Dirichlet series
| L(s) = 1 | − 6·2-s + 18·3-s + 10·4-s − 5·5-s − 108·6-s − 13·7-s + 12·8-s + 171·9-s + 30·10-s − 27·11-s + 180·12-s − 4·13-s + 78·14-s − 90·15-s − 64·16-s + 18·17-s − 1.02e3·18-s − 30·19-s − 50·20-s − 234·21-s + 162·22-s − 21·23-s + 216·24-s − 26·25-s + 24·26-s + 1.14e3·27-s − 130·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | − 4.24·2-s + 10.3·3-s + 5·4-s − 2.23·5-s − 44.0·6-s − 4.91·7-s + 4.24·8-s + 57·9-s + 9.48·10-s − 8.14·11-s + 51.9·12-s − 1.10·13-s + 20.8·14-s − 23.2·15-s − 16·16-s + 4.36·17-s − 241.·18-s − 6.88·19-s − 11.1·20-s − 51.0·21-s + 34.5·22-s − 4.37·23-s + 44.0·24-s − 5.19·25-s + 4.70·26-s + 219.·27-s − 24.5·28-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{18} \cdot 17^{18} \cdot 79^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(3^{18} \cdot 17^{18} \cdot 79^{18}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{18} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(36\) |
| Conductor: | \(3^{18} \cdot 17^{18} \cdot 79^{18}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(1.36313\times 10^{27}\) |
| Root analytic conductor: | \(5.67201\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(18\) |
| Selberg data: | \((36,\ 3^{18} \cdot 17^{18} \cdot 79^{18} ,\ ( \ : [1/2]^{18} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac12)\) | \(=\) | \(0\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 3 | \( ( 1 - T )^{18} \) |
| 17 | \( ( 1 - T )^{18} \) | |
| 79 | \( ( 1 + T )^{18} \) | |
| good | 2 | \( 1 + 3 p T + 13 p T^{2} + 21 p^{2} T^{3} + 59 p^{2} T^{4} + 585 T^{5} + 1341 T^{6} + 1435 p T^{7} + 365 p^{4} T^{8} + 11329 T^{9} + 21093 T^{10} + 37697 T^{11} + 64969 T^{12} + 6755 p^{4} T^{13} + 87137 p T^{14} + 136269 p T^{15} + 207131 p T^{16} + 305827 p T^{17} + 438881 p T^{18} + 305827 p^{2} T^{19} + 207131 p^{3} T^{20} + 136269 p^{4} T^{21} + 87137 p^{5} T^{22} + 6755 p^{9} T^{23} + 64969 p^{6} T^{24} + 37697 p^{7} T^{25} + 21093 p^{8} T^{26} + 11329 p^{9} T^{27} + 365 p^{14} T^{28} + 1435 p^{12} T^{29} + 1341 p^{12} T^{30} + 585 p^{13} T^{31} + 59 p^{16} T^{32} + 21 p^{17} T^{33} + 13 p^{17} T^{34} + 3 p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) |
| 5 | \( 1 + p T + 51 T^{2} + 214 T^{3} + 1248 T^{4} + 904 p T^{5} + 19672 T^{6} + 62976 T^{7} + 1813 p^{3} T^{8} + 653957 T^{9} + 2054349 T^{10} + 1086114 p T^{11} + 15414869 T^{12} + 37859104 T^{13} + 99545331 T^{14} + 230161484 T^{15} + 4569561 p^{3} T^{16} + 1257540163 T^{17} + 2981186163 T^{18} + 1257540163 p T^{19} + 4569561 p^{5} T^{20} + 230161484 p^{3} T^{21} + 99545331 p^{4} T^{22} + 37859104 p^{5} T^{23} + 15414869 p^{6} T^{24} + 1086114 p^{8} T^{25} + 2054349 p^{8} T^{26} + 653957 p^{9} T^{27} + 1813 p^{13} T^{28} + 62976 p^{11} T^{29} + 19672 p^{12} T^{30} + 904 p^{14} T^{31} + 1248 p^{14} T^{32} + 214 p^{15} T^{33} + 51 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 7 | \( 1 + 13 T + 20 p T^{2} + 1061 T^{3} + 7102 T^{4} + 39918 T^{5} + 205104 T^{6} + 940029 T^{7} + 4027083 T^{8} + 15879338 T^{9} + 59503200 T^{10} + 209378398 T^{11} + 708772045 T^{12} + 325979377 p T^{13} + 7118854825 T^{14} + 21255808435 T^{15} + 61655778091 T^{16} + 24495477635 p T^{17} + 463286448717 T^{18} + 24495477635 p^{2} T^{19} + 61655778091 p^{2} T^{20} + 21255808435 p^{3} T^{21} + 7118854825 p^{4} T^{22} + 325979377 p^{6} T^{23} + 708772045 p^{6} T^{24} + 209378398 p^{7} T^{25} + 59503200 p^{8} T^{26} + 15879338 p^{9} T^{27} + 4027083 p^{10} T^{28} + 940029 p^{11} T^{29} + 205104 p^{12} T^{30} + 39918 p^{13} T^{31} + 7102 p^{14} T^{32} + 1061 p^{15} T^{33} + 20 p^{17} T^{34} + 13 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 11 | \( 1 + 27 T + 474 T^{2} + 6124 T^{3} + 65105 T^{4} + 589676 T^{5} + 4709226 T^{6} + 33695597 T^{7} + 219440929 T^{8} + 1312203498 T^{9} + 7267204278 T^{10} + 37470574364 T^{11} + 180803719532 T^{12} + 819033857735 T^{13} + 3494184377912 T^{14} + 14064960404714 T^{15} + 4865084817323 p T^{16} + 192638908889659 T^{17} + 656595064222556 T^{18} + 192638908889659 p T^{19} + 4865084817323 p^{3} T^{20} + 14064960404714 p^{3} T^{21} + 3494184377912 p^{4} T^{22} + 819033857735 p^{5} T^{23} + 180803719532 p^{6} T^{24} + 37470574364 p^{7} T^{25} + 7267204278 p^{8} T^{26} + 1312203498 p^{9} T^{27} + 219440929 p^{10} T^{28} + 33695597 p^{11} T^{29} + 4709226 p^{12} T^{30} + 589676 p^{13} T^{31} + 65105 p^{14} T^{32} + 6124 p^{15} T^{33} + 474 p^{16} T^{34} + 27 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 13 | \( 1 + 4 T + 98 T^{2} + 250 T^{3} + 4210 T^{4} + 6297 T^{5} + 8649 p T^{6} + 75818 T^{7} + 2173969 T^{8} + 18282 T^{9} + 31649589 T^{10} - 21621181 T^{11} + 320274648 T^{12} - 620969333 T^{13} + 114647345 p T^{14} - 11602397658 T^{15} - 14891727576 T^{16} - 171029557263 T^{17} - 373079673670 T^{18} - 171029557263 p T^{19} - 14891727576 p^{2} T^{20} - 11602397658 p^{3} T^{21} + 114647345 p^{5} T^{22} - 620969333 p^{5} T^{23} + 320274648 p^{6} T^{24} - 21621181 p^{7} T^{25} + 31649589 p^{8} T^{26} + 18282 p^{9} T^{27} + 2173969 p^{10} T^{28} + 75818 p^{11} T^{29} + 8649 p^{13} T^{30} + 6297 p^{13} T^{31} + 4210 p^{14} T^{32} + 250 p^{15} T^{33} + 98 p^{16} T^{34} + 4 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 19 | \( 1 + 30 T + 613 T^{2} + 9328 T^{3} + 118519 T^{4} + 1295162 T^{5} + 12593080 T^{6} + 110549341 T^{7} + 889612918 T^{8} + 6617301111 T^{9} + 45875324298 T^{10} + 297919680698 T^{11} + 1821262153890 T^{12} + 10513859976151 T^{13} + 57486781497956 T^{14} + 298257016155968 T^{15} + 1470895681109265 T^{16} + 6901127118158326 T^{17} + 30827957285013563 T^{18} + 6901127118158326 p T^{19} + 1470895681109265 p^{2} T^{20} + 298257016155968 p^{3} T^{21} + 57486781497956 p^{4} T^{22} + 10513859976151 p^{5} T^{23} + 1821262153890 p^{6} T^{24} + 297919680698 p^{7} T^{25} + 45875324298 p^{8} T^{26} + 6617301111 p^{9} T^{27} + 889612918 p^{10} T^{28} + 110549341 p^{11} T^{29} + 12593080 p^{12} T^{30} + 1295162 p^{13} T^{31} + 118519 p^{14} T^{32} + 9328 p^{15} T^{33} + 613 p^{16} T^{34} + 30 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 23 | \( 1 + 21 T + 399 T^{2} + 5294 T^{3} + 63915 T^{4} + 653182 T^{5} + 269782 p T^{6} + 53085837 T^{7} + 18618686 p T^{8} + 3199234231 T^{9} + 22736118492 T^{10} + 6603144797 p T^{11} + 970521249804 T^{12} + 5879138020655 T^{13} + 34195289160146 T^{14} + 189473534017856 T^{15} + 1010221396939261 T^{16} + 5144533999925194 T^{17} + 25234931256368241 T^{18} + 5144533999925194 p T^{19} + 1010221396939261 p^{2} T^{20} + 189473534017856 p^{3} T^{21} + 34195289160146 p^{4} T^{22} + 5879138020655 p^{5} T^{23} + 970521249804 p^{6} T^{24} + 6603144797 p^{8} T^{25} + 22736118492 p^{8} T^{26} + 3199234231 p^{9} T^{27} + 18618686 p^{11} T^{28} + 53085837 p^{11} T^{29} + 269782 p^{13} T^{30} + 653182 p^{13} T^{31} + 63915 p^{14} T^{32} + 5294 p^{15} T^{33} + 399 p^{16} T^{34} + 21 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 29 | \( 1 + 47 T + 1313 T^{2} + 26430 T^{3} + 425112 T^{4} + 5721994 T^{5} + 66669440 T^{6} + 23671064 p T^{7} + 6354540166 T^{8} + 53545945404 T^{9} + 415469607526 T^{10} + 2996718045254 T^{11} + 20286957428121 T^{12} + 130012385198156 T^{13} + 795771334712276 T^{14} + 4687735112736730 T^{15} + 26769931718718836 T^{16} + 148964538131643953 T^{17} + 810764484495779482 T^{18} + 148964538131643953 p T^{19} + 26769931718718836 p^{2} T^{20} + 4687735112736730 p^{3} T^{21} + 795771334712276 p^{4} T^{22} + 130012385198156 p^{5} T^{23} + 20286957428121 p^{6} T^{24} + 2996718045254 p^{7} T^{25} + 415469607526 p^{8} T^{26} + 53545945404 p^{9} T^{27} + 6354540166 p^{10} T^{28} + 23671064 p^{12} T^{29} + 66669440 p^{12} T^{30} + 5721994 p^{13} T^{31} + 425112 p^{14} T^{32} + 26430 p^{15} T^{33} + 1313 p^{16} T^{34} + 47 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 31 | \( 1 + 18 T + 395 T^{2} + 5537 T^{3} + 75131 T^{4} + 857931 T^{5} + 9199665 T^{6} + 2881135 p T^{7} + 819667467 T^{8} + 6992698011 T^{9} + 56853618133 T^{10} + 14055376605 p T^{11} + 3197795405136 T^{12} + 22314094581645 T^{13} + 149550626955265 T^{14} + 957665897398615 T^{15} + 5902456848639721 T^{16} + 34838474367831399 T^{17} + 198152534832019708 T^{18} + 34838474367831399 p T^{19} + 5902456848639721 p^{2} T^{20} + 957665897398615 p^{3} T^{21} + 149550626955265 p^{4} T^{22} + 22314094581645 p^{5} T^{23} + 3197795405136 p^{6} T^{24} + 14055376605 p^{8} T^{25} + 56853618133 p^{8} T^{26} + 6992698011 p^{9} T^{27} + 819667467 p^{10} T^{28} + 2881135 p^{12} T^{29} + 9199665 p^{12} T^{30} + 857931 p^{13} T^{31} + 75131 p^{14} T^{32} + 5537 p^{15} T^{33} + 395 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 37 | \( 1 - T + 412 T^{2} - 354 T^{3} + 83444 T^{4} - 67883 T^{5} + 11105147 T^{6} - 9208591 T^{7} + 1094209425 T^{8} - 956006262 T^{9} + 85182936825 T^{10} - 78285856202 T^{11} + 5451516217666 T^{12} - 5153362534950 T^{13} + 294042385236328 T^{14} - 277041579062029 T^{15} + 13569080378057165 T^{16} - 12313692550669995 T^{17} + 539978839130965547 T^{18} - 12313692550669995 p T^{19} + 13569080378057165 p^{2} T^{20} - 277041579062029 p^{3} T^{21} + 294042385236328 p^{4} T^{22} - 5153362534950 p^{5} T^{23} + 5451516217666 p^{6} T^{24} - 78285856202 p^{7} T^{25} + 85182936825 p^{8} T^{26} - 956006262 p^{9} T^{27} + 1094209425 p^{10} T^{28} - 9208591 p^{11} T^{29} + 11105147 p^{12} T^{30} - 67883 p^{13} T^{31} + 83444 p^{14} T^{32} - 354 p^{15} T^{33} + 412 p^{16} T^{34} - p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 41 | \( 1 + 18 T + 448 T^{2} + 5983 T^{3} + 89359 T^{4} + 969897 T^{5} + 11107708 T^{6} + 102855327 T^{7} + 989203059 T^{8} + 8062923195 T^{9} + 68334607194 T^{10} + 502708222870 T^{11} + 3881844521818 T^{12} + 26379771465264 T^{13} + 190864206279602 T^{14} + 1225857147599468 T^{15} + 8513820028353411 T^{16} + 52756216822433594 T^{17} + 357325936283022160 T^{18} + 52756216822433594 p T^{19} + 8513820028353411 p^{2} T^{20} + 1225857147599468 p^{3} T^{21} + 190864206279602 p^{4} T^{22} + 26379771465264 p^{5} T^{23} + 3881844521818 p^{6} T^{24} + 502708222870 p^{7} T^{25} + 68334607194 p^{8} T^{26} + 8062923195 p^{9} T^{27} + 989203059 p^{10} T^{28} + 102855327 p^{11} T^{29} + 11107708 p^{12} T^{30} + 969897 p^{13} T^{31} + 89359 p^{14} T^{32} + 5983 p^{15} T^{33} + 448 p^{16} T^{34} + 18 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 43 | \( 1 + 39 T + 1183 T^{2} + 26421 T^{3} + 505467 T^{4} + 8316424 T^{5} + 122655302 T^{6} + 1633709544 T^{7} + 19991129432 T^{8} + 226023061513 T^{9} + 2382134596419 T^{10} + 23495313142778 T^{11} + 217992338769957 T^{12} + 1907475481819399 T^{13} + 15790821650006012 T^{14} + 123862438254265247 T^{15} + 922306024038269159 T^{16} + 6523797732987249839 T^{17} + 43874778897622692696 T^{18} + 6523797732987249839 p T^{19} + 922306024038269159 p^{2} T^{20} + 123862438254265247 p^{3} T^{21} + 15790821650006012 p^{4} T^{22} + 1907475481819399 p^{5} T^{23} + 217992338769957 p^{6} T^{24} + 23495313142778 p^{7} T^{25} + 2382134596419 p^{8} T^{26} + 226023061513 p^{9} T^{27} + 19991129432 p^{10} T^{28} + 1633709544 p^{11} T^{29} + 122655302 p^{12} T^{30} + 8316424 p^{13} T^{31} + 505467 p^{14} T^{32} + 26421 p^{15} T^{33} + 1183 p^{16} T^{34} + 39 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 47 | \( 1 + 462 T^{2} - 280 T^{3} + 106315 T^{4} - 119557 T^{5} + 16392446 T^{6} - 25076987 T^{7} + 1913187274 T^{8} - 3465273660 T^{9} + 180069700066 T^{10} - 355945625134 T^{11} + 14161759331307 T^{12} - 28952630487794 T^{13} + 950120856387563 T^{14} - 1931670701944198 T^{15} + 55045695249395495 T^{16} - 107724675191143418 T^{17} + 2772053073615354805 T^{18} - 107724675191143418 p T^{19} + 55045695249395495 p^{2} T^{20} - 1931670701944198 p^{3} T^{21} + 950120856387563 p^{4} T^{22} - 28952630487794 p^{5} T^{23} + 14161759331307 p^{6} T^{24} - 355945625134 p^{7} T^{25} + 180069700066 p^{8} T^{26} - 3465273660 p^{9} T^{27} + 1913187274 p^{10} T^{28} - 25076987 p^{11} T^{29} + 16392446 p^{12} T^{30} - 119557 p^{13} T^{31} + 106315 p^{14} T^{32} - 280 p^{15} T^{33} + 462 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 53 | \( 1 + 9 T + 539 T^{2} + 3791 T^{3} + 137142 T^{4} + 736084 T^{5} + 420602 p T^{6} + 86968448 T^{7} + 2659984730 T^{8} + 6982771218 T^{9} + 254874594104 T^{10} + 407890373453 T^{11} + 20842966776803 T^{12} + 18727247042940 T^{13} + 1502309104097726 T^{14} + 771732602740687 T^{15} + 96105659181356924 T^{16} + 34132637516256824 T^{17} + 5429441445485800205 T^{18} + 34132637516256824 p T^{19} + 96105659181356924 p^{2} T^{20} + 771732602740687 p^{3} T^{21} + 1502309104097726 p^{4} T^{22} + 18727247042940 p^{5} T^{23} + 20842966776803 p^{6} T^{24} + 407890373453 p^{7} T^{25} + 254874594104 p^{8} T^{26} + 6982771218 p^{9} T^{27} + 2659984730 p^{10} T^{28} + 86968448 p^{11} T^{29} + 420602 p^{13} T^{30} + 736084 p^{13} T^{31} + 137142 p^{14} T^{32} + 3791 p^{15} T^{33} + 539 p^{16} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 59 | \( 1 + 42 T + 1360 T^{2} + 31025 T^{3} + 612208 T^{4} + 10145493 T^{5} + 152736852 T^{6} + 2055827762 T^{7} + 25836509031 T^{8} + 299604939052 T^{9} + 3298991321185 T^{10} + 34132677066868 T^{11} + 338901264367870 T^{12} + 3196245623845163 T^{13} + 29112314717343492 T^{14} + 253410850248199794 T^{15} + 2137331268684060507 T^{16} + 17277688776576138780 T^{17} + \)\(13\!\cdots\!09\)\( T^{18} + 17277688776576138780 p T^{19} + 2137331268684060507 p^{2} T^{20} + 253410850248199794 p^{3} T^{21} + 29112314717343492 p^{4} T^{22} + 3196245623845163 p^{5} T^{23} + 338901264367870 p^{6} T^{24} + 34132677066868 p^{7} T^{25} + 3298991321185 p^{8} T^{26} + 299604939052 p^{9} T^{27} + 25836509031 p^{10} T^{28} + 2055827762 p^{11} T^{29} + 152736852 p^{12} T^{30} + 10145493 p^{13} T^{31} + 612208 p^{14} T^{32} + 31025 p^{15} T^{33} + 1360 p^{16} T^{34} + 42 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 61 | \( 1 + 43 T + 1236 T^{2} + 25823 T^{3} + 454265 T^{4} + 6917604 T^{5} + 96199752 T^{6} + 1232649011 T^{7} + 14874379074 T^{8} + 169027953844 T^{9} + 1829604952738 T^{10} + 18856237695016 T^{11} + 186566959862853 T^{12} + 1770499415004349 T^{13} + 16203255957729501 T^{14} + 142747671198317857 T^{15} + 1215480166445993409 T^{16} + 9983323912115608909 T^{17} + 79357672547095432243 T^{18} + 9983323912115608909 p T^{19} + 1215480166445993409 p^{2} T^{20} + 142747671198317857 p^{3} T^{21} + 16203255957729501 p^{4} T^{22} + 1770499415004349 p^{5} T^{23} + 186566959862853 p^{6} T^{24} + 18856237695016 p^{7} T^{25} + 1829604952738 p^{8} T^{26} + 169027953844 p^{9} T^{27} + 14874379074 p^{10} T^{28} + 1232649011 p^{11} T^{29} + 96199752 p^{12} T^{30} + 6917604 p^{13} T^{31} + 454265 p^{14} T^{32} + 25823 p^{15} T^{33} + 1236 p^{16} T^{34} + 43 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 67 | \( 1 + 620 T^{2} - 694 T^{3} + 195835 T^{4} - 414839 T^{5} + 41966104 T^{6} - 124017117 T^{7} + 6854173238 T^{8} - 24649096438 T^{9} + 906665321488 T^{10} - 3652672065348 T^{11} + 100553749300529 T^{12} - 428309205455551 T^{13} + 9542743300208266 T^{14} - 41079869245922669 T^{15} + 784417051405701689 T^{16} - 3280455697875365096 T^{17} + 56222487252751681224 T^{18} - 3280455697875365096 p T^{19} + 784417051405701689 p^{2} T^{20} - 41079869245922669 p^{3} T^{21} + 9542743300208266 p^{4} T^{22} - 428309205455551 p^{5} T^{23} + 100553749300529 p^{6} T^{24} - 3652672065348 p^{7} T^{25} + 906665321488 p^{8} T^{26} - 24649096438 p^{9} T^{27} + 6854173238 p^{10} T^{28} - 124017117 p^{11} T^{29} + 41966104 p^{12} T^{30} - 414839 p^{13} T^{31} + 195835 p^{14} T^{32} - 694 p^{15} T^{33} + 620 p^{16} T^{34} + p^{18} T^{36} \) | |
| 71 | \( 1 - 9 T + 291 T^{2} - 1590 T^{3} + 50941 T^{4} - 266473 T^{5} + 7865537 T^{6} - 35758854 T^{7} + 969153546 T^{8} - 4041636128 T^{9} + 108417058876 T^{10} - 429588450768 T^{11} + 10657558124541 T^{12} - 542408282364 p T^{13} + 946786285111541 T^{14} - 3333395129584239 T^{15} + 77466044278610343 T^{16} - 254903646300667229 T^{17} + 5700836094854813860 T^{18} - 254903646300667229 p T^{19} + 77466044278610343 p^{2} T^{20} - 3333395129584239 p^{3} T^{21} + 946786285111541 p^{4} T^{22} - 542408282364 p^{6} T^{23} + 10657558124541 p^{6} T^{24} - 429588450768 p^{7} T^{25} + 108417058876 p^{8} T^{26} - 4041636128 p^{9} T^{27} + 969153546 p^{10} T^{28} - 35758854 p^{11} T^{29} + 7865537 p^{12} T^{30} - 266473 p^{13} T^{31} + 50941 p^{14} T^{32} - 1590 p^{15} T^{33} + 291 p^{16} T^{34} - 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 73 | \( 1 - 19 T + 749 T^{2} - 10601 T^{3} + 244073 T^{4} - 2830323 T^{5} + 49093824 T^{6} - 494314534 T^{7} + 7050835601 T^{8} - 63967945732 T^{9} + 774857518306 T^{10} - 6520491473601 T^{11} + 67787832545490 T^{12} - 548291694762135 T^{13} + 4932260733670244 T^{14} - 40370827287664084 T^{15} + 324419015683971685 T^{16} - 2838905010118790909 T^{17} + 22206332169056364108 T^{18} - 2838905010118790909 p T^{19} + 324419015683971685 p^{2} T^{20} - 40370827287664084 p^{3} T^{21} + 4932260733670244 p^{4} T^{22} - 548291694762135 p^{5} T^{23} + 67787832545490 p^{6} T^{24} - 6520491473601 p^{7} T^{25} + 774857518306 p^{8} T^{26} - 63967945732 p^{9} T^{27} + 7050835601 p^{10} T^{28} - 494314534 p^{11} T^{29} + 49093824 p^{12} T^{30} - 2830323 p^{13} T^{31} + 244073 p^{14} T^{32} - 10601 p^{15} T^{33} + 749 p^{16} T^{34} - 19 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 83 | \( 1 + 61 T + 2659 T^{2} + 85042 T^{3} + 2290011 T^{4} + 52717719 T^{5} + 1082078720 T^{6} + 19989335932 T^{7} + 338697934016 T^{8} + 5294435238489 T^{9} + 77142424786147 T^{10} + 1051473457010882 T^{11} + 13490168591220219 T^{12} + 163260992813337951 T^{13} + 1871016380051029068 T^{14} + 20327143595012317476 T^{15} + \)\(20\!\cdots\!15\)\( T^{16} + \)\(20\!\cdots\!46\)\( T^{17} + \)\(19\!\cdots\!94\)\( T^{18} + \)\(20\!\cdots\!46\)\( p T^{19} + \)\(20\!\cdots\!15\)\( p^{2} T^{20} + 20327143595012317476 p^{3} T^{21} + 1871016380051029068 p^{4} T^{22} + 163260992813337951 p^{5} T^{23} + 13490168591220219 p^{6} T^{24} + 1051473457010882 p^{7} T^{25} + 77142424786147 p^{8} T^{26} + 5294435238489 p^{9} T^{27} + 338697934016 p^{10} T^{28} + 19989335932 p^{11} T^{29} + 1082078720 p^{12} T^{30} + 52717719 p^{13} T^{31} + 2290011 p^{14} T^{32} + 85042 p^{15} T^{33} + 2659 p^{16} T^{34} + 61 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 89 | \( 1 - 10 T + 836 T^{2} - 5722 T^{3} + 323153 T^{4} - 1317081 T^{5} + 79815303 T^{6} - 119637155 T^{7} + 14743271160 T^{8} + 12653680757 T^{9} + 2244215899085 T^{10} + 6303048874800 T^{11} + 297230779694685 T^{12} + 1238330185305012 T^{13} + 35028745646944059 T^{14} + 171155973199386036 T^{15} + 3692138215615098409 T^{16} + 18646992610590805947 T^{17} + \)\(34\!\cdots\!22\)\( T^{18} + 18646992610590805947 p T^{19} + 3692138215615098409 p^{2} T^{20} + 171155973199386036 p^{3} T^{21} + 35028745646944059 p^{4} T^{22} + 1238330185305012 p^{5} T^{23} + 297230779694685 p^{6} T^{24} + 6303048874800 p^{7} T^{25} + 2244215899085 p^{8} T^{26} + 12653680757 p^{9} T^{27} + 14743271160 p^{10} T^{28} - 119637155 p^{11} T^{29} + 79815303 p^{12} T^{30} - 1317081 p^{13} T^{31} + 323153 p^{14} T^{32} - 5722 p^{15} T^{33} + 836 p^{16} T^{34} - 10 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| 97 | \( 1 + 9 T + 1028 T^{2} + 8118 T^{3} + 518160 T^{4} + 3592116 T^{5} + 172002077 T^{6} + 1049394365 T^{7} + 42525205864 T^{8} + 229573122687 T^{9} + 8373979285693 T^{10} + 40339892166513 T^{11} + 1367347895433451 T^{12} + 5941223599913869 T^{13} + 189747033224810021 T^{14} + 752519037609646140 T^{15} + 22704059575290630160 T^{16} + 83151135478609032095 T^{17} + \)\(23\!\cdots\!88\)\( T^{18} + 83151135478609032095 p T^{19} + 22704059575290630160 p^{2} T^{20} + 752519037609646140 p^{3} T^{21} + 189747033224810021 p^{4} T^{22} + 5941223599913869 p^{5} T^{23} + 1367347895433451 p^{6} T^{24} + 40339892166513 p^{7} T^{25} + 8373979285693 p^{8} T^{26} + 229573122687 p^{9} T^{27} + 42525205864 p^{10} T^{28} + 1049394365 p^{11} T^{29} + 172002077 p^{12} T^{30} + 3592116 p^{13} T^{31} + 518160 p^{14} T^{32} + 8118 p^{15} T^{33} + 1028 p^{16} T^{34} + 9 p^{17} T^{35} + p^{18} T^{36} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{36} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.29595068365627400475896948096, −2.29111622975625324195021113951, −2.29098223124869524952549447627, −2.27253959799165872193181171201, −2.21246062367511695683354803169, −2.18223215786487754769637094327, −2.12554711210968698813220049734, −1.94745232369497896109122384087, −1.94655287168196823238305832513, −1.89533896563017965080689809975, −1.87667711147293184644968395145, −1.82611447778146009719357010658, −1.60319232788563809903809381697, −1.57143849246543699240768812523, −1.56781329609723102400711326268, −1.49435936607259625376108300103, −1.47911761254882172878859092496, −1.35033543669048339264692357413, −1.35020668113318652333428413764, −1.34919403430304579290362026022, −1.31848414625060974512293590777, −1.30331074567632905340387884302, −1.20278297213740556529666081362, −1.15677276347120226328498314200, −0.889809882043389140422425145954, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.889809882043389140422425145954, 1.15677276347120226328498314200, 1.20278297213740556529666081362, 1.30331074567632905340387884302, 1.31848414625060974512293590777, 1.34919403430304579290362026022, 1.35020668113318652333428413764, 1.35033543669048339264692357413, 1.47911761254882172878859092496, 1.49435936607259625376108300103, 1.56781329609723102400711326268, 1.57143849246543699240768812523, 1.60319232788563809903809381697, 1.82611447778146009719357010658, 1.87667711147293184644968395145, 1.89533896563017965080689809975, 1.94655287168196823238305832513, 1.94745232369497896109122384087, 2.12554711210968698813220049734, 2.18223215786487754769637094327, 2.21246062367511695683354803169, 2.27253959799165872193181171201, 2.29098223124869524952549447627, 2.29111622975625324195021113951, 2.29595068365627400475896948096
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.