# Properties

 Degree 8 Conductor $2^{4} \cdot 3^{8} \cdot 223^{4}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 4

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 + 4·2-s + 10·4-s − 2·5-s − 5·7-s + 20·8-s − 8·10-s − 4·11-s − 5·13-s − 20·14-s + 35·16-s + 2·17-s − 7·19-s − 20·20-s − 16·22-s + 4·23-s − 11·25-s − 20·26-s − 50·28-s − 9·29-s − 31-s + 56·32-s + 8·34-s + 10·35-s − 11·37-s − 28·38-s − 40·40-s − 14·41-s + ⋯
 L(s)  = 1 + 2.82·2-s + 5·4-s − 0.894·5-s − 1.88·7-s + 7.07·8-s − 2.52·10-s − 1.20·11-s − 1.38·13-s − 5.34·14-s + 35/4·16-s + 0.485·17-s − 1.60·19-s − 4.47·20-s − 3.41·22-s + 0.834·23-s − 2.19·25-s − 3.92·26-s − 9.44·28-s − 1.67·29-s − 0.179·31-s + 9.89·32-s + 1.37·34-s + 1.69·35-s − 1.80·37-s − 4.54·38-s − 6.32·40-s − 2.18·41-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{8} \cdot 223^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(2^{4} \cdot 3^{8} \cdot 223^{4}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$8$$ $$N$$ = $$2^{4} \cdot 3^{8} \cdot 223^{4}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{4014} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 4 Selberg data = $(8,\ 2^{4} \cdot 3^{8} \cdot 223^{4} ,\ ( \ : 1/2, 1/2, 1/2, 1/2 ),\ 1 )$ $L(1)$ $=$ $0$ $L(\frac12)$ $=$ $0$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, for $p \notin \{2,\;3,\;223\}$, $$F_p$$ is a polynomial of degree 8. If $p \in \{2,\;3,\;223\}$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 7.
$p$$\Gal(F_p)$$F_p$
bad2$C_1$ $$( 1 - T )^{4}$$
3 $$1$$
223$C_1$ $$( 1 + T )^{4}$$
good5$C_2 \wr S_4$ $$1 + 2 T + 3 p T^{2} + 19 T^{3} + 97 T^{4} + 19 p T^{5} + 3 p^{3} T^{6} + 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
7$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 30 T^{2} + 92 T^{3} + 310 T^{4} + 92 p T^{5} + 30 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
11$C_2 \wr S_4$ $$1 + 4 T + 31 T^{2} + 123 T^{3} + 456 T^{4} + 123 p T^{5} + 31 p^{2} T^{6} + 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
13$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 34 T^{2} + 150 T^{3} + 654 T^{4} + 150 p T^{5} + 34 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
17$C_2 \wr S_4$ $$1 - 2 T + 25 T^{2} - 27 T^{3} + 270 T^{4} - 27 p T^{5} + 25 p^{2} T^{6} - 2 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
19$C_2 \wr S_4$ $$1 + 7 T + 48 T^{2} + 210 T^{3} + 998 T^{4} + 210 p T^{5} + 48 p^{2} T^{6} + 7 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
23$C_2 \wr S_4$ $$1 - 4 T + 35 T^{2} - 9 p T^{3} + 1066 T^{4} - 9 p^{2} T^{5} + 35 p^{2} T^{6} - 4 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
29$C_2 \wr S_4$ $$1 + 9 T + 4 p T^{2} + 626 T^{3} + 4734 T^{4} + 626 p T^{5} + 4 p^{3} T^{6} + 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
31$C_2 \wr S_4$ $$1 + T + 78 T^{2} + 118 T^{3} + 3036 T^{4} + 118 p T^{5} + 78 p^{2} T^{6} + p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
37$C_2 \wr S_4$ $$1 + 11 T + 155 T^{2} + 1129 T^{3} + 8591 T^{4} + 1129 p T^{5} + 155 p^{2} T^{6} + 11 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
41$C_2 \wr S_4$ $$1 + 14 T + 139 T^{2} + 1245 T^{3} + 9124 T^{4} + 1245 p T^{5} + 139 p^{2} T^{6} + 14 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
43$C_2 \wr S_4$ $$1 + 22 T + 343 T^{2} + 3395 T^{3} + 26448 T^{4} + 3395 p T^{5} + 343 p^{2} T^{6} + 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
47$C_2 \wr S_4$ $$1 - 8 T + 181 T^{2} - 1085 T^{3} + 12569 T^{4} - 1085 p T^{5} + 181 p^{2} T^{6} - 8 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
53$C_2 \wr S_4$ $$1 + 3 T + 146 T^{2} + 380 T^{3} + 10800 T^{4} + 380 p T^{5} + 146 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
59$C_2 \wr S_4$ $$1 - 6 T + 135 T^{2} - 553 T^{3} + 8832 T^{4} - 553 p T^{5} + 135 p^{2} T^{6} - 6 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
61$C_2 \wr S_4$ $$1 + 9 T + 236 T^{2} + 1484 T^{3} + 21094 T^{4} + 1484 p T^{5} + 236 p^{2} T^{6} + 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
67$C_2 \wr S_4$ $$1 + 22 T + 443 T^{2} + 5021 T^{3} + 51131 T^{4} + 5021 p T^{5} + 443 p^{2} T^{6} + 22 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
71$C_2 \wr S_4$ $$1 + 5 T + 215 T^{2} + 624 T^{3} + 19864 T^{4} + 624 p T^{5} + 215 p^{2} T^{6} + 5 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
73$C_2 \wr S_4$ $$1 + 3 T + 159 T^{2} + 527 T^{3} + 16559 T^{4} + 527 p T^{5} + 159 p^{2} T^{6} + 3 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
79$C_2 \wr S_4$ $$1 + 29 T + 523 T^{2} + 6871 T^{3} + 70149 T^{4} + 6871 p T^{5} + 523 p^{2} T^{6} + 29 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
83$C_2 \wr S_4$ $$1 - 12 T + 327 T^{2} - 2665 T^{3} + 40215 T^{4} - 2665 p T^{5} + 327 p^{2} T^{6} - 12 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
89$C_2 \wr S_4$ $$1 + 9 T + 186 T^{2} + 2446 T^{3} + 17334 T^{4} + 2446 p T^{5} + 186 p^{2} T^{6} + 9 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
97$C_2 \wr S_4$ $$1 + 29 T + 630 T^{2} + 8898 T^{3} + 102354 T^{4} + 8898 p T^{5} + 630 p^{2} T^{6} + 29 p^{3} T^{7} + p^{4} T^{8}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}