LMFDB - L-function 12-5e6-1.1-c33e6-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 1.47e5·2^-s + 2.65e7·3^-s − 1.53e8·4^-s + 9.15e11·5^-s + 3.90e12·6^-s + 1.91e13·7^-s − 4.87e14·8^-s − 9.52e15·9^-s + 1.34e17·10^-s + 1.50e17·11^-s − 4.06e15·12^-s − 1.40e18·13^-s + 2.81e18·14^-s + 2.42e19·15^-s + 2.07e18·16^-s + 1.34e20·17^-s − 1.40e21·18^-s + 1.71e21·19^-s − 1.40e20·20^-s + 5.06e20·21^-s + 2.22e22·22^-s + 6.87e21·23^-s − 1.29e22·24^-s + 4.88e23·25^-s − 2.06e23·26^-s − 4.21e23·27^-s − 2.93e21·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 1.58·2^-s + 0.355·3^-s − 0.0178·4^-s + 2.68·5^-s + 0.565·6^-s + 0.217·7^-s − 0.612·8^-s − 1.71·9^-s + 4.26·10^-s + 0.989·11^-s − 0.00635·12^-s − 0.584·13^-s + 0.345·14^-s + 0.954·15^-s + 0.0280·16^-s + 0.669·17^-s − 2.72·18^-s + 1.36·19^-s − 0.0479·20^-s + 0.0773·21^-s + 1.57·22^-s + 0.233·23^-s − 0.217·24^-s + 21/5·25^-s − 0.929·26^-s − 1.01·27^-s − 0.00388·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 15625 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(34-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 15625 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+33/2)^{6} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$12$
Conductor:	$15625$ = $5^{6}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.68370\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$5.87293$
Motivic weight:	$33$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(12,\ 15625,\ (\ :[33/2]^{6}),\ 1)$

Particular Values

$L(17)$	$\approx$	$87.51151057$
$L(\frac12)$	$\approx$	$87.51151057$
$L(\frac{35}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
bad	5	$ ( 1 - p^{16} T )^{6} $
good	2	$ 1 - 73675 p T + 2733186525 p^{3} T^{2} - 21537675951275 p^{7} T^{3} + 5121518228312647 p^{16} T^{4} - 2120910646147229675 p^{24} T^{5} + $$15\!\cdots\!25$$ p^{31} T^{6} - 2120910646147229675 p^{57} T^{7} + 5121518228312647 p^{82} T^{8} - 21537675951275 p^{106} T^{9} + 2733186525 p^{135} T^{10} - 73675 p^{166} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	3	$ 1 - 26513900 T + 3409207951532950 p T^{2} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$50\!\cdots\!89$$ p^{9} T^{4} - $$60\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{5} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{22} T^{6} - $$60\!\cdots\!00$$ p^{48} T^{7} + $$50\!\cdots\!89$$ p^{75} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{103} T^{9} + 3409207951532950 p^{133} T^{10} - 26513900 p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	7	$ 1 - 19113832847500 T + $$38\!\cdots\!50$$ p T^{2} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$10\!\cdots\!29$$ p^{3} T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{39} T^{7} + $$10\!\cdots\!29$$ p^{69} T^{8} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{101} T^{9} + $$38\!\cdots\!50$$ p^{133} T^{10} - 19113832847500 p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	11	$ 1 - 113268892979632 p^{3} T + $$62\!\cdots\!26$$ p^{2} T^{2} - $$36\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$13\!\cdots\!45$$ p^{5} T^{4} - $$59\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{5} + $$25\!\cdots\!44$$ p^{6} T^{6} - $$59\!\cdots\!92$$ p^{38} T^{7} + $$13\!\cdots\!45$$ p^{71} T^{8} - $$36\!\cdots\!20$$ p^{102} T^{9} + $$62\!\cdots\!26$$ p^{134} T^{10} - 113268892979632 p^{168} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	13	$ 1 + 1403095636752804700 T + $$22\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$17\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$11\!\cdots\!91$$ p^{3} T^{4} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{6} + $$57\!\cdots\!00$$ p^{38} T^{7} + $$11\!\cdots\!91$$ p^{69} T^{8} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + $$22\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} + 1403095636752804700 p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	17	$ 1 - $$13\!\cdots\!00$$ T + $$73\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$17\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$83\!\cdots\!63$$ p^{2} T^{4} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$56\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{7} + $$83\!\cdots\!63$$ p^{68} T^{8} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + $$73\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	19	$ 1 - $$17\!\cdots\!00$$ T + $$41\!\cdots\!54$$ T^{2} - $$30\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$33\!\cdots\!15$$ p^{2} T^{4} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$17\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{6} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{7} + $$33\!\cdots\!15$$ p^{68} T^{8} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + $$41\!\cdots\!54$$ p^{132} T^{10} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	23	$ 1 - $$29\!\cdots\!00$$ p T + $$22\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$89\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$69\!\cdots\!23$$ p^{2} T^{4} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{6} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{7} + $$69\!\cdots\!23$$ p^{68} T^{8} - $$89\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{9} + $$22\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$29\!\cdots\!00$$ p^{166} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	29	$ 1 - $$13\!\cdots\!00$$ T + $$12\!\cdots\!46$$ p T^{2} - $$73\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$39\!\cdots\!35$$ p^{3} T^{4} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$10\!\cdots\!20$$ p^{5} T^{6} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{37} T^{7} + $$39\!\cdots\!35$$ p^{69} T^{8} - $$73\!\cdots\!00$$ p^{101} T^{9} + $$12\!\cdots\!46$$ p^{133} T^{10} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	31	$ 1 - $$34\!\cdots\!92$$ p T + $$44\!\cdots\!66$$ p^{3} T^{2} - $$30\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$66\!\cdots\!95$$ p^{4} T^{4} - $$10\!\cdots\!92$$ p^{5} T^{5} + $$15\!\cdots\!84$$ p^{6} T^{6} - $$10\!\cdots\!92$$ p^{38} T^{7} + $$66\!\cdots\!95$$ p^{70} T^{8} - $$30\!\cdots\!20$$ p^{102} T^{9} + $$44\!\cdots\!66$$ p^{135} T^{10} - $$34\!\cdots\!92$$ p^{166} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	37	$ 1 - $$27\!\cdots\!00$$ T + $$39\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$38\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$31\!\cdots\!27$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$31\!\cdots\!27$$ p^{66} T^{8} - $$38\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$39\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$27\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	41	$ 1 - $$44\!\cdots\!32$$ T + $$40\!\cdots\!86$$ T^{2} - $$20\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$95\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$34\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$18\!\cdots\!64$$ T^{6} - $$34\!\cdots\!92$$ p^{33} T^{7} + $$95\!\cdots\!95$$ p^{66} T^{8} - $$20\!\cdots\!20$$ p^{99} T^{9} + $$40\!\cdots\!86$$ p^{132} T^{10} - $$44\!\cdots\!32$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	43	$ 1 - $$22\!\cdots\!00$$ T + $$61\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$89\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!47$$ T^{4} - $$14\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$13\!\cdots\!47$$ p^{66} T^{8} - $$89\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$61\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$22\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	47	$ 1 - $$38\!\cdots\!00$$ T + $$24\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$21\!\cdots\!00$$ T^{3} - $$65\!\cdots\!13$$ T^{4} + $$64\!\cdots\!00$$ T^{5} - $$42\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$64\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} - $$65\!\cdots\!13$$ p^{66} T^{8} - $$21\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$24\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$38\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	53	$ 1 - $$47\!\cdots\!00$$ T + $$23\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$65\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$25\!\cdots\!87$$ T^{4} - $$83\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$27\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$25\!\cdots\!87$$ p^{66} T^{8} - $$65\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$23\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	59	$ 1 + $$17\!\cdots\!00$$ T + $$85\!\cdots\!74$$ T^{2} + $$90\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$19\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$91\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$20\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$91\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$19\!\cdots\!15$$ p^{66} T^{8} + $$90\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$85\!\cdots\!74$$ p^{132} T^{10} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	61	$ 1 + $$28\!\cdots\!08$$ T + $$42\!\cdots\!46$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$80\!\cdots\!95$$ T^{4} + $$16\!\cdots\!08$$ T^{5} + $$85\!\cdots\!84$$ T^{6} + $$16\!\cdots\!08$$ p^{33} T^{7} + $$80\!\cdots\!95$$ p^{66} T^{8} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{99} T^{9} + $$42\!\cdots\!46$$ p^{132} T^{10} + $$28\!\cdots\!08$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	67	$ 1 - $$33\!\cdots\!00$$ T + $$90\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$22\!\cdots\!07$$ T^{4} - $$24\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$34\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$22\!\cdots\!07$$ p^{66} T^{8} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$90\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$33\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	71	$ 1 - $$84\!\cdots\!72$$ T + $$11\!\cdots\!06$$ p T^{2} - $$44\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$24\!\cdots\!95$$ T^{4} - $$99\!\cdots\!92$$ T^{5} + $$39\!\cdots\!44$$ T^{6} - $$99\!\cdots\!92$$ p^{33} T^{7} + $$24\!\cdots\!95$$ p^{66} T^{8} - $$44\!\cdots\!20$$ p^{99} T^{9} + $$11\!\cdots\!06$$ p^{133} T^{10} - $$84\!\cdots\!72$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	73	$ 1 + $$17\!\cdots\!00$$ T + $$12\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$51\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$73\!\cdots\!67$$ T^{4} + $$15\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$28\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$73\!\cdots\!67$$ p^{66} T^{8} + $$51\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$12\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	79	$ 1 + $$22\!\cdots\!00$$ T + $$23\!\cdots\!34$$ T^{2} + $$43\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$34\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$13\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$23\!\cdots\!15$$ p^{66} T^{8} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$23\!\cdots\!34$$ p^{132} T^{10} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	83	$ 1 + $$47\!\cdots\!00$$ T + $$88\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$37\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$39\!\cdots\!07$$ T^{4} + $$14\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!00$$ T^{6} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$39\!\cdots\!07$$ p^{66} T^{8} + $$37\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$88\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	89	$ 1 + $$33\!\cdots\!00$$ T + $$10\!\cdots\!14$$ T^{2} + $$20\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$40\!\cdots\!15$$ T^{4} + $$68\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$10\!\cdots\!80$$ T^{6} + $$68\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$40\!\cdots\!15$$ p^{66} T^{8} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$10\!\cdots\!14$$ p^{132} T^{10} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
	97	$ 1 - $$25\!\cdots\!00$$ T + $$42\!\cdots\!50$$ T^{2} - $$52\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$50\!\cdots\!87$$ T^{4} - $$39\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$26\!\cdots\!00$$ T^{6} - $$39\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{7} + $$50\!\cdots\!87$$ p^{66} T^{8} - $$52\!\cdots\!00$$ p^{99} T^{9} + $$42\!\cdots\!50$$ p^{132} T^{10} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{165} T^{11} + p^{198} T^{12} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−6.92367029872052807668853523243, −6.68459592403554418143647784869, −6.36637790558535352432706740019, −5.89530756446408114783769280067, −5.86910312870096593688730688356, −5.71946333803671060531183616557, −5.52324327154557221332631790441, −5.02992339964104360236355512258, −4.75978964464573230976129542578, −4.69396255265465087321603106371, −4.33550553521135272297111188040, −4.10720691939794766588919921973, −3.95397766072631363283846176999, −3.09935720739933656108850924520, −3.02921678763293403068550536557, −2.92267600354425143109178969269, −2.59899542873453747807745214743, −2.44002294241966640068758474033, −1.97942743588026212141340366008, −1.81880437593070529066471579048, −1.33782873674659544208827752433, −0.956507833322988145561840779123, −0.890995480028560626908041798196, −0.66056961295763754977032736231, −0.46818766107997323846354214956, 0.46818766107997323846354214956, 0.66056961295763754977032736231, 0.890995480028560626908041798196, 0.956507833322988145561840779123, 1.33782873674659544208827752433, 1.81880437593070529066471579048, 1.97942743588026212141340366008, 2.44002294241966640068758474033, 2.59899542873453747807745214743, 2.92267600354425143109178969269, 3.02921678763293403068550536557, 3.09935720739933656108850924520, 3.95397766072631363283846176999, 4.10720691939794766588919921973, 4.33550553521135272297111188040, 4.69396255265465087321603106371, 4.75978964464573230976129542578, 5.02992339964104360236355512258, 5.52324327154557221332631790441, 5.71946333803671060531183616557, 5.86910312870096593688730688356, 5.89530756446408114783769280067, 6.36637790558535352432706740019, 6.68459592403554418143647784869, 6.92367029872052807668853523243

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(17)\)	\(\approx\)	\(87.51151057\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(87.51151057\)
\(L(\frac{35}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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