| L(s) = 1 | + 12·2-s + 13·3-s + 96·4-s + 81·5-s + 156·6-s + 228·7-s + 640·8-s − 162·9-s + 972·10-s + 363·11-s + 1.24e3·12-s + 501·13-s + 2.73e3·14-s + 1.05e3·15-s + 3.84e3·16-s − 1.20e3·17-s − 1.94e3·18-s − 1.08e3·19-s + 7.77e3·20-s + 2.96e3·21-s + 4.35e3·22-s − 1.07e3·23-s + 8.32e3·24-s − 3.34e3·25-s + 6.01e3·26-s − 5.58e3·27-s + 2.18e4·28-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s + 0.833·3-s + 3·4-s + 1.44·5-s + 1.76·6-s + 1.75·7-s + 3.53·8-s − 2/3·9-s + 3.07·10-s + 0.904·11-s + 2.50·12-s + 0.822·13-s + 3.73·14-s + 1.20·15-s + 15/4·16-s − 1.01·17-s − 1.41·18-s − 0.688·19-s + 4.34·20-s + 1.46·21-s + 1.91·22-s − 0.424·23-s + 2.94·24-s − 1.07·25-s + 1.74·26-s − 1.47·27-s + 5.27·28-s + ⋯ |
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 54872 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(6-s) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 54872 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+5/2)^{3} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]
Particular Values
| \(L(3)\) |
\(\approx\) |
\(21.19856447\) |
| \(L(\frac12)\) |
\(\approx\) |
\(21.19856447\) |
| \(L(\frac{7}{2})\) |
|
not available |
| \(L(1)\) |
|
not available |
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $\Gal(F_p)$ | $F_p(T)$ |
|---|
| bad | 2 | $C_1$ | \( ( 1 - p^{2} T )^{3} \) |
| 19 | $C_1$ | \( ( 1 + p^{2} T )^{3} \) |
| good | 3 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 13 T + 331 T^{2} - 274 p T^{3} + 331 p^{5} T^{4} - 13 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 5 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 81 T + 9909 T^{2} - 459554 T^{3} + 9909 p^{5} T^{4} - 81 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 7 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 228 T + 35568 T^{2} - 3802776 T^{3} + 35568 p^{5} T^{4} - 228 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 11 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3 p^{2} T + 49359 T^{2} + 45957094 T^{3} + 49359 p^{5} T^{4} - 3 p^{12} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 13 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 501 T + 350229 T^{2} - 278952890 T^{3} + 350229 p^{5} T^{4} - 501 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 17 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1206 T + 2771250 T^{2} + 2460853566 T^{3} + 2771250 p^{5} T^{4} + 1206 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 23 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1077 T + 6641373 T^{2} - 4780608698 T^{3} + 6641373 p^{5} T^{4} + 1077 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 29 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 8349 T + 74783679 T^{2} + 327686176502 T^{3} + 74783679 p^{5} T^{4} + 8349 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 31 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 7332 T + 61101597 T^{2} + 255516763064 T^{3} + 61101597 p^{5} T^{4} + 7332 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 37 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 1650 T + 165941883 T^{2} + 209325534188 T^{3} + 165941883 p^{5} T^{4} + 1650 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 41 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 10140 T + 325081167 T^{2} - 2185083057016 T^{3} + 325081167 p^{5} T^{4} - 10140 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 43 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 3777 T + 1842699 p T^{2} - 3338955229894 T^{3} + 1842699 p^{6} T^{4} - 3777 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 47 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 33231 T + 1053777477 T^{2} - 16574372980994 T^{3} + 1053777477 p^{5} T^{4} - 33231 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 53 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 31029 T + 1192371741 T^{2} - 20622372968282 T^{3} + 1192371741 p^{5} T^{4} - 31029 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 59 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 20409 T - 343016529 T^{2} + 27176512433970 T^{3} - 343016529 p^{5} T^{4} - 20409 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 61 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 17115 T + 2252343099 T^{2} - 25812537224162 T^{3} + 2252343099 p^{5} T^{4} - 17115 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 67 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 789 T + 601630785 T^{2} - 4061691437586 T^{3} + 601630785 p^{5} T^{4} + 789 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 71 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 19164 T + 3181554489 T^{2} - 35510810109608 T^{3} + 3181554489 p^{5} T^{4} - 19164 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 73 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 76260 T + 6085343520 T^{2} + 293061463314558 T^{3} + 6085343520 p^{5} T^{4} + 76260 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 79 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 68358 T + 9600289101 T^{2} - 418395905475764 T^{3} + 9600289101 p^{5} T^{4} - 68358 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 83 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 6762 T + 3337936953 T^{2} + 130668532187172 T^{3} + 3337936953 p^{5} T^{4} - 6762 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 89 | $S_4\times C_2$ | \( 1 + 85506 T + 7798835091 T^{2} + 891678014164068 T^{3} + 7798835091 p^{5} T^{4} + 85506 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| 97 | $S_4\times C_2$ | \( 1 - 105024 T + 16181794191 T^{2} - 1792277878659808 T^{3} + 16181794191 p^{5} T^{4} - 105024 p^{10} T^{5} + p^{15} T^{6} \) |
| show more | | |
| show less | | |
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{6} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−13.99032078772933234410068781028, −13.35489327542001597598119056591, −13.16610802949862589190098847049, −12.85798146640900660363745645900, −12.06871797728980103274202703439, −11.61672762616855153689955877291, −11.45464697421242031975809755460, −10.98844985585254984354553594836, −10.69122895546949054067932679401, −10.03083258933875487474879828714, −9.141146289656077346440226666474, −9.133110885022791900535233447171, −8.421352315317977076240415353734, −7.87353626410628875190498803639, −7.35902114747356138444374497877, −6.78898380911210053438962378376, −5.84528092309695604651295984623, −5.76556100528320293582489464848, −5.57548770143407297709892494447, −4.53730493954727352679455580482, −3.94775800621565179734210641580, −3.70490709866047953101249732251, −2.29921338885678843843024970314, −2.15048141749809603558933299848, −1.59770935207162374156197745643,
1.59770935207162374156197745643, 2.15048141749809603558933299848, 2.29921338885678843843024970314, 3.70490709866047953101249732251, 3.94775800621565179734210641580, 4.53730493954727352679455580482, 5.57548770143407297709892494447, 5.76556100528320293582489464848, 5.84528092309695604651295984623, 6.78898380911210053438962378376, 7.35902114747356138444374497877, 7.87353626410628875190498803639, 8.421352315317977076240415353734, 9.133110885022791900535233447171, 9.141146289656077346440226666474, 10.03083258933875487474879828714, 10.69122895546949054067932679401, 10.98844985585254984354553594836, 11.45464697421242031975809755460, 11.61672762616855153689955877291, 12.06871797728980103274202703439, 12.85798146640900660363745645900, 13.16610802949862589190098847049, 13.35489327542001597598119056591, 13.99032078772933234410068781028
