# Properties

 Degree 12 Conductor $29^{6}$ Sign $1$ Motivic weight 1 Primitive no Self-dual yes Analytic rank 0

# Origins of factors

## Dirichlet series

 L(s)  = 1 − 2·2-s − 5·3-s + 2·4-s + 5-s + 10·6-s + 7-s − 7·8-s + 17·9-s − 2·10-s − 11·11-s − 10·12-s − 5·13-s − 2·14-s − 5·15-s + 14·16-s + 8·17-s − 34·18-s + 19-s + 2·20-s − 5·21-s + 22·22-s − 7·23-s + 35·24-s − 9·25-s + 10·26-s − 49·27-s + 2·28-s + ⋯
 L(s)  = 1 − 1.41·2-s − 2.88·3-s + 4-s + 0.447·5-s + 4.08·6-s + 0.377·7-s − 2.47·8-s + 17/3·9-s − 0.632·10-s − 3.31·11-s − 2.88·12-s − 1.38·13-s − 0.534·14-s − 1.29·15-s + 7/2·16-s + 1.94·17-s − 8.01·18-s + 0.229·19-s + 0.447·20-s − 1.09·21-s + 4.69·22-s − 1.45·23-s + 7.14·24-s − 9/5·25-s + 1.96·26-s − 9.43·27-s + 0.377·28-s + ⋯

## Functional equation

\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(29^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(2-s) \end{aligned}
\begin{aligned} \Lambda(s)=\mathstrut &\left(29^{6}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{6} \, L(s)\cr =\mathstrut & \,\Lambda(1-s) \end{aligned}

## Invariants

 $$d$$ = $$12$$ $$N$$ = $$29^{6}$$ $$\varepsilon$$ = $1$ motivic weight = $$1$$ character : induced by $\chi_{29} (1, \cdot )$ primitive : no self-dual : yes analytic rank = 0 Selberg data = $(12,\ 29^{6} ,\ ( \ : [1/2]^{6} ),\ 1 )$ $L(1)$ $\approx$ $0.0319149$ $L(\frac12)$ $\approx$ $0.0319149$ $L(\frac{3}{2})$ not available $L(1)$ not available

## Euler product

$L(s) = \prod_{p \text{ prime}} F_p(p^{-s})^{-1}$ where, for $p \neq 29$, $$F_p$$ is a polynomial of degree 12. If $p = 29$, then $F_p$ is a polynomial of degree at most 11.
$p$$F_p$
bad29 $$1 - 6 T - 13 T^{2} + 316 T^{3} - 13 p T^{4} - 6 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6}$$
good2 $$1 + p T + p T^{2} + 7 T^{3} + 5 p T^{4} + 13 T^{5} + 27 T^{6} + 13 p T^{7} + 5 p^{3} T^{8} + 7 p^{3} T^{9} + p^{5} T^{10} + p^{6} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
3 $$1 + 5 T + 8 T^{2} + 4 T^{3} + p T^{4} + p T^{5} - 8 T^{6} + p^{2} T^{7} + p^{3} T^{8} + 4 p^{3} T^{9} + 8 p^{4} T^{10} + 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
5 $$1 - T + 2 p T^{2} - 12 T^{3} + 81 T^{4} - 91 T^{5} + 456 T^{6} - 91 p T^{7} + 81 p^{2} T^{8} - 12 p^{3} T^{9} + 2 p^{5} T^{10} - p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
7 $$1 - T + 8 T^{2} - 22 T^{3} + 127 T^{4} - 169 T^{5} + 848 T^{6} - 169 p T^{7} + 127 p^{2} T^{8} - 22 p^{3} T^{9} + 8 p^{4} T^{10} - p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
11 $$1 + p T + 68 T^{2} + 354 T^{3} + 153 p T^{4} + 6723 T^{5} + 23296 T^{6} + 6723 p T^{7} + 153 p^{3} T^{8} + 354 p^{3} T^{9} + 68 p^{4} T^{10} + p^{6} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
13 $$1 + 5 T + 12 T^{2} - 40 T^{3} - 111 T^{4} + 875 T^{5} + 6308 T^{6} + 875 p T^{7} - 111 p^{2} T^{8} - 40 p^{3} T^{9} + 12 p^{4} T^{10} + 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
17 $$( 1 - 4 T + 47 T^{2} - 128 T^{3} + 47 p T^{4} - 4 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
19 $$1 - T - 18 T^{2} + 156 T^{3} + 67 T^{4} - 1127 T^{5} + 9612 T^{6} - 1127 p T^{7} + 67 p^{2} T^{8} + 156 p^{3} T^{9} - 18 p^{4} T^{10} - p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
23 $$1 + 7 T + 26 T^{2} + 84 T^{3} + 431 T^{4} - 175 T^{5} - 12020 T^{6} - 175 p T^{7} + 431 p^{2} T^{8} + 84 p^{3} T^{9} + 26 p^{4} T^{10} + 7 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
31 $$1 - 5 T - 34 T^{2} + 388 T^{3} - 1649 T^{4} - 7283 T^{5} + 109220 T^{6} - 7283 p T^{7} - 1649 p^{2} T^{8} + 388 p^{3} T^{9} - 34 p^{4} T^{10} - 5 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
37 $$1 - 11 T + 42 T^{2} - 328 T^{3} + 4049 T^{4} - 22869 T^{5} + 100360 T^{6} - 22869 p T^{7} + 4049 p^{2} T^{8} - 328 p^{3} T^{9} + 42 p^{4} T^{10} - 11 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
41 $$( 1 - 10 T + 147 T^{2} - 828 T^{3} + 147 p T^{4} - 10 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
43 $$1 - 13 T + 42 T^{2} - 50 T^{3} + 251 T^{4} + 17703 T^{5} - 219260 T^{6} + 17703 p T^{7} + 251 p^{2} T^{8} - 50 p^{3} T^{9} + 42 p^{4} T^{10} - 13 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
47 $$1 - 11 T + 18 T^{2} + 410 T^{3} - 2409 T^{4} - 12679 T^{5} + 224300 T^{6} - 12679 p T^{7} - 2409 p^{2} T^{8} + 410 p^{3} T^{9} + 18 p^{4} T^{10} - 11 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
53 $$1 - 3 T - 58 T^{2} + 648 T^{3} - 431 T^{4} - 23629 T^{5} + 179088 T^{6} - 23629 p T^{7} - 431 p^{2} T^{8} + 648 p^{3} T^{9} - 58 p^{4} T^{10} - 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
59 $$( 1 + 28 T + 429 T^{2} + 4032 T^{3} + 429 p T^{4} + 28 p^{2} T^{5} + p^{3} T^{6} )^{2}$$
61 $$1 - 3 T - 24 T^{2} - 74 T^{3} + 4633 T^{4} - 24883 T^{5} - 67236 T^{6} - 24883 p T^{7} + 4633 p^{2} T^{8} - 74 p^{3} T^{9} - 24 p^{4} T^{10} - 3 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
67 $$1 - 19 T + 168 T^{2} - 904 T^{3} + 1419 T^{4} + 3983 T^{5} + 31592 T^{6} + 3983 p T^{7} + 1419 p^{2} T^{8} - 904 p^{3} T^{9} + 168 p^{4} T^{10} - 19 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
71 $$1 - 21 T + 118 T^{2} + 546 T^{3} - 4409 T^{4} - 107373 T^{5} + 1690660 T^{6} - 107373 p T^{7} - 4409 p^{2} T^{8} + 546 p^{3} T^{9} + 118 p^{4} T^{10} - 21 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
73 $$1 + 25 T + 300 T^{2} + 3400 T^{3} + 39069 T^{4} + 348943 T^{5} + 2806700 T^{6} + 348943 p T^{7} + 39069 p^{2} T^{8} + 3400 p^{3} T^{9} + 300 p^{4} T^{10} + 25 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
79 $$1 + 9 T + 2 T^{2} + 210 T^{3} - 977 T^{4} - 72339 T^{5} - 812260 T^{6} - 72339 p T^{7} - 977 p^{2} T^{8} + 210 p^{3} T^{9} + 2 p^{4} T^{10} + 9 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
83 $$1 - 17 T + 136 T^{2} - 1776 T^{3} + 27843 T^{4} - 251219 T^{5} + 1969848 T^{6} - 251219 p T^{7} + 27843 p^{2} T^{8} - 1776 p^{3} T^{9} + 136 p^{4} T^{10} - 17 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
89 $$1 - 7 T + 30 T^{2} + 532 T^{3} + 7389 T^{4} - 23261 T^{5} + 663944 T^{6} - 23261 p T^{7} + 7389 p^{2} T^{8} + 532 p^{3} T^{9} + 30 p^{4} T^{10} - 7 p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
97 $$1 - T + 114 T^{2} + 382 T^{3} + 20669 T^{4} + 10611 T^{5} + 2196928 T^{6} + 10611 p T^{7} + 20669 p^{2} T^{8} + 382 p^{3} T^{9} + 114 p^{4} T^{10} - p^{5} T^{11} + p^{6} T^{12}$$
\begin{aligned} L(s) = \prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1} \end{aligned}