{13} + $$37\!\cdots\!20$$ p^{200} T^{14} - $$77\!\cdots\!56$$ p^{232} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	37	$ 1 - $$54\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$14\!\cdots\!72$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$92\!\cdots\!64$$ p T^{8} - $$35\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$30\!\cdots\!24$$ T^{12} - $$21\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$13\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$30\!\cdots\!24$$ p^{132} T^{20} - $$35\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$92\!\cdots\!64$$ p^{265} T^{24} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$14\!\cdots\!72$$ p^{396} T^{28} - $$54\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	41	$ ( 1 - $$48\!\cdots\!76$$ T + $$93\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$33\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$40\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$11\!\cdots\!88$$ T^{6} - $$69\!\cdots\!40$$ p T^{7} + $$22\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$69\!\cdots\!40$$ p^{34} T^{9} + $$11\!\cdots\!88$$ p^{66} T^{10} - $$12\!\cdots\!68$$ p^{99} T^{11} + $$40\!\cdots\!20$$ p^{132} T^{12} - $$33\!\cdots\!60$$ p^{165} T^{13} + $$93\!\cdots\!20$$ p^{198} T^{14} - $$48\!\cdots\!76$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	43	$ 1 - $$73\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$26\!\cdots\!92$$ T^{4} - $$65\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!28$$ T^{8} - $$17\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$20\!\cdots\!44$$ T^{12} - $$21\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$18\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$20\!\cdots\!44$$ p^{132} T^{20} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$11\!\cdots\!28$$ p^{264} T^{24} - $$65\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$26\!\cdots\!92$$ p^{396} T^{28} - $$73\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	47	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$87\!\cdots\!32$$ T^{4} - $$40\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$39\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$91\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$17\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$28\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$91\!\cdots\!84$$ p^{132} T^{20} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$14\!\cdots\!48$$ p^{264} T^{24} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$87\!\cdots\!32$$ p^{396} T^{28} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	53	$ 1 - $$95\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$44\!\cdots\!32$$ T^{4} - $$13\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$29\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$49\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$65\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$70\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$61\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$65\!\cdots\!84$$ p^{132} T^{20} - $$49\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$29\!\cdots\!48$$ p^{264} T^{24} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$44\!\cdots\!32$$ p^{396} T^{28} - $$95\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	59	$ ( 1 + $$10\!\cdots\!00$$ T + $$14\!\cdots\!32$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$10\!\cdots\!48$$ T^{4} + $$49\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$45\!\cdots\!84$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$14\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{9} + $$45\!\cdots\!84$$ p^{66} T^{10} + $$49\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{11} + $$10\!\cdots\!48$$ p^{132} T^{12} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{13} + $$14\!\cdots\!32$$ p^{198} T^{14} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	61	$ ( 1 + $$31\!\cdots\!44$$ T + $$43\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$22\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$94\!\cdots\!20$$ T^{4} + $$56\!\cdots\!32$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!28$$ T^{6} + $$76\!\cdots\!60$$ T^{7} + $$12\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$76\!\cdots\!60$$ p^{33} T^{9} + $$13\!\cdots\!28$$ p^{66} T^{10} + $$56\!\cdots\!32$$ p^{99} T^{11} + $$94\!\cdots\!20$$ p^{132} T^{12} + $$22\!\cdots\!40$$ p^{165} T^{13} + $$43\!\cdots\!20$$ p^{198} T^{14} + $$31\!\cdots\!44$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	67	$ 1 - $$12\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$78\!\cdots\!52$$ T^{4} - $$32\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$10\!\cdots\!08$$ T^{8} - $$26\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$62\!\cdots\!04$$ T^{12} - $$13\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$26\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$62\!\cdots\!04$$ p^{132} T^{20} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$10\!\cdots\!08$$ p^{264} T^{24} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$78\!\cdots\!52$$ p^{396} T^{28} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	71	$ ( 1 + $$43\!\cdots\!04$$ T + $$59\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$12\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$18\!\cdots\!20$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!48$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!40$$ T^{7} + $$54\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!40$$ p^{33} T^{9} + $$37\!\cdots\!48$$ p^{66} T^{10} - $$57\!\cdots\!68$$ p^{99} T^{11} + $$18\!\cdots\!20$$ p^{132} T^{12} - $$12\!\cdots\!60$$ p^{165} T^{13} + $$59\!\cdots\!20$$ p^{198} T^{14} + $$43\!\cdots\!04$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	73	$ 1 - $$33\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$54\!\cdots\!12$$ T^{4} - $$56\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$42\!\cdots\!88$$ T^{8} - $$25\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$11\!\cdots\!64$$ T^{12} - $$47\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$15\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$11\!\cdots\!64$$ p^{132} T^{20} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$42\!\cdots\!88$$ p^{264} T^{24} - $$56\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$54\!\cdots\!12$$ p^{396} T^{28} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	79	$ ( 1 + $$52\!\cdots\!00$$ T + $$16\!\cdots\!12$$ T^{2} + $$93\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$14\!\cdots\!88$$ T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$89\!\cdots\!64$$ T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$42\!\cdots\!70$$ T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{9} + $$89\!\cdots\!64$$ p^{66} T^{10} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{11} + $$14\!\cdots\!88$$ p^{132} T^{12} + $$93\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{13} + $$16\!\cdots\!12$$ p^{198} T^{14} + $$52\!\cdots\!00$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	83	$ 1 - $$23\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$25\!\cdots\!52$$ T^{4} - $$17\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$86\!\cdots\!08$$ T^{8} - $$33\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$10\!\cdots\!04$$ T^{12} - $$27\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$63\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$10\!\cdots\!04$$ p^{132} T^{20} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$86\!\cdots\!08$$ p^{264} T^{24} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$25\!\cdots\!52$$ p^{396} T^{28} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
	89	$ ( 1 + $$40\!\cdots\!00$$ T + $$20\!\cdots\!52$$ T^{2} + $$55\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!08$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$69\!\cdots\!04$$ T^{6} + $$11\!\cdots\!00$$ T^{7} + $$18\!\cdots\!70$$ T^{8} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{9} + $$69\!\cdots\!04$$ p^{66} T^{10} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{11} + $$16\!\cdots\!08$$ p^{132} T^{12} + $$55\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{13} + $$20\!\cdots\!52$$ p^{198} T^{14} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{231} T^{15} + p^{264} T^{16} )^{2} $
	97	$ 1 - $$30\!\cdots\!00$$ T^{2} + $$48\!\cdots\!32$$ T^{4} - $$52\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$43\!\cdots\!48$$ T^{8} - $$29\!\cdots\!00$$ T^{10} + $$16\!\cdots\!84$$ T^{12} - $$75\!\cdots\!00$$ T^{14} + $$30\!\cdots\!70$$ T^{16} - $$75\!\cdots\!00$$ p^{66} T^{18} + $$16\!\cdots\!84$$ p^{132} T^{20} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{198} T^{22} + $$43\!\cdots\!48$$ p^{264} T^{24} - $$52\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{26} + $$48\!\cdots\!32$$ p^{396} T^{28} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{462} T^{30} + p^{528} T^{32} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{32} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−2.69751071204199871821443326000, −2.67214706485924035350386726647, −2.60594624522064665422126336965, −2.19417139513139080618556006359, −2.09644892196567862424782551314, −2.08233193468440573083922829215, −2.01033232890697914520455452169, −1.99859078826092672289999521555, −1.90115947432172712045360063780, −1.69251293357812484104202200864, −1.63182962049873726912930939563, −1.61433994871576215816338863089, −1.47719122447255762041850712147, −1.29757368282808030407997173308, −1.18487300014509095919805226043, −1.11205112994563700428511931981, −0.962016027512592593022638201663, −0.932528984643437189166860512744, −0.76710068552763482218046435892, −0.75660764690268216491095841024, −0.69527156645341607379172660968, −0.53631729124311603658077775512, −0.35561410797146454839400122623, −0.28932661428998160676810426312, −0.081308526535549030810875790676, 0.081308526535549030810875790676, 0.28932661428998160676810426312, 0.35561410797146454839400122623, 0.53631729124311603658077775512, 0.69527156645341607379172660968, 0.75660764690268216491095841024, 0.76710068552763482218046435892, 0.932528984643437189166860512744, 0.962016027512592593022638201663, 1.11205112994563700428511931981, 1.18487300014509095919805226043, 1.29757368282808030407997173308, 1.47719122447255762041850712147, 1.61433994871576215816338863089, 1.63182962049873726912930939563, 1.69251293357812484104202200864, 1.90115947432172712045360063780, 1.99859078826092672289999521555, 2.01033232890697914520455452169, 2.08233193468440573083922829215, 2.09644892196567862424782551314, 2.19417139513139080618556006359, 2.60594624522064665422126336965, 2.67214706485924035350386726647, 2.69751071204199871821443326000

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(17)\)	\(\approx\)	\(194.4566623\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(194.4566623\)
\(L(\frac{35}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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