LMFDB - L-function 8-3e4-1.1-c43e4-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 1.66e6·2^-s − 4.18e10·3^-s − 1.54e12·4^-s + 1.65e15·5^-s − 6.94e16·6^-s + 1.14e17·7^-s + 1.70e19·8^-s + 1.09e21·9^-s + 2.74e21·10^-s + 8.71e21·11^-s + 6.47e22·12^-s − 1.62e24·13^-s + 1.90e23·14^-s − 6.90e25·15^-s + 3.74e25·16^-s + 2.93e26·17^-s + 1.81e27·18^-s − 2.59e27·19^-s − 2.55e27·20^-s − 4.79e27·21^-s + 1.44e28·22^-s − 1.65e29·23^-s − 7.12e29·24^-s + 1.70e29·25^-s − 2.69e30·26^-s − 2.28e31·27^-s − 1.77e29·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.559·2^-s − 2.30·3^-s − 0.175·4^-s + 1.54·5^-s − 1.29·6^-s + 0.0774·7^-s + 0.652·8^-s + 10/3·9^-s + 0.866·10^-s + 0.355·11^-s + 0.406·12^-s − 1.82·13^-s + 0.0433·14^-s − 3.57·15^-s + 0.484·16^-s + 1.02·17^-s + 1.86·18^-s − 0.833·19^-s − 0.272·20^-s − 0.178·21^-s + 0.198·22^-s − 0.875·23^-s − 1.50·24^-s + 0.149·25^-s − 1.01·26^-s − 3.84·27^-s − 0.0136·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 81 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(44-s) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut & 81 ^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+43/2)^{4} \, L(s)\cr =\mathstrut & \, \Lambda(1-s) \end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$8$
Conductor:	$81$ = $3^{4}$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.52358\times 10^{6}$
Root analytic conductor:	$5.92731$
Motivic weight:	$43$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(8,\ 81,\ (\ :43/2, 43/2, 43/2, 43/2),\ 1)$

Particular Values

$L(22)$	$\approx$	$4.376238531$
$L(\frac12)$	$\approx$	$4.376238531$
$L(\frac{45}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
bad	3	$C_1$	$ ( 1 + p^{21} T )^{4} $
good	2	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 830007 p T + 67236468785 p^{6} T^{2} - 408021684903009 p^{16} T^{3} + 77971628085324573 p^{29} T^{4} - 408021684903009 p^{59} T^{5} + 67236468785 p^{92} T^{6} - 830007 p^{130} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	5	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 330130161507384 p T + $$81\!\cdots\!32$$ p^{5} T^{2} - $$39\!\cdots\!08$$ p^{10} T^{3} + $$59\!\cdots\!42$$ p^{17} T^{4} - $$39\!\cdots\!08$$ p^{53} T^{5} + $$81\!\cdots\!32$$ p^{91} T^{6} - 330130161507384 p^{130} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	7	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - 114481425784209728 T + $$93\!\cdots\!84$$ p T^{2} - $$52\!\cdots\!92$$ p^{4} T^{3} + $$23\!\cdots\!90$$ p^{7} T^{4} - $$52\!\cdots\!92$$ p^{47} T^{5} + $$93\!\cdots\!84$$ p^{87} T^{6} - 114481425784209728 p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	11	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$79\!\cdots\!36$$ p T + $$10\!\cdots\!52$$ p^{3} T^{2} - $$52\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{3} + $$62\!\cdots\!26$$ p^{6} T^{4} - $$52\!\cdots\!60$$ p^{46} T^{5} + $$10\!\cdots\!52$$ p^{89} T^{6} - $$79\!\cdots\!36$$ p^{130} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	13	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$16\!\cdots\!96$$ T + $$21\!\cdots\!72$$ p T^{2} + $$14\!\cdots\!84$$ p^{3} T^{3} + $$68\!\cdots\!50$$ p^{6} T^{4} + $$14\!\cdots\!84$$ p^{46} T^{5} + $$21\!\cdots\!72$$ p^{87} T^{6} + $$16\!\cdots\!96$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	17	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$29\!\cdots\!76$$ T + $$17\!\cdots\!04$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$25\!\cdots\!18$$ p^{5} T^{4} - $$13\!\cdots\!00$$ p^{46} T^{5} + $$17\!\cdots\!04$$ p^{87} T^{6} - $$29\!\cdots\!76$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	19	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$25\!\cdots\!88$$ T + $$10\!\cdots\!28$$ p T^{2} + $$11\!\cdots\!56$$ p^{2} T^{3} + $$15\!\cdots\!34$$ p^{4} T^{4} + $$11\!\cdots\!56$$ p^{45} T^{5} + $$10\!\cdots\!28$$ p^{87} T^{6} + $$25\!\cdots\!88$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	23	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$16\!\cdots\!44$$ T + $$11\!\cdots\!12$$ T^{2} + $$67\!\cdots\!68$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!70$$ p^{2} T^{4} + $$67\!\cdots\!68$$ p^{44} T^{5} + $$11\!\cdots\!12$$ p^{86} T^{6} + $$16\!\cdots\!44$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	29	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$50\!\cdots\!64$$ T + $$11\!\cdots\!00$$ p T^{2} - $$44\!\cdots\!52$$ p^{3} T^{3} + $$15\!\cdots\!22$$ p^{3} T^{4} - $$44\!\cdots\!52$$ p^{46} T^{5} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{87} T^{6} - $$50\!\cdots\!64$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	31	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$15\!\cdots\!24$$ T + $$45\!\cdots\!08$$ T^{2} - $$46\!\cdots\!32$$ p^{2} T^{3} + $$86\!\cdots\!54$$ p^{2} T^{4} - $$46\!\cdots\!32$$ p^{45} T^{5} + $$45\!\cdots\!08$$ p^{86} T^{6} - $$15\!\cdots\!24$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	37	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$19\!\cdots\!28$$ T + $$61\!\cdots\!04$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!48$$ p^{2} T^{3} + $$21\!\cdots\!90$$ p^{3} T^{4} - $$13\!\cdots\!48$$ p^{45} T^{5} + $$61\!\cdots\!04$$ p^{87} T^{6} - $$19\!\cdots\!28$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	41	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$22\!\cdots\!16$$ p T - $$22\!\cdots\!72$$ p^{2} T^{2} + $$59\!\cdots\!68$$ p^{3} T^{3} + $$25\!\cdots\!34$$ p^{4} T^{4} + $$59\!\cdots\!68$$ p^{46} T^{5} - $$22\!\cdots\!72$$ p^{88} T^{6} + $$22\!\cdots\!16$$ p^{130} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	43	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$57\!\cdots\!00$$ T + $$28\!\cdots\!40$$ T^{2} - $$91\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$40\!\cdots\!98$$ T^{4} - $$91\!\cdots\!00$$ p^{43} T^{5} + $$28\!\cdots\!40$$ p^{86} T^{6} - $$57\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	47	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$48\!\cdots\!40$$ T + $$19\!\cdots\!80$$ T^{2} - $$82\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$82\!\cdots\!20$$ p^{43} T^{5} + $$19\!\cdots\!80$$ p^{86} T^{6} - $$48\!\cdots\!40$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	53	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$40\!\cdots\!64$$ T + $$11\!\cdots\!12$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!44$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!90$$ T^{4} + $$19\!\cdots\!44$$ p^{43} T^{5} + $$11\!\cdots\!12$$ p^{86} T^{6} + $$40\!\cdots\!64$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	59	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$31\!\cdots\!32$$ T + $$32\!\cdots\!72$$ T^{2} + $$69\!\cdots\!84$$ T^{3} + $$57\!\cdots\!94$$ T^{4} + $$69\!\cdots\!84$$ p^{43} T^{5} + $$32\!\cdots\!72$$ p^{86} T^{6} + $$31\!\cdots\!32$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	61	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$24\!\cdots\!60$$ T + $$18\!\cdots\!76$$ T^{2} - $$57\!\cdots\!60$$ T^{3} - $$20\!\cdots\!34$$ T^{4} - $$57\!\cdots\!60$$ p^{43} T^{5} + $$18\!\cdots\!76$$ p^{86} T^{6} + $$24\!\cdots\!60$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	67	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$10\!\cdots\!76$$ T + $$13\!\cdots\!68$$ T^{2} - $$10\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$65\!\cdots\!26$$ T^{4} - $$10\!\cdots\!00$$ p^{43} T^{5} + $$13\!\cdots\!68$$ p^{86} T^{6} - $$10\!\cdots\!76$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	71	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$71\!\cdots\!72$$ T + $$94\!\cdots\!88$$ T^{2} + $$62\!\cdots\!04$$ T^{3} + $$46\!\cdots\!70$$ T^{4} + $$62\!\cdots\!04$$ p^{43} T^{5} + $$94\!\cdots\!88$$ p^{86} T^{6} + $$71\!\cdots\!72$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	73	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$54\!\cdots\!96$$ T + $$34\!\cdots\!32$$ T^{2} - $$18\!\cdots\!76$$ T^{3} + $$60\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$18\!\cdots\!76$$ p^{43} T^{5} + $$34\!\cdots\!32$$ p^{86} T^{6} - $$54\!\cdots\!96$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	79	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$18\!\cdots\!60$$ T - $$12\!\cdots\!44$$ T^{2} + $$59\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$25\!\cdots\!26$$ T^{4} + $$59\!\cdots\!20$$ p^{43} T^{5} - $$12\!\cdots\!44$$ p^{86} T^{6} + $$18\!\cdots\!60$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	83	$C_2 \wr S_4$	$ 1 - $$20\!\cdots\!08$$ T + $$10\!\cdots\!80$$ T^{2} - $$13\!\cdots\!52$$ T^{3} + $$43\!\cdots\!46$$ T^{4} - $$13\!\cdots\!52$$ p^{43} T^{5} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{86} T^{6} - $$20\!\cdots\!08$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	89	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$44\!\cdots\!68$$ T + $$24\!\cdots\!92$$ T^{2} + $$88\!\cdots\!16$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!74$$ T^{4} + $$88\!\cdots\!16$$ p^{43} T^{5} + $$24\!\cdots\!92$$ p^{86} T^{6} + $$44\!\cdots\!68$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
	97	$C_2 \wr S_4$	$ 1 + $$50\!\cdots\!64$$ T + $$60\!\cdots\!28$$ T^{2} + $$93\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!66$$ T^{4} + $$93\!\cdots\!00$$ p^{43} T^{5} + $$60\!\cdots\!28$$ p^{86} T^{6} + $$50\!\cdots\!64$$ p^{129} T^{7} + p^{172} T^{8} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{8} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−10.64482458264040886278501707103, −10.15521852414179608341851018729, −9.730561944451866828097338665167, −9.670431316537512464333217920128, −9.492068156160514886933377228658, −8.110784709379787080397612230849, −7.975597758316548037746401752114, −7.61861110999939662093642845582, −6.77299151713138569257563704084, −6.57600892713768839894895943071, −6.08189191622170466475631181701, −5.90984680020422613384031993088, −5.69270121533482003648502015691, −4.86721887913704089652919089642, −4.55899964138300534368732447879, −4.53928643921455225669044805885, −4.42086571027899742197609486222, −3.09343388892571771053287590148, −3.05741398354729471616315020819, −2.06743632948506199627412055768, −1.98538071628631937691766385683, −1.55444891737454959864496374162, −0.927450751436717633333564789955, −0.66394332846954609570244219442, −0.39540860591588220023823076467, 0.39540860591588220023823076467, 0.66394332846954609570244219442, 0.927450751436717633333564789955, 1.55444891737454959864496374162, 1.98538071628631937691766385683, 2.06743632948506199627412055768, 3.05741398354729471616315020819, 3.09343388892571771053287590148, 4.42086571027899742197609486222, 4.53928643921455225669044805885, 4.55899964138300534368732447879, 4.86721887913704089652919089642, 5.69270121533482003648502015691, 5.90984680020422613384031993088, 6.08189191622170466475631181701, 6.57600892713768839894895943071, 6.77299151713138569257563704084, 7.61861110999939662093642845582, 7.975597758316548037746401752114, 8.110784709379787080397612230849, 9.492068156160514886933377228658, 9.670431316537512464333217920128, 9.730561944451866828097338665167, 10.15521852414179608341851018729, 10.64482458264040886278501707103

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(22)\)	\(\approx\)	\(4.376238531\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(4.376238531\)
\(L(\frac{45}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

Downloads

Learn more