Properties

Degree 122
Conductor $ 29^{61} \cdot 139^{61} $
Sign $-1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 61

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more about

Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  − 2-s − 4·3-s − 39·4-s − 7·5-s + 4·6-s − 10·7-s + 38·8-s − 72·9-s + 7·10-s − 3·11-s + 156·12-s − 28·13-s + 10·14-s + 28·15-s + 743·16-s − 21·17-s + 72·18-s − 36·19-s + 273·20-s + 40·21-s + 3·22-s − 15·23-s − 152·24-s − 136·25-s + 28·26-s + 310·27-s + 390·28-s + ⋯
L(s)  = 1  − 0.707·2-s − 2.30·3-s − 19.5·4-s − 3.13·5-s + 1.63·6-s − 3.77·7-s + 13.4·8-s − 24·9-s + 2.21·10-s − 0.904·11-s + 45.0·12-s − 7.76·13-s + 2.67·14-s + 7.22·15-s + 185.·16-s − 5.09·17-s + 16.9·18-s − 8.25·19-s + 61.0·20-s + 8.72·21-s + 0.639·22-s − 3.12·23-s − 31.0·24-s − 27.1·25-s + 5.49·26-s + 59.6·27-s + 73.7·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(29^{61} \cdot 139^{61}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{61} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(29^{61} \cdot 139^{61}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{61} \, L(s)\cr =\mathstrut & -\,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(122\)
\( N \)  =  \(29^{61} \cdot 139^{61}\)
\( \varepsilon \)  =  $-1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{4031} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  61
Selberg data  =  $(122,\ 29^{61} \cdot 139^{61} ,\ ( \ : [1/2]^{61} ),\ -1 )$
$L(1)$  $=$  $0$
$L(\frac12)$  $=$  $0$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{29,\;139\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 122. If $p \in \{29,\;139\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 121.
$p$$F_p$
bad29 \( ( 1 + T )^{61} \)
139 \( ( 1 + T )^{61} \)
good2 \( 1 + T + 5 p^{3} T^{2} + 41 T^{3} + 205 p^{2} T^{4} + 857 T^{5} + 11479 T^{6} + 6089 p T^{7} + 123357 T^{8} + 132337 T^{9} + 542325 p T^{10} + 1172781 T^{11} + 2030549 p^{2} T^{12} + 4412935 p T^{13} + 26618589 p T^{14} + 57990561 T^{15} + 155779965 p T^{16} + 84863073 p^{2} T^{17} + 1652630359 T^{18} + 449371359 p^{2} T^{19} + 1004888693 p^{3} T^{20} + 272312235 p^{5} T^{21} + 4525025879 p^{3} T^{22} + 39048614131 T^{23} + 4751803725 p^{5} T^{24} + 81510377407 p T^{25} + 599591071693 T^{26} + 638208357379 T^{27} + 2231328965905 T^{28} + 2355839084777 T^{29} + 3936081506911 p T^{30} + 8237812183045 T^{31} + 3303930536969 p^{3} T^{32} + 27395930907417 T^{33} + 21184694871039 p^{2} T^{34} + 86945818349865 T^{35} + 130073323896403 p T^{36} + 66026033317355 p^{2} T^{37} + 766657178543973 T^{38} + 769779967626521 T^{39} + 2173497441941539 T^{40} + 2157616334339205 T^{41} + 185585900230183 p^{5} T^{42} + 1456664180894225 p^{2} T^{43} + 1957997193697177 p^{3} T^{44} + 15184823080770981 T^{45} + 39937126943048265 T^{46} + 38242974519446913 T^{47} + 98543700770955655 T^{48} + 93188244325280779 T^{49} + 235553321905782461 T^{50} + 219923499900367197 T^{51} + 545904812756362195 T^{52} + 503084251316649333 T^{53} + 153431349310306145 p^{3} T^{54} + 1116233134126977199 T^{55} + 2679045231473600019 T^{56} + 1201720549739466615 p T^{57} + 2839123448163651769 p T^{58} + 5023787037790021667 T^{59} + 11690110002132562489 T^{60} + 10196245076360382005 T^{61} + 11690110002132562489 p T^{62} + 5023787037790021667 p^{2} T^{63} + 2839123448163651769 p^{4} T^{64} + 1201720549739466615 p^{5} T^{65} + 2679045231473600019 p^{5} T^{66} + 1116233134126977199 p^{6} T^{67} + 153431349310306145 p^{10} T^{68} + 503084251316649333 p^{8} T^{69} + 545904812756362195 p^{9} T^{70} + 219923499900367197 p^{10} T^{71} + 235553321905782461 p^{11} T^{72} + 93188244325280779 p^{12} T^{73} + 98543700770955655 p^{13} T^{74} + 38242974519446913 p^{14} T^{75} + 39937126943048265 p^{15} T^{76} + 15184823080770981 p^{16} T^{77} + 1957997193697177 p^{20} T^{78} + 1456664180894225 p^{20} T^{79} + 185585900230183 p^{24} T^{80} + 2157616334339205 p^{20} T^{81} + 2173497441941539 p^{21} T^{82} + 769779967626521 p^{22} T^{83} + 766657178543973 p^{23} T^{84} + 66026033317355 p^{26} T^{85} + 130073323896403 p^{26} T^{86} + 86945818349865 p^{26} T^{87} + 21184694871039 p^{29} T^{88} + 27395930907417 p^{28} T^{89} + 3303930536969 p^{32} T^{90} + 8237812183045 p^{30} T^{91} + 3936081506911 p^{32} T^{92} + 2355839084777 p^{32} T^{93} + 2231328965905 p^{33} T^{94} + 638208357379 p^{34} T^{95} + 599591071693 p^{35} T^{96} + 81510377407 p^{37} T^{97} + 4751803725 p^{42} T^{98} + 39048614131 p^{38} T^{99} + 4525025879 p^{42} T^{100} + 272312235 p^{45} T^{101} + 1004888693 p^{44} T^{102} + 449371359 p^{44} T^{103} + 1652630359 p^{43} T^{104} + 84863073 p^{46} T^{105} + 155779965 p^{46} T^{106} + 57990561 p^{46} T^{107} + 26618589 p^{48} T^{108} + 4412935 p^{49} T^{109} + 2030549 p^{51} T^{110} + 1172781 p^{50} T^{111} + 542325 p^{52} T^{112} + 132337 p^{52} T^{113} + 123357 p^{53} T^{114} + 6089 p^{55} T^{115} + 11479 p^{55} T^{116} + 857 p^{56} T^{117} + 205 p^{59} T^{118} + 41 p^{58} T^{119} + 5 p^{62} T^{120} + p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
3 \( 1 + 4 T + 88 T^{2} + 110 p T^{3} + 3881 T^{4} + 13720 T^{5} + 114401 T^{6} + 127675 p T^{7} + 2535781 T^{8} + 2690758 p T^{9} + 45079393 T^{10} + 136900348 T^{11} + 669389626 T^{12} + 1944927731 T^{13} + 8537768132 T^{14} + 23793348506 T^{15} + 31818921955 p T^{16} + 255712216555 T^{17} + 950104526327 T^{18} + 2451174844928 T^{19} + 105197921669 p^{4} T^{20} + 21206617041659 T^{21} + 23177590939310 p T^{22} + 167174432638870 T^{23} + 57820445741120 p^{2} T^{24} + 134463763537327 p^{2} T^{25} + 3595694063611103 T^{26} + 99961951457719 p^{4} T^{27} + 23068169092154618 T^{28} + 50346458345859470 T^{29} + 138076622707193003 T^{30} + 292310594595183383 T^{31} + 774357314635693078 T^{32} + 530414692150573427 p T^{33} + 4084190633363054654 T^{34} + 2717159555164640707 p T^{35} + 20327447014969355959 T^{36} + 39426131842465267543 T^{37} + 10640908454471033312 p^{2} T^{38} + \)\(18\!\cdots\!65\)\( T^{39} + \)\(42\!\cdots\!65\)\( T^{40} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( T^{41} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( p^{2} T^{42} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( T^{43} + \)\(74\!\cdots\!73\)\( T^{44} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( T^{45} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{2} T^{46} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( p T^{47} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{48} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( T^{49} + \)\(38\!\cdots\!68\)\( T^{50} + \)\(62\!\cdots\!73\)\( T^{51} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( T^{52} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( T^{53} + \)\(45\!\cdots\!33\)\( T^{54} + \)\(69\!\cdots\!05\)\( T^{55} + \)\(14\!\cdots\!11\)\( T^{56} + \)\(22\!\cdots\!25\)\( T^{57} + \)\(46\!\cdots\!01\)\( T^{58} + \)\(69\!\cdots\!59\)\( T^{59} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{2} T^{60} + \)\(70\!\cdots\!09\)\( p T^{61} + \)\(15\!\cdots\!36\)\( p^{3} T^{62} + \)\(69\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{63} + \)\(46\!\cdots\!01\)\( p^{3} T^{64} + \)\(22\!\cdots\!25\)\( p^{4} T^{65} + \)\(14\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{66} + \)\(69\!\cdots\!05\)\( p^{6} T^{67} + \)\(45\!\cdots\!33\)\( p^{7} T^{68} + \)\(21\!\cdots\!61\)\( p^{8} T^{69} + \)\(13\!\cdots\!94\)\( p^{9} T^{70} + \)\(62\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{71} + \)\(38\!\cdots\!68\)\( p^{11} T^{72} + \)\(17\!\cdots\!49\)\( p^{12} T^{73} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( p^{13} T^{74} + \)\(16\!\cdots\!75\)\( p^{15} T^{75} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{17} T^{76} + \)\(12\!\cdots\!12\)\( p^{16} T^{77} + \)\(74\!\cdots\!73\)\( p^{17} T^{78} + \)\(32\!\cdots\!20\)\( p^{18} T^{79} + \)\(20\!\cdots\!07\)\( p^{21} T^{80} + \)\(78\!\cdots\!28\)\( p^{20} T^{81} + \)\(42\!\cdots\!65\)\( p^{21} T^{82} + \)\(18\!\cdots\!65\)\( p^{22} T^{83} + 10640908454471033312 p^{25} T^{84} + 39426131842465267543 p^{24} T^{85} + 20327447014969355959 p^{25} T^{86} + 2717159555164640707 p^{27} T^{87} + 4084190633363054654 p^{27} T^{88} + 530414692150573427 p^{29} T^{89} + 774357314635693078 p^{29} T^{90} + 292310594595183383 p^{30} T^{91} + 138076622707193003 p^{31} T^{92} + 50346458345859470 p^{32} T^{93} + 23068169092154618 p^{33} T^{94} + 99961951457719 p^{38} T^{95} + 3595694063611103 p^{35} T^{96} + 134463763537327 p^{38} T^{97} + 57820445741120 p^{39} T^{98} + 167174432638870 p^{38} T^{99} + 23177590939310 p^{40} T^{100} + 21206617041659 p^{40} T^{101} + 105197921669 p^{45} T^{102} + 2451174844928 p^{42} T^{103} + 950104526327 p^{43} T^{104} + 255712216555 p^{44} T^{105} + 31818921955 p^{46} T^{106} + 23793348506 p^{46} T^{107} + 8537768132 p^{47} T^{108} + 1944927731 p^{48} T^{109} + 669389626 p^{49} T^{110} + 136900348 p^{50} T^{111} + 45079393 p^{51} T^{112} + 2690758 p^{53} T^{113} + 2535781 p^{53} T^{114} + 127675 p^{55} T^{115} + 114401 p^{55} T^{116} + 13720 p^{56} T^{117} + 3881 p^{57} T^{118} + 110 p^{59} T^{119} + 88 p^{59} T^{120} + 4 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
5 \( 1 + 7 T + 37 p T^{2} + 1172 T^{3} + 16886 T^{4} + 3922 p^{2} T^{5} + 203286 p T^{6} + 5464413 T^{7} + 45474018 T^{8} + 228206869 T^{9} + 1615125324 T^{10} + 7617318277 T^{11} + 47488802711 T^{12} + 42334838027 p T^{13} + 1189894760318 T^{14} + 5036603656946 T^{15} + 25953283378042 T^{16} + 104747225506031 T^{17} + 500842149442124 T^{18} + 386833363360898 p T^{19} + 8661623112593372 T^{20} + 32103605221256637 T^{21} + 27127611873408616 p T^{22} + 483778727648166268 T^{23} + 1939752377108207722 T^{24} + 6673115847617446237 T^{25} + 5102865718362542816 p T^{26} + 84833782272119183733 T^{27} + \)\(31\!\cdots\!38\)\( T^{28} + \)\(99\!\cdots\!06\)\( T^{29} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( p T^{30} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{31} + \)\(37\!\cdots\!04\)\( T^{32} + \)\(11\!\cdots\!09\)\( T^{33} + \)\(73\!\cdots\!02\)\( p T^{34} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{35} + \)\(34\!\cdots\!89\)\( T^{36} + \)\(98\!\cdots\!53\)\( T^{37} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( T^{38} + \)\(84\!\cdots\!08\)\( T^{39} + \)\(50\!\cdots\!71\)\( p T^{40} + \)\(27\!\cdots\!33\)\( p^{2} T^{41} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( T^{42} + \)\(53\!\cdots\!79\)\( T^{43} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( p T^{44} + \)\(38\!\cdots\!34\)\( T^{45} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( T^{46} + \)\(27\!\cdots\!87\)\( T^{47} + \)\(72\!\cdots\!71\)\( T^{48} + \)\(18\!\cdots\!78\)\( T^{49} + \)\(47\!\cdots\!81\)\( T^{50} + \)\(11\!\cdots\!49\)\( T^{51} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( T^{52} + \)\(70\!\cdots\!27\)\( T^{53} + \)\(35\!\cdots\!98\)\( p T^{54} + \)\(81\!\cdots\!78\)\( p T^{55} + \)\(99\!\cdots\!94\)\( T^{56} + \)\(22\!\cdots\!97\)\( T^{57} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( T^{58} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( T^{59} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( T^{60} + \)\(61\!\cdots\!72\)\( T^{61} + \)\(28\!\cdots\!97\)\( p T^{62} + \)\(12\!\cdots\!44\)\( p^{2} T^{63} + \)\(54\!\cdots\!82\)\( p^{3} T^{64} + \)\(22\!\cdots\!97\)\( p^{4} T^{65} + \)\(99\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{66} + \)\(81\!\cdots\!78\)\( p^{7} T^{67} + \)\(35\!\cdots\!98\)\( p^{8} T^{68} + \)\(70\!\cdots\!27\)\( p^{8} T^{69} + \)\(29\!\cdots\!32\)\( p^{9} T^{70} + \)\(11\!\cdots\!49\)\( p^{10} T^{71} + \)\(47\!\cdots\!81\)\( p^{11} T^{72} + \)\(18\!\cdots\!78\)\( p^{12} T^{73} + \)\(72\!\cdots\!71\)\( p^{13} T^{74} + \)\(27\!\cdots\!87\)\( p^{14} T^{75} + \)\(10\!\cdots\!09\)\( p^{15} T^{76} + \)\(38\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{77} + \)\(29\!\cdots\!87\)\( p^{18} T^{78} + \)\(53\!\cdots\!79\)\( p^{18} T^{79} + \)\(19\!\cdots\!16\)\( p^{19} T^{80} + \)\(27\!\cdots\!33\)\( p^{22} T^{81} + \)\(50\!\cdots\!71\)\( p^{22} T^{82} + \)\(84\!\cdots\!08\)\( p^{22} T^{83} + \)\(30\!\cdots\!91\)\( p^{23} T^{84} + \)\(98\!\cdots\!53\)\( p^{24} T^{85} + \)\(34\!\cdots\!89\)\( p^{25} T^{86} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{26} T^{87} + \)\(73\!\cdots\!02\)\( p^{28} T^{88} + \)\(11\!\cdots\!09\)\( p^{28} T^{89} + \)\(37\!\cdots\!04\)\( p^{29} T^{90} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( p^{30} T^{91} + \)\(70\!\cdots\!89\)\( p^{32} T^{92} + \)\(99\!\cdots\!06\)\( p^{32} T^{93} + \)\(31\!\cdots\!38\)\( p^{33} T^{94} + 84833782272119183733 p^{34} T^{95} + 5102865718362542816 p^{36} T^{96} + 6673115847617446237 p^{36} T^{97} + 1939752377108207722 p^{37} T^{98} + 483778727648166268 p^{38} T^{99} + 27127611873408616 p^{40} T^{100} + 32103605221256637 p^{40} T^{101} + 8661623112593372 p^{41} T^{102} + 386833363360898 p^{43} T^{103} + 500842149442124 p^{43} T^{104} + 104747225506031 p^{44} T^{105} + 25953283378042 p^{45} T^{106} + 5036603656946 p^{46} T^{107} + 1189894760318 p^{47} T^{108} + 42334838027 p^{49} T^{109} + 47488802711 p^{49} T^{110} + 7617318277 p^{50} T^{111} + 1615125324 p^{51} T^{112} + 228206869 p^{52} T^{113} + 45474018 p^{53} T^{114} + 5464413 p^{54} T^{115} + 203286 p^{56} T^{116} + 3922 p^{58} T^{117} + 16886 p^{57} T^{118} + 1172 p^{58} T^{119} + 37 p^{60} T^{120} + 7 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
7 \( 1 + 10 T + 282 T^{2} + 2497 T^{3} + 5567 p T^{4} + 310815 T^{5} + 3532700 T^{6} + 25719109 T^{7} + 4837298 p^{2} T^{8} + 1591788557 T^{9} + 12581234180 T^{10} + 78606317533 T^{11} + 551162261387 T^{12} + 460921831056 p T^{13} + 20521607789572 T^{14} + 113222788928693 T^{15} + 663534740025639 T^{16} + 3467641321283039 T^{17} + 18939740266823655 T^{18} + 94155934835462908 T^{19} + 69066139389247176 p T^{20} + 2294758547943738738 T^{21} + 11152254485948241572 T^{22} + 50701377491276783360 T^{23} + 33496198948603787373 p T^{24} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( T^{25} + \)\(45\!\cdots\!13\)\( T^{26} + \)\(19\!\cdots\!26\)\( T^{27} + \)\(80\!\cdots\!64\)\( T^{28} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{30} + \)\(52\!\cdots\!77\)\( T^{31} + \)\(29\!\cdots\!53\)\( p T^{32} + \)\(78\!\cdots\!71\)\( T^{33} + \)\(29\!\cdots\!95\)\( T^{34} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( T^{35} + \)\(40\!\cdots\!91\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( T^{37} + \)\(51\!\cdots\!75\)\( T^{38} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{39} + \)\(61\!\cdots\!33\)\( T^{40} + \)\(20\!\cdots\!70\)\( T^{41} + \)\(70\!\cdots\!83\)\( T^{42} + \)\(23\!\cdots\!46\)\( T^{43} + \)\(76\!\cdots\!37\)\( T^{44} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( T^{45} + \)\(78\!\cdots\!77\)\( T^{46} + \)\(24\!\cdots\!78\)\( T^{47} + \)\(76\!\cdots\!30\)\( T^{48} + \)\(23\!\cdots\!89\)\( T^{49} + \)\(70\!\cdots\!81\)\( T^{50} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( T^{51} + \)\(62\!\cdots\!01\)\( T^{52} + \)\(18\!\cdots\!41\)\( T^{53} + \)\(52\!\cdots\!38\)\( T^{54} + \)\(15\!\cdots\!73\)\( T^{55} + \)\(42\!\cdots\!56\)\( T^{56} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( T^{57} + \)\(32\!\cdots\!14\)\( T^{58} + \)\(88\!\cdots\!00\)\( T^{59} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{60} + \)\(63\!\cdots\!78\)\( T^{61} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( p T^{62} + \)\(88\!\cdots\!00\)\( p^{2} T^{63} + \)\(32\!\cdots\!14\)\( p^{3} T^{64} + \)\(11\!\cdots\!92\)\( p^{4} T^{65} + \)\(42\!\cdots\!56\)\( p^{5} T^{66} + \)\(15\!\cdots\!73\)\( p^{6} T^{67} + \)\(52\!\cdots\!38\)\( p^{7} T^{68} + \)\(18\!\cdots\!41\)\( p^{8} T^{69} + \)\(62\!\cdots\!01\)\( p^{9} T^{70} + \)\(21\!\cdots\!73\)\( p^{10} T^{71} + \)\(70\!\cdots\!81\)\( p^{11} T^{72} + \)\(23\!\cdots\!89\)\( p^{12} T^{73} + \)\(76\!\cdots\!30\)\( p^{13} T^{74} + \)\(24\!\cdots\!78\)\( p^{14} T^{75} + \)\(78\!\cdots\!77\)\( p^{15} T^{76} + \)\(24\!\cdots\!89\)\( p^{16} T^{77} + \)\(76\!\cdots\!37\)\( p^{17} T^{78} + \)\(23\!\cdots\!46\)\( p^{18} T^{79} + \)\(70\!\cdots\!83\)\( p^{19} T^{80} + \)\(20\!\cdots\!70\)\( p^{20} T^{81} + \)\(61\!\cdots\!33\)\( p^{21} T^{82} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( p^{22} T^{83} + \)\(51\!\cdots\!75\)\( p^{23} T^{84} + \)\(14\!\cdots\!30\)\( p^{24} T^{85} + \)\(40\!\cdots\!91\)\( p^{25} T^{86} + \)\(10\!\cdots\!66\)\( p^{26} T^{87} + \)\(29\!\cdots\!95\)\( p^{27} T^{88} + \)\(78\!\cdots\!71\)\( p^{28} T^{89} + \)\(29\!\cdots\!53\)\( p^{30} T^{90} + \)\(52\!\cdots\!77\)\( p^{30} T^{91} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( p^{31} T^{92} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{32} T^{93} + \)\(80\!\cdots\!64\)\( p^{33} T^{94} + \)\(19\!\cdots\!26\)\( p^{34} T^{95} + \)\(45\!\cdots\!13\)\( p^{35} T^{96} + \)\(10\!\cdots\!63\)\( p^{36} T^{97} + 33496198948603787373 p^{38} T^{98} + 50701377491276783360 p^{38} T^{99} + 11152254485948241572 p^{39} T^{100} + 2294758547943738738 p^{40} T^{101} + 69066139389247176 p^{42} T^{102} + 94155934835462908 p^{42} T^{103} + 18939740266823655 p^{43} T^{104} + 3467641321283039 p^{44} T^{105} + 663534740025639 p^{45} T^{106} + 113222788928693 p^{46} T^{107} + 20521607789572 p^{47} T^{108} + 460921831056 p^{49} T^{109} + 551162261387 p^{49} T^{110} + 78606317533 p^{50} T^{111} + 12581234180 p^{51} T^{112} + 1591788557 p^{52} T^{113} + 4837298 p^{55} T^{114} + 25719109 p^{54} T^{115} + 3532700 p^{55} T^{116} + 310815 p^{56} T^{117} + 5567 p^{58} T^{118} + 2497 p^{58} T^{119} + 282 p^{59} T^{120} + 10 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
11 \( 1 + 3 T + 411 T^{2} + 1245 T^{3} + 84549 T^{4} + 257988 T^{5} + 11601367 T^{6} + 35581411 T^{7} + 1193918900 T^{8} + 3673333123 T^{9} + 98247050943 T^{10} + 302693123229 T^{11} + 6730747245880 T^{12} + 20731819408917 T^{13} + 394672404607152 T^{14} + 1213540580903769 T^{15} + 20211334266117229 T^{16} + 61952569867071777 T^{17} + 917868782941403594 T^{18} + 2801170331744204327 T^{19} + 37410541078359310824 T^{20} + 10321458563377862240 p T^{21} + \)\(13\!\cdots\!55\)\( T^{22} + \)\(41\!\cdots\!08\)\( T^{23} + \)\(46\!\cdots\!03\)\( T^{24} + \)\(13\!\cdots\!23\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!59\)\( T^{26} + \)\(42\!\cdots\!29\)\( T^{27} + \)\(41\!\cdots\!55\)\( T^{28} + \)\(12\!\cdots\!25\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( T^{30} + \)\(32\!\cdots\!70\)\( T^{31} + \)\(27\!\cdots\!71\)\( T^{32} + \)\(78\!\cdots\!52\)\( T^{33} + \)\(63\!\cdots\!74\)\( T^{34} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( T^{36} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( T^{37} + \)\(28\!\cdots\!17\)\( T^{38} + \)\(78\!\cdots\!98\)\( T^{39} + \)\(54\!\cdots\!92\)\( T^{40} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( p T^{41} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( T^{42} + \)\(26\!\cdots\!38\)\( T^{43} + \)\(17\!\cdots\!23\)\( T^{44} + \)\(45\!\cdots\!20\)\( T^{45} + \)\(28\!\cdots\!35\)\( T^{46} + \)\(73\!\cdots\!03\)\( T^{47} + \)\(44\!\cdots\!54\)\( T^{48} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{49} + \)\(64\!\cdots\!10\)\( T^{50} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( T^{51} + \)\(82\!\cdots\!31\)\( p T^{52} + \)\(22\!\cdots\!44\)\( T^{53} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( T^{54} + \)\(26\!\cdots\!52\)\( p T^{55} + \)\(15\!\cdots\!31\)\( T^{56} + \)\(36\!\cdots\!80\)\( T^{57} + \)\(18\!\cdots\!45\)\( T^{58} + \)\(43\!\cdots\!91\)\( T^{59} + \)\(21\!\cdots\!49\)\( T^{60} + \)\(48\!\cdots\!74\)\( T^{61} + \)\(21\!\cdots\!49\)\( p T^{62} + \)\(43\!\cdots\!91\)\( p^{2} T^{63} + \)\(18\!\cdots\!45\)\( p^{3} T^{64} + \)\(36\!\cdots\!80\)\( p^{4} T^{65} + \)\(15\!\cdots\!31\)\( p^{5} T^{66} + \)\(26\!\cdots\!52\)\( p^{7} T^{67} + \)\(12\!\cdots\!10\)\( p^{7} T^{68} + \)\(22\!\cdots\!44\)\( p^{8} T^{69} + \)\(82\!\cdots\!31\)\( p^{10} T^{70} + \)\(16\!\cdots\!47\)\( p^{10} T^{71} + \)\(64\!\cdots\!10\)\( p^{11} T^{72} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{12} T^{73} + \)\(44\!\cdots\!54\)\( p^{13} T^{74} + \)\(73\!\cdots\!03\)\( p^{14} T^{75} + \)\(28\!\cdots\!35\)\( p^{15} T^{76} + \)\(45\!\cdots\!20\)\( p^{16} T^{77} + \)\(17\!\cdots\!23\)\( p^{17} T^{78} + \)\(26\!\cdots\!38\)\( p^{18} T^{79} + \)\(10\!\cdots\!99\)\( p^{19} T^{80} + \)\(13\!\cdots\!98\)\( p^{21} T^{81} + \)\(54\!\cdots\!92\)\( p^{21} T^{82} + \)\(78\!\cdots\!98\)\( p^{22} T^{83} + \)\(28\!\cdots\!17\)\( p^{23} T^{84} + \)\(38\!\cdots\!42\)\( p^{24} T^{85} + \)\(13\!\cdots\!04\)\( p^{25} T^{86} + \)\(18\!\cdots\!80\)\( p^{26} T^{87} + \)\(63\!\cdots\!74\)\( p^{27} T^{88} + \)\(78\!\cdots\!52\)\( p^{28} T^{89} + \)\(27\!\cdots\!71\)\( p^{29} T^{90} + \)\(32\!\cdots\!70\)\( p^{30} T^{91} + \)\(11\!\cdots\!75\)\( p^{31} T^{92} + \)\(12\!\cdots\!25\)\( p^{32} T^{93} + \)\(41\!\cdots\!55\)\( p^{33} T^{94} + \)\(42\!\cdots\!29\)\( p^{34} T^{95} + \)\(14\!\cdots\!59\)\( p^{35} T^{96} + \)\(13\!\cdots\!23\)\( p^{36} T^{97} + \)\(46\!\cdots\!03\)\( p^{37} T^{98} + \)\(41\!\cdots\!08\)\( p^{38} T^{99} + \)\(13\!\cdots\!55\)\( p^{39} T^{100} + 10321458563377862240 p^{41} T^{101} + 37410541078359310824 p^{41} T^{102} + 2801170331744204327 p^{42} T^{103} + 917868782941403594 p^{43} T^{104} + 61952569867071777 p^{44} T^{105} + 20211334266117229 p^{45} T^{106} + 1213540580903769 p^{46} T^{107} + 394672404607152 p^{47} T^{108} + 20731819408917 p^{48} T^{109} + 6730747245880 p^{49} T^{110} + 302693123229 p^{50} T^{111} + 98247050943 p^{51} T^{112} + 3673333123 p^{52} T^{113} + 1193918900 p^{53} T^{114} + 35581411 p^{54} T^{115} + 11601367 p^{55} T^{116} + 257988 p^{56} T^{117} + 84549 p^{57} T^{118} + 1245 p^{58} T^{119} + 411 p^{59} T^{120} + 3 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
13 \( 1 + 28 T + 840 T^{2} + 16027 T^{3} + 296697 T^{4} + 4446200 T^{5} + 63674378 T^{6} + 801969845 T^{7} + 9652989741 T^{8} + 106249326181 T^{9} + 1121428364912 T^{10} + 11061662202255 T^{11} + 105035523621722 T^{12} + 944777694301611 T^{13} + 8210307895193528 T^{14} + 403579959192246 p^{2} T^{15} + 549144520325084501 T^{16} + 4253997434120130358 T^{17} + 32026312431544575006 T^{18} + \)\(23\!\cdots\!72\)\( T^{19} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( T^{20} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( T^{21} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( T^{22} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( T^{23} + \)\(31\!\cdots\!75\)\( T^{24} + \)\(19\!\cdots\!45\)\( T^{25} + \)\(93\!\cdots\!70\)\( p T^{26} + \)\(72\!\cdots\!33\)\( T^{27} + \)\(42\!\cdots\!47\)\( T^{28} + \)\(24\!\cdots\!93\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( T^{30} + \)\(75\!\cdots\!06\)\( T^{31} + \)\(40\!\cdots\!96\)\( T^{32} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!36\)\( T^{34} + \)\(44\!\cdots\!43\)\( p T^{35} + \)\(29\!\cdots\!50\)\( T^{36} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( T^{37} + \)\(72\!\cdots\!07\)\( T^{38} + \)\(34\!\cdots\!61\)\( T^{39} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( T^{40} + \)\(77\!\cdots\!85\)\( T^{41} + \)\(35\!\cdots\!84\)\( T^{42} + \)\(16\!\cdots\!18\)\( T^{43} + \)\(73\!\cdots\!42\)\( T^{44} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( T^{45} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{46} + \)\(61\!\cdots\!22\)\( T^{47} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( T^{48} + \)\(10\!\cdots\!25\)\( T^{49} + \)\(45\!\cdots\!95\)\( T^{50} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( T^{51} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( T^{52} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( T^{53} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( T^{54} + \)\(46\!\cdots\!37\)\( T^{55} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( T^{56} + \)\(67\!\cdots\!24\)\( T^{57} + \)\(25\!\cdots\!77\)\( T^{58} + \)\(94\!\cdots\!27\)\( T^{59} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( T^{60} + \)\(12\!\cdots\!17\)\( T^{61} + \)\(34\!\cdots\!84\)\( p T^{62} + \)\(94\!\cdots\!27\)\( p^{2} T^{63} + \)\(25\!\cdots\!77\)\( p^{3} T^{64} + \)\(67\!\cdots\!24\)\( p^{4} T^{65} + \)\(17\!\cdots\!40\)\( p^{5} T^{66} + \)\(46\!\cdots\!37\)\( p^{6} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( p^{7} T^{68} + \)\(29\!\cdots\!15\)\( p^{8} T^{69} + \)\(75\!\cdots\!60\)\( p^{9} T^{70} + \)\(18\!\cdots\!67\)\( p^{10} T^{71} + \)\(45\!\cdots\!95\)\( p^{11} T^{72} + \)\(10\!\cdots\!25\)\( p^{12} T^{73} + \)\(26\!\cdots\!01\)\( p^{13} T^{74} + \)\(61\!\cdots\!22\)\( p^{14} T^{75} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{15} T^{76} + \)\(32\!\cdots\!64\)\( p^{16} T^{77} + \)\(73\!\cdots\!42\)\( p^{17} T^{78} + \)\(16\!\cdots\!18\)\( p^{18} T^{79} + \)\(35\!\cdots\!84\)\( p^{19} T^{80} + \)\(77\!\cdots\!85\)\( p^{20} T^{81} + \)\(16\!\cdots\!98\)\( p^{21} T^{82} + \)\(34\!\cdots\!61\)\( p^{22} T^{83} + \)\(72\!\cdots\!07\)\( p^{23} T^{84} + \)\(14\!\cdots\!20\)\( p^{24} T^{85} + \)\(29\!\cdots\!50\)\( p^{25} T^{86} + \)\(44\!\cdots\!43\)\( p^{27} T^{87} + \)\(11\!\cdots\!36\)\( p^{27} T^{88} + \)\(21\!\cdots\!92\)\( p^{28} T^{89} + \)\(40\!\cdots\!96\)\( p^{29} T^{90} + \)\(75\!\cdots\!06\)\( p^{30} T^{91} + \)\(13\!\cdots\!77\)\( p^{31} T^{92} + \)\(24\!\cdots\!93\)\( p^{32} T^{93} + \)\(42\!\cdots\!47\)\( p^{33} T^{94} + \)\(72\!\cdots\!33\)\( p^{34} T^{95} + \)\(93\!\cdots\!70\)\( p^{36} T^{96} + \)\(19\!\cdots\!45\)\( p^{36} T^{97} + \)\(31\!\cdots\!75\)\( p^{37} T^{98} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( p^{38} T^{99} + \)\(76\!\cdots\!86\)\( p^{39} T^{100} + \)\(11\!\cdots\!27\)\( p^{40} T^{101} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( p^{41} T^{102} + \)\(23\!\cdots\!72\)\( p^{42} T^{103} + 32026312431544575006 p^{43} T^{104} + 4253997434120130358 p^{44} T^{105} + 549144520325084501 p^{45} T^{106} + 403579959192246 p^{48} T^{107} + 8210307895193528 p^{47} T^{108} + 944777694301611 p^{48} T^{109} + 105035523621722 p^{49} T^{110} + 11061662202255 p^{50} T^{111} + 1121428364912 p^{51} T^{112} + 106249326181 p^{52} T^{113} + 9652989741 p^{53} T^{114} + 801969845 p^{54} T^{115} + 63674378 p^{55} T^{116} + 4446200 p^{56} T^{117} + 296697 p^{57} T^{118} + 16027 p^{58} T^{119} + 840 p^{59} T^{120} + 28 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
17 \( 1 + 21 T + 814 T^{2} + 13908 T^{3} + 313364 T^{4} + 4573924 T^{5} + 77463912 T^{6} + 996375402 T^{7} + 13972946167 T^{8} + 161789854061 T^{9} + 1973731661960 T^{10} + 20892464152082 T^{11} + 228316759949668 T^{12} + 2235218452312686 T^{13} + 22306273392914810 T^{14} + 203799502132068945 T^{15} + 1882422576529898180 T^{16} + 16165867259643585851 T^{17} + \)\(13\!\cdots\!49\)\( T^{18} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( T^{19} + \)\(92\!\cdots\!61\)\( T^{20} + \)\(71\!\cdots\!86\)\( T^{21} + \)\(54\!\cdots\!27\)\( T^{22} + \)\(40\!\cdots\!68\)\( T^{23} + \)\(29\!\cdots\!35\)\( T^{24} + \)\(20\!\cdots\!14\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( T^{26} + \)\(98\!\cdots\!53\)\( T^{27} + \)\(66\!\cdots\!05\)\( T^{28} + \)\(43\!\cdots\!29\)\( T^{29} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( T^{30} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!69\)\( T^{32} + \)\(65\!\cdots\!91\)\( T^{33} + \)\(39\!\cdots\!92\)\( T^{34} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{36} + \)\(76\!\cdots\!90\)\( T^{37} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( T^{38} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( T^{39} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( T^{40} + \)\(69\!\cdots\!93\)\( T^{41} + \)\(37\!\cdots\!69\)\( T^{42} + \)\(19\!\cdots\!67\)\( T^{43} + \)\(99\!\cdots\!20\)\( T^{44} + \)\(50\!\cdots\!81\)\( T^{45} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( T^{46} + \)\(12\!\cdots\!31\)\( T^{47} + \)\(61\!\cdots\!32\)\( T^{48} + \)\(29\!\cdots\!60\)\( T^{49} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{50} + \)\(65\!\cdots\!31\)\( T^{51} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( T^{52} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( T^{53} + \)\(63\!\cdots\!38\)\( T^{54} + \)\(28\!\cdots\!85\)\( T^{55} + \)\(73\!\cdots\!71\)\( p T^{56} + \)\(54\!\cdots\!17\)\( T^{57} + \)\(23\!\cdots\!58\)\( T^{58} + \)\(98\!\cdots\!98\)\( T^{59} + \)\(24\!\cdots\!17\)\( p T^{60} + \)\(17\!\cdots\!82\)\( T^{61} + \)\(24\!\cdots\!17\)\( p^{2} T^{62} + \)\(98\!\cdots\!98\)\( p^{2} T^{63} + \)\(23\!\cdots\!58\)\( p^{3} T^{64} + \)\(54\!\cdots\!17\)\( p^{4} T^{65} + \)\(73\!\cdots\!71\)\( p^{6} T^{66} + \)\(28\!\cdots\!85\)\( p^{6} T^{67} + \)\(63\!\cdots\!38\)\( p^{7} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{69} + \)\(30\!\cdots\!01\)\( p^{9} T^{70} + \)\(65\!\cdots\!31\)\( p^{10} T^{71} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( p^{11} T^{72} + \)\(29\!\cdots\!60\)\( p^{12} T^{73} + \)\(61\!\cdots\!32\)\( p^{13} T^{74} + \)\(12\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{75} + \)\(25\!\cdots\!20\)\( p^{15} T^{76} + \)\(50\!\cdots\!81\)\( p^{16} T^{77} + \)\(99\!\cdots\!20\)\( p^{17} T^{78} + \)\(19\!\cdots\!67\)\( p^{18} T^{79} + \)\(37\!\cdots\!69\)\( p^{19} T^{80} + \)\(69\!\cdots\!93\)\( p^{20} T^{81} + \)\(13\!\cdots\!27\)\( p^{21} T^{82} + \)\(23\!\cdots\!26\)\( p^{22} T^{83} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( p^{23} T^{84} + \)\(76\!\cdots\!90\)\( p^{24} T^{85} + \)\(13\!\cdots\!56\)\( p^{25} T^{86} + \)\(23\!\cdots\!85\)\( p^{26} T^{87} + \)\(39\!\cdots\!92\)\( p^{27} T^{88} + \)\(65\!\cdots\!91\)\( p^{28} T^{89} + \)\(10\!\cdots\!69\)\( p^{29} T^{90} + \)\(17\!\cdots\!95\)\( p^{30} T^{91} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( p^{31} T^{92} + \)\(43\!\cdots\!29\)\( p^{32} T^{93} + \)\(66\!\cdots\!05\)\( p^{33} T^{94} + \)\(98\!\cdots\!53\)\( p^{34} T^{95} + \)\(14\!\cdots\!45\)\( p^{35} T^{96} + \)\(20\!\cdots\!14\)\( p^{36} T^{97} + \)\(29\!\cdots\!35\)\( p^{37} T^{98} + \)\(40\!\cdots\!68\)\( p^{38} T^{99} + \)\(54\!\cdots\!27\)\( p^{39} T^{100} + \)\(71\!\cdots\!86\)\( p^{40} T^{101} + \)\(92\!\cdots\!61\)\( p^{41} T^{102} + \)\(11\!\cdots\!05\)\( p^{42} T^{103} + \)\(13\!\cdots\!49\)\( p^{43} T^{104} + 16165867259643585851 p^{44} T^{105} + 1882422576529898180 p^{45} T^{106} + 203799502132068945 p^{46} T^{107} + 22306273392914810 p^{47} T^{108} + 2235218452312686 p^{48} T^{109} + 228316759949668 p^{49} T^{110} + 20892464152082 p^{50} T^{111} + 1973731661960 p^{51} T^{112} + 161789854061 p^{52} T^{113} + 13972946167 p^{53} T^{114} + 996375402 p^{54} T^{115} + 77463912 p^{55} T^{116} + 4573924 p^{56} T^{117} + 313364 p^{57} T^{118} + 13908 p^{58} T^{119} + 814 p^{59} T^{120} + 21 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
19 \( 1 + 36 T + 1284 T^{2} + 30467 T^{3} + 675894 T^{4} + 12428381 T^{5} + 213812595 T^{6} + 3279852939 T^{7} + 47433932632 T^{8} + 632679338544 T^{9} + 8016327190067 T^{10} + 95440409538804 T^{11} + 57173312523224 p T^{12} + 11753419236786806 T^{13} + 122203944368190756 T^{14} + 1217331781130954538 T^{15} + 11702017809947899748 T^{16} + \)\(10\!\cdots\!03\)\( T^{17} + \)\(97\!\cdots\!48\)\( T^{18} + \)\(84\!\cdots\!83\)\( T^{19} + \)\(71\!\cdots\!31\)\( T^{20} + \)\(58\!\cdots\!21\)\( T^{21} + \)\(46\!\cdots\!33\)\( T^{22} + \)\(35\!\cdots\!71\)\( T^{23} + \)\(27\!\cdots\!71\)\( T^{24} + \)\(20\!\cdots\!06\)\( T^{25} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( T^{26} + \)\(53\!\cdots\!09\)\( p T^{27} + \)\(69\!\cdots\!50\)\( T^{28} + \)\(47\!\cdots\!39\)\( T^{29} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p T^{30} + \)\(20\!\cdots\!73\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!71\)\( T^{32} + \)\(80\!\cdots\!23\)\( T^{33} + \)\(49\!\cdots\!02\)\( T^{34} + \)\(29\!\cdots\!56\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( T^{37} + \)\(58\!\cdots\!14\)\( T^{38} + \)\(17\!\cdots\!62\)\( p T^{39} + \)\(18\!\cdots\!52\)\( T^{40} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( T^{41} + \)\(54\!\cdots\!46\)\( T^{42} + \)\(29\!\cdots\!19\)\( T^{43} + \)\(81\!\cdots\!29\)\( p T^{44} + \)\(80\!\cdots\!69\)\( T^{45} + \)\(41\!\cdots\!23\)\( T^{46} + \)\(20\!\cdots\!30\)\( T^{47} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( T^{48} + \)\(51\!\cdots\!38\)\( T^{49} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( T^{50} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( T^{51} + \)\(58\!\cdots\!51\)\( T^{52} + \)\(27\!\cdots\!31\)\( T^{53} + \)\(13\!\cdots\!79\)\( T^{54} + \)\(32\!\cdots\!85\)\( p T^{55} + \)\(28\!\cdots\!08\)\( T^{56} + \)\(12\!\cdots\!29\)\( T^{57} + \)\(57\!\cdots\!42\)\( T^{58} + \)\(25\!\cdots\!33\)\( T^{59} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( T^{60} + \)\(49\!\cdots\!60\)\( T^{61} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( p T^{62} + \)\(25\!\cdots\!33\)\( p^{2} T^{63} + \)\(57\!\cdots\!42\)\( p^{3} T^{64} + \)\(12\!\cdots\!29\)\( p^{4} T^{65} + \)\(28\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{66} + \)\(32\!\cdots\!85\)\( p^{7} T^{67} + \)\(13\!\cdots\!79\)\( p^{7} T^{68} + \)\(27\!\cdots\!31\)\( p^{8} T^{69} + \)\(58\!\cdots\!51\)\( p^{9} T^{70} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{71} + \)\(25\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{72} + \)\(51\!\cdots\!38\)\( p^{12} T^{73} + \)\(10\!\cdots\!77\)\( p^{13} T^{74} + \)\(20\!\cdots\!30\)\( p^{14} T^{75} + \)\(41\!\cdots\!23\)\( p^{15} T^{76} + \)\(80\!\cdots\!69\)\( p^{16} T^{77} + \)\(81\!\cdots\!29\)\( p^{18} T^{78} + \)\(29\!\cdots\!19\)\( p^{18} T^{79} + \)\(54\!\cdots\!46\)\( p^{19} T^{80} + \)\(10\!\cdots\!80\)\( p^{20} T^{81} + \)\(18\!\cdots\!52\)\( p^{21} T^{82} + \)\(17\!\cdots\!62\)\( p^{23} T^{83} + \)\(58\!\cdots\!14\)\( p^{23} T^{84} + \)\(10\!\cdots\!87\)\( p^{24} T^{85} + \)\(17\!\cdots\!85\)\( p^{25} T^{86} + \)\(29\!\cdots\!56\)\( p^{26} T^{87} + \)\(49\!\cdots\!02\)\( p^{27} T^{88} + \)\(80\!\cdots\!23\)\( p^{28} T^{89} + \)\(12\!\cdots\!71\)\( p^{29} T^{90} + \)\(20\!\cdots\!73\)\( p^{30} T^{91} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{32} T^{92} + \)\(47\!\cdots\!39\)\( p^{32} T^{93} + \)\(69\!\cdots\!50\)\( p^{33} T^{94} + \)\(53\!\cdots\!09\)\( p^{35} T^{95} + \)\(14\!\cdots\!36\)\( p^{35} T^{96} + \)\(20\!\cdots\!06\)\( p^{36} T^{97} + \)\(27\!\cdots\!71\)\( p^{37} T^{98} + \)\(35\!\cdots\!71\)\( p^{38} T^{99} + \)\(46\!\cdots\!33\)\( p^{39} T^{100} + \)\(58\!\cdots\!21\)\( p^{40} T^{101} + \)\(71\!\cdots\!31\)\( p^{41} T^{102} + \)\(84\!\cdots\!83\)\( p^{42} T^{103} + \)\(97\!\cdots\!48\)\( p^{43} T^{104} + \)\(10\!\cdots\!03\)\( p^{44} T^{105} + 11702017809947899748 p^{45} T^{106} + 1217331781130954538 p^{46} T^{107} + 122203944368190756 p^{47} T^{108} + 11753419236786806 p^{48} T^{109} + 57173312523224 p^{50} T^{110} + 95440409538804 p^{50} T^{111} + 8016327190067 p^{51} T^{112} + 632679338544 p^{52} T^{113} + 47433932632 p^{53} T^{114} + 3279852939 p^{54} T^{115} + 213812595 p^{55} T^{116} + 12428381 p^{56} T^{117} + 675894 p^{57} T^{118} + 30467 p^{58} T^{119} + 1284 p^{59} T^{120} + 36 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
23 \( 1 + 15 T + 965 T^{2} + 13710 T^{3} + 464666 T^{4} + 6245283 T^{5} + 148664011 T^{6} + 1890065623 T^{7} + 35514961788 T^{8} + 427416093099 T^{9} + 6751720204382 T^{10} + 77015179320744 T^{11} + 1063273926164135 T^{12} + 11514502747732241 T^{13} + 142592105689443933 T^{14} + 1468746753500816277 T^{15} + 16615738523036925483 T^{16} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( T^{18} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!14\)\( T^{20} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( T^{21} + \)\(12\!\cdots\!43\)\( T^{22} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{23} + \)\(97\!\cdots\!59\)\( T^{24} + \)\(80\!\cdots\!40\)\( T^{25} + \)\(67\!\cdots\!55\)\( T^{26} + \)\(53\!\cdots\!48\)\( T^{27} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( T^{28} + \)\(32\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(25\!\cdots\!84\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!06\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( T^{32} + \)\(97\!\cdots\!14\)\( T^{33} + \)\(69\!\cdots\!68\)\( T^{34} + \)\(47\!\cdots\!10\)\( T^{35} + \)\(32\!\cdots\!11\)\( T^{36} + \)\(21\!\cdots\!25\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!51\)\( T^{38} + \)\(94\!\cdots\!37\)\( T^{39} + \)\(26\!\cdots\!70\)\( p T^{40} + \)\(38\!\cdots\!40\)\( T^{41} + \)\(24\!\cdots\!74\)\( T^{42} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( T^{43} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( T^{44} + \)\(53\!\cdots\!84\)\( T^{45} + \)\(31\!\cdots\!19\)\( T^{46} + \)\(18\!\cdots\!47\)\( T^{47} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( T^{48} + \)\(58\!\cdots\!14\)\( T^{49} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( T^{50} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( T^{51} + \)\(42\!\cdots\!26\)\( p T^{52} + \)\(51\!\cdots\!69\)\( T^{53} + \)\(27\!\cdots\!95\)\( T^{54} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( T^{55} + \)\(73\!\cdots\!77\)\( T^{56} + \)\(37\!\cdots\!79\)\( T^{57} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( T^{58} + \)\(92\!\cdots\!04\)\( T^{59} + \)\(45\!\cdots\!71\)\( T^{60} + \)\(21\!\cdots\!40\)\( T^{61} + \)\(45\!\cdots\!71\)\( p T^{62} + \)\(92\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{63} + \)\(18\!\cdots\!28\)\( p^{3} T^{64} + \)\(37\!\cdots\!79\)\( p^{4} T^{65} + \)\(73\!\cdots\!77\)\( p^{5} T^{66} + \)\(14\!\cdots\!13\)\( p^{6} T^{67} + \)\(27\!\cdots\!95\)\( p^{7} T^{68} + \)\(51\!\cdots\!69\)\( p^{8} T^{69} + \)\(42\!\cdots\!26\)\( p^{10} T^{70} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( p^{10} T^{71} + \)\(32\!\cdots\!48\)\( p^{11} T^{72} + \)\(58\!\cdots\!14\)\( p^{12} T^{73} + \)\(10\!\cdots\!23\)\( p^{13} T^{74} + \)\(18\!\cdots\!47\)\( p^{14} T^{75} + \)\(31\!\cdots\!19\)\( p^{15} T^{76} + \)\(53\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{77} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( p^{17} T^{78} + \)\(14\!\cdots\!68\)\( p^{18} T^{79} + \)\(24\!\cdots\!74\)\( p^{19} T^{80} + \)\(38\!\cdots\!40\)\( p^{20} T^{81} + \)\(26\!\cdots\!70\)\( p^{22} T^{82} + \)\(94\!\cdots\!37\)\( p^{22} T^{83} + \)\(14\!\cdots\!51\)\( p^{23} T^{84} + \)\(21\!\cdots\!25\)\( p^{24} T^{85} + \)\(32\!\cdots\!11\)\( p^{25} T^{86} + \)\(47\!\cdots\!10\)\( p^{26} T^{87} + \)\(69\!\cdots\!68\)\( p^{27} T^{88} + \)\(97\!\cdots\!14\)\( p^{28} T^{89} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( p^{29} T^{90} + \)\(18\!\cdots\!06\)\( p^{30} T^{91} + \)\(25\!\cdots\!84\)\( p^{31} T^{92} + \)\(32\!\cdots\!33\)\( p^{32} T^{93} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( p^{33} T^{94} + \)\(53\!\cdots\!48\)\( p^{34} T^{95} + \)\(67\!\cdots\!55\)\( p^{35} T^{96} + \)\(80\!\cdots\!40\)\( p^{36} T^{97} + \)\(97\!\cdots\!59\)\( p^{37} T^{98} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{38} T^{99} + \)\(12\!\cdots\!43\)\( p^{39} T^{100} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( p^{40} T^{101} + \)\(15\!\cdots\!14\)\( p^{41} T^{102} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{42} T^{103} + \)\(17\!\cdots\!32\)\( p^{43} T^{104} + \)\(16\!\cdots\!10\)\( p^{44} T^{105} + 16615738523036925483 p^{45} T^{106} + 1468746753500816277 p^{46} T^{107} + 142592105689443933 p^{47} T^{108} + 11514502747732241 p^{48} T^{109} + 1063273926164135 p^{49} T^{110} + 77015179320744 p^{50} T^{111} + 6751720204382 p^{51} T^{112} + 427416093099 p^{52} T^{113} + 35514961788 p^{53} T^{114} + 1890065623 p^{54} T^{115} + 148664011 p^{55} T^{116} + 6245283 p^{56} T^{117} + 464666 p^{57} T^{118} + 13710 p^{58} T^{119} + 965 p^{59} T^{120} + 15 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
31 \( 1 + 18 T + 1297 T^{2} + 21186 T^{3} + 826173 T^{4} + 12387889 T^{5} + 345387121 T^{6} + 4797707442 T^{7} + 106786666897 T^{8} + 1384515672955 T^{9} + 26078363835156 T^{10} + 317551289978039 T^{11} + 5245104950551875 T^{12} + 60299470105490460 T^{13} + 894371222975822328 T^{14} + 9750804423157226478 T^{15} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( T^{16} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( T^{17} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( T^{18} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( T^{22} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!61\)\( T^{24} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!03\)\( T^{26} + \)\(14\!\cdots\!23\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!67\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!69\)\( T^{30} + \)\(80\!\cdots\!68\)\( T^{31} + \)\(70\!\cdots\!55\)\( T^{32} + \)\(53\!\cdots\!55\)\( T^{33} + \)\(45\!\cdots\!74\)\( T^{34} + \)\(33\!\cdots\!65\)\( T^{35} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( T^{36} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( T^{37} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( T^{38} + \)\(10\!\cdots\!33\)\( T^{39} + \)\(82\!\cdots\!93\)\( T^{40} + \)\(56\!\cdots\!16\)\( T^{41} + \)\(41\!\cdots\!83\)\( T^{42} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( T^{43} + \)\(20\!\cdots\!47\)\( T^{44} + \)\(13\!\cdots\!37\)\( T^{45} + \)\(90\!\cdots\!08\)\( T^{46} + \)\(57\!\cdots\!57\)\( T^{47} + \)\(39\!\cdots\!50\)\( T^{48} + \)\(24\!\cdots\!83\)\( T^{49} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( T^{50} + \)\(97\!\cdots\!82\)\( T^{51} + \)\(63\!\cdots\!65\)\( T^{52} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( T^{53} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( T^{54} + \)\(13\!\cdots\!49\)\( T^{55} + \)\(83\!\cdots\!45\)\( T^{56} + \)\(47\!\cdots\!50\)\( T^{57} + \)\(28\!\cdots\!17\)\( T^{58} + \)\(50\!\cdots\!84\)\( p T^{59} + \)\(92\!\cdots\!44\)\( T^{60} + \)\(49\!\cdots\!20\)\( T^{61} + \)\(92\!\cdots\!44\)\( p T^{62} + \)\(50\!\cdots\!84\)\( p^{3} T^{63} + \)\(28\!\cdots\!17\)\( p^{3} T^{64} + \)\(47\!\cdots\!50\)\( p^{4} T^{65} + \)\(83\!\cdots\!45\)\( p^{5} T^{66} + \)\(13\!\cdots\!49\)\( p^{6} T^{67} + \)\(23\!\cdots\!21\)\( p^{7} T^{68} + \)\(37\!\cdots\!01\)\( p^{8} T^{69} + \)\(63\!\cdots\!65\)\( p^{9} T^{70} + \)\(97\!\cdots\!82\)\( p^{10} T^{71} + \)\(16\!\cdots\!00\)\( p^{11} T^{72} + \)\(24\!\cdots\!83\)\( p^{12} T^{73} + \)\(39\!\cdots\!50\)\( p^{13} T^{74} + \)\(57\!\cdots\!57\)\( p^{14} T^{75} + \)\(90\!\cdots\!08\)\( p^{15} T^{76} + \)\(13\!\cdots\!37\)\( p^{16} T^{77} + \)\(20\!\cdots\!47\)\( p^{17} T^{78} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{18} T^{79} + \)\(41\!\cdots\!83\)\( p^{19} T^{80} + \)\(56\!\cdots\!16\)\( p^{20} T^{81} + \)\(82\!\cdots\!93\)\( p^{21} T^{82} + \)\(10\!\cdots\!33\)\( p^{22} T^{83} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( p^{23} T^{84} + \)\(19\!\cdots\!12\)\( p^{24} T^{85} + \)\(27\!\cdots\!88\)\( p^{25} T^{86} + \)\(33\!\cdots\!65\)\( p^{26} T^{87} + \)\(45\!\cdots\!74\)\( p^{27} T^{88} + \)\(53\!\cdots\!55\)\( p^{28} T^{89} + \)\(70\!\cdots\!55\)\( p^{29} T^{90} + \)\(80\!\cdots\!68\)\( p^{30} T^{91} + \)\(10\!\cdots\!69\)\( p^{31} T^{92} + \)\(11\!\cdots\!64\)\( p^{32} T^{93} + \)\(13\!\cdots\!67\)\( p^{33} T^{94} + \)\(14\!\cdots\!23\)\( p^{34} T^{95} + \)\(17\!\cdots\!03\)\( p^{35} T^{96} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{36} T^{97} + \)\(19\!\cdots\!61\)\( p^{37} T^{98} + \)\(18\!\cdots\!22\)\( p^{38} T^{99} + \)\(20\!\cdots\!08\)\( p^{39} T^{100} + \)\(18\!\cdots\!50\)\( p^{40} T^{101} + \)\(19\!\cdots\!50\)\( p^{41} T^{102} + \)\(17\!\cdots\!15\)\( p^{42} T^{103} + \)\(17\!\cdots\!70\)\( p^{43} T^{104} + \)\(13\!\cdots\!52\)\( p^{44} T^{105} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( p^{45} T^{106} + 9750804423157226478 p^{46} T^{107} + 894371222975822328 p^{47} T^{108} + 60299470105490460 p^{48} T^{109} + 5245104950551875 p^{49} T^{110} + 317551289978039 p^{50} T^{111} + 26078363835156 p^{51} T^{112} + 1384515672955 p^{52} T^{113} + 106786666897 p^{53} T^{114} + 4797707442 p^{54} T^{115} + 345387121 p^{55} T^{116} + 12387889 p^{56} T^{117} + 826173 p^{57} T^{118} + 21186 p^{58} T^{119} + 1297 p^{59} T^{120} + 18 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
37 \( 1 + 30 T + 1835 T^{2} + 45794 T^{3} + 1598902 T^{4} + 34443191 T^{5} + 24129244 p T^{6} + 17022784847 T^{7} + 361986169287 T^{8} + 6220227963054 T^{9} + 114209011632354 T^{10} + 1792681728993525 T^{11} + 29299303015492115 T^{12} + 424499052753636548 T^{13} + 6300116430010110236 T^{14} + 84951689786793722858 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{18} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(26\!\cdots\!15\)\( T^{20} + \)\(29\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(33\!\cdots\!82\)\( T^{22} + \)\(35\!\cdots\!74\)\( T^{23} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( T^{24} + \)\(38\!\cdots\!03\)\( T^{25} + \)\(39\!\cdots\!26\)\( T^{26} + \)\(38\!\cdots\!93\)\( T^{27} + \)\(37\!\cdots\!99\)\( T^{28} + \)\(34\!\cdots\!25\)\( T^{29} + \)\(32\!\cdots\!24\)\( T^{30} + \)\(28\!\cdots\!21\)\( T^{31} + \)\(25\!\cdots\!17\)\( T^{32} + \)\(22\!\cdots\!16\)\( T^{33} + \)\(19\!\cdots\!39\)\( T^{34} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!13\)\( T^{36} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( T^{37} + \)\(83\!\cdots\!02\)\( T^{38} + \)\(64\!\cdots\!70\)\( T^{39} + \)\(49\!\cdots\!98\)\( T^{40} + \)\(37\!\cdots\!11\)\( T^{41} + \)\(27\!\cdots\!59\)\( T^{42} + \)\(19\!\cdots\!44\)\( T^{43} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( T^{44} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( T^{45} + \)\(70\!\cdots\!26\)\( T^{46} + \)\(48\!\cdots\!63\)\( T^{47} + \)\(32\!\cdots\!94\)\( T^{48} + \)\(21\!\cdots\!69\)\( T^{49} + \)\(14\!\cdots\!57\)\( T^{50} + \)\(94\!\cdots\!14\)\( T^{51} + \)\(61\!\cdots\!57\)\( T^{52} + \)\(38\!\cdots\!68\)\( T^{53} + \)\(24\!\cdots\!68\)\( T^{54} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( T^{55} + \)\(96\!\cdots\!46\)\( T^{56} + \)\(59\!\cdots\!32\)\( T^{57} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( T^{58} + \)\(22\!\cdots\!47\)\( T^{59} + \)\(13\!\cdots\!37\)\( T^{60} + \)\(83\!\cdots\!24\)\( T^{61} + \)\(13\!\cdots\!37\)\( p T^{62} + \)\(22\!\cdots\!47\)\( p^{2} T^{63} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( p^{3} T^{64} + \)\(59\!\cdots\!32\)\( p^{4} T^{65} + \)\(96\!\cdots\!46\)\( p^{5} T^{66} + \)\(15\!\cdots\!04\)\( p^{6} T^{67} + \)\(24\!\cdots\!68\)\( p^{7} T^{68} + \)\(38\!\cdots\!68\)\( p^{8} T^{69} + \)\(61\!\cdots\!57\)\( p^{9} T^{70} + \)\(94\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{71} + \)\(14\!\cdots\!57\)\( p^{11} T^{72} + \)\(21\!\cdots\!69\)\( p^{12} T^{73} + \)\(32\!\cdots\!94\)\( p^{13} T^{74} + \)\(48\!\cdots\!63\)\( p^{14} T^{75} + \)\(70\!\cdots\!26\)\( p^{15} T^{76} + \)\(10\!\cdots\!21\)\( p^{16} T^{77} + \)\(14\!\cdots\!48\)\( p^{17} T^{78} + \)\(19\!\cdots\!44\)\( p^{18} T^{79} + \)\(27\!\cdots\!59\)\( p^{19} T^{80} + \)\(37\!\cdots\!11\)\( p^{20} T^{81} + \)\(49\!\cdots\!98\)\( p^{21} T^{82} + \)\(64\!\cdots\!70\)\( p^{22} T^{83} + \)\(83\!\cdots\!02\)\( p^{23} T^{84} + \)\(10\!\cdots\!26\)\( p^{24} T^{85} + \)\(13\!\cdots\!13\)\( p^{25} T^{86} + \)\(15\!\cdots\!26\)\( p^{26} T^{87} + \)\(19\!\cdots\!39\)\( p^{27} T^{88} + \)\(22\!\cdots\!16\)\( p^{28} T^{89} + \)\(25\!\cdots\!17\)\( p^{29} T^{90} + \)\(28\!\cdots\!21\)\( p^{30} T^{91} + \)\(32\!\cdots\!24\)\( p^{31} T^{92} + \)\(34\!\cdots\!25\)\( p^{32} T^{93} + \)\(37\!\cdots\!99\)\( p^{33} T^{94} + \)\(38\!\cdots\!93\)\( p^{34} T^{95} + \)\(39\!\cdots\!26\)\( p^{35} T^{96} + \)\(38\!\cdots\!03\)\( p^{36} T^{97} + \)\(38\!\cdots\!31\)\( p^{37} T^{98} + \)\(35\!\cdots\!74\)\( p^{38} T^{99} + \)\(33\!\cdots\!82\)\( p^{39} T^{100} + \)\(29\!\cdots\!10\)\( p^{40} T^{101} + \)\(26\!\cdots\!15\)\( p^{41} T^{102} + \)\(22\!\cdots\!40\)\( p^{42} T^{103} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{43} T^{104} + \)\(14\!\cdots\!78\)\( p^{44} T^{105} + \)\(11\!\cdots\!15\)\( p^{45} T^{106} + 84951689786793722858 p^{46} T^{107} + 6300116430010110236 p^{47} T^{108} + 424499052753636548 p^{48} T^{109} + 29299303015492115 p^{49} T^{110} + 1792681728993525 p^{50} T^{111} + 114209011632354 p^{51} T^{112} + 6220227963054 p^{52} T^{113} + 361986169287 p^{53} T^{114} + 17022784847 p^{54} T^{115} + 24129244 p^{56} T^{116} + 34443191 p^{56} T^{117} + 1598902 p^{57} T^{118} + 45794 p^{58} T^{119} + 1835 p^{59} T^{120} + 30 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
41 \( 1 + 28 T + 1936 T^{2} + 45548 T^{3} + 1781656 T^{4} + 36493626 T^{5} + 1052486841 T^{6} + 19221953179 T^{7} + 452458670270 T^{8} + 7494351556000 T^{9} + 151750522229884 T^{10} + 2308682761673585 T^{11} + 1012374476643011 p T^{12} + 585708810396869335 T^{13} + 9548034251434759159 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( T^{15} + \)\(18\!\cdots\!95\)\( T^{16} + \)\(23\!\cdots\!04\)\( T^{17} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( T^{18} + \)\(38\!\cdots\!33\)\( T^{19} + \)\(50\!\cdots\!36\)\( T^{20} + \)\(56\!\cdots\!89\)\( T^{21} + \)\(69\!\cdots\!32\)\( T^{22} + \)\(73\!\cdots\!19\)\( T^{23} + \)\(86\!\cdots\!88\)\( T^{24} + \)\(87\!\cdots\!80\)\( T^{25} + \)\(98\!\cdots\!11\)\( T^{26} + \)\(95\!\cdots\!04\)\( T^{27} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( T^{28} + \)\(96\!\cdots\!96\)\( T^{29} + \)\(99\!\cdots\!20\)\( T^{30} + \)\(89\!\cdots\!31\)\( T^{31} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( T^{32} + \)\(77\!\cdots\!74\)\( T^{33} + \)\(75\!\cdots\!02\)\( T^{34} + \)\(63\!\cdots\!03\)\( T^{35} + \)\(58\!\cdots\!16\)\( T^{36} + \)\(47\!\cdots\!98\)\( T^{37} + \)\(43\!\cdots\!92\)\( T^{38} + \)\(34\!\cdots\!64\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!42\)\( T^{40} + \)\(23\!\cdots\!44\)\( T^{41} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( T^{42} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( T^{43} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{44} + \)\(89\!\cdots\!52\)\( T^{45} + \)\(72\!\cdots\!46\)\( T^{46} + \)\(51\!\cdots\!39\)\( T^{47} + \)\(41\!\cdots\!52\)\( T^{48} + \)\(28\!\cdots\!09\)\( T^{49} + \)\(21\!\cdots\!37\)\( T^{50} + \)\(14\!\cdots\!95\)\( T^{51} + \)\(11\!\cdots\!57\)\( T^{52} + \)\(73\!\cdots\!75\)\( T^{53} + \)\(55\!\cdots\!71\)\( T^{54} + \)\(35\!\cdots\!82\)\( T^{55} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( T^{56} + \)\(16\!\cdots\!22\)\( T^{57} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( T^{58} + \)\(70\!\cdots\!74\)\( T^{59} + \)\(49\!\cdots\!56\)\( T^{60} + \)\(29\!\cdots\!16\)\( T^{61} + \)\(49\!\cdots\!56\)\( p T^{62} + \)\(70\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{63} + \)\(11\!\cdots\!70\)\( p^{3} T^{64} + \)\(16\!\cdots\!22\)\( p^{4} T^{65} + \)\(25\!\cdots\!32\)\( p^{5} T^{66} + \)\(35\!\cdots\!82\)\( p^{6} T^{67} + \)\(55\!\cdots\!71\)\( p^{7} T^{68} + \)\(73\!\cdots\!75\)\( p^{8} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!57\)\( p^{9} T^{70} + \)\(14\!\cdots\!95\)\( p^{10} T^{71} + \)\(21\!\cdots\!37\)\( p^{11} T^{72} + \)\(28\!\cdots\!09\)\( p^{12} T^{73} + \)\(41\!\cdots\!52\)\( p^{13} T^{74} + \)\(51\!\cdots\!39\)\( p^{14} T^{75} + \)\(72\!\cdots\!46\)\( p^{15} T^{76} + \)\(89\!\cdots\!52\)\( p^{16} T^{77} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( p^{17} T^{78} + \)\(14\!\cdots\!06\)\( p^{18} T^{79} + \)\(19\!\cdots\!28\)\( p^{19} T^{80} + \)\(23\!\cdots\!44\)\( p^{20} T^{81} + \)\(30\!\cdots\!42\)\( p^{21} T^{82} + \)\(34\!\cdots\!64\)\( p^{22} T^{83} + \)\(43\!\cdots\!92\)\( p^{23} T^{84} + \)\(47\!\cdots\!98\)\( p^{24} T^{85} + \)\(58\!\cdots\!16\)\( p^{25} T^{86} + \)\(63\!\cdots\!03\)\( p^{26} T^{87} + \)\(75\!\cdots\!02\)\( p^{27} T^{88} + \)\(77\!\cdots\!74\)\( p^{28} T^{89} + \)\(89\!\cdots\!16\)\( p^{29} T^{90} + \)\(89\!\cdots\!31\)\( p^{30} T^{91} + \)\(99\!\cdots\!20\)\( p^{31} T^{92} + \)\(96\!\cdots\!96\)\( p^{32} T^{93} + \)\(10\!\cdots\!84\)\( p^{33} T^{94} + \)\(95\!\cdots\!04\)\( p^{34} T^{95} + \)\(98\!\cdots\!11\)\( p^{35} T^{96} + \)\(87\!\cdots\!80\)\( p^{36} T^{97} + \)\(86\!\cdots\!88\)\( p^{37} T^{98} + \)\(73\!\cdots\!19\)\( p^{38} T^{99} + \)\(69\!\cdots\!32\)\( p^{39} T^{100} + \)\(56\!\cdots\!89\)\( p^{40} T^{101} + \)\(50\!\cdots\!36\)\( p^{41} T^{102} + \)\(38\!\cdots\!33\)\( p^{42} T^{103} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( p^{43} T^{104} + \)\(23\!\cdots\!04\)\( p^{44} T^{105} + \)\(18\!\cdots\!95\)\( p^{45} T^{106} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( p^{46} T^{107} + 9548034251434759159 p^{47} T^{108} + 585708810396869335 p^{48} T^{109} + 1012374476643011 p^{50} T^{110} + 2308682761673585 p^{50} T^{111} + 151750522229884 p^{51} T^{112} + 7494351556000 p^{52} T^{113} + 452458670270 p^{53} T^{114} + 19221953179 p^{54} T^{115} + 1052486841 p^{55} T^{116} + 36493626 p^{56} T^{117} + 1781656 p^{57} T^{118} + 45548 p^{58} T^{119} + 1936 p^{59} T^{120} + 28 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
43 \( 1 + 58 T + 3337 T^{2} + 127734 T^{3} + 4571058 T^{4} + 135607266 T^{5} + 3762730811 T^{6} + 93100011835 T^{7} + 2171017258352 T^{8} + 46688718351943 T^{9} + 953476174529775 T^{10} + 18294032839767438 T^{11} + 335442572504998838 T^{12} + 5845698509841956914 T^{13} + 97860190924735490406 T^{14} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{15} + \)\(24\!\cdots\!61\)\( T^{16} + \)\(36\!\cdots\!17\)\( T^{17} + \)\(52\!\cdots\!87\)\( T^{18} + \)\(72\!\cdots\!11\)\( T^{19} + \)\(98\!\cdots\!13\)\( T^{20} + \)\(12\!\cdots\!63\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!69\)\( T^{22} + \)\(20\!\cdots\!89\)\( T^{23} + \)\(24\!\cdots\!06\)\( T^{24} + \)\(29\!\cdots\!88\)\( T^{25} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( T^{26} + \)\(38\!\cdots\!06\)\( T^{27} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( T^{28} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( T^{29} + \)\(48\!\cdots\!70\)\( T^{30} + \)\(49\!\cdots\!93\)\( T^{31} + \)\(50\!\cdots\!30\)\( T^{32} + \)\(50\!\cdots\!35\)\( T^{33} + \)\(48\!\cdots\!65\)\( T^{34} + \)\(46\!\cdots\!25\)\( T^{35} + \)\(44\!\cdots\!19\)\( T^{36} + \)\(40\!\cdots\!32\)\( T^{37} + \)\(36\!\cdots\!66\)\( T^{38} + \)\(32\!\cdots\!61\)\( T^{39} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( T^{40} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( T^{41} + \)\(21\!\cdots\!02\)\( T^{42} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( T^{43} + \)\(14\!\cdots\!57\)\( T^{44} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( T^{45} + \)\(95\!\cdots\!90\)\( T^{46} + \)\(75\!\cdots\!67\)\( T^{47} + \)\(58\!\cdots\!14\)\( T^{48} + \)\(45\!\cdots\!33\)\( T^{49} + \)\(34\!\cdots\!97\)\( T^{50} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( T^{51} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( T^{52} + \)\(13\!\cdots\!67\)\( T^{53} + \)\(98\!\cdots\!58\)\( T^{54} + \)\(69\!\cdots\!09\)\( T^{55} + \)\(49\!\cdots\!28\)\( T^{56} + \)\(33\!\cdots\!95\)\( T^{57} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( T^{58} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( T^{59} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( T^{60} + \)\(69\!\cdots\!55\)\( T^{61} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p T^{62} + \)\(15\!\cdots\!34\)\( p^{2} T^{63} + \)\(23\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{64} + \)\(33\!\cdots\!95\)\( p^{4} T^{65} + \)\(49\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{66} + \)\(69\!\cdots\!09\)\( p^{6} T^{67} + \)\(98\!\cdots\!58\)\( p^{7} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!67\)\( p^{8} T^{69} + \)\(18\!\cdots\!01\)\( p^{9} T^{70} + \)\(25\!\cdots\!50\)\( p^{10} T^{71} + \)\(34\!\cdots\!97\)\( p^{11} T^{72} + \)\(45\!\cdots\!33\)\( p^{12} T^{73} + \)\(58\!\cdots\!14\)\( p^{13} T^{74} + \)\(75\!\cdots\!67\)\( p^{14} T^{75} + \)\(95\!\cdots\!90\)\( p^{15} T^{76} + \)\(11\!\cdots\!34\)\( p^{16} T^{77} + \)\(14\!\cdots\!57\)\( p^{17} T^{78} + \)\(17\!\cdots\!44\)\( p^{18} T^{79} + \)\(21\!\cdots\!02\)\( p^{19} T^{80} + \)\(25\!\cdots\!83\)\( p^{20} T^{81} + \)\(28\!\cdots\!65\)\( p^{21} T^{82} + \)\(32\!\cdots\!61\)\( p^{22} T^{83} + \)\(36\!\cdots\!66\)\( p^{23} T^{84} + \)\(40\!\cdots\!32\)\( p^{24} T^{85} + \)\(44\!\cdots\!19\)\( p^{25} T^{86} + \)\(46\!\cdots\!25\)\( p^{26} T^{87} + \)\(48\!\cdots\!65\)\( p^{27} T^{88} + \)\(50\!\cdots\!35\)\( p^{28} T^{89} + \)\(50\!\cdots\!30\)\( p^{29} T^{90} + \)\(49\!\cdots\!93\)\( p^{30} T^{91} + \)\(48\!\cdots\!70\)\( p^{31} T^{92} + \)\(45\!\cdots\!80\)\( p^{32} T^{93} + \)\(42\!\cdots\!10\)\( p^{33} T^{94} + \)\(38\!\cdots\!06\)\( p^{34} T^{95} + \)\(34\!\cdots\!44\)\( p^{35} T^{96} + \)\(29\!\cdots\!88\)\( p^{36} T^{97} + \)\(24\!\cdots\!06\)\( p^{37} T^{98} + \)\(20\!\cdots\!89\)\( p^{38} T^{99} + \)\(16\!\cdots\!69\)\( p^{39} T^{100} + \)\(12\!\cdots\!63\)\( p^{40} T^{101} + \)\(98\!\cdots\!13\)\( p^{41} T^{102} + \)\(72\!\cdots\!11\)\( p^{42} T^{103} + \)\(52\!\cdots\!87\)\( p^{43} T^{104} + \)\(36\!\cdots\!17\)\( p^{44} T^{105} + \)\(24\!\cdots\!61\)\( p^{45} T^{106} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{46} T^{107} + 97860190924735490406 p^{47} T^{108} + 5845698509841956914 p^{48} T^{109} + 335442572504998838 p^{49} T^{110} + 18294032839767438 p^{50} T^{111} + 953476174529775 p^{51} T^{112} + 46688718351943 p^{52} T^{113} + 2171017258352 p^{53} T^{114} + 93100011835 p^{54} T^{115} + 3762730811 p^{55} T^{116} + 135607266 p^{56} T^{117} + 4571058 p^{57} T^{118} + 127734 p^{58} T^{119} + 3337 p^{59} T^{120} + 58 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
47 \( 1 + 6 T + 1834 T^{2} + 12332 T^{3} + 1673892 T^{4} + 12378080 T^{5} + 1014422475 T^{6} + 8115266211 T^{7} + 459456318788 T^{8} + 3918609710365 T^{9} + 165943311948946 T^{10} + 1489110246045165 T^{11} + 49788020267928894 T^{12} + 464517888602887106 T^{13} + 12761721313437310434 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{15} + \)\(28\!\cdots\!92\)\( T^{16} + \)\(27\!\cdots\!74\)\( T^{17} + \)\(56\!\cdots\!21\)\( T^{18} + \)\(55\!\cdots\!36\)\( T^{19} + \)\(99\!\cdots\!93\)\( T^{20} + \)\(99\!\cdots\!52\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( T^{22} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( T^{23} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( T^{24} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( T^{25} + \)\(31\!\cdots\!84\)\( T^{26} + \)\(30\!\cdots\!38\)\( T^{27} + \)\(38\!\cdots\!57\)\( T^{28} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( T^{29} + \)\(43\!\cdots\!97\)\( T^{30} + \)\(41\!\cdots\!72\)\( T^{31} + \)\(46\!\cdots\!43\)\( T^{32} + \)\(42\!\cdots\!59\)\( T^{33} + \)\(46\!\cdots\!25\)\( T^{34} + \)\(41\!\cdots\!02\)\( T^{35} + \)\(42\!\cdots\!95\)\( T^{36} + \)\(37\!\cdots\!68\)\( T^{37} + \)\(36\!\cdots\!52\)\( T^{38} + \)\(31\!\cdots\!74\)\( T^{39} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( T^{40} + \)\(25\!\cdots\!06\)\( T^{41} + \)\(23\!\cdots\!31\)\( T^{42} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{43} + \)\(16\!\cdots\!26\)\( T^{44} + \)\(13\!\cdots\!65\)\( T^{45} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{46} + \)\(90\!\cdots\!34\)\( T^{47} + \)\(75\!\cdots\!16\)\( T^{48} + \)\(57\!\cdots\!63\)\( T^{49} + \)\(46\!\cdots\!65\)\( T^{50} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( T^{51} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( T^{52} + \)\(20\!\cdots\!97\)\( T^{53} + \)\(15\!\cdots\!89\)\( T^{54} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( T^{55} + \)\(83\!\cdots\!72\)\( T^{56} + \)\(58\!\cdots\!37\)\( T^{57} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( T^{58} + \)\(29\!\cdots\!42\)\( T^{59} + \)\(21\!\cdots\!33\)\( T^{60} + \)\(14\!\cdots\!86\)\( T^{61} + \)\(21\!\cdots\!33\)\( p T^{62} + \)\(29\!\cdots\!42\)\( p^{2} T^{63} + \)\(43\!\cdots\!55\)\( p^{3} T^{64} + \)\(58\!\cdots\!37\)\( p^{4} T^{65} + \)\(83\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{66} + \)\(11\!\cdots\!22\)\( p^{6} T^{67} + \)\(15\!\cdots\!89\)\( p^{7} T^{68} + \)\(20\!\cdots\!97\)\( p^{8} T^{69} + \)\(27\!\cdots\!98\)\( p^{9} T^{70} + \)\(34\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{71} + \)\(46\!\cdots\!65\)\( p^{11} T^{72} + \)\(57\!\cdots\!63\)\( p^{12} T^{73} + \)\(75\!\cdots\!16\)\( p^{13} T^{74} + \)\(90\!\cdots\!34\)\( p^{14} T^{75} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{15} T^{76} + \)\(13\!\cdots\!65\)\( p^{16} T^{77} + \)\(16\!\cdots\!26\)\( p^{17} T^{78} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( p^{18} T^{79} + \)\(23\!\cdots\!31\)\( p^{19} T^{80} + \)\(25\!\cdots\!06\)\( p^{20} T^{81} + \)\(30\!\cdots\!97\)\( p^{21} T^{82} + \)\(31\!\cdots\!74\)\( p^{22} T^{83} + \)\(36\!\cdots\!52\)\( p^{23} T^{84} + \)\(37\!\cdots\!68\)\( p^{24} T^{85} + \)\(42\!\cdots\!95\)\( p^{25} T^{86} + \)\(41\!\cdots\!02\)\( p^{26} T^{87} + \)\(46\!\cdots\!25\)\( p^{27} T^{88} + \)\(42\!\cdots\!59\)\( p^{28} T^{89} + \)\(46\!\cdots\!43\)\( p^{29} T^{90} + \)\(41\!\cdots\!72\)\( p^{30} T^{91} + \)\(43\!\cdots\!97\)\( p^{31} T^{92} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( p^{32} T^{93} + \)\(38\!\cdots\!57\)\( p^{33} T^{94} + \)\(30\!\cdots\!38\)\( p^{34} T^{95} + \)\(31\!\cdots\!84\)\( p^{35} T^{96} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( p^{36} T^{97} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( p^{37} T^{98} + \)\(15\!\cdots\!25\)\( p^{38} T^{99} + \)\(16\!\cdots\!19\)\( p^{39} T^{100} + \)\(99\!\cdots\!52\)\( p^{40} T^{101} + \)\(99\!\cdots\!93\)\( p^{41} T^{102} + \)\(55\!\cdots\!36\)\( p^{42} T^{103} + \)\(56\!\cdots\!21\)\( p^{43} T^{104} + \)\(27\!\cdots\!74\)\( p^{44} T^{105} + \)\(28\!\cdots\!92\)\( p^{45} T^{106} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( p^{46} T^{107} + 12761721313437310434 p^{47} T^{108} + 464517888602887106 p^{48} T^{109} + 49788020267928894 p^{49} T^{110} + 1489110246045165 p^{50} T^{111} + 165943311948946 p^{51} T^{112} + 3918609710365 p^{52} T^{113} + 459456318788 p^{53} T^{114} + 8115266211 p^{54} T^{115} + 1014422475 p^{55} T^{116} + 12378080 p^{56} T^{117} + 1673892 p^{57} T^{118} + 12332 p^{58} T^{119} + 1834 p^{59} T^{120} + 6 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
53 \( 1 + 27 T + 2364 T^{2} + 54034 T^{3} + 2653949 T^{4} + 52915274 T^{5} + 1908935934 T^{6} + 33878656966 T^{7} + 997297842651 T^{8} + 15980307700688 T^{9} + 405838717378873 T^{10} + 5931837415386390 T^{11} + 134533080393315553 T^{12} + 1807000232305623859 T^{13} + 37480962544687879243 T^{14} + \)\(46\!\cdots\!76\)\( T^{15} + \)\(89\!\cdots\!35\)\( T^{16} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( T^{17} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( T^{18} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( T^{19} + \)\(35\!\cdots\!51\)\( T^{20} + \)\(34\!\cdots\!23\)\( T^{21} + \)\(58\!\cdots\!20\)\( T^{22} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( p T^{23} + \)\(88\!\cdots\!92\)\( T^{24} + \)\(76\!\cdots\!81\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!65\)\( T^{26} + \)\(97\!\cdots\!34\)\( T^{27} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( T^{28} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{29} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( T^{30} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( T^{31} + \)\(20\!\cdots\!37\)\( T^{32} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( T^{33} + \)\(20\!\cdots\!75\)\( T^{34} + \)\(11\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(19\!\cdots\!69\)\( T^{36} + \)\(95\!\cdots\!46\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( T^{38} + \)\(75\!\cdots\!09\)\( T^{39} + \)\(15\!\cdots\!99\)\( T^{40} + \)\(54\!\cdots\!31\)\( T^{41} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( T^{42} + \)\(37\!\cdots\!99\)\( T^{43} + \)\(96\!\cdots\!04\)\( T^{44} + \)\(22\!\cdots\!85\)\( T^{45} + \)\(70\!\cdots\!11\)\( T^{46} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( T^{47} + \)\(49\!\cdots\!05\)\( T^{48} + \)\(64\!\cdots\!00\)\( T^{49} + \)\(33\!\cdots\!85\)\( T^{50} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( p T^{51} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( T^{52} + \)\(92\!\cdots\!66\)\( T^{53} + \)\(24\!\cdots\!24\)\( p T^{54} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( T^{55} + \)\(78\!\cdots\!79\)\( T^{56} - \)\(94\!\cdots\!36\)\( T^{57} + \)\(44\!\cdots\!12\)\( T^{58} - \)\(11\!\cdots\!45\)\( T^{59} + \)\(46\!\cdots\!70\)\( p T^{60} - \)\(74\!\cdots\!16\)\( T^{61} + \)\(46\!\cdots\!70\)\( p^{2} T^{62} - \)\(11\!\cdots\!45\)\( p^{2} T^{63} + \)\(44\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{64} - \)\(94\!\cdots\!36\)\( p^{4} T^{65} + \)\(78\!\cdots\!79\)\( p^{5} T^{66} + \)\(14\!\cdots\!32\)\( p^{6} T^{67} + \)\(24\!\cdots\!24\)\( p^{8} T^{68} + \)\(92\!\cdots\!66\)\( p^{8} T^{69} + \)\(21\!\cdots\!62\)\( p^{9} T^{70} + \)\(52\!\cdots\!42\)\( p^{11} T^{71} + \)\(33\!\cdots\!85\)\( p^{11} T^{72} + \)\(64\!\cdots\!00\)\( p^{12} T^{73} + \)\(49\!\cdots\!05\)\( p^{13} T^{74} + \)\(12\!\cdots\!18\)\( p^{14} T^{75} + \)\(70\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{76} + \)\(22\!\cdots\!85\)\( p^{16} T^{77} + \)\(96\!\cdots\!04\)\( p^{17} T^{78} + \)\(37\!\cdots\!99\)\( p^{18} T^{79} + \)\(12\!\cdots\!07\)\( p^{19} T^{80} + \)\(54\!\cdots\!31\)\( p^{20} T^{81} + \)\(15\!\cdots\!99\)\( p^{21} T^{82} + \)\(75\!\cdots\!09\)\( p^{22} T^{83} + \)\(18\!\cdots\!44\)\( p^{23} T^{84} + \)\(95\!\cdots\!46\)\( p^{24} T^{85} + \)\(19\!\cdots\!69\)\( p^{25} T^{86} + \)\(11\!\cdots\!44\)\( p^{26} T^{87} + \)\(20\!\cdots\!75\)\( p^{27} T^{88} + \)\(12\!\cdots\!75\)\( p^{28} T^{89} + \)\(20\!\cdots\!37\)\( p^{29} T^{90} + \)\(12\!\cdots\!86\)\( p^{30} T^{91} + \)\(18\!\cdots\!00\)\( p^{31} T^{92} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{32} T^{93} + \)\(15\!\cdots\!30\)\( p^{33} T^{94} + \)\(97\!\cdots\!34\)\( p^{34} T^{95} + \)\(12\!\cdots\!65\)\( p^{35} T^{96} + \)\(76\!\cdots\!81\)\( p^{36} T^{97} + \)\(88\!\cdots\!92\)\( p^{37} T^{98} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( p^{39} T^{99} + \)\(58\!\cdots\!20\)\( p^{39} T^{100} + \)\(34\!\cdots\!23\)\( p^{40} T^{101} + \)\(35\!\cdots\!51\)\( p^{41} T^{102} + \)\(20\!\cdots\!40\)\( p^{42} T^{103} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{43} T^{104} + \)\(10\!\cdots\!11\)\( p^{44} T^{105} + \)\(89\!\cdots\!35\)\( p^{45} T^{106} + \)\(46\!\cdots\!76\)\( p^{46} T^{107} + 37480962544687879243 p^{47} T^{108} + 1807000232305623859 p^{48} T^{109} + 134533080393315553 p^{49} T^{110} + 5931837415386390 p^{50} T^{111} + 405838717378873 p^{51} T^{112} + 15980307700688 p^{52} T^{113} + 997297842651 p^{53} T^{114} + 33878656966 p^{54} T^{115} + 1908935934 p^{55} T^{116} + 52915274 p^{56} T^{117} + 2653949 p^{57} T^{118} + 54034 p^{58} T^{119} + 2364 p^{59} T^{120} + 27 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
59 \( 1 + 24 T + 2456 T^{2} + 54278 T^{3} + 2974272 T^{4} + 60996285 T^{5} + 2370644645 T^{6} + 45406127665 T^{7} + 1400207625223 T^{8} + 25184843688984 T^{9} + 654121532505213 T^{10} + 11100446875577977 T^{11} + 251885979113821789 T^{12} + 4049352064468226233 T^{13} + 82267798783181204725 T^{14} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( T^{15} + \)\(23\!\cdots\!39\)\( T^{16} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( T^{17} + \)\(57\!\cdots\!14\)\( T^{18} + \)\(80\!\cdots\!10\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( T^{20} + \)\(17\!\cdots\!51\)\( T^{21} + \)\(25\!\cdots\!02\)\( T^{22} + \)\(32\!\cdots\!02\)\( T^{23} + \)\(46\!\cdots\!45\)\( T^{24} + \)\(57\!\cdots\!37\)\( T^{25} + \)\(77\!\cdots\!03\)\( T^{26} + \)\(92\!\cdots\!18\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{28} + \)\(23\!\cdots\!07\)\( p T^{29} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!37\)\( T^{31} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( T^{32} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( T^{33} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( T^{34} + \)\(28\!\cdots\!33\)\( T^{35} + \)\(30\!\cdots\!49\)\( T^{36} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!07\)\( T^{38} + \)\(32\!\cdots\!66\)\( T^{39} + \)\(33\!\cdots\!20\)\( T^{40} + \)\(32\!\cdots\!21\)\( T^{41} + \)\(31\!\cdots\!89\)\( T^{42} + \)\(29\!\cdots\!16\)\( T^{43} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( T^{44} + \)\(26\!\cdots\!74\)\( T^{45} + \)\(24\!\cdots\!49\)\( T^{46} + \)\(22\!\cdots\!53\)\( T^{47} + \)\(20\!\cdots\!54\)\( T^{48} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( T^{49} + \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{50} + \)\(13\!\cdots\!67\)\( T^{51} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( T^{52} + \)\(96\!\cdots\!70\)\( T^{53} + \)\(82\!\cdots\!94\)\( T^{54} + \)\(66\!\cdots\!14\)\( T^{55} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( T^{56} + \)\(44\!\cdots\!25\)\( T^{57} + \)\(35\!\cdots\!50\)\( T^{58} + \)\(27\!\cdots\!97\)\( T^{59} + \)\(22\!\cdots\!06\)\( T^{60} + \)\(16\!\cdots\!74\)\( T^{61} + \)\(22\!\cdots\!06\)\( p T^{62} + \)\(27\!\cdots\!97\)\( p^{2} T^{63} + \)\(35\!\cdots\!50\)\( p^{3} T^{64} + \)\(44\!\cdots\!25\)\( p^{4} T^{65} + \)\(55\!\cdots\!72\)\( p^{5} T^{66} + \)\(66\!\cdots\!14\)\( p^{6} T^{67} + \)\(82\!\cdots\!94\)\( p^{7} T^{68} + \)\(96\!\cdots\!70\)\( p^{8} T^{69} + \)\(11\!\cdots\!88\)\( p^{9} T^{70} + \)\(13\!\cdots\!67\)\( p^{10} T^{71} + \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{11} T^{72} + \)\(17\!\cdots\!18\)\( p^{12} T^{73} + \)\(20\!\cdots\!54\)\( p^{13} T^{74} + \)\(22\!\cdots\!53\)\( p^{14} T^{75} + \)\(24\!\cdots\!49\)\( p^{15} T^{76} + \)\(26\!\cdots\!74\)\( p^{16} T^{77} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( p^{17} T^{78} + \)\(29\!\cdots\!16\)\( p^{18} T^{79} + \)\(31\!\cdots\!89\)\( p^{19} T^{80} + \)\(32\!\cdots\!21\)\( p^{20} T^{81} + \)\(33\!\cdots\!20\)\( p^{21} T^{82} + \)\(32\!\cdots\!66\)\( p^{22} T^{83} + \)\(32\!\cdots\!07\)\( p^{23} T^{84} + \)\(31\!\cdots\!48\)\( p^{24} T^{85} + \)\(30\!\cdots\!49\)\( p^{25} T^{86} + \)\(28\!\cdots\!33\)\( p^{26} T^{87} + \)\(26\!\cdots\!37\)\( p^{27} T^{88} + \)\(23\!\cdots\!80\)\( p^{28} T^{89} + \)\(21\!\cdots\!96\)\( p^{29} T^{90} + \)\(18\!\cdots\!37\)\( p^{30} T^{91} + \)\(16\!\cdots\!77\)\( p^{31} T^{92} + \)\(23\!\cdots\!07\)\( p^{33} T^{93} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{33} T^{94} + \)\(92\!\cdots\!18\)\( p^{34} T^{95} + \)\(77\!\cdots\!03\)\( p^{35} T^{96} + \)\(57\!\cdots\!37\)\( p^{36} T^{97} + \)\(46\!\cdots\!45\)\( p^{37} T^{98} + \)\(32\!\cdots\!02\)\( p^{38} T^{99} + \)\(25\!\cdots\!02\)\( p^{39} T^{100} + \)\(17\!\cdots\!51\)\( p^{40} T^{101} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{41} T^{102} + \)\(80\!\cdots\!10\)\( p^{42} T^{103} + \)\(57\!\cdots\!14\)\( p^{43} T^{104} + \)\(33\!\cdots\!94\)\( p^{44} T^{105} + \)\(23\!\cdots\!39\)\( p^{45} T^{106} + \)\(12\!\cdots\!91\)\( p^{46} T^{107} + 82267798783181204725 p^{47} T^{108} + 4049352064468226233 p^{48} T^{109} + 251885979113821789 p^{49} T^{110} + 11100446875577977 p^{50} T^{111} + 654121532505213 p^{51} T^{112} + 25184843688984 p^{52} T^{113} + 1400207625223 p^{53} T^{114} + 45406127665 p^{54} T^{115} + 2370644645 p^{55} T^{116} + 60996285 p^{56} T^{117} + 2974272 p^{57} T^{118} + 54278 p^{58} T^{119} + 2456 p^{59} T^{120} + 24 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
61 \( 1 + 76 T + 4887 T^{2} + 225566 T^{3} + 9200667 T^{4} + 321690746 T^{5} + 10261919872 T^{6} + 297010411623 T^{7} + 8004511673971 T^{8} + 200972567691679 T^{9} + 4762531101946082 T^{10} + 106730756102011575 T^{11} + 2278963055740233881 T^{12} + 46462703555426202396 T^{13} + \)\(90\!\cdots\!50\)\( T^{14} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( p T^{15} + \)\(30\!\cdots\!77\)\( T^{16} + \)\(54\!\cdots\!59\)\( T^{17} + \)\(91\!\cdots\!57\)\( T^{18} + \)\(15\!\cdots\!90\)\( T^{19} + \)\(24\!\cdots\!15\)\( T^{20} + \)\(37\!\cdots\!14\)\( T^{21} + \)\(56\!\cdots\!32\)\( T^{22} + \)\(83\!\cdots\!18\)\( T^{23} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( T^{24} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( T^{25} + \)\(23\!\cdots\!98\)\( T^{26} + \)\(30\!\cdots\!18\)\( T^{27} + \)\(40\!\cdots\!86\)\( T^{28} + \)\(52\!\cdots\!92\)\( T^{29} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( T^{30} + \)\(81\!\cdots\!32\)\( T^{31} + \)\(99\!\cdots\!85\)\( T^{32} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!06\)\( T^{34} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{35} + \)\(17\!\cdots\!10\)\( T^{36} + \)\(19\!\cdots\!40\)\( T^{37} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( T^{38} + \)\(23\!\cdots\!27\)\( T^{39} + \)\(24\!\cdots\!90\)\( T^{40} + \)\(25\!\cdots\!13\)\( T^{41} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{42} + \)\(26\!\cdots\!94\)\( T^{43} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( T^{44} + \)\(26\!\cdots\!45\)\( T^{45} + \)\(25\!\cdots\!73\)\( T^{46} + \)\(23\!\cdots\!91\)\( T^{47} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( T^{48} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( T^{49} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( T^{50} + \)\(17\!\cdots\!51\)\( T^{51} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( T^{52} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( T^{53} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{54} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( T^{55} + \)\(81\!\cdots\!86\)\( T^{56} + \)\(67\!\cdots\!90\)\( T^{57} + \)\(55\!\cdots\!82\)\( T^{58} + \)\(44\!\cdots\!04\)\( T^{59} + \)\(35\!\cdots\!92\)\( T^{60} + \)\(28\!\cdots\!30\)\( T^{61} + \)\(35\!\cdots\!92\)\( p T^{62} + \)\(44\!\cdots\!04\)\( p^{2} T^{63} + \)\(55\!\cdots\!82\)\( p^{3} T^{64} + \)\(67\!\cdots\!90\)\( p^{4} T^{65} + \)\(81\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{66} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( p^{6} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{7} T^{68} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( p^{8} T^{69} + \)\(15\!\cdots\!87\)\( p^{9} T^{70} + \)\(17\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{71} + \)\(18\!\cdots\!36\)\( p^{11} T^{72} + \)\(20\!\cdots\!04\)\( p^{12} T^{73} + \)\(22\!\cdots\!29\)\( p^{13} T^{74} + \)\(23\!\cdots\!91\)\( p^{14} T^{75} + \)\(25\!\cdots\!73\)\( p^{15} T^{76} + \)\(26\!\cdots\!45\)\( p^{16} T^{77} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( p^{17} T^{78} + \)\(26\!\cdots\!94\)\( p^{18} T^{79} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( p^{19} T^{80} + \)\(25\!\cdots\!13\)\( p^{20} T^{81} + \)\(24\!\cdots\!90\)\( p^{21} T^{82} + \)\(23\!\cdots\!27\)\( p^{22} T^{83} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( p^{23} T^{84} + \)\(19\!\cdots\!40\)\( p^{24} T^{85} + \)\(17\!\cdots\!10\)\( p^{25} T^{86} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{26} T^{87} + \)\(13\!\cdots\!06\)\( p^{27} T^{88} + \)\(11\!\cdots\!07\)\( p^{28} T^{89} + \)\(99\!\cdots\!85\)\( p^{29} T^{90} + \)\(81\!\cdots\!32\)\( p^{30} T^{91} + \)\(66\!\cdots\!45\)\( p^{31} T^{92} + \)\(52\!\cdots\!92\)\( p^{32} T^{93} + \)\(40\!\cdots\!86\)\( p^{33} T^{94} + \)\(30\!\cdots\!18\)\( p^{34} T^{95} + \)\(23\!\cdots\!98\)\( p^{35} T^{96} + \)\(16\!\cdots\!04\)\( p^{36} T^{97} + \)\(11\!\cdots\!59\)\( p^{37} T^{98} + \)\(83\!\cdots\!18\)\( p^{38} T^{99} + \)\(56\!\cdots\!32\)\( p^{39} T^{100} + \)\(37\!\cdots\!14\)\( p^{40} T^{101} + \)\(24\!\cdots\!15\)\( p^{41} T^{102} + \)\(15\!\cdots\!90\)\( p^{42} T^{103} + \)\(91\!\cdots\!57\)\( p^{43} T^{104} + \)\(54\!\cdots\!59\)\( p^{44} T^{105} + \)\(30\!\cdots\!77\)\( p^{45} T^{106} + \)\(28\!\cdots\!42\)\( p^{47} T^{107} + \)\(90\!\cdots\!50\)\( p^{47} T^{108} + 46462703555426202396 p^{48} T^{109} + 2278963055740233881 p^{49} T^{110} + 106730756102011575 p^{50} T^{111} + 4762531101946082 p^{51} T^{112} + 200972567691679 p^{52} T^{113} + 8004511673971 p^{53} T^{114} + 297010411623 p^{54} T^{115} + 10261919872 p^{55} T^{116} + 321690746 p^{56} T^{117} + 9200667 p^{57} T^{118} + 225566 p^{58} T^{119} + 4887 p^{59} T^{120} + 76 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
67 \( 1 + 45 T + 3356 T^{2} + 122797 T^{3} + 5380649 T^{4} + 167456347 T^{5} + 5570006471 T^{6} + 151982916562 T^{7} + 4220931249541 T^{8} + 103179504874494 T^{9} + 2509517844034837 T^{10} + 55841592350803384 T^{11} + 1223086718363850870 T^{12} + 25078028443291619273 T^{13} + \)\(50\!\cdots\!44\)\( T^{14} + \)\(96\!\cdots\!24\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!59\)\( T^{16} + \)\(32\!\cdots\!39\)\( T^{17} + \)\(55\!\cdots\!17\)\( T^{18} + \)\(94\!\cdots\!77\)\( T^{19} + \)\(15\!\cdots\!44\)\( T^{20} + \)\(24\!\cdots\!61\)\( T^{21} + \)\(38\!\cdots\!67\)\( T^{22} + \)\(59\!\cdots\!53\)\( T^{23} + \)\(87\!\cdots\!96\)\( T^{24} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{25} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{26} + \)\(25\!\cdots\!78\)\( T^{27} + \)\(34\!\cdots\!71\)\( T^{28} + \)\(46\!\cdots\!62\)\( T^{29} + \)\(60\!\cdots\!75\)\( T^{30} + \)\(77\!\cdots\!71\)\( T^{31} + \)\(98\!\cdots\!59\)\( T^{32} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( T^{34} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( T^{35} + \)\(20\!\cdots\!71\)\( T^{36} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( T^{37} + \)\(27\!\cdots\!29\)\( T^{38} + \)\(30\!\cdots\!79\)\( T^{39} + \)\(34\!\cdots\!66\)\( T^{40} + \)\(37\!\cdots\!98\)\( T^{41} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( T^{42} + \)\(41\!\cdots\!61\)\( T^{43} + \)\(43\!\cdots\!72\)\( T^{44} + \)\(44\!\cdots\!28\)\( T^{45} + \)\(44\!\cdots\!80\)\( T^{46} + \)\(44\!\cdots\!72\)\( T^{47} + \)\(43\!\cdots\!44\)\( T^{48} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( T^{49} + \)\(40\!\cdots\!61\)\( T^{50} + \)\(38\!\cdots\!25\)\( T^{51} + \)\(35\!\cdots\!61\)\( T^{52} + \)\(32\!\cdots\!85\)\( T^{53} + \)\(29\!\cdots\!66\)\( T^{54} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( T^{55} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( T^{56} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( T^{57} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( T^{58} + \)\(14\!\cdots\!19\)\( T^{59} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( T^{60} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( p T^{61} + \)\(12\!\cdots\!98\)\( p T^{62} + \)\(14\!\cdots\!19\)\( p^{2} T^{63} + \)\(17\!\cdots\!92\)\( p^{3} T^{64} + \)\(20\!\cdots\!52\)\( p^{4} T^{65} + \)\(23\!\cdots\!76\)\( p^{5} T^{66} + \)\(26\!\cdots\!80\)\( p^{6} T^{67} + \)\(29\!\cdots\!66\)\( p^{7} T^{68} + \)\(32\!\cdots\!85\)\( p^{8} T^{69} + \)\(35\!\cdots\!61\)\( p^{9} T^{70} + \)\(38\!\cdots\!25\)\( p^{10} T^{71} + \)\(40\!\cdots\!61\)\( p^{11} T^{72} + \)\(42\!\cdots\!16\)\( p^{12} T^{73} + \)\(43\!\cdots\!44\)\( p^{13} T^{74} + \)\(44\!\cdots\!72\)\( p^{14} T^{75} + \)\(44\!\cdots\!80\)\( p^{15} T^{76} + \)\(44\!\cdots\!28\)\( p^{16} T^{77} + \)\(43\!\cdots\!72\)\( p^{17} T^{78} + \)\(41\!\cdots\!61\)\( p^{18} T^{79} + \)\(39\!\cdots\!36\)\( p^{19} T^{80} + \)\(37\!\cdots\!98\)\( p^{20} T^{81} + \)\(34\!\cdots\!66\)\( p^{21} T^{82} + \)\(30\!\cdots\!79\)\( p^{22} T^{83} + \)\(27\!\cdots\!29\)\( p^{23} T^{84} + \)\(24\!\cdots\!55\)\( p^{24} T^{85} + \)\(20\!\cdots\!71\)\( p^{25} T^{86} + \)\(17\!\cdots\!39\)\( p^{26} T^{87} + \)\(14\!\cdots\!14\)\( p^{27} T^{88} + \)\(12\!\cdots\!26\)\( p^{28} T^{89} + \)\(98\!\cdots\!59\)\( p^{29} T^{90} + \)\(77\!\cdots\!71\)\( p^{30} T^{91} + \)\(60\!\cdots\!75\)\( p^{31} T^{92} + \)\(46\!\cdots\!62\)\( p^{32} T^{93} + \)\(34\!\cdots\!71\)\( p^{33} T^{94} + \)\(25\!\cdots\!78\)\( p^{34} T^{95} + \)\(18\!\cdots\!97\)\( p^{35} T^{96} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{36} T^{97} + \)\(87\!\cdots\!96\)\( p^{37} T^{98} + \)\(59\!\cdots\!53\)\( p^{38} T^{99} + \)\(38\!\cdots\!67\)\( p^{39} T^{100} + \)\(24\!\cdots\!61\)\( p^{40} T^{101} + \)\(15\!\cdots\!44\)\( p^{41} T^{102} + \)\(94\!\cdots\!77\)\( p^{42} T^{103} + \)\(55\!\cdots\!17\)\( p^{43} T^{104} + \)\(32\!\cdots\!39\)\( p^{44} T^{105} + \)\(17\!\cdots\!59\)\( p^{45} T^{106} + \)\(96\!\cdots\!24\)\( p^{46} T^{107} + \)\(50\!\cdots\!44\)\( p^{47} T^{108} + 25078028443291619273 p^{48} T^{109} + 1223086718363850870 p^{49} T^{110} + 55841592350803384 p^{50} T^{111} + 2509517844034837 p^{51} T^{112} + 103179504874494 p^{52} T^{113} + 4220931249541 p^{53} T^{114} + 151982916562 p^{54} T^{115} + 5570006471 p^{55} T^{116} + 167456347 p^{56} T^{117} + 5380649 p^{57} T^{118} + 122797 p^{58} T^{119} + 3356 p^{59} T^{120} + 45 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
71 \( 1 + 28 T + 2875 T^{2} + 73354 T^{3} + 4080790 T^{4} + 95809173 T^{5} + 3818497156 T^{6} + 83169655927 T^{7} + 2652877092998 T^{8} + 53972511544662 T^{9} + 1460892829445384 T^{10} + 27924523682852449 T^{11} + 664681859780802787 T^{12} + 168968083085378665 p T^{13} + \)\(25\!\cdots\!98\)\( T^{14} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( T^{15} + \)\(86\!\cdots\!55\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!35\)\( T^{17} + \)\(25\!\cdots\!25\)\( T^{18} + \)\(39\!\cdots\!05\)\( T^{19} + \)\(67\!\cdots\!06\)\( T^{20} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( T^{21} + \)\(16\!\cdots\!82\)\( T^{22} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( T^{23} + \)\(35\!\cdots\!19\)\( T^{24} + \)\(48\!\cdots\!77\)\( T^{25} + \)\(70\!\cdots\!34\)\( T^{26} + \)\(93\!\cdots\!90\)\( T^{27} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{28} + \)\(16\!\cdots\!73\)\( T^{29} + \)\(22\!\cdots\!12\)\( T^{30} + \)\(27\!\cdots\!91\)\( T^{31} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( T^{32} + \)\(42\!\cdots\!97\)\( T^{33} + \)\(52\!\cdots\!29\)\( T^{34} + \)\(61\!\cdots\!55\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p T^{36} + \)\(82\!\cdots\!17\)\( T^{37} + \)\(95\!\cdots\!87\)\( T^{38} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( T^{39} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( T^{40} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( T^{41} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( T^{42} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( T^{43} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( T^{44} + \)\(15\!\cdots\!47\)\( T^{45} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{46} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( T^{47} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( T^{48} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( T^{49} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( T^{50} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( T^{51} + \)\(19\!\cdots\!66\)\( p T^{52} + \)\(12\!\cdots\!92\)\( T^{53} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( T^{54} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( T^{55} + \)\(95\!\cdots\!12\)\( T^{56} + \)\(83\!\cdots\!23\)\( T^{57} + \)\(74\!\cdots\!97\)\( T^{58} + \)\(63\!\cdots\!10\)\( T^{59} + \)\(55\!\cdots\!08\)\( T^{60} + \)\(46\!\cdots\!04\)\( T^{61} + \)\(55\!\cdots\!08\)\( p T^{62} + \)\(63\!\cdots\!10\)\( p^{2} T^{63} + \)\(74\!\cdots\!97\)\( p^{3} T^{64} + \)\(83\!\cdots\!23\)\( p^{4} T^{65} + \)\(95\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{66} + \)\(10\!\cdots\!20\)\( p^{6} T^{67} + \)\(11\!\cdots\!20\)\( p^{7} T^{68} + \)\(12\!\cdots\!92\)\( p^{8} T^{69} + \)\(19\!\cdots\!66\)\( p^{10} T^{70} + \)\(14\!\cdots\!50\)\( p^{10} T^{71} + \)\(15\!\cdots\!82\)\( p^{11} T^{72} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{12} T^{73} + \)\(15\!\cdots\!72\)\( p^{13} T^{74} + \)\(15\!\cdots\!16\)\( p^{14} T^{75} + \)\(15\!\cdots\!52\)\( p^{15} T^{76} + \)\(15\!\cdots\!47\)\( p^{16} T^{77} + \)\(15\!\cdots\!03\)\( p^{17} T^{78} + \)\(14\!\cdots\!56\)\( p^{18} T^{79} + \)\(13\!\cdots\!54\)\( p^{19} T^{80} + \)\(12\!\cdots\!42\)\( p^{20} T^{81} + \)\(11\!\cdots\!63\)\( p^{21} T^{82} + \)\(10\!\cdots\!74\)\( p^{22} T^{83} + \)\(95\!\cdots\!87\)\( p^{23} T^{84} + \)\(82\!\cdots\!17\)\( p^{24} T^{85} + \)\(10\!\cdots\!96\)\( p^{26} T^{86} + \)\(61\!\cdots\!55\)\( p^{26} T^{87} + \)\(52\!\cdots\!29\)\( p^{27} T^{88} + \)\(42\!\cdots\!97\)\( p^{28} T^{89} + \)\(35\!\cdots\!25\)\( p^{29} T^{90} + \)\(27\!\cdots\!91\)\( p^{30} T^{91} + \)\(22\!\cdots\!12\)\( p^{31} T^{92} + \)\(16\!\cdots\!73\)\( p^{32} T^{93} + \)\(12\!\cdots\!50\)\( p^{33} T^{94} + \)\(93\!\cdots\!90\)\( p^{34} T^{95} + \)\(70\!\cdots\!34\)\( p^{35} T^{96} + \)\(48\!\cdots\!77\)\( p^{36} T^{97} + \)\(35\!\cdots\!19\)\( p^{37} T^{98} + \)\(23\!\cdots\!56\)\( p^{38} T^{99} + \)\(16\!\cdots\!82\)\( p^{39} T^{100} + \)\(10\!\cdots\!04\)\( p^{40} T^{101} + \)\(67\!\cdots\!06\)\( p^{41} T^{102} + \)\(39\!\cdots\!05\)\( p^{42} T^{103} + \)\(25\!\cdots\!25\)\( p^{43} T^{104} + \)\(14\!\cdots\!35\)\( p^{44} T^{105} + \)\(86\!\cdots\!55\)\( p^{45} T^{106} + \)\(44\!\cdots\!92\)\( p^{46} T^{107} + \)\(25\!\cdots\!98\)\( p^{47} T^{108} + 168968083085378665 p^{49} T^{109} + 664681859780802787 p^{49} T^{110} + 27924523682852449 p^{50} T^{111} + 1460892829445384 p^{51} T^{112} + 53972511544662 p^{52} T^{113} + 2652877092998 p^{53} T^{114} + 83169655927 p^{54} T^{115} + 3818497156 p^{55} T^{116} + 95809173 p^{56} T^{117} + 4080790 p^{57} T^{118} + 73354 p^{58} T^{119} + 2875 p^{59} T^{120} + 28 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
73 \( 1 + 50 T + 3634 T^{2} + 138252 T^{3} + 5991993 T^{4} + 187714751 T^{5} + 6195468467 T^{6} + 167172375949 T^{7} + 4599555934804 T^{8} + 110009721289750 T^{9} + 2641839089406774 T^{10} + 57125312658935703 T^{11} + 1230685334248546484 T^{12} + 24407298012229032041 T^{13} + \)\(48\!\cdots\!80\)\( T^{14} + \)\(88\!\cdots\!96\)\( T^{15} + \)\(16\!\cdots\!74\)\( T^{16} + \)\(27\!\cdots\!74\)\( T^{17} + \)\(47\!\cdots\!96\)\( T^{18} + \)\(76\!\cdots\!99\)\( T^{19} + \)\(12\!\cdots\!33\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!92\)\( T^{21} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( T^{22} + \)\(41\!\cdots\!13\)\( T^{23} + \)\(59\!\cdots\!27\)\( T^{24} + \)\(83\!\cdots\!04\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( T^{26} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( T^{27} + \)\(20\!\cdots\!90\)\( T^{28} + \)\(26\!\cdots\!55\)\( T^{29} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( T^{30} + \)\(41\!\cdots\!52\)\( T^{31} + \)\(51\!\cdots\!97\)\( T^{32} + \)\(61\!\cdots\!85\)\( T^{33} + \)\(73\!\cdots\!58\)\( T^{34} + \)\(85\!\cdots\!40\)\( T^{35} + \)\(98\!\cdots\!89\)\( T^{36} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( T^{37} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( T^{38} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( T^{39} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( T^{40} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( T^{41} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( T^{42} + \)\(17\!\cdots\!53\)\( T^{43} + \)\(18\!\cdots\!27\)\( T^{44} + \)\(18\!\cdots\!79\)\( T^{45} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( T^{46} + \)\(18\!\cdots\!69\)\( T^{47} + \)\(18\!\cdots\!47\)\( T^{48} + \)\(17\!\cdots\!81\)\( T^{49} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( T^{50} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( T^{51} + \)\(15\!\cdots\!91\)\( T^{52} + \)\(14\!\cdots\!90\)\( T^{53} + \)\(13\!\cdots\!41\)\( T^{54} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( T^{55} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p T^{56} + \)\(98\!\cdots\!48\)\( T^{57} + \)\(87\!\cdots\!55\)\( T^{58} + \)\(76\!\cdots\!66\)\( T^{59} + \)\(66\!\cdots\!36\)\( T^{60} + \)\(56\!\cdots\!82\)\( T^{61} + \)\(66\!\cdots\!36\)\( p T^{62} + \)\(76\!\cdots\!66\)\( p^{2} T^{63} + \)\(87\!\cdots\!55\)\( p^{3} T^{64} + \)\(98\!\cdots\!48\)\( p^{4} T^{65} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{6} T^{66} + \)\(12\!\cdots\!77\)\( p^{6} T^{67} + \)\(13\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{68} + \)\(14\!\cdots\!90\)\( p^{8} T^{69} + \)\(15\!\cdots\!91\)\( p^{9} T^{70} + \)\(16\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{71} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{11} T^{72} + \)\(17\!\cdots\!81\)\( p^{12} T^{73} + \)\(18\!\cdots\!47\)\( p^{13} T^{74} + \)\(18\!\cdots\!69\)\( p^{14} T^{75} + \)\(18\!\cdots\!88\)\( p^{15} T^{76} + \)\(18\!\cdots\!79\)\( p^{16} T^{77} + \)\(18\!\cdots\!27\)\( p^{17} T^{78} + \)\(17\!\cdots\!53\)\( p^{18} T^{79} + \)\(16\!\cdots\!36\)\( p^{19} T^{80} + \)\(15\!\cdots\!11\)\( p^{20} T^{81} + \)\(14\!\cdots\!15\)\( p^{21} T^{82} + \)\(13\!\cdots\!88\)\( p^{22} T^{83} + \)\(12\!\cdots\!28\)\( p^{23} T^{84} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( p^{24} T^{85} + \)\(98\!\cdots\!89\)\( p^{25} T^{86} + \)\(85\!\cdots\!40\)\( p^{26} T^{87} + \)\(73\!\cdots\!58\)\( p^{27} T^{88} + \)\(61\!\cdots\!85\)\( p^{28} T^{89} + \)\(51\!\cdots\!97\)\( p^{29} T^{90} + \)\(41\!\cdots\!52\)\( p^{30} T^{91} + \)\(33\!\cdots\!29\)\( p^{31} T^{92} + \)\(26\!\cdots\!55\)\( p^{32} T^{93} + \)\(20\!\cdots\!90\)\( p^{33} T^{94} + \)\(15\!\cdots\!80\)\( p^{34} T^{95} + \)\(11\!\cdots\!85\)\( p^{35} T^{96} + \)\(83\!\cdots\!04\)\( p^{36} T^{97} + \)\(59\!\cdots\!27\)\( p^{37} T^{98} + \)\(41\!\cdots\!13\)\( p^{38} T^{99} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{39} T^{100} + \)\(18\!\cdots\!92\)\( p^{40} T^{101} + \)\(12\!\cdots\!33\)\( p^{41} T^{102} + \)\(76\!\cdots\!99\)\( p^{42} T^{103} + \)\(47\!\cdots\!96\)\( p^{43} T^{104} + \)\(27\!\cdots\!74\)\( p^{44} T^{105} + \)\(16\!\cdots\!74\)\( p^{45} T^{106} + \)\(88\!\cdots\!96\)\( p^{46} T^{107} + \)\(48\!\cdots\!80\)\( p^{47} T^{108} + 24407298012229032041 p^{48} T^{109} + 1230685334248546484 p^{49} T^{110} + 57125312658935703 p^{50} T^{111} + 2641839089406774 p^{51} T^{112} + 110009721289750 p^{52} T^{113} + 4599555934804 p^{53} T^{114} + 167172375949 p^{54} T^{115} + 6195468467 p^{55} T^{116} + 187714751 p^{56} T^{117} + 5991993 p^{57} T^{118} + 138252 p^{58} T^{119} + 3634 p^{59} T^{120} + 50 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
79 \( 1 + 66 T + 4850 T^{2} + 220238 T^{3} + 9879374 T^{4} + 352342507 T^{5} + 12125360843 T^{6} + 362269532289 T^{7} + 10400788437616 T^{8} + 270297097827285 T^{9} + 6757149679579733 T^{10} + 156521295563770686 T^{11} + 3496205155358898609 T^{12} + 73422728827054827123 T^{13} + \)\(14\!\cdots\!37\)\( T^{14} + \)\(28\!\cdots\!87\)\( T^{15} + \)\(53\!\cdots\!55\)\( T^{16} + \)\(96\!\cdots\!49\)\( T^{17} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( T^{18} + \)\(27\!\cdots\!12\)\( T^{19} + \)\(57\!\cdots\!23\)\( p T^{20} + \)\(70\!\cdots\!31\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( T^{22} + \)\(16\!\cdots\!31\)\( T^{23} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( T^{24} + \)\(32\!\cdots\!95\)\( T^{25} + \)\(45\!\cdots\!97\)\( T^{26} + \)\(60\!\cdots\!17\)\( T^{27} + \)\(80\!\cdots\!14\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( T^{29} + \)\(13\!\cdots\!41\)\( T^{30} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( T^{31} + \)\(19\!\cdots\!43\)\( T^{32} + \)\(23\!\cdots\!86\)\( T^{33} + \)\(27\!\cdots\!43\)\( T^{34} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( T^{35} + \)\(36\!\cdots\!85\)\( T^{36} + \)\(40\!\cdots\!61\)\( T^{37} + \)\(45\!\cdots\!39\)\( T^{38} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( T^{39} + \)\(53\!\cdots\!56\)\( T^{40} + \)\(56\!\cdots\!48\)\( T^{41} + \)\(60\!\cdots\!81\)\( T^{42} + \)\(62\!\cdots\!33\)\( T^{43} + \)\(64\!\cdots\!91\)\( T^{44} + \)\(66\!\cdots\!41\)\( T^{45} + \)\(85\!\cdots\!61\)\( p T^{46} + \)\(85\!\cdots\!66\)\( p T^{47} + \)\(67\!\cdots\!15\)\( T^{48} + \)\(66\!\cdots\!65\)\( T^{49} + \)\(64\!\cdots\!06\)\( T^{50} + \)\(62\!\cdots\!07\)\( T^{51} + \)\(60\!\cdots\!03\)\( T^{52} + \)\(57\!\cdots\!78\)\( T^{53} + \)\(53\!\cdots\!21\)\( T^{54} + \)\(63\!\cdots\!32\)\( p T^{55} + \)\(46\!\cdots\!60\)\( T^{56} + \)\(43\!\cdots\!07\)\( T^{57} + \)\(39\!\cdots\!48\)\( T^{58} + \)\(35\!\cdots\!88\)\( T^{59} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( T^{60} + \)\(28\!\cdots\!54\)\( T^{61} + \)\(32\!\cdots\!96\)\( p T^{62} + \)\(35\!\cdots\!88\)\( p^{2} T^{63} + \)\(39\!\cdots\!48\)\( p^{3} T^{64} + \)\(43\!\cdots\!07\)\( p^{4} T^{65} + \)\(46\!\cdots\!60\)\( p^{5} T^{66} + \)\(63\!\cdots\!32\)\( p^{7} T^{67} + \)\(53\!\cdots\!21\)\( p^{7} T^{68} + \)\(57\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{69} + \)\(60\!\cdots\!03\)\( p^{9} T^{70} + \)\(62\!\cdots\!07\)\( p^{10} T^{71} + \)\(64\!\cdots\!06\)\( p^{11} T^{72} + \)\(66\!\cdots\!65\)\( p^{12} T^{73} + \)\(67\!\cdots\!15\)\( p^{13} T^{74} + \)\(85\!\cdots\!66\)\( p^{15} T^{75} + \)\(85\!\cdots\!61\)\( p^{16} T^{76} + \)\(66\!\cdots\!41\)\( p^{16} T^{77} + \)\(64\!\cdots\!91\)\( p^{17} T^{78} + \)\(62\!\cdots\!33\)\( p^{18} T^{79} + \)\(60\!\cdots\!81\)\( p^{19} T^{80} + \)\(56\!\cdots\!48\)\( p^{20} T^{81} + \)\(53\!\cdots\!56\)\( p^{21} T^{82} + \)\(49\!\cdots\!03\)\( p^{22} T^{83} + \)\(45\!\cdots\!39\)\( p^{23} T^{84} + \)\(40\!\cdots\!61\)\( p^{24} T^{85} + \)\(36\!\cdots\!85\)\( p^{25} T^{86} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( p^{26} T^{87} + \)\(27\!\cdots\!43\)\( p^{27} T^{88} + \)\(23\!\cdots\!86\)\( p^{28} T^{89} + \)\(19\!\cdots\!43\)\( p^{29} T^{90} + \)\(16\!\cdots\!15\)\( p^{30} T^{91} + \)\(13\!\cdots\!41\)\( p^{31} T^{92} + \)\(10\!\cdots\!56\)\( p^{32} T^{93} + \)\(80\!\cdots\!14\)\( p^{33} T^{94} + \)\(60\!\cdots\!17\)\( p^{34} T^{95} + \)\(45\!\cdots\!97\)\( p^{35} T^{96} + \)\(32\!\cdots\!95\)\( p^{36} T^{97} + \)\(23\!\cdots\!92\)\( p^{37} T^{98} + \)\(16\!\cdots\!31\)\( p^{38} T^{99} + \)\(10\!\cdots\!71\)\( p^{39} T^{100} + \)\(70\!\cdots\!31\)\( p^{40} T^{101} + \)\(57\!\cdots\!23\)\( p^{42} T^{102} + \)\(27\!\cdots\!12\)\( p^{42} T^{103} + \)\(16\!\cdots\!58\)\( p^{43} T^{104} + \)\(96\!\cdots\!49\)\( p^{44} T^{105} + \)\(53\!\cdots\!55\)\( p^{45} T^{106} + \)\(28\!\cdots\!87\)\( p^{46} T^{107} + \)\(14\!\cdots\!37\)\( p^{47} T^{108} + 73422728827054827123 p^{48} T^{109} + 3496205155358898609 p^{49} T^{110} + 156521295563770686 p^{50} T^{111} + 6757149679579733 p^{51} T^{112} + 270297097827285 p^{52} T^{113} + 10400788437616 p^{53} T^{114} + 362269532289 p^{54} T^{115} + 12125360843 p^{55} T^{116} + 352342507 p^{56} T^{117} + 9879374 p^{57} T^{118} + 220238 p^{58} T^{119} + 4850 p^{59} T^{120} + 66 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
83 \( 1 + 9 T + 2889 T^{2} + 291 p T^{3} + 4138445 T^{4} + 32104632 T^{5} + 3921607180 T^{6} + 28189269501 T^{7} + 2767108135764 T^{8} + 18398734389982 T^{9} + 1551618602576264 T^{10} + 9524268584525851 T^{11} + 720590630319154674 T^{12} + 4074543495207170091 T^{13} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( T^{14} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( T^{15} + \)\(98\!\cdots\!75\)\( T^{16} + \)\(46\!\cdots\!16\)\( T^{17} + \)\(29\!\cdots\!34\)\( T^{18} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(81\!\cdots\!61\)\( T^{20} + \)\(32\!\cdots\!99\)\( T^{21} + \)\(20\!\cdots\!53\)\( T^{22} + \)\(73\!\cdots\!29\)\( T^{23} + \)\(45\!\cdots\!21\)\( T^{24} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( T^{25} + \)\(94\!\cdots\!84\)\( T^{26} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( T^{27} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( T^{28} + \)\(50\!\cdots\!73\)\( T^{29} + \)\(32\!\cdots\!68\)\( T^{30} + \)\(82\!\cdots\!02\)\( T^{31} + \)\(54\!\cdots\!89\)\( T^{32} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( T^{33} + \)\(85\!\cdots\!71\)\( T^{34} + \)\(18\!\cdots\!72\)\( T^{35} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( T^{36} + \)\(25\!\cdots\!81\)\( T^{37} + \)\(17\!\cdots\!74\)\( T^{38} + \)\(34\!\cdots\!35\)\( T^{39} + \)\(23\!\cdots\!63\)\( T^{40} + \)\(43\!\cdots\!65\)\( T^{41} + \)\(28\!\cdots\!83\)\( T^{42} + \)\(53\!\cdots\!09\)\( T^{43} + \)\(34\!\cdots\!49\)\( T^{44} + \)\(63\!\cdots\!47\)\( T^{45} + \)\(39\!\cdots\!09\)\( T^{46} + \)\(72\!\cdots\!51\)\( T^{47} + \)\(43\!\cdots\!43\)\( T^{48} + \)\(79\!\cdots\!12\)\( T^{49} + \)\(44\!\cdots\!94\)\( T^{50} + \)\(83\!\cdots\!33\)\( T^{51} + \)\(45\!\cdots\!16\)\( T^{52} + \)\(84\!\cdots\!64\)\( T^{53} + \)\(43\!\cdots\!16\)\( T^{54} + \)\(81\!\cdots\!75\)\( T^{55} + \)\(40\!\cdots\!09\)\( T^{56} + \)\(76\!\cdots\!85\)\( T^{57} + \)\(35\!\cdots\!09\)\( T^{58} + \)\(67\!\cdots\!80\)\( T^{59} + \)\(30\!\cdots\!38\)\( T^{60} + \)\(57\!\cdots\!68\)\( T^{61} + \)\(30\!\cdots\!38\)\( p T^{62} + \)\(67\!\cdots\!80\)\( p^{2} T^{63} + \)\(35\!\cdots\!09\)\( p^{3} T^{64} + \)\(76\!\cdots\!85\)\( p^{4} T^{65} + \)\(40\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{66} + \)\(81\!\cdots\!75\)\( p^{6} T^{67} + \)\(43\!\cdots\!16\)\( p^{7} T^{68} + \)\(84\!\cdots\!64\)\( p^{8} T^{69} + \)\(45\!\cdots\!16\)\( p^{9} T^{70} + \)\(83\!\cdots\!33\)\( p^{10} T^{71} + \)\(44\!\cdots\!94\)\( p^{11} T^{72} + \)\(79\!\cdots\!12\)\( p^{12} T^{73} + \)\(43\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{74} + \)\(72\!\cdots\!51\)\( p^{14} T^{75} + \)\(39\!\cdots\!09\)\( p^{15} T^{76} + \)\(63\!\cdots\!47\)\( p^{16} T^{77} + \)\(34\!\cdots\!49\)\( p^{17} T^{78} + \)\(53\!\cdots\!09\)\( p^{18} T^{79} + \)\(28\!\cdots\!83\)\( p^{19} T^{80} + \)\(43\!\cdots\!65\)\( p^{20} T^{81} + \)\(23\!\cdots\!63\)\( p^{21} T^{82} + \)\(34\!\cdots\!35\)\( p^{22} T^{83} + \)\(17\!\cdots\!74\)\( p^{23} T^{84} + \)\(25\!\cdots\!81\)\( p^{24} T^{85} + \)\(12\!\cdots\!40\)\( p^{25} T^{86} + \)\(18\!\cdots\!72\)\( p^{26} T^{87} + \)\(85\!\cdots\!71\)\( p^{27} T^{88} + \)\(12\!\cdots\!11\)\( p^{28} T^{89} + \)\(54\!\cdots\!89\)\( p^{29} T^{90} + \)\(82\!\cdots\!02\)\( p^{30} T^{91} + \)\(32\!\cdots\!68\)\( p^{31} T^{92} + \)\(50\!\cdots\!73\)\( p^{32} T^{93} + \)\(18\!\cdots\!11\)\( p^{33} T^{94} + \)\(28\!\cdots\!80\)\( p^{34} T^{95} + \)\(94\!\cdots\!84\)\( p^{35} T^{96} + \)\(15\!\cdots\!40\)\( p^{36} T^{97} + \)\(45\!\cdots\!21\)\( p^{37} T^{98} + \)\(73\!\cdots\!29\)\( p^{38} T^{99} + \)\(20\!\cdots\!53\)\( p^{39} T^{100} + \)\(32\!\cdots\!99\)\( p^{40} T^{101} + \)\(81\!\cdots\!61\)\( p^{41} T^{102} + \)\(13\!\cdots\!96\)\( p^{42} T^{103} + \)\(29\!\cdots\!34\)\( p^{43} T^{104} + \)\(46\!\cdots\!16\)\( p^{44} T^{105} + \)\(98\!\cdots\!75\)\( p^{45} T^{106} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{46} T^{107} + \)\(28\!\cdots\!03\)\( p^{47} T^{108} + 4074543495207170091 p^{48} T^{109} + 720590630319154674 p^{49} T^{110} + 9524268584525851 p^{50} T^{111} + 1551618602576264 p^{51} T^{112} + 18398734389982 p^{52} T^{113} + 2767108135764 p^{53} T^{114} + 28189269501 p^{54} T^{115} + 3921607180 p^{55} T^{116} + 32104632 p^{56} T^{117} + 4138445 p^{57} T^{118} + 291 p^{59} T^{119} + 2889 p^{59} T^{120} + 9 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
89 \( 1 + 30 T + 3770 T^{2} + 104567 T^{3} + 7040549 T^{4} + 181752092 T^{5} + 8688603530 T^{6} + 209958697824 T^{7} + 7974076005715 T^{8} + 181275125855211 T^{9} + 5806783485725576 T^{10} + 124725642326742492 T^{11} + 3495556349389843581 T^{12} + 71212387405954696487 T^{13} + \)\(17\!\cdots\!41\)\( T^{14} + \)\(34\!\cdots\!21\)\( T^{15} + \)\(79\!\cdots\!40\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( T^{17} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( T^{18} + \)\(55\!\cdots\!18\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!05\)\( T^{20} + \)\(18\!\cdots\!73\)\( T^{21} + \)\(34\!\cdots\!70\)\( T^{22} + \)\(56\!\cdots\!17\)\( T^{23} + \)\(98\!\cdots\!75\)\( T^{24} + \)\(15\!\cdots\!53\)\( T^{25} + \)\(25\!\cdots\!55\)\( T^{26} + \)\(39\!\cdots\!55\)\( T^{27} + \)\(62\!\cdots\!05\)\( T^{28} + \)\(91\!\cdots\!86\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( T^{30} + \)\(19\!\cdots\!45\)\( T^{31} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( T^{32} + \)\(40\!\cdots\!53\)\( T^{33} + \)\(56\!\cdots\!57\)\( T^{34} + \)\(75\!\cdots\!44\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( T^{36} + \)\(13\!\cdots\!43\)\( T^{37} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( T^{38} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( T^{39} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( T^{40} + \)\(34\!\cdots\!02\)\( T^{41} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( T^{42} + \)\(49\!\cdots\!83\)\( T^{43} + \)\(59\!\cdots\!70\)\( T^{44} + \)\(69\!\cdots\!59\)\( T^{45} + \)\(80\!\cdots\!76\)\( T^{46} + \)\(90\!\cdots\!31\)\( T^{47} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{48} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( T^{49} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( T^{50} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( T^{51} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( T^{52} + \)\(14\!\cdots\!34\)\( T^{53} + \)\(15\!\cdots\!43\)\( T^{54} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( T^{55} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( T^{56} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( T^{57} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( T^{58} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( T^{59} + \)\(14\!\cdots\!29\)\( T^{60} + \)\(13\!\cdots\!18\)\( T^{61} + \)\(14\!\cdots\!29\)\( p T^{62} + \)\(15\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{63} + \)\(15\!\cdots\!41\)\( p^{3} T^{64} + \)\(15\!\cdots\!70\)\( p^{4} T^{65} + \)\(16\!\cdots\!49\)\( p^{5} T^{66} + \)\(15\!\cdots\!81\)\( p^{6} T^{67} + \)\(15\!\cdots\!43\)\( p^{7} T^{68} + \)\(14\!\cdots\!34\)\( p^{8} T^{69} + \)\(14\!\cdots\!04\)\( p^{9} T^{70} + \)\(13\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{71} + \)\(12\!\cdots\!66\)\( p^{11} T^{72} + \)\(11\!\cdots\!12\)\( p^{12} T^{73} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{13} T^{74} + \)\(90\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{75} + \)\(80\!\cdots\!76\)\( p^{15} T^{76} + \)\(69\!\cdots\!59\)\( p^{16} T^{77} + \)\(59\!\cdots\!70\)\( p^{17} T^{78} + \)\(49\!\cdots\!83\)\( p^{18} T^{79} + \)\(42\!\cdots\!45\)\( p^{19} T^{80} + \)\(34\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{81} + \)\(27\!\cdots\!56\)\( p^{21} T^{82} + \)\(21\!\cdots\!64\)\( p^{22} T^{83} + \)\(17\!\cdots\!75\)\( p^{23} T^{84} + \)\(13\!\cdots\!43\)\( p^{24} T^{85} + \)\(10\!\cdots\!12\)\( p^{25} T^{86} + \)\(75\!\cdots\!44\)\( p^{26} T^{87} + \)\(56\!\cdots\!57\)\( p^{27} T^{88} + \)\(40\!\cdots\!53\)\( p^{28} T^{89} + \)\(29\!\cdots\!65\)\( p^{29} T^{90} + \)\(19\!\cdots\!45\)\( p^{30} T^{91} + \)\(14\!\cdots\!84\)\( p^{31} T^{92} + \)\(91\!\cdots\!86\)\( p^{32} T^{93} + \)\(62\!\cdots\!05\)\( p^{33} T^{94} + \)\(39\!\cdots\!55\)\( p^{34} T^{95} + \)\(25\!\cdots\!55\)\( p^{35} T^{96} + \)\(15\!\cdots\!53\)\( p^{36} T^{97} + \)\(98\!\cdots\!75\)\( p^{37} T^{98} + \)\(56\!\cdots\!17\)\( p^{38} T^{99} + \)\(34\!\cdots\!70\)\( p^{39} T^{100} + \)\(18\!\cdots\!73\)\( p^{40} T^{101} + \)\(10\!\cdots\!05\)\( p^{41} T^{102} + \)\(55\!\cdots\!18\)\( p^{42} T^{103} + \)\(31\!\cdots\!71\)\( p^{43} T^{104} + \)\(14\!\cdots\!80\)\( p^{44} T^{105} + \)\(79\!\cdots\!40\)\( p^{45} T^{106} + \)\(34\!\cdots\!21\)\( p^{46} T^{107} + \)\(17\!\cdots\!41\)\( p^{47} T^{108} + 71212387405954696487 p^{48} T^{109} + 3495556349389843581 p^{49} T^{110} + 124725642326742492 p^{50} T^{111} + 5806783485725576 p^{51} T^{112} + 181275125855211 p^{52} T^{113} + 7974076005715 p^{53} T^{114} + 209958697824 p^{54} T^{115} + 8688603530 p^{55} T^{116} + 181752092 p^{56} T^{117} + 7040549 p^{57} T^{118} + 104567 p^{58} T^{119} + 3770 p^{59} T^{120} + 30 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
97 \( 1 + 34 T + 3888 T^{2} + 117966 T^{3} + 7378893 T^{4} + 203139909 T^{5} + 9155959949 T^{6} + 231623112574 T^{7} + 8383477766802 T^{8} + 196829758852956 T^{9} + 6056590846022645 T^{10} + 133029390364934101 T^{11} + 3602876416053249340 T^{12} + 74517172293760841551 T^{13} + \)\(18\!\cdots\!34\)\( T^{14} + \)\(35\!\cdots\!58\)\( T^{15} + \)\(79\!\cdots\!17\)\( T^{16} + \)\(14\!\cdots\!24\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!81\)\( T^{18} + \)\(54\!\cdots\!81\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{20} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( T^{21} + \)\(32\!\cdots\!21\)\( T^{22} + \)\(53\!\cdots\!48\)\( T^{23} + \)\(92\!\cdots\!58\)\( T^{24} + \)\(14\!\cdots\!64\)\( T^{25} + \)\(24\!\cdots\!15\)\( T^{26} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( T^{27} + \)\(57\!\cdots\!70\)\( T^{28} + \)\(85\!\cdots\!67\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( T^{30} + \)\(18\!\cdots\!63\)\( T^{31} + \)\(26\!\cdots\!25\)\( T^{32} + \)\(37\!\cdots\!48\)\( T^{33} + \)\(52\!\cdots\!44\)\( T^{34} + \)\(70\!\cdots\!43\)\( T^{35} + \)\(95\!\cdots\!08\)\( T^{36} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( T^{37} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( T^{38} + \)\(20\!\cdots\!43\)\( T^{39} + \)\(26\!\cdots\!19\)\( T^{40} + \)\(33\!\cdots\!51\)\( T^{41} + \)\(41\!\cdots\!94\)\( T^{42} + \)\(50\!\cdots\!59\)\( T^{43} + \)\(60\!\cdots\!38\)\( T^{44} + \)\(71\!\cdots\!02\)\( T^{45} + \)\(84\!\cdots\!43\)\( T^{46} + \)\(97\!\cdots\!52\)\( T^{47} + \)\(11\!\cdots\!90\)\( T^{48} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( T^{49} + \)\(14\!\cdots\!83\)\( T^{50} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( T^{51} + \)\(17\!\cdots\!51\)\( T^{52} + \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{53} + \)\(19\!\cdots\!74\)\( T^{54} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( T^{55} + \)\(22\!\cdots\!79\)\( T^{56} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( T^{57} + \)\(23\!\cdots\!79\)\( T^{58} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( T^{59} + \)\(23\!\cdots\!89\)\( T^{60} + \)\(23\!\cdots\!68\)\( T^{61} + \)\(23\!\cdots\!89\)\( p T^{62} + \)\(23\!\cdots\!33\)\( p^{2} T^{63} + \)\(23\!\cdots\!79\)\( p^{3} T^{64} + \)\(22\!\cdots\!11\)\( p^{4} T^{65} + \)\(22\!\cdots\!79\)\( p^{5} T^{66} + \)\(21\!\cdots\!82\)\( p^{6} T^{67} + \)\(19\!\cdots\!74\)\( p^{7} T^{68} + \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{8} T^{69} + \)\(17\!\cdots\!51\)\( p^{9} T^{70} + \)\(15\!\cdots\!29\)\( p^{10} T^{71} + \)\(14\!\cdots\!83\)\( p^{11} T^{72} + \)\(12\!\cdots\!32\)\( p^{12} T^{73} + \)\(11\!\cdots\!90\)\( p^{13} T^{74} + \)\(97\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{75} + \)\(84\!\cdots\!43\)\( p^{15} T^{76} + \)\(71\!\cdots\!02\)\( p^{16} T^{77} + \)\(60\!\cdots\!38\)\( p^{17} T^{78} + \)\(50\!\cdots\!59\)\( p^{18} T^{79} + \)\(41\!\cdots\!94\)\( p^{19} T^{80} + \)\(33\!\cdots\!51\)\( p^{20} T^{81} + \)\(26\!\cdots\!19\)\( p^{21} T^{82} + \)\(20\!\cdots\!43\)\( p^{22} T^{83} + \)\(16\!\cdots\!99\)\( p^{23} T^{84} + \)\(12\!\cdots\!14\)\( p^{24} T^{85} + \)\(95\!\cdots\!08\)\( p^{25} T^{86} + \)\(70\!\cdots\!43\)\( p^{26} T^{87} + \)\(52\!\cdots\!44\)\( p^{27} T^{88} + \)\(37\!\cdots\!48\)\( p^{28} T^{89} + \)\(26\!\cdots\!25\)\( p^{29} T^{90} + \)\(18\!\cdots\!63\)\( p^{30} T^{91} + \)\(12\!\cdots\!01\)\( p^{31} T^{92} + \)\(85\!\cdots\!67\)\( p^{32} T^{93} + \)\(57\!\cdots\!70\)\( p^{33} T^{94} + \)\(36\!\cdots\!33\)\( p^{34} T^{95} + \)\(24\!\cdots\!15\)\( p^{35} T^{96} + \)\(14\!\cdots\!64\)\( p^{36} T^{97} + \)\(92\!\cdots\!58\)\( p^{37} T^{98} + \)\(53\!\cdots\!48\)\( p^{38} T^{99} + \)\(32\!\cdots\!21\)\( p^{39} T^{100} + \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{40} T^{101} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{41} T^{102} + \)\(54\!\cdots\!81\)\( p^{42} T^{103} + \)\(30\!\cdots\!81\)\( p^{43} T^{104} + \)\(14\!\cdots\!24\)\( p^{44} T^{105} + \)\(79\!\cdots\!17\)\( p^{45} T^{106} + \)\(35\!\cdots\!58\)\( p^{46} T^{107} + \)\(18\!\cdots\!34\)\( p^{47} T^{108} + 74517172293760841551 p^{48} T^{109} + 3602876416053249340 p^{49} T^{110} + 133029390364934101 p^{50} T^{111} + 6056590846022645 p^{51} T^{112} + 196829758852956 p^{52} T^{113} + 8383477766802 p^{53} T^{114} + 231623112574 p^{54} T^{115} + 9155959949 p^{55} T^{116} + 203139909 p^{56} T^{117} + 7378893 p^{57} T^{118} + 117966 p^{58} T^{119} + 3888 p^{59} T^{120} + 34 p^{60} T^{121} + p^{61} T^{122} \)
show more
show less
\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{122} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−1.29830334409475640850823536865, −1.29363917265238692410684199450, −1.26038170877628195450020824232, −1.25401336107538663703940123637, −1.21607849948595954438934893794, −1.20500161931864769752759259402, −1.17633512880028598321014362715, −1.16430380959981282118386344612, −1.15321172579857339528896298780, −1.15219451062108345425798192149, −1.10471251407930080115534292032, −1.08809940680755425859615751060, −1.05715272667678429573101262732, −1.05468226701080240837922321567, −1.04596839700142959845693211627, −1.03861513115183432060881977936, −0.989925679604376153652366602706, −0.949729801132296497048765073694, −0.912277802915324664481290571265, −0.847779110318817791616483162454, −0.845916660000218914049776647738, −0.843471167281842953780907687372, −0.77428594279550101829353706913, −0.75499891513865478916362849259, −0.53833120869434795336297934640, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.53833120869434795336297934640, 0.75499891513865478916362849259, 0.77428594279550101829353706913, 0.843471167281842953780907687372, 0.845916660000218914049776647738, 0.847779110318817791616483162454, 0.912277802915324664481290571265, 0.949729801132296497048765073694, 0.989925679604376153652366602706, 1.03861513115183432060881977936, 1.04596839700142959845693211627, 1.05468226701080240837922321567, 1.05715272667678429573101262732, 1.08809940680755425859615751060, 1.10471251407930080115534292032, 1.15219451062108345425798192149, 1.15321172579857339528896298780, 1.16430380959981282118386344612, 1.17633512880028598321014362715, 1.20500161931864769752759259402, 1.21607849948595954438934893794, 1.25401336107538663703940123637, 1.26038170877628195450020824232, 1.29363917265238692410684199450, 1.29830334409475640850823536865

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.