Properties

Degree 74
Conductor $ 5^{37} \cdot 11^{37} \cdot 73^{37} $
Sign $1$
Motivic weight 1
Primitive no
Self-dual yes
Analytic rank 0

Origins

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Normalization:  

Dirichlet series

L(s)  = 1  + 5·2-s + 3·3-s − 3·4-s + 37·5-s + 15·6-s + 6·7-s − 56·8-s − 26·9-s + 185·10-s + 37·11-s − 9·12-s + 11·13-s + 30·14-s + 111·15-s − 55·16-s + 38·17-s − 130·18-s + 34·19-s − 111·20-s + 18·21-s + 185·22-s + 4·23-s − 168·24-s + 703·25-s + 55·26-s − 89·27-s − 18·28-s + ⋯
L(s)  = 1  + 3.53·2-s + 1.73·3-s − 3/2·4-s + 16.5·5-s + 6.12·6-s + 2.26·7-s − 19.7·8-s − 8.66·9-s + 58.5·10-s + 11.1·11-s − 2.59·12-s + 3.05·13-s + 8.01·14-s + 28.6·15-s − 13.7·16-s + 9.21·17-s − 30.6·18-s + 7.80·19-s − 24.8·20-s + 3.92·21-s + 39.4·22-s + 0.834·23-s − 34.2·24-s + 140.·25-s + 10.7·26-s − 17.1·27-s − 3.40·28-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{37} \cdot 11^{37} \cdot 73^{37}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{37} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(5^{37} \cdot 11^{37} \cdot 73^{37}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{37} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned} \]

Invariants

\( d \)  =  \(74\)
\( N \)  =  \(5^{37} \cdot 11^{37} \cdot 73^{37}\)
\( \varepsilon \)  =  $1$
motivic weight  =  \(1\)
character  :  induced by $\chi_{4015} (1, \cdot )$
primitive  :  no
self-dual  :  yes
analytic rank  =  0
Selberg data  =  $(74,\ 5^{37} \cdot 11^{37} \cdot 73^{37} ,\ ( \ : [1/2]^{37} ),\ 1 )$
$L(1)$  $\approx$  $4.593545883e9$
$L(\frac12)$  $\approx$  $4.593545883e9$
$L(\frac{3}{2})$   not available
$L(1)$   not available

Euler product

\[L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1} \] where, for $p \notin \{5,\;11,\;73\}$, \(F_p\) is a polynomial of degree 74. If $p \in \{5,\;11,\;73\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 73.
$p$$F_p$
bad5 \( ( 1 - T )^{37} \)
11 \( ( 1 - T )^{37} \)
73 \( ( 1 - T )^{37} \)
good2 \( 1 - 5 T + 7 p^{2} T^{2} - 99 T^{3} + 177 p T^{4} - 255 p^{2} T^{5} + 2917 T^{6} - 3661 p T^{7} + 71 p^{8} T^{8} - 41253 T^{9} + 92595 T^{10} - 12153 p^{4} T^{11} + 404299 T^{12} - 398975 p T^{13} + 1561725 T^{14} - 2929971 T^{15} + 5459319 T^{16} - 4909225 p T^{17} + 17560145 T^{18} - 30465341 T^{19} + 6576943 p^{3} T^{20} - 22117751 p^{2} T^{21} + 37051393 p^{2} T^{22} - 60593763 p^{2} T^{23} + 197573381 p T^{24} - 630209337 T^{25} + 501245907 p T^{26} - 390630467 p^{2} T^{27} + 607536233 p^{2} T^{28} - 3707887665 T^{29} + 1411835319 p^{2} T^{30} - 8446167681 T^{31} + 12613262623 T^{32} - 9254609097 p T^{33} + 13563211339 p T^{34} - 9770551995 p^{2} T^{35} + 7030285297 p^{3} T^{36} - 4973941477 p^{4} T^{37} + 7030285297 p^{4} T^{38} - 9770551995 p^{4} T^{39} + 13563211339 p^{4} T^{40} - 9254609097 p^{5} T^{41} + 12613262623 p^{5} T^{42} - 8446167681 p^{6} T^{43} + 1411835319 p^{9} T^{44} - 3707887665 p^{8} T^{45} + 607536233 p^{11} T^{46} - 390630467 p^{12} T^{47} + 501245907 p^{12} T^{48} - 630209337 p^{12} T^{49} + 197573381 p^{14} T^{50} - 60593763 p^{16} T^{51} + 37051393 p^{17} T^{52} - 22117751 p^{18} T^{53} + 6576943 p^{20} T^{54} - 30465341 p^{18} T^{55} + 17560145 p^{19} T^{56} - 4909225 p^{21} T^{57} + 5459319 p^{21} T^{58} - 2929971 p^{22} T^{59} + 1561725 p^{23} T^{60} - 398975 p^{25} T^{61} + 404299 p^{25} T^{62} - 12153 p^{30} T^{63} + 92595 p^{27} T^{64} - 41253 p^{28} T^{65} + 71 p^{37} T^{66} - 3661 p^{31} T^{67} + 2917 p^{31} T^{68} - 255 p^{34} T^{69} + 177 p^{34} T^{70} - 99 p^{34} T^{71} + 7 p^{37} T^{72} - 5 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
3 \( 1 - p T + 35 T^{2} - 94 T^{3} + 622 T^{4} - 1526 T^{5} + 31 p^{5} T^{6} - 5705 p T^{7} + 70166 T^{8} - 149174 T^{9} + 179218 p T^{10} - 359624 p T^{11} + 3540952 T^{12} - 27806 p^{5} T^{13} + 20675600 T^{14} - 37768418 T^{15} + 36502795 p T^{16} - 64202323 p T^{17} + 6605725 p^{4} T^{18} - 910438532 T^{19} + 2441156875 T^{20} - 4033293683 T^{21} + 10488175822 T^{22} - 16871598314 T^{23} + 42684850004 T^{24} - 66983676857 T^{25} + 55083258226 p T^{26} - 84446845615 p T^{27} + 203493039367 p T^{28} - 305121323050 p T^{29} + 719129295265 p T^{30} - 3166637500475 T^{31} + 270624201703 p^{3} T^{32} - 1167339924367 p^{2} T^{33} + 7916685269429 p T^{34} - 11155458371197 p T^{35} + 24716223597658 p T^{36} - 102419532848570 T^{37} + 24716223597658 p^{2} T^{38} - 11155458371197 p^{3} T^{39} + 7916685269429 p^{4} T^{40} - 1167339924367 p^{6} T^{41} + 270624201703 p^{8} T^{42} - 3166637500475 p^{6} T^{43} + 719129295265 p^{8} T^{44} - 305121323050 p^{9} T^{45} + 203493039367 p^{10} T^{46} - 84446845615 p^{11} T^{47} + 55083258226 p^{12} T^{48} - 66983676857 p^{12} T^{49} + 42684850004 p^{13} T^{50} - 16871598314 p^{14} T^{51} + 10488175822 p^{15} T^{52} - 4033293683 p^{16} T^{53} + 2441156875 p^{17} T^{54} - 910438532 p^{18} T^{55} + 6605725 p^{23} T^{56} - 64202323 p^{21} T^{57} + 36502795 p^{22} T^{58} - 37768418 p^{22} T^{59} + 20675600 p^{23} T^{60} - 27806 p^{29} T^{61} + 3540952 p^{25} T^{62} - 359624 p^{27} T^{63} + 179218 p^{28} T^{64} - 149174 p^{28} T^{65} + 70166 p^{29} T^{66} - 5705 p^{31} T^{67} + 31 p^{36} T^{68} - 1526 p^{32} T^{69} + 622 p^{33} T^{70} - 94 p^{34} T^{71} + 35 p^{35} T^{72} - p^{37} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
7 \( 1 - 6 T + 118 T^{2} - 592 T^{3} + 6743 T^{4} - 29443 T^{5} + 252622 T^{6} - 982222 T^{7} + 143384 p^{2} T^{8} - 3522192 p T^{9} + 155138770 T^{10} - 495183247 T^{11} + 2836098332 T^{12} - 8264375716 T^{13} + 44174271977 T^{14} - 117596134461 T^{15} + 598944276354 T^{16} - 1454173789004 T^{17} + 7194943341108 T^{18} - 15880384820894 T^{19} + 77816860429645 T^{20} - 155604567919099 T^{21} + 110008064472748 p T^{22} - 1393322578624803 T^{23} + 7091001194309475 T^{24} - 11661799858985051 T^{25} + 61803902600767710 T^{26} - 93634851530842488 T^{27} + 73917292358887828 p T^{28} - 738108864530385378 T^{29} + 4199169077871462497 T^{30} - 5774580083456353654 T^{31} + 33090655917894105814 T^{32} - 44580221222706442023 T^{33} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( T^{34} - \)\(33\!\cdots\!39\)\( T^{35} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( T^{36} - \)\(23\!\cdots\!28\)\( T^{37} + \)\(18\!\cdots\!46\)\( p T^{38} - \)\(33\!\cdots\!39\)\( p^{2} T^{39} + \)\(25\!\cdots\!12\)\( p^{3} T^{40} - 44580221222706442023 p^{4} T^{41} + 33090655917894105814 p^{5} T^{42} - 5774580083456353654 p^{6} T^{43} + 4199169077871462497 p^{7} T^{44} - 738108864530385378 p^{8} T^{45} + 73917292358887828 p^{10} T^{46} - 93634851530842488 p^{10} T^{47} + 61803902600767710 p^{11} T^{48} - 11661799858985051 p^{12} T^{49} + 7091001194309475 p^{13} T^{50} - 1393322578624803 p^{14} T^{51} + 110008064472748 p^{16} T^{52} - 155604567919099 p^{16} T^{53} + 77816860429645 p^{17} T^{54} - 15880384820894 p^{18} T^{55} + 7194943341108 p^{19} T^{56} - 1454173789004 p^{20} T^{57} + 598944276354 p^{21} T^{58} - 117596134461 p^{22} T^{59} + 44174271977 p^{23} T^{60} - 8264375716 p^{24} T^{61} + 2836098332 p^{25} T^{62} - 495183247 p^{26} T^{63} + 155138770 p^{27} T^{64} - 3522192 p^{29} T^{65} + 143384 p^{31} T^{66} - 982222 p^{30} T^{67} + 252622 p^{31} T^{68} - 29443 p^{32} T^{69} + 6743 p^{33} T^{70} - 592 p^{34} T^{71} + 118 p^{35} T^{72} - 6 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
13 \( 1 - 11 T + 281 T^{2} - 2559 T^{3} + 37464 T^{4} - 294672 T^{5} + 3216659 T^{6} - 22489068 T^{7} + 202539174 T^{8} - 1285112758 T^{9} + 10065275209 T^{10} - 58870216594 T^{11} + 413952060333 T^{12} - 2258582820563 T^{13} + 14560083903371 T^{14} - 74792533215669 T^{15} + 448524873226242 T^{16} - 2184654362846685 T^{17} + 12316175985374539 T^{18} - 57198442373434142 T^{19} + 305512952372224334 T^{20} - 104519165506325852 p T^{21} + 532062817560352440 p T^{22} - 29559961689731414306 T^{23} + \)\(14\!\cdots\!97\)\( T^{24} - \)\(59\!\cdots\!85\)\( T^{25} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{26} - \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{27} + \)\(49\!\cdots\!26\)\( T^{28} - \)\(19\!\cdots\!39\)\( T^{29} + \)\(83\!\cdots\!80\)\( T^{30} - \)\(31\!\cdots\!24\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( T^{32} - \)\(47\!\cdots\!33\)\( T^{33} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( T^{34} - \)\(67\!\cdots\!99\)\( T^{35} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( T^{36} - \)\(90\!\cdots\!64\)\( T^{37} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( p T^{38} - \)\(67\!\cdots\!99\)\( p^{2} T^{39} + \)\(19\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{40} - \)\(47\!\cdots\!33\)\( p^{4} T^{41} + \)\(13\!\cdots\!08\)\( p^{5} T^{42} - \)\(31\!\cdots\!24\)\( p^{6} T^{43} + \)\(83\!\cdots\!80\)\( p^{7} T^{44} - \)\(19\!\cdots\!39\)\( p^{8} T^{45} + \)\(49\!\cdots\!26\)\( p^{9} T^{46} - \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{10} T^{47} + \)\(27\!\cdots\!07\)\( p^{11} T^{48} - \)\(59\!\cdots\!85\)\( p^{12} T^{49} + \)\(14\!\cdots\!97\)\( p^{13} T^{50} - 29559961689731414306 p^{14} T^{51} + 532062817560352440 p^{16} T^{52} - 104519165506325852 p^{17} T^{53} + 305512952372224334 p^{17} T^{54} - 57198442373434142 p^{18} T^{55} + 12316175985374539 p^{19} T^{56} - 2184654362846685 p^{20} T^{57} + 448524873226242 p^{21} T^{58} - 74792533215669 p^{22} T^{59} + 14560083903371 p^{23} T^{60} - 2258582820563 p^{24} T^{61} + 413952060333 p^{25} T^{62} - 58870216594 p^{26} T^{63} + 10065275209 p^{27} T^{64} - 1285112758 p^{28} T^{65} + 202539174 p^{29} T^{66} - 22489068 p^{30} T^{67} + 3216659 p^{31} T^{68} - 294672 p^{32} T^{69} + 37464 p^{33} T^{70} - 2559 p^{34} T^{71} + 281 p^{35} T^{72} - 11 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
17 \( 1 - 38 T + 1001 T^{2} - 19679 T^{3} + 324756 T^{4} - 4627356 T^{5} + 58931335 T^{6} - 680959714 T^{7} + 7251722126 T^{8} - 71824843797 T^{9} + 667461458400 T^{10} - 5854894882241 T^{11} + 48749930089441 T^{12} - 386926278089633 T^{13} + 172862258975383 p T^{14} - 1260171866569021 p T^{15} + 150323626216866332 T^{16} - 1017667288673934842 T^{17} + 6660774627152806202 T^{18} - 42224360192857224552 T^{19} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( T^{20} - \)\(15\!\cdots\!08\)\( T^{21} + \)\(90\!\cdots\!04\)\( T^{22} - \)\(51\!\cdots\!52\)\( T^{23} + \)\(28\!\cdots\!95\)\( T^{24} - \)\(15\!\cdots\!84\)\( T^{25} + \)\(79\!\cdots\!61\)\( T^{26} - \)\(40\!\cdots\!78\)\( T^{27} + \)\(20\!\cdots\!93\)\( T^{28} - \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{29} + \)\(48\!\cdots\!82\)\( T^{30} - \)\(22\!\cdots\!98\)\( T^{31} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( T^{32} - \)\(47\!\cdots\!65\)\( T^{33} + \)\(20\!\cdots\!10\)\( T^{34} - \)\(90\!\cdots\!17\)\( T^{35} + \)\(38\!\cdots\!49\)\( T^{36} - \)\(16\!\cdots\!60\)\( T^{37} + \)\(38\!\cdots\!49\)\( p T^{38} - \)\(90\!\cdots\!17\)\( p^{2} T^{39} + \)\(20\!\cdots\!10\)\( p^{3} T^{40} - \)\(47\!\cdots\!65\)\( p^{4} T^{41} + \)\(10\!\cdots\!58\)\( p^{5} T^{42} - \)\(22\!\cdots\!98\)\( p^{6} T^{43} + \)\(48\!\cdots\!82\)\( p^{7} T^{44} - \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{8} T^{45} + \)\(20\!\cdots\!93\)\( p^{9} T^{46} - \)\(40\!\cdots\!78\)\( p^{10} T^{47} + \)\(79\!\cdots\!61\)\( p^{11} T^{48} - \)\(15\!\cdots\!84\)\( p^{12} T^{49} + \)\(28\!\cdots\!95\)\( p^{13} T^{50} - \)\(51\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{51} + \)\(90\!\cdots\!04\)\( p^{15} T^{52} - \)\(15\!\cdots\!08\)\( p^{16} T^{53} + \)\(25\!\cdots\!31\)\( p^{17} T^{54} - 42224360192857224552 p^{18} T^{55} + 6660774627152806202 p^{19} T^{56} - 1017667288673934842 p^{20} T^{57} + 150323626216866332 p^{21} T^{58} - 1260171866569021 p^{23} T^{59} + 172862258975383 p^{24} T^{60} - 386926278089633 p^{24} T^{61} + 48749930089441 p^{25} T^{62} - 5854894882241 p^{26} T^{63} + 667461458400 p^{27} T^{64} - 71824843797 p^{28} T^{65} + 7251722126 p^{29} T^{66} - 680959714 p^{30} T^{67} + 58931335 p^{31} T^{68} - 4627356 p^{32} T^{69} + 324756 p^{33} T^{70} - 19679 p^{34} T^{71} + 1001 p^{35} T^{72} - 38 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
19 \( 1 - 34 T + 910 T^{2} - 17690 T^{3} + 298911 T^{4} - 4337906 T^{5} + 57162994 T^{6} - 683702364 T^{7} + 7605041136 T^{8} - 4148691871 p T^{9} + 771076711987 T^{10} - 7134624659848 T^{11} + 62914834631689 T^{12} - 529808560700892 T^{13} + 4281161885202045 T^{14} - 33252092853286779 T^{15} + 249066365749363400 T^{16} - 1801593850785372066 T^{17} + 12614163879905397284 T^{18} - 85588247504823921349 T^{19} + \)\(56\!\cdots\!51\)\( T^{20} - \)\(36\!\cdots\!67\)\( T^{21} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( T^{22} - \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{23} + \)\(80\!\cdots\!86\)\( T^{24} - \)\(46\!\cdots\!54\)\( T^{25} + \)\(26\!\cdots\!94\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!14\)\( T^{27} + \)\(76\!\cdots\!65\)\( T^{28} - \)\(40\!\cdots\!28\)\( T^{29} + \)\(20\!\cdots\!29\)\( T^{30} - \)\(10\!\cdots\!79\)\( T^{31} + \)\(50\!\cdots\!12\)\( T^{32} - \)\(24\!\cdots\!77\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( T^{34} - \)\(27\!\cdots\!33\)\( p T^{35} + \)\(23\!\cdots\!27\)\( T^{36} - \)\(10\!\cdots\!10\)\( T^{37} + \)\(23\!\cdots\!27\)\( p T^{38} - \)\(27\!\cdots\!33\)\( p^{3} T^{39} + \)\(11\!\cdots\!96\)\( p^{3} T^{40} - \)\(24\!\cdots\!77\)\( p^{4} T^{41} + \)\(50\!\cdots\!12\)\( p^{5} T^{42} - \)\(10\!\cdots\!79\)\( p^{6} T^{43} + \)\(20\!\cdots\!29\)\( p^{7} T^{44} - \)\(40\!\cdots\!28\)\( p^{8} T^{45} + \)\(76\!\cdots\!65\)\( p^{9} T^{46} - \)\(14\!\cdots\!14\)\( p^{10} T^{47} + \)\(26\!\cdots\!94\)\( p^{11} T^{48} - \)\(46\!\cdots\!54\)\( p^{12} T^{49} + \)\(80\!\cdots\!86\)\( p^{13} T^{50} - \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{14} T^{51} + \)\(22\!\cdots\!63\)\( p^{15} T^{52} - \)\(36\!\cdots\!67\)\( p^{16} T^{53} + \)\(56\!\cdots\!51\)\( p^{17} T^{54} - 85588247504823921349 p^{18} T^{55} + 12614163879905397284 p^{19} T^{56} - 1801593850785372066 p^{20} T^{57} + 249066365749363400 p^{21} T^{58} - 33252092853286779 p^{22} T^{59} + 4281161885202045 p^{23} T^{60} - 529808560700892 p^{24} T^{61} + 62914834631689 p^{25} T^{62} - 7134624659848 p^{26} T^{63} + 771076711987 p^{27} T^{64} - 4148691871 p^{29} T^{65} + 7605041136 p^{29} T^{66} - 683702364 p^{30} T^{67} + 57162994 p^{31} T^{68} - 4337906 p^{32} T^{69} + 298911 p^{33} T^{70} - 17690 p^{34} T^{71} + 910 p^{35} T^{72} - 34 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
23 \( 1 - 4 T + 417 T^{2} - 1517 T^{3} + 87605 T^{4} - 291360 T^{5} + 12363286 T^{6} - 37683818 T^{7} + 1317799514 T^{8} - 3681575519 T^{9} + 113060352599 T^{10} - 288903450256 T^{11} + 8124465056492 T^{12} - 18908495217474 T^{13} + 502437530052577 T^{14} - 1058197153787684 T^{15} + 27271171091085067 T^{16} - 51522699077916532 T^{17} + 1318661285879464800 T^{18} - 2209754956773436801 T^{19} + 57474465118364939040 T^{20} - 84250781092006302513 T^{21} + \)\(22\!\cdots\!62\)\( T^{22} - \)\(28\!\cdots\!45\)\( T^{23} + \)\(82\!\cdots\!82\)\( T^{24} - \)\(38\!\cdots\!04\)\( p T^{25} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p T^{26} - \)\(24\!\cdots\!06\)\( T^{27} + \)\(87\!\cdots\!89\)\( T^{28} - \)\(62\!\cdots\!47\)\( T^{29} + \)\(25\!\cdots\!51\)\( T^{30} - \)\(14\!\cdots\!58\)\( T^{31} + \)\(69\!\cdots\!39\)\( T^{32} - \)\(33\!\cdots\!35\)\( T^{33} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( T^{34} - \)\(73\!\cdots\!55\)\( T^{35} + \)\(43\!\cdots\!16\)\( T^{36} - \)\(16\!\cdots\!44\)\( T^{37} + \)\(43\!\cdots\!16\)\( p T^{38} - \)\(73\!\cdots\!55\)\( p^{2} T^{39} + \)\(17\!\cdots\!33\)\( p^{3} T^{40} - \)\(33\!\cdots\!35\)\( p^{4} T^{41} + \)\(69\!\cdots\!39\)\( p^{5} T^{42} - \)\(14\!\cdots\!58\)\( p^{6} T^{43} + \)\(25\!\cdots\!51\)\( p^{7} T^{44} - \)\(62\!\cdots\!47\)\( p^{8} T^{45} + \)\(87\!\cdots\!89\)\( p^{9} T^{46} - \)\(24\!\cdots\!06\)\( p^{10} T^{47} + \)\(12\!\cdots\!04\)\( p^{12} T^{48} - \)\(38\!\cdots\!04\)\( p^{13} T^{49} + \)\(82\!\cdots\!82\)\( p^{13} T^{50} - \)\(28\!\cdots\!45\)\( p^{14} T^{51} + \)\(22\!\cdots\!62\)\( p^{15} T^{52} - 84250781092006302513 p^{16} T^{53} + 57474465118364939040 p^{17} T^{54} - 2209754956773436801 p^{18} T^{55} + 1318661285879464800 p^{19} T^{56} - 51522699077916532 p^{20} T^{57} + 27271171091085067 p^{21} T^{58} - 1058197153787684 p^{22} T^{59} + 502437530052577 p^{23} T^{60} - 18908495217474 p^{24} T^{61} + 8124465056492 p^{25} T^{62} - 288903450256 p^{26} T^{63} + 113060352599 p^{27} T^{64} - 3681575519 p^{28} T^{65} + 1317799514 p^{29} T^{66} - 37683818 p^{30} T^{67} + 12363286 p^{31} T^{68} - 291360 p^{32} T^{69} + 87605 p^{33} T^{70} - 1517 p^{34} T^{71} + 417 p^{35} T^{72} - 4 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
29 \( 1 - 2 p T + 2183 T^{2} - 61268 T^{3} + 1423162 T^{4} - 28441306 T^{5} + 504905661 T^{6} - 8106727537 T^{7} + 119503727766 T^{8} - 1633987438977 T^{9} + 20902460868805 T^{10} - 251793492095318 T^{11} + 2872149177964270 T^{12} - 31161070875676654 T^{13} + 322801712461013242 T^{14} - 3203059496985887500 T^{15} + 30529473146514645043 T^{16} - \)\(28\!\cdots\!53\)\( T^{17} + \)\(24\!\cdots\!14\)\( T^{18} - \)\(21\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( T^{21} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( T^{22} - \)\(83\!\cdots\!77\)\( T^{23} + \)\(61\!\cdots\!45\)\( T^{24} - \)\(44\!\cdots\!28\)\( T^{25} + \)\(31\!\cdots\!47\)\( T^{26} - \)\(21\!\cdots\!22\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( T^{28} - \)\(92\!\cdots\!59\)\( T^{29} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( T^{30} - \)\(36\!\cdots\!39\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!09\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!26\)\( T^{33} + \)\(76\!\cdots\!49\)\( T^{34} - \)\(43\!\cdots\!74\)\( T^{35} + \)\(24\!\cdots\!31\)\( T^{36} - \)\(13\!\cdots\!56\)\( T^{37} + \)\(24\!\cdots\!31\)\( p T^{38} - \)\(43\!\cdots\!74\)\( p^{2} T^{39} + \)\(76\!\cdots\!49\)\( p^{3} T^{40} - \)\(13\!\cdots\!26\)\( p^{4} T^{41} + \)\(22\!\cdots\!09\)\( p^{5} T^{42} - \)\(36\!\cdots\!39\)\( p^{6} T^{43} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( p^{7} T^{44} - \)\(92\!\cdots\!59\)\( p^{8} T^{45} + \)\(14\!\cdots\!26\)\( p^{9} T^{46} - \)\(21\!\cdots\!22\)\( p^{10} T^{47} + \)\(31\!\cdots\!47\)\( p^{11} T^{48} - \)\(44\!\cdots\!28\)\( p^{12} T^{49} + \)\(61\!\cdots\!45\)\( p^{13} T^{50} - \)\(83\!\cdots\!77\)\( p^{14} T^{51} + \)\(11\!\cdots\!98\)\( p^{15} T^{52} - \)\(14\!\cdots\!60\)\( p^{16} T^{53} + \)\(17\!\cdots\!60\)\( p^{17} T^{54} - \)\(21\!\cdots\!96\)\( p^{18} T^{55} + \)\(24\!\cdots\!14\)\( p^{19} T^{56} - \)\(28\!\cdots\!53\)\( p^{20} T^{57} + 30529473146514645043 p^{21} T^{58} - 3203059496985887500 p^{22} T^{59} + 322801712461013242 p^{23} T^{60} - 31161070875676654 p^{24} T^{61} + 2872149177964270 p^{25} T^{62} - 251793492095318 p^{26} T^{63} + 20902460868805 p^{27} T^{64} - 1633987438977 p^{28} T^{65} + 119503727766 p^{29} T^{66} - 8106727537 p^{30} T^{67} + 504905661 p^{31} T^{68} - 28441306 p^{32} T^{69} + 1423162 p^{33} T^{70} - 61268 p^{34} T^{71} + 2183 p^{35} T^{72} - 2 p^{37} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
31 \( 1 - 8 T + 609 T^{2} - 4539 T^{3} + 184331 T^{4} - 1297651 T^{5} + 37109719 T^{6} - 249681701 T^{7} + 5604175250 T^{8} - 36402820661 T^{9} + 678194947613 T^{10} - 4289571993919 T^{11} + 68562149473639 T^{12} - 425266223068313 T^{13} + 5957239543917211 T^{14} - 36443181225904593 T^{15} + 454084189466302971 T^{16} - 2751665155485526260 T^{17} + 30833722965496934101 T^{18} - \)\(18\!\cdots\!37\)\( T^{19} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( T^{20} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!78\)\( T^{22} - \)\(62\!\cdots\!24\)\( T^{23} + \)\(53\!\cdots\!65\)\( T^{24} - \)\(31\!\cdots\!28\)\( T^{25} + \)\(25\!\cdots\!77\)\( T^{26} - \)\(14\!\cdots\!68\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( T^{28} - \)\(64\!\cdots\!79\)\( T^{29} + \)\(44\!\cdots\!65\)\( T^{30} - \)\(25\!\cdots\!40\)\( T^{31} + \)\(16\!\cdots\!94\)\( T^{32} - \)\(95\!\cdots\!79\)\( T^{33} + \)\(59\!\cdots\!65\)\( T^{34} - \)\(33\!\cdots\!71\)\( T^{35} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( T^{36} - \)\(10\!\cdots\!42\)\( T^{37} + \)\(19\!\cdots\!22\)\( p T^{38} - \)\(33\!\cdots\!71\)\( p^{2} T^{39} + \)\(59\!\cdots\!65\)\( p^{3} T^{40} - \)\(95\!\cdots\!79\)\( p^{4} T^{41} + \)\(16\!\cdots\!94\)\( p^{5} T^{42} - \)\(25\!\cdots\!40\)\( p^{6} T^{43} + \)\(44\!\cdots\!65\)\( p^{7} T^{44} - \)\(64\!\cdots\!79\)\( p^{8} T^{45} + \)\(11\!\cdots\!61\)\( p^{9} T^{46} - \)\(14\!\cdots\!68\)\( p^{10} T^{47} + \)\(25\!\cdots\!77\)\( p^{11} T^{48} - \)\(31\!\cdots\!28\)\( p^{12} T^{49} + \)\(53\!\cdots\!65\)\( p^{13} T^{50} - \)\(62\!\cdots\!24\)\( p^{14} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!78\)\( p^{15} T^{52} - \)\(11\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{53} + \)\(18\!\cdots\!64\)\( p^{17} T^{54} - \)\(18\!\cdots\!37\)\( p^{18} T^{55} + 30833722965496934101 p^{19} T^{56} - 2751665155485526260 p^{20} T^{57} + 454084189466302971 p^{21} T^{58} - 36443181225904593 p^{22} T^{59} + 5957239543917211 p^{23} T^{60} - 425266223068313 p^{24} T^{61} + 68562149473639 p^{25} T^{62} - 4289571993919 p^{26} T^{63} + 678194947613 p^{27} T^{64} - 36402820661 p^{28} T^{65} + 5604175250 p^{29} T^{66} - 249681701 p^{30} T^{67} + 37109719 p^{31} T^{68} - 1297651 p^{32} T^{69} + 184331 p^{33} T^{70} - 4539 p^{34} T^{71} + 609 p^{35} T^{72} - 8 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
37 \( 1 - 2 T + 737 T^{2} - 1659 T^{3} + 270230 T^{4} - 668309 T^{5} + 65789268 T^{6} - 175462293 T^{7} + 11974905719 T^{8} - 33942771741 T^{9} + 1739686666274 T^{10} - 5180479464072 T^{11} + 210283664836267 T^{12} - 651802654154043 T^{13} + 21766825467024037 T^{14} - 69706477899150110 T^{15} + 1970734843693426529 T^{16} - 6480211856491786024 T^{17} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( T^{18} - \)\(53\!\cdots\!65\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( T^{20} - \)\(39\!\cdots\!85\)\( T^{21} + \)\(75\!\cdots\!22\)\( T^{22} - \)\(26\!\cdots\!81\)\( T^{23} + \)\(45\!\cdots\!03\)\( T^{24} - \)\(15\!\cdots\!09\)\( T^{25} + \)\(25\!\cdots\!72\)\( T^{26} - \)\(88\!\cdots\!57\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( T^{28} - \)\(45\!\cdots\!15\)\( T^{29} + \)\(63\!\cdots\!23\)\( T^{30} - \)\(21\!\cdots\!76\)\( T^{31} + \)\(28\!\cdots\!86\)\( T^{32} - \)\(96\!\cdots\!30\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!37\)\( T^{34} - \)\(39\!\cdots\!59\)\( T^{35} + \)\(47\!\cdots\!91\)\( T^{36} - \)\(41\!\cdots\!64\)\( p T^{37} + \)\(47\!\cdots\!91\)\( p T^{38} - \)\(39\!\cdots\!59\)\( p^{2} T^{39} + \)\(11\!\cdots\!37\)\( p^{3} T^{40} - \)\(96\!\cdots\!30\)\( p^{4} T^{41} + \)\(28\!\cdots\!86\)\( p^{5} T^{42} - \)\(21\!\cdots\!76\)\( p^{6} T^{43} + \)\(63\!\cdots\!23\)\( p^{7} T^{44} - \)\(45\!\cdots\!15\)\( p^{8} T^{45} + \)\(13\!\cdots\!99\)\( p^{9} T^{46} - \)\(88\!\cdots\!57\)\( p^{10} T^{47} + \)\(25\!\cdots\!72\)\( p^{11} T^{48} - \)\(15\!\cdots\!09\)\( p^{12} T^{49} + \)\(45\!\cdots\!03\)\( p^{13} T^{50} - \)\(26\!\cdots\!81\)\( p^{14} T^{51} + \)\(75\!\cdots\!22\)\( p^{15} T^{52} - \)\(39\!\cdots\!85\)\( p^{16} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!55\)\( p^{17} T^{54} - \)\(53\!\cdots\!65\)\( p^{18} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!66\)\( p^{19} T^{56} - 6480211856491786024 p^{20} T^{57} + 1970734843693426529 p^{21} T^{58} - 69706477899150110 p^{22} T^{59} + 21766825467024037 p^{23} T^{60} - 651802654154043 p^{24} T^{61} + 210283664836267 p^{25} T^{62} - 5180479464072 p^{26} T^{63} + 1739686666274 p^{27} T^{64} - 33942771741 p^{28} T^{65} + 11974905719 p^{29} T^{66} - 175462293 p^{30} T^{67} + 65789268 p^{31} T^{68} - 668309 p^{32} T^{69} + 270230 p^{33} T^{70} - 1659 p^{34} T^{71} + 737 p^{35} T^{72} - 2 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
41 \( 1 - 62 T + 2681 T^{2} - 86339 T^{3} + 2331454 T^{4} - 54224361 T^{5} + 1124400951 T^{6} - 21092361372 T^{7} + 363534371768 T^{8} - 5808302084520 T^{9} + 86777727457808 T^{10} - 1219524995521692 T^{11} + 16210742457399822 T^{12} - 204671501430776919 T^{13} + 2463915898157194768 T^{14} - 28369441158307521603 T^{15} + \)\(31\!\cdots\!49\)\( T^{16} - \)\(33\!\cdots\!02\)\( T^{17} + \)\(34\!\cdots\!45\)\( T^{18} - \)\(33\!\cdots\!67\)\( T^{19} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( T^{20} - \)\(72\!\cdots\!88\)\( p T^{21} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( T^{22} - \)\(23\!\cdots\!06\)\( T^{23} + \)\(19\!\cdots\!76\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!72\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!82\)\( T^{26} - \)\(10\!\cdots\!90\)\( T^{27} + \)\(79\!\cdots\!45\)\( T^{28} - \)\(59\!\cdots\!65\)\( T^{29} + \)\(43\!\cdots\!41\)\( T^{30} - \)\(31\!\cdots\!87\)\( T^{31} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( T^{32} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p T^{33} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( T^{34} - \)\(69\!\cdots\!84\)\( T^{35} + \)\(45\!\cdots\!90\)\( T^{36} - \)\(29\!\cdots\!14\)\( T^{37} + \)\(45\!\cdots\!90\)\( p T^{38} - \)\(69\!\cdots\!84\)\( p^{2} T^{39} + \)\(10\!\cdots\!94\)\( p^{3} T^{40} - \)\(37\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{41} + \)\(22\!\cdots\!28\)\( p^{5} T^{42} - \)\(31\!\cdots\!87\)\( p^{6} T^{43} + \)\(43\!\cdots\!41\)\( p^{7} T^{44} - \)\(59\!\cdots\!65\)\( p^{8} T^{45} + \)\(79\!\cdots\!45\)\( p^{9} T^{46} - \)\(10\!\cdots\!90\)\( p^{10} T^{47} + \)\(13\!\cdots\!82\)\( p^{11} T^{48} - \)\(16\!\cdots\!72\)\( p^{12} T^{49} + \)\(19\!\cdots\!76\)\( p^{13} T^{50} - \)\(23\!\cdots\!06\)\( p^{14} T^{51} + \)\(26\!\cdots\!11\)\( p^{15} T^{52} - \)\(72\!\cdots\!88\)\( p^{17} T^{53} + \)\(32\!\cdots\!22\)\( p^{17} T^{54} - \)\(33\!\cdots\!67\)\( p^{18} T^{55} + \)\(34\!\cdots\!45\)\( p^{19} T^{56} - \)\(33\!\cdots\!02\)\( p^{20} T^{57} + \)\(31\!\cdots\!49\)\( p^{21} T^{58} - 28369441158307521603 p^{22} T^{59} + 2463915898157194768 p^{23} T^{60} - 204671501430776919 p^{24} T^{61} + 16210742457399822 p^{25} T^{62} - 1219524995521692 p^{26} T^{63} + 86777727457808 p^{27} T^{64} - 5808302084520 p^{28} T^{65} + 363534371768 p^{29} T^{66} - 21092361372 p^{30} T^{67} + 1124400951 p^{31} T^{68} - 54224361 p^{32} T^{69} + 2331454 p^{33} T^{70} - 86339 p^{34} T^{71} + 2681 p^{35} T^{72} - 62 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
43 \( 1 - 30 T + 1153 T^{2} - 26209 T^{3} + 619912 T^{4} - 11592252 T^{5} + 4971819 p T^{6} - 3448073470 T^{7} + 53980210834 T^{8} - 773753978559 T^{9} + 10723421510548 T^{10} - 139409648033100 T^{11} + 1752774414514702 T^{12} - 20966988957155590 T^{13} + 242965672233926097 T^{14} - 2702786095703890961 T^{15} + 29184908263019590821 T^{16} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!73\)\( T^{18} - \)\(30\!\cdots\!30\)\( T^{19} + \)\(29\!\cdots\!08\)\( T^{20} - \)\(27\!\cdots\!07\)\( T^{21} + \)\(24\!\cdots\!73\)\( T^{22} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( T^{23} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!41\)\( T^{25} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( T^{26} - \)\(25\!\cdots\!55\)\( p T^{27} + \)\(85\!\cdots\!26\)\( T^{28} - \)\(66\!\cdots\!78\)\( T^{29} + \)\(50\!\cdots\!99\)\( T^{30} - \)\(37\!\cdots\!26\)\( T^{31} + \)\(27\!\cdots\!01\)\( T^{32} - \)\(19\!\cdots\!78\)\( T^{33} + \)\(13\!\cdots\!06\)\( T^{34} - \)\(94\!\cdots\!09\)\( T^{35} + \)\(64\!\cdots\!42\)\( T^{36} - \)\(42\!\cdots\!50\)\( T^{37} + \)\(64\!\cdots\!42\)\( p T^{38} - \)\(94\!\cdots\!09\)\( p^{2} T^{39} + \)\(13\!\cdots\!06\)\( p^{3} T^{40} - \)\(19\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{41} + \)\(27\!\cdots\!01\)\( p^{5} T^{42} - \)\(37\!\cdots\!26\)\( p^{6} T^{43} + \)\(50\!\cdots\!99\)\( p^{7} T^{44} - \)\(66\!\cdots\!78\)\( p^{8} T^{45} + \)\(85\!\cdots\!26\)\( p^{9} T^{46} - \)\(25\!\cdots\!55\)\( p^{11} T^{47} + \)\(13\!\cdots\!01\)\( p^{11} T^{48} - \)\(16\!\cdots\!41\)\( p^{12} T^{49} + \)\(18\!\cdots\!24\)\( p^{13} T^{50} - \)\(21\!\cdots\!70\)\( p^{14} T^{51} + \)\(24\!\cdots\!73\)\( p^{15} T^{52} - \)\(27\!\cdots\!07\)\( p^{16} T^{53} + \)\(29\!\cdots\!08\)\( p^{17} T^{54} - \)\(30\!\cdots\!30\)\( p^{18} T^{55} + \)\(30\!\cdots\!73\)\( p^{19} T^{56} - \)\(30\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{57} + 29184908263019590821 p^{21} T^{58} - 2702786095703890961 p^{22} T^{59} + 242965672233926097 p^{23} T^{60} - 20966988957155590 p^{24} T^{61} + 1752774414514702 p^{25} T^{62} - 139409648033100 p^{26} T^{63} + 10723421510548 p^{27} T^{64} - 773753978559 p^{28} T^{65} + 53980210834 p^{29} T^{66} - 3448073470 p^{30} T^{67} + 4971819 p^{32} T^{68} - 11592252 p^{32} T^{69} + 619912 p^{33} T^{70} - 26209 p^{34} T^{71} + 1153 p^{35} T^{72} - 30 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
47 \( 1 - 5 T + 766 T^{2} - 3590 T^{3} + 297374 T^{4} - 1325079 T^{5} + 78036870 T^{6} - 335767492 T^{7} + 15566942159 T^{8} - 65719763002 T^{9} + 2515719401762 T^{10} - 10588368700584 T^{11} + 342699705713142 T^{12} - 1460103512364316 T^{13} + 40426387906733974 T^{14} - 176809349022352954 T^{15} + 4210748162312733807 T^{16} - 19134169831095669454 T^{17} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( T^{18} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( T^{19} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( T^{20} - \)\(16\!\cdots\!32\)\( T^{21} + \)\(25\!\cdots\!92\)\( T^{22} - \)\(13\!\cdots\!52\)\( T^{23} + \)\(18\!\cdots\!43\)\( T^{24} - \)\(10\!\cdots\!25\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!70\)\( T^{26} - \)\(72\!\cdots\!51\)\( T^{27} + \)\(75\!\cdots\!53\)\( T^{28} - \)\(47\!\cdots\!16\)\( T^{29} + \)\(43\!\cdots\!63\)\( T^{30} - \)\(28\!\cdots\!69\)\( T^{31} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( T^{32} - \)\(34\!\cdots\!62\)\( p T^{33} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( T^{34} - \)\(83\!\cdots\!12\)\( T^{35} + \)\(62\!\cdots\!02\)\( T^{36} - \)\(40\!\cdots\!54\)\( T^{37} + \)\(62\!\cdots\!02\)\( p T^{38} - \)\(83\!\cdots\!12\)\( p^{2} T^{39} + \)\(12\!\cdots\!23\)\( p^{3} T^{40} - \)\(34\!\cdots\!62\)\( p^{5} T^{41} + \)\(24\!\cdots\!66\)\( p^{5} T^{42} - \)\(28\!\cdots\!69\)\( p^{6} T^{43} + \)\(43\!\cdots\!63\)\( p^{7} T^{44} - \)\(47\!\cdots\!16\)\( p^{8} T^{45} + \)\(75\!\cdots\!53\)\( p^{9} T^{46} - \)\(72\!\cdots\!51\)\( p^{10} T^{47} + \)\(12\!\cdots\!70\)\( p^{11} T^{48} - \)\(10\!\cdots\!25\)\( p^{12} T^{49} + \)\(18\!\cdots\!43\)\( p^{13} T^{50} - \)\(13\!\cdots\!52\)\( p^{14} T^{51} + \)\(25\!\cdots\!92\)\( p^{15} T^{52} - \)\(16\!\cdots\!32\)\( p^{16} T^{53} + \)\(33\!\cdots\!68\)\( p^{17} T^{54} - \)\(18\!\cdots\!96\)\( p^{18} T^{55} + \)\(39\!\cdots\!15\)\( p^{19} T^{56} - 19134169831095669454 p^{20} T^{57} + 4210748162312733807 p^{21} T^{58} - 176809349022352954 p^{22} T^{59} + 40426387906733974 p^{23} T^{60} - 1460103512364316 p^{24} T^{61} + 342699705713142 p^{25} T^{62} - 10588368700584 p^{26} T^{63} + 2515719401762 p^{27} T^{64} - 65719763002 p^{28} T^{65} + 15566942159 p^{29} T^{66} - 335767492 p^{30} T^{67} + 78036870 p^{31} T^{68} - 1325079 p^{32} T^{69} + 297374 p^{33} T^{70} - 3590 p^{34} T^{71} + 766 p^{35} T^{72} - 5 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
53 \( 1 - 18 T + 972 T^{2} - 15954 T^{3} + 474394 T^{4} - 7116368 T^{5} + 154448202 T^{6} - 2130096314 T^{7} + 37679402451 T^{8} - 481211465305 T^{9} + 7345254247572 T^{10} - 87491145010460 T^{11} + 1192214873114439 T^{12} - 13332310037046908 T^{13} + 165817572011667119 T^{14} - 1751181980868577100 T^{15} + 20187509096563627020 T^{16} - \)\(20\!\cdots\!25\)\( T^{17} + \)\(21\!\cdots\!41\)\( T^{18} - \)\(20\!\cdots\!47\)\( T^{19} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( T^{20} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( T^{21} + \)\(19\!\cdots\!53\)\( T^{22} - \)\(16\!\cdots\!89\)\( T^{23} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( T^{24} - \)\(13\!\cdots\!42\)\( T^{25} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{26} - \)\(96\!\cdots\!89\)\( T^{27} + \)\(83\!\cdots\!34\)\( T^{28} - \)\(66\!\cdots\!40\)\( T^{29} + \)\(55\!\cdots\!32\)\( T^{30} - \)\(42\!\cdots\!53\)\( T^{31} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{32} - \)\(48\!\cdots\!78\)\( p T^{33} + \)\(20\!\cdots\!74\)\( T^{34} - \)\(14\!\cdots\!18\)\( T^{35} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( T^{36} - \)\(15\!\cdots\!40\)\( p T^{37} + \)\(11\!\cdots\!29\)\( p T^{38} - \)\(14\!\cdots\!18\)\( p^{2} T^{39} + \)\(20\!\cdots\!74\)\( p^{3} T^{40} - \)\(48\!\cdots\!78\)\( p^{5} T^{41} + \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{5} T^{42} - \)\(42\!\cdots\!53\)\( p^{6} T^{43} + \)\(55\!\cdots\!32\)\( p^{7} T^{44} - \)\(66\!\cdots\!40\)\( p^{8} T^{45} + \)\(83\!\cdots\!34\)\( p^{9} T^{46} - \)\(96\!\cdots\!89\)\( p^{10} T^{47} + \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{11} T^{48} - \)\(13\!\cdots\!42\)\( p^{12} T^{49} + \)\(15\!\cdots\!22\)\( p^{13} T^{50} - \)\(16\!\cdots\!89\)\( p^{14} T^{51} + \)\(19\!\cdots\!53\)\( p^{15} T^{52} - \)\(19\!\cdots\!56\)\( p^{16} T^{53} + \)\(21\!\cdots\!46\)\( p^{17} T^{54} - \)\(20\!\cdots\!47\)\( p^{18} T^{55} + \)\(21\!\cdots\!41\)\( p^{19} T^{56} - \)\(20\!\cdots\!25\)\( p^{20} T^{57} + 20187509096563627020 p^{21} T^{58} - 1751181980868577100 p^{22} T^{59} + 165817572011667119 p^{23} T^{60} - 13332310037046908 p^{24} T^{61} + 1192214873114439 p^{25} T^{62} - 87491145010460 p^{26} T^{63} + 7345254247572 p^{27} T^{64} - 481211465305 p^{28} T^{65} + 37679402451 p^{29} T^{66} - 2130096314 p^{30} T^{67} + 154448202 p^{31} T^{68} - 7116368 p^{32} T^{69} + 474394 p^{33} T^{70} - 15954 p^{34} T^{71} + 972 p^{35} T^{72} - 18 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
59 \( 1 - 15 T + 1186 T^{2} - 15491 T^{3} + 687604 T^{4} - 7970891 T^{5} + 261813768 T^{6} - 2728837270 T^{7} + 74037791164 T^{8} - 700093962882 T^{9} + 16647624077546 T^{10} - 143701801277783 T^{11} + 3108742923073211 T^{12} - 24599676054190416 T^{13} + 496877615978616476 T^{14} - 3614513680698981355 T^{15} + 69493544625978585189 T^{16} - \)\(46\!\cdots\!20\)\( T^{17} + \)\(86\!\cdots\!36\)\( T^{18} - \)\(90\!\cdots\!13\)\( p T^{19} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( T^{20} - \)\(55\!\cdots\!32\)\( T^{21} + \)\(99\!\cdots\!15\)\( T^{22} - \)\(52\!\cdots\!94\)\( T^{23} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( T^{24} - \)\(45\!\cdots\!72\)\( T^{25} + \)\(81\!\cdots\!40\)\( T^{26} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( T^{27} + \)\(65\!\cdots\!57\)\( T^{28} - \)\(27\!\cdots\!20\)\( T^{29} + \)\(49\!\cdots\!32\)\( T^{30} - \)\(19\!\cdots\!38\)\( T^{31} + \)\(35\!\cdots\!16\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!55\)\( T^{33} + \)\(23\!\cdots\!29\)\( T^{34} - \)\(85\!\cdots\!70\)\( T^{35} + \)\(14\!\cdots\!43\)\( T^{36} - \)\(51\!\cdots\!58\)\( T^{37} + \)\(14\!\cdots\!43\)\( p T^{38} - \)\(85\!\cdots\!70\)\( p^{2} T^{39} + \)\(23\!\cdots\!29\)\( p^{3} T^{40} - \)\(13\!\cdots\!55\)\( p^{4} T^{41} + \)\(35\!\cdots\!16\)\( p^{5} T^{42} - \)\(19\!\cdots\!38\)\( p^{6} T^{43} + \)\(49\!\cdots\!32\)\( p^{7} T^{44} - \)\(27\!\cdots\!20\)\( p^{8} T^{45} + \)\(65\!\cdots\!57\)\( p^{9} T^{46} - \)\(36\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{47} + \)\(81\!\cdots\!40\)\( p^{11} T^{48} - \)\(45\!\cdots\!72\)\( p^{12} T^{49} + \)\(93\!\cdots\!95\)\( p^{13} T^{50} - \)\(52\!\cdots\!94\)\( p^{14} T^{51} + \)\(99\!\cdots\!15\)\( p^{15} T^{52} - \)\(55\!\cdots\!32\)\( p^{16} T^{53} + \)\(97\!\cdots\!36\)\( p^{17} T^{54} - \)\(90\!\cdots\!13\)\( p^{19} T^{55} + \)\(86\!\cdots\!36\)\( p^{19} T^{56} - \)\(46\!\cdots\!20\)\( p^{20} T^{57} + 69493544625978585189 p^{21} T^{58} - 3614513680698981355 p^{22} T^{59} + 496877615978616476 p^{23} T^{60} - 24599676054190416 p^{24} T^{61} + 3108742923073211 p^{25} T^{62} - 143701801277783 p^{26} T^{63} + 16647624077546 p^{27} T^{64} - 700093962882 p^{28} T^{65} + 74037791164 p^{29} T^{66} - 2728837270 p^{30} T^{67} + 261813768 p^{31} T^{68} - 7970891 p^{32} T^{69} + 687604 p^{33} T^{70} - 15491 p^{34} T^{71} + 1186 p^{35} T^{72} - 15 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
61 \( 1 - 57 T + 2902 T^{2} - 102324 T^{3} + 3256248 T^{4} - 87172039 T^{5} + 2150507921 T^{6} - 47593622895 T^{7} + 985802886425 T^{8} - 18880529404958 T^{9} + 342197179105808 T^{10} - 5833788857715001 T^{11} + 94876187290822765 T^{12} - 1467162119205391836 T^{13} + 21773906311851530028 T^{14} - \)\(30\!\cdots\!71\)\( T^{15} + \)\(42\!\cdots\!80\)\( T^{16} - \)\(55\!\cdots\!74\)\( T^{17} + \)\(71\!\cdots\!78\)\( T^{18} - \)\(88\!\cdots\!00\)\( T^{19} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( T^{20} - \)\(12\!\cdots\!84\)\( T^{21} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( T^{22} - \)\(15\!\cdots\!31\)\( T^{23} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( T^{24} - \)\(16\!\cdots\!82\)\( T^{25} + \)\(17\!\cdots\!06\)\( T^{26} - \)\(17\!\cdots\!24\)\( T^{27} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( T^{28} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( T^{29} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{31} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( T^{32} - \)\(98\!\cdots\!97\)\( T^{33} + \)\(83\!\cdots\!79\)\( T^{34} - \)\(68\!\cdots\!86\)\( T^{35} + \)\(55\!\cdots\!69\)\( T^{36} - \)\(43\!\cdots\!22\)\( T^{37} + \)\(55\!\cdots\!69\)\( p T^{38} - \)\(68\!\cdots\!86\)\( p^{2} T^{39} + \)\(83\!\cdots\!79\)\( p^{3} T^{40} - \)\(98\!\cdots\!97\)\( p^{4} T^{41} + \)\(11\!\cdots\!41\)\( p^{5} T^{42} - \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{6} T^{43} + \)\(14\!\cdots\!39\)\( p^{7} T^{44} - \)\(15\!\cdots\!68\)\( p^{8} T^{45} + \)\(16\!\cdots\!40\)\( p^{9} T^{46} - \)\(17\!\cdots\!24\)\( p^{10} T^{47} + \)\(17\!\cdots\!06\)\( p^{11} T^{48} - \)\(16\!\cdots\!82\)\( p^{12} T^{49} + \)\(16\!\cdots\!80\)\( p^{13} T^{50} - \)\(15\!\cdots\!31\)\( p^{14} T^{51} + \)\(13\!\cdots\!29\)\( p^{15} T^{52} - \)\(12\!\cdots\!84\)\( p^{16} T^{53} + \)\(10\!\cdots\!17\)\( p^{17} T^{54} - \)\(88\!\cdots\!00\)\( p^{18} T^{55} + \)\(71\!\cdots\!78\)\( p^{19} T^{56} - \)\(55\!\cdots\!74\)\( p^{20} T^{57} + \)\(42\!\cdots\!80\)\( p^{21} T^{58} - \)\(30\!\cdots\!71\)\( p^{22} T^{59} + 21773906311851530028 p^{23} T^{60} - 1467162119205391836 p^{24} T^{61} + 94876187290822765 p^{25} T^{62} - 5833788857715001 p^{26} T^{63} + 342197179105808 p^{27} T^{64} - 18880529404958 p^{28} T^{65} + 985802886425 p^{29} T^{66} - 47593622895 p^{30} T^{67} + 2150507921 p^{31} T^{68} - 87172039 p^{32} T^{69} + 3256248 p^{33} T^{70} - 102324 p^{34} T^{71} + 2902 p^{35} T^{72} - 57 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
67 \( 1 + 14 T + 1314 T^{2} + 16590 T^{3} + 839476 T^{4} + 9682452 T^{5} + 348898171 T^{6} + 3714868148 T^{7} + 106433942489 T^{8} + 1055731026189 T^{9} + 25490345188328 T^{10} + 237566256931531 T^{11} + 5006752993639019 T^{12} + 44216251839057588 T^{13} + 832169961838726464 T^{14} + 7025079342081843000 T^{15} + \)\(11\!\cdots\!84\)\( T^{16} + \)\(97\!\cdots\!56\)\( T^{17} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( T^{18} + \)\(12\!\cdots\!51\)\( T^{19} + \)\(17\!\cdots\!45\)\( T^{20} + \)\(13\!\cdots\!15\)\( T^{21} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( T^{22} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( T^{23} + \)\(17\!\cdots\!08\)\( T^{24} + \)\(13\!\cdots\!39\)\( T^{25} + \)\(15\!\cdots\!27\)\( T^{26} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( T^{27} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( T^{28} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( T^{29} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( T^{30} + \)\(83\!\cdots\!29\)\( T^{31} + \)\(82\!\cdots\!37\)\( T^{32} + \)\(64\!\cdots\!78\)\( T^{33} + \)\(60\!\cdots\!40\)\( T^{34} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( T^{35} + \)\(42\!\cdots\!38\)\( T^{36} + \)\(31\!\cdots\!52\)\( T^{37} + \)\(42\!\cdots\!38\)\( p T^{38} + \)\(46\!\cdots\!52\)\( p^{2} T^{39} + \)\(60\!\cdots\!40\)\( p^{3} T^{40} + \)\(64\!\cdots\!78\)\( p^{4} T^{41} + \)\(82\!\cdots\!37\)\( p^{5} T^{42} + \)\(83\!\cdots\!29\)\( p^{6} T^{43} + \)\(10\!\cdots\!28\)\( p^{7} T^{44} + \)\(10\!\cdots\!67\)\( p^{8} T^{45} + \)\(13\!\cdots\!93\)\( p^{9} T^{46} + \)\(12\!\cdots\!90\)\( p^{10} T^{47} + \)\(15\!\cdots\!27\)\( p^{11} T^{48} + \)\(13\!\cdots\!39\)\( p^{12} T^{49} + \)\(17\!\cdots\!08\)\( p^{13} T^{50} + \)\(14\!\cdots\!93\)\( p^{14} T^{51} + \)\(18\!\cdots\!86\)\( p^{15} T^{52} + \)\(13\!\cdots\!15\)\( p^{16} T^{53} + \)\(17\!\cdots\!45\)\( p^{17} T^{54} + \)\(12\!\cdots\!51\)\( p^{18} T^{55} + \)\(15\!\cdots\!60\)\( p^{19} T^{56} + \)\(97\!\cdots\!56\)\( p^{20} T^{57} + \)\(11\!\cdots\!84\)\( p^{21} T^{58} + 7025079342081843000 p^{22} T^{59} + 832169961838726464 p^{23} T^{60} + 44216251839057588 p^{24} T^{61} + 5006752993639019 p^{25} T^{62} + 237566256931531 p^{26} T^{63} + 25490345188328 p^{27} T^{64} + 1055731026189 p^{28} T^{65} + 106433942489 p^{29} T^{66} + 3714868148 p^{30} T^{67} + 348898171 p^{31} T^{68} + 9682452 p^{32} T^{69} + 839476 p^{33} T^{70} + 16590 p^{34} T^{71} + 1314 p^{35} T^{72} + 14 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
71 \( 1 - 8 T + 1380 T^{2} - 10988 T^{3} + 960290 T^{4} - 7586748 T^{5} + 448285645 T^{6} - 3505761715 T^{7} + 157638972908 T^{8} - 1217807349931 T^{9} + 44466185857948 T^{10} - 338704111345632 T^{11} + 10464940002742994 T^{12} - 78456329482563870 T^{13} + 2110808410051594745 T^{14} - 15548490171895775644 T^{15} + \)\(37\!\cdots\!04\)\( T^{16} - \)\(26\!\cdots\!12\)\( T^{17} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( T^{18} - \)\(41\!\cdots\!24\)\( T^{19} + \)\(81\!\cdots\!48\)\( T^{20} - \)\(56\!\cdots\!45\)\( T^{21} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( T^{22} - \)\(70\!\cdots\!76\)\( T^{23} + \)\(12\!\cdots\!39\)\( T^{24} - \)\(79\!\cdots\!96\)\( T^{25} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( T^{26} - \)\(82\!\cdots\!42\)\( T^{27} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( p T^{28} - \)\(79\!\cdots\!43\)\( T^{29} + \)\(11\!\cdots\!45\)\( T^{30} - \)\(70\!\cdots\!38\)\( T^{31} + \)\(99\!\cdots\!36\)\( T^{32} - \)\(59\!\cdots\!55\)\( T^{33} + \)\(80\!\cdots\!00\)\( T^{34} - \)\(46\!\cdots\!38\)\( T^{35} + \)\(60\!\cdots\!12\)\( T^{36} - \)\(33\!\cdots\!50\)\( T^{37} + \)\(60\!\cdots\!12\)\( p T^{38} - \)\(46\!\cdots\!38\)\( p^{2} T^{39} + \)\(80\!\cdots\!00\)\( p^{3} T^{40} - \)\(59\!\cdots\!55\)\( p^{4} T^{41} + \)\(99\!\cdots\!36\)\( p^{5} T^{42} - \)\(70\!\cdots\!38\)\( p^{6} T^{43} + \)\(11\!\cdots\!45\)\( p^{7} T^{44} - \)\(79\!\cdots\!43\)\( p^{8} T^{45} + \)\(17\!\cdots\!63\)\( p^{10} T^{46} - \)\(82\!\cdots\!42\)\( p^{10} T^{47} + \)\(12\!\cdots\!48\)\( p^{11} T^{48} - \)\(79\!\cdots\!96\)\( p^{12} T^{49} + \)\(12\!\cdots\!39\)\( p^{13} T^{50} - \)\(70\!\cdots\!76\)\( p^{14} T^{51} + \)\(10\!\cdots\!30\)\( p^{15} T^{52} - \)\(56\!\cdots\!45\)\( p^{16} T^{53} + \)\(81\!\cdots\!48\)\( p^{17} T^{54} - \)\(41\!\cdots\!24\)\( p^{18} T^{55} + \)\(58\!\cdots\!24\)\( p^{19} T^{56} - \)\(26\!\cdots\!12\)\( p^{20} T^{57} + \)\(37\!\cdots\!04\)\( p^{21} T^{58} - 15548490171895775644 p^{22} T^{59} + 2110808410051594745 p^{23} T^{60} - 78456329482563870 p^{24} T^{61} + 10464940002742994 p^{25} T^{62} - 338704111345632 p^{26} T^{63} + 44466185857948 p^{27} T^{64} - 1217807349931 p^{28} T^{65} + 157638972908 p^{29} T^{66} - 3505761715 p^{30} T^{67} + 448285645 p^{31} T^{68} - 7586748 p^{32} T^{69} + 960290 p^{33} T^{70} - 10988 p^{34} T^{71} + 1380 p^{35} T^{72} - 8 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
79 \( 1 - 42 T + 2172 T^{2} - 67949 T^{3} + 2160995 T^{4} - 55076474 T^{5} + 1364573356 T^{6} - 29813639552 T^{7} + 626616120208 T^{8} - 12120389457202 T^{9} + 225425289771448 T^{10} - 3945290330840761 T^{11} + 66558937739414139 T^{12} - 1070411920962872641 T^{13} + 16645448966301470756 T^{14} - \)\(24\!\cdots\!13\)\( T^{15} + \)\(36\!\cdots\!15\)\( T^{16} - \)\(50\!\cdots\!76\)\( T^{17} + \)\(68\!\cdots\!79\)\( T^{18} - \)\(90\!\cdots\!01\)\( T^{19} + \)\(11\!\cdots\!79\)\( T^{20} - \)\(14\!\cdots\!10\)\( T^{21} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( T^{22} - \)\(21\!\cdots\!86\)\( T^{23} + \)\(25\!\cdots\!85\)\( T^{24} - \)\(28\!\cdots\!90\)\( T^{25} + \)\(31\!\cdots\!95\)\( T^{26} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( T^{27} + \)\(37\!\cdots\!24\)\( T^{28} - \)\(38\!\cdots\!71\)\( T^{29} + \)\(39\!\cdots\!75\)\( T^{30} - \)\(40\!\cdots\!22\)\( T^{31} + \)\(39\!\cdots\!19\)\( T^{32} - \)\(38\!\cdots\!10\)\( T^{33} + \)\(36\!\cdots\!58\)\( T^{34} - \)\(33\!\cdots\!12\)\( T^{35} + \)\(31\!\cdots\!27\)\( T^{36} - \)\(27\!\cdots\!16\)\( T^{37} + \)\(31\!\cdots\!27\)\( p T^{38} - \)\(33\!\cdots\!12\)\( p^{2} T^{39} + \)\(36\!\cdots\!58\)\( p^{3} T^{40} - \)\(38\!\cdots\!10\)\( p^{4} T^{41} + \)\(39\!\cdots\!19\)\( p^{5} T^{42} - \)\(40\!\cdots\!22\)\( p^{6} T^{43} + \)\(39\!\cdots\!75\)\( p^{7} T^{44} - \)\(38\!\cdots\!71\)\( p^{8} T^{45} + \)\(37\!\cdots\!24\)\( p^{9} T^{46} - \)\(34\!\cdots\!00\)\( p^{10} T^{47} + \)\(31\!\cdots\!95\)\( p^{11} T^{48} - \)\(28\!\cdots\!90\)\( p^{12} T^{49} + \)\(25\!\cdots\!85\)\( p^{13} T^{50} - \)\(21\!\cdots\!86\)\( p^{14} T^{51} + \)\(17\!\cdots\!17\)\( p^{15} T^{52} - \)\(14\!\cdots\!10\)\( p^{16} T^{53} + \)\(11\!\cdots\!79\)\( p^{17} T^{54} - \)\(90\!\cdots\!01\)\( p^{18} T^{55} + \)\(68\!\cdots\!79\)\( p^{19} T^{56} - \)\(50\!\cdots\!76\)\( p^{20} T^{57} + \)\(36\!\cdots\!15\)\( p^{21} T^{58} - \)\(24\!\cdots\!13\)\( p^{22} T^{59} + 16645448966301470756 p^{23} T^{60} - 1070411920962872641 p^{24} T^{61} + 66558937739414139 p^{25} T^{62} - 3945290330840761 p^{26} T^{63} + 225425289771448 p^{27} T^{64} - 12120389457202 p^{28} T^{65} + 626616120208 p^{29} T^{66} - 29813639552 p^{30} T^{67} + 1364573356 p^{31} T^{68} - 55076474 p^{32} T^{69} + 2160995 p^{33} T^{70} - 67949 p^{34} T^{71} + 2172 p^{35} T^{72} - 42 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
83 \( 1 - 44 T + 2206 T^{2} - 67800 T^{3} + 2086113 T^{4} - 50896700 T^{5} + 1210311044 T^{6} - 24992306880 T^{7} + 500346700531 T^{8} - 9087615668327 T^{9} + 160148023727714 T^{10} - 2625243785001341 T^{11} + 41862955614011189 T^{12} - 630938481437882110 T^{13} + 9277413273166309600 T^{14} - \)\(13\!\cdots\!81\)\( T^{15} + \)\(17\!\cdots\!05\)\( T^{16} - \)\(23\!\cdots\!90\)\( T^{17} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( T^{18} - \)\(46\!\cdots\!86\)\( p T^{19} + \)\(47\!\cdots\!49\)\( T^{20} - \)\(57\!\cdots\!21\)\( T^{21} + \)\(67\!\cdots\!38\)\( T^{22} - \)\(77\!\cdots\!02\)\( T^{23} + \)\(88\!\cdots\!25\)\( T^{24} - \)\(98\!\cdots\!52\)\( T^{25} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( T^{26} - \)\(11\!\cdots\!60\)\( T^{27} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p T^{28} - \)\(12\!\cdots\!55\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( T^{30} - \)\(12\!\cdots\!57\)\( T^{31} + \)\(12\!\cdots\!27\)\( T^{32} - \)\(12\!\cdots\!27\)\( T^{33} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( T^{34} - \)\(11\!\cdots\!17\)\( T^{35} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( T^{36} - \)\(96\!\cdots\!96\)\( T^{37} + \)\(10\!\cdots\!82\)\( p T^{38} - \)\(11\!\cdots\!17\)\( p^{2} T^{39} + \)\(11\!\cdots\!97\)\( p^{3} T^{40} - \)\(12\!\cdots\!27\)\( p^{4} T^{41} + \)\(12\!\cdots\!27\)\( p^{5} T^{42} - \)\(12\!\cdots\!57\)\( p^{6} T^{43} + \)\(12\!\cdots\!49\)\( p^{7} T^{44} - \)\(12\!\cdots\!55\)\( p^{8} T^{45} + \)\(14\!\cdots\!40\)\( p^{10} T^{46} - \)\(11\!\cdots\!60\)\( p^{10} T^{47} + \)\(10\!\cdots\!92\)\( p^{11} T^{48} - \)\(98\!\cdots\!52\)\( p^{12} T^{49} + \)\(88\!\cdots\!25\)\( p^{13} T^{50} - \)\(77\!\cdots\!02\)\( p^{14} T^{51} + \)\(67\!\cdots\!38\)\( p^{15} T^{52} - \)\(57\!\cdots\!21\)\( p^{16} T^{53} + \)\(47\!\cdots\!49\)\( p^{17} T^{54} - \)\(46\!\cdots\!86\)\( p^{19} T^{55} + \)\(30\!\cdots\!90\)\( p^{19} T^{56} - \)\(23\!\cdots\!90\)\( p^{20} T^{57} + \)\(17\!\cdots\!05\)\( p^{21} T^{58} - \)\(13\!\cdots\!81\)\( p^{22} T^{59} + 9277413273166309600 p^{23} T^{60} - 630938481437882110 p^{24} T^{61} + 41862955614011189 p^{25} T^{62} - 2625243785001341 p^{26} T^{63} + 160148023727714 p^{27} T^{64} - 9087615668327 p^{28} T^{65} + 500346700531 p^{29} T^{66} - 24992306880 p^{30} T^{67} + 1210311044 p^{31} T^{68} - 50896700 p^{32} T^{69} + 2086113 p^{33} T^{70} - 67800 p^{34} T^{71} + 2206 p^{35} T^{72} - 44 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
89 \( 1 - 69 T + 4086 T^{2} - 169838 T^{3} + 6273098 T^{4} - 195755255 T^{5} + 5583272608 T^{6} - 143035141959 T^{7} + 3412595459822 T^{8} - 75301066114637 T^{9} + 1567550817236526 T^{10} - 30695134007156151 T^{11} + 572370851388024025 T^{12} - 10150933526634695075 T^{13} + \)\(17\!\cdots\!46\)\( T^{14} - \)\(28\!\cdots\!42\)\( T^{15} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( T^{16} - \)\(67\!\cdots\!32\)\( T^{17} + \)\(98\!\cdots\!70\)\( T^{18} - \)\(13\!\cdots\!11\)\( T^{19} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( T^{20} - \)\(25\!\cdots\!76\)\( T^{21} + \)\(33\!\cdots\!34\)\( T^{22} - \)\(42\!\cdots\!59\)\( T^{23} + \)\(53\!\cdots\!40\)\( T^{24} - \)\(64\!\cdots\!75\)\( T^{25} + \)\(76\!\cdots\!18\)\( T^{26} - \)\(88\!\cdots\!96\)\( T^{27} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( p T^{28} - \)\(11\!\cdots\!91\)\( T^{29} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( T^{30} - \)\(13\!\cdots\!86\)\( T^{31} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( T^{32} - \)\(13\!\cdots\!70\)\( T^{33} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( T^{34} - \)\(13\!\cdots\!21\)\( T^{35} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( T^{36} - \)\(12\!\cdots\!34\)\( T^{37} + \)\(13\!\cdots\!90\)\( p T^{38} - \)\(13\!\cdots\!21\)\( p^{2} T^{39} + \)\(14\!\cdots\!67\)\( p^{3} T^{40} - \)\(13\!\cdots\!70\)\( p^{4} T^{41} + \)\(13\!\cdots\!11\)\( p^{5} T^{42} - \)\(13\!\cdots\!86\)\( p^{6} T^{43} + \)\(12\!\cdots\!08\)\( p^{7} T^{44} - \)\(11\!\cdots\!91\)\( p^{8} T^{45} + \)\(11\!\cdots\!04\)\( p^{10} T^{46} - \)\(88\!\cdots\!96\)\( p^{10} T^{47} + \)\(76\!\cdots\!18\)\( p^{11} T^{48} - \)\(64\!\cdots\!75\)\( p^{12} T^{49} + \)\(53\!\cdots\!40\)\( p^{13} T^{50} - \)\(42\!\cdots\!59\)\( p^{14} T^{51} + \)\(33\!\cdots\!34\)\( p^{15} T^{52} - \)\(25\!\cdots\!76\)\( p^{16} T^{53} + \)\(19\!\cdots\!62\)\( p^{17} T^{54} - \)\(13\!\cdots\!11\)\( p^{18} T^{55} + \)\(98\!\cdots\!70\)\( p^{19} T^{56} - \)\(67\!\cdots\!32\)\( p^{20} T^{57} + \)\(44\!\cdots\!00\)\( p^{21} T^{58} - \)\(28\!\cdots\!42\)\( p^{22} T^{59} + \)\(17\!\cdots\!46\)\( p^{23} T^{60} - 10150933526634695075 p^{24} T^{61} + 572370851388024025 p^{25} T^{62} - 30695134007156151 p^{26} T^{63} + 1567550817236526 p^{27} T^{64} - 75301066114637 p^{28} T^{65} + 3412595459822 p^{29} T^{66} - 143035141959 p^{30} T^{67} + 5583272608 p^{31} T^{68} - 195755255 p^{32} T^{69} + 6273098 p^{33} T^{70} - 169838 p^{34} T^{71} + 4086 p^{35} T^{72} - 69 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
97 \( 1 - 37 T + 2655 T^{2} - 79537 T^{3} + 3259664 T^{4} - 82714723 T^{5} + 2509272855 T^{6} - 55556198767 T^{7} + 1376538935732 T^{8} - 27156750644696 T^{9} + 578196822037273 T^{10} - 10326563587968865 T^{11} + 194850033357154762 T^{12} - 3190384070551897666 T^{13} + 54479011522236291750 T^{14} - \)\(82\!\cdots\!98\)\( T^{15} + \)\(12\!\cdots\!15\)\( T^{16} - \)\(18\!\cdots\!45\)\( T^{17} + \)\(26\!\cdots\!60\)\( T^{18} - \)\(35\!\cdots\!45\)\( T^{19} + \)\(49\!\cdots\!19\)\( T^{20} - \)\(62\!\cdots\!29\)\( T^{21} + \)\(81\!\cdots\!06\)\( T^{22} - \)\(98\!\cdots\!15\)\( T^{23} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( T^{24} - \)\(14\!\cdots\!48\)\( T^{25} + \)\(16\!\cdots\!17\)\( T^{26} - \)\(18\!\cdots\!97\)\( T^{27} + \)\(21\!\cdots\!66\)\( T^{28} - \)\(23\!\cdots\!25\)\( T^{29} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( T^{30} - \)\(27\!\cdots\!51\)\( T^{31} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( T^{32} - \)\(30\!\cdots\!40\)\( T^{33} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( T^{34} - \)\(32\!\cdots\!45\)\( T^{35} + \)\(32\!\cdots\!55\)\( T^{36} - \)\(31\!\cdots\!38\)\( T^{37} + \)\(32\!\cdots\!55\)\( p T^{38} - \)\(32\!\cdots\!45\)\( p^{2} T^{39} + \)\(32\!\cdots\!88\)\( p^{3} T^{40} - \)\(30\!\cdots\!40\)\( p^{4} T^{41} + \)\(29\!\cdots\!37\)\( p^{5} T^{42} - \)\(27\!\cdots\!51\)\( p^{6} T^{43} + \)\(26\!\cdots\!07\)\( p^{7} T^{44} - \)\(23\!\cdots\!25\)\( p^{8} T^{45} + \)\(21\!\cdots\!66\)\( p^{9} T^{46} - \)\(18\!\cdots\!97\)\( p^{10} T^{47} + \)\(16\!\cdots\!17\)\( p^{11} T^{48} - \)\(14\!\cdots\!48\)\( p^{12} T^{49} + \)\(12\!\cdots\!58\)\( p^{13} T^{50} - \)\(98\!\cdots\!15\)\( p^{14} T^{51} + \)\(81\!\cdots\!06\)\( p^{15} T^{52} - \)\(62\!\cdots\!29\)\( p^{16} T^{53} + \)\(49\!\cdots\!19\)\( p^{17} T^{54} - \)\(35\!\cdots\!45\)\( p^{18} T^{55} + \)\(26\!\cdots\!60\)\( p^{19} T^{56} - \)\(18\!\cdots\!45\)\( p^{20} T^{57} + \)\(12\!\cdots\!15\)\( p^{21} T^{58} - \)\(82\!\cdots\!98\)\( p^{22} T^{59} + 54479011522236291750 p^{23} T^{60} - 3190384070551897666 p^{24} T^{61} + 194850033357154762 p^{25} T^{62} - 10326563587968865 p^{26} T^{63} + 578196822037273 p^{27} T^{64} - 27156750644696 p^{28} T^{65} + 1376538935732 p^{29} T^{66} - 55556198767 p^{30} T^{67} + 2509272855 p^{31} T^{68} - 82714723 p^{32} T^{69} + 3259664 p^{33} T^{70} - 79537 p^{34} T^{71} + 2655 p^{35} T^{72} - 37 p^{36} T^{73} + p^{37} T^{74} \)
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\[\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{74} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}\]

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−0.973996650221403173555680637689, −0.920147660966838323207034042381, −0.916351500627204995195981911081, −0.914762605455101139972955805406, −0.885860926227460055264406354070, −0.858706378796804429980702497902, −0.845783719463800036104152932469, −0.843568148032536821777653556235, −0.843532633409597324824027982773, −0.812569580372492757723131307187, −0.801227226310391983901949883436, −0.790367246908459902112496794168, −0.76437396294742986009579177794, −0.70063625465071055124254235533, −0.67357227074827834348170915340, −0.66690340992398613091760487779, −0.60367772616461096826747229149, −0.59424519883884972212965280051, −0.58928345151238958919741372708, −0.58408655663602234726426457160, −0.45366689420985676690791353788, −0.43733790015470598813474193925, −0.38085981519290834752066702583, −0.29321744045911797106052146903, −0.21435295700147114082587433837, 0.21435295700147114082587433837, 0.29321744045911797106052146903, 0.38085981519290834752066702583, 0.43733790015470598813474193925, 0.45366689420985676690791353788, 0.58408655663602234726426457160, 0.58928345151238958919741372708, 0.59424519883884972212965280051, 0.60367772616461096826747229149, 0.66690340992398613091760487779, 0.67357227074827834348170915340, 0.70063625465071055124254235533, 0.76437396294742986009579177794, 0.790367246908459902112496794168, 0.801227226310391983901949883436, 0.812569580372492757723131307187, 0.843532633409597324824027982773, 0.843568148032536821777653556235, 0.845783719463800036104152932469, 0.858706378796804429980702497902, 0.885860926227460055264406354070, 0.914762605455101139972955805406, 0.916351500627204995195981911081, 0.920147660966838323207034042381, 0.973996650221403173555680637689

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.