Dirichlet series
| L(s) = 1 | + 3·2-s − 3-s + 5-s − 3·6-s − 8·8-s − 12·9-s + 3·10-s + 15·11-s + 5·13-s − 15-s − 8·16-s − 4·17-s − 36·18-s − 5·19-s + 45·22-s + 12·23-s + 8·24-s − 30·25-s + 15·26-s + 17·27-s + 14·29-s − 3·30-s + 3·31-s − 32-s − 15·33-s − 12·34-s + 24·37-s + ⋯ |
| L(s) = 1 | + 2.12·2-s − 0.577·3-s + 0.447·5-s − 1.22·6-s − 2.82·8-s − 4·9-s + 0.948·10-s + 4.52·11-s + 1.38·13-s − 0.258·15-s − 2·16-s − 0.970·17-s − 8.48·18-s − 1.14·19-s + 9.59·22-s + 2.50·23-s + 1.63·24-s − 6·25-s + 2.94·26-s + 3.27·27-s + 2.59·29-s − 0.547·30-s + 0.538·31-s − 0.176·32-s − 2.61·33-s − 2.05·34-s + 3.94·37-s + ⋯ |
Functional equation
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{34} \cdot 41^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(2-s)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\left(7^{34} \cdot 41^{17}\right)^{s/2} \, \Gamma_{\C}(s+1/2)^{17} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]
Invariants
| Degree: | \(34\) |
| Conductor: | \(7^{34} \cdot 41^{17}\) |
| Sign: | $1$ |
| Analytic conductor: | \(3.08581\times 10^{20}\) |
| Root analytic conductor: | \(4.00523\) |
| Motivic weight: | \(1\) |
| Rational: | yes |
| Arithmetic: | yes |
| Character: | Trivial |
| Primitive: | no |
| Self-dual: | yes |
| Analytic rank: | \(0\) |
| Selberg data: | \((34,\ 7^{34} \cdot 41^{17} ,\ ( \ : [1/2]^{17} ),\ 1 )\) |
Particular Values
| \(L(1)\) | \(\approx\) | \(28.51319386\) |
| \(L(\frac12)\) | \(\approx\) | \(28.51319386\) |
| \(L(\frac{3}{2})\) | not available | |
| \(L(1)\) | not available |
Euler product
\(L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} \)
| $p$ | $F_p(T)$ | |
|---|---|---|
| bad | 7 | \( 1 \) |
| 41 | \( ( 1 + T )^{17} \) | |
| good | 2 | \( 1 - 3 T + 9 T^{2} - 19 T^{3} + 41 T^{4} - 37 p T^{5} + 131 T^{6} - 199 T^{7} + 313 T^{8} - 419 T^{9} + 591 T^{10} - 717 T^{11} + 971 T^{12} - 289 p^{2} T^{13} + 1617 T^{14} - 1933 T^{15} + 1461 p T^{16} - 901 p^{2} T^{17} + 1461 p^{2} T^{18} - 1933 p^{2} T^{19} + 1617 p^{3} T^{20} - 289 p^{6} T^{21} + 971 p^{5} T^{22} - 717 p^{6} T^{23} + 591 p^{7} T^{24} - 419 p^{8} T^{25} + 313 p^{9} T^{26} - 199 p^{10} T^{27} + 131 p^{11} T^{28} - 37 p^{13} T^{29} + 41 p^{13} T^{30} - 19 p^{14} T^{31} + 9 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) |
| 3 | \( 1 + T + 13 T^{2} + 8 T^{3} + 86 T^{4} + 31 T^{5} + 442 T^{6} + 103 T^{7} + 2012 T^{8} + 262 T^{9} + 2656 p T^{10} - 5 p T^{11} + 27710 T^{12} - 3718 T^{13} + 30064 p T^{14} - 6121 p T^{15} + 285619 T^{16} - 59651 T^{17} + 285619 p T^{18} - 6121 p^{3} T^{19} + 30064 p^{4} T^{20} - 3718 p^{4} T^{21} + 27710 p^{5} T^{22} - 5 p^{7} T^{23} + 2656 p^{8} T^{24} + 262 p^{8} T^{25} + 2012 p^{9} T^{26} + 103 p^{10} T^{27} + 442 p^{11} T^{28} + 31 p^{12} T^{29} + 86 p^{13} T^{30} + 8 p^{14} T^{31} + 13 p^{15} T^{32} + p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 5 | \( 1 - T + 31 T^{2} - 22 T^{3} + 106 p T^{4} - 307 T^{5} + 6506 T^{6} - 3323 T^{7} + 63192 T^{8} - 30588 T^{9} + 511922 T^{10} - 245463 T^{11} + 3576628 T^{12} - 1728104 T^{13} + 22057028 T^{14} - 10627417 T^{15} + 121990067 T^{16} - 56999971 T^{17} + 121990067 p T^{18} - 10627417 p^{2} T^{19} + 22057028 p^{3} T^{20} - 1728104 p^{4} T^{21} + 3576628 p^{5} T^{22} - 245463 p^{6} T^{23} + 511922 p^{7} T^{24} - 30588 p^{8} T^{25} + 63192 p^{9} T^{26} - 3323 p^{10} T^{27} + 6506 p^{11} T^{28} - 307 p^{12} T^{29} + 106 p^{14} T^{30} - 22 p^{14} T^{31} + 31 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 11 | \( 1 - 15 T + 190 T^{2} - 1703 T^{3} + 13752 T^{4} - 94013 T^{5} + 595117 T^{6} - 3382487 T^{7} + 18091657 T^{8} - 89333962 T^{9} + 419455284 T^{10} - 1846870802 T^{11} + 7788551201 T^{12} - 31097507282 T^{13} + 119511159637 T^{14} - 437373695104 T^{15} + 12770898287 p^{2} T^{16} - 5213529235339 T^{17} + 12770898287 p^{3} T^{18} - 437373695104 p^{2} T^{19} + 119511159637 p^{3} T^{20} - 31097507282 p^{4} T^{21} + 7788551201 p^{5} T^{22} - 1846870802 p^{6} T^{23} + 419455284 p^{7} T^{24} - 89333962 p^{8} T^{25} + 18091657 p^{9} T^{26} - 3382487 p^{10} T^{27} + 595117 p^{11} T^{28} - 94013 p^{12} T^{29} + 13752 p^{13} T^{30} - 1703 p^{14} T^{31} + 190 p^{15} T^{32} - 15 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 13 | \( 1 - 5 T + 118 T^{2} - 391 T^{3} + 6048 T^{4} - 11546 T^{5} + 185403 T^{6} - 86690 T^{7} + 4012572 T^{8} + 4434458 T^{9} + 72641222 T^{10} + 175315312 T^{11} + 1303121483 T^{12} + 266485658 p T^{13} + 23515148950 T^{14} + 49279593825 T^{15} + 376615333127 T^{16} + 633534601766 T^{17} + 376615333127 p T^{18} + 49279593825 p^{2} T^{19} + 23515148950 p^{3} T^{20} + 266485658 p^{5} T^{21} + 1303121483 p^{5} T^{22} + 175315312 p^{6} T^{23} + 72641222 p^{7} T^{24} + 4434458 p^{8} T^{25} + 4012572 p^{9} T^{26} - 86690 p^{10} T^{27} + 185403 p^{11} T^{28} - 11546 p^{12} T^{29} + 6048 p^{13} T^{30} - 391 p^{14} T^{31} + 118 p^{15} T^{32} - 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 17 | \( 1 + 4 T + 103 T^{2} + p^{2} T^{3} + 5293 T^{4} + 12123 T^{5} + 202094 T^{6} + 25792 p T^{7} + 6390066 T^{8} + 13419659 T^{9} + 170586050 T^{10} + 20490602 p T^{11} + 4000040556 T^{12} + 8048611729 T^{13} + 84016416289 T^{14} + 163472204469 T^{15} + 1578369366460 T^{16} + 2928191129994 T^{17} + 1578369366460 p T^{18} + 163472204469 p^{2} T^{19} + 84016416289 p^{3} T^{20} + 8048611729 p^{4} T^{21} + 4000040556 p^{5} T^{22} + 20490602 p^{7} T^{23} + 170586050 p^{7} T^{24} + 13419659 p^{8} T^{25} + 6390066 p^{9} T^{26} + 25792 p^{11} T^{27} + 202094 p^{11} T^{28} + 12123 p^{12} T^{29} + 5293 p^{13} T^{30} + p^{16} T^{31} + 103 p^{15} T^{32} + 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 19 | \( 1 + 5 T + 163 T^{2} + 787 T^{3} + 13026 T^{4} + 63832 T^{5} + 695766 T^{6} + 184968 p T^{7} + 28400960 T^{8} + 145663624 T^{9} + 954747570 T^{10} + 4806528997 T^{11} + 27529531216 T^{12} + 131264750268 T^{13} + 691369674246 T^{14} + 3057167436295 T^{15} + 15126874241747 T^{16} + 62004032178313 T^{17} + 15126874241747 p T^{18} + 3057167436295 p^{2} T^{19} + 691369674246 p^{3} T^{20} + 131264750268 p^{4} T^{21} + 27529531216 p^{5} T^{22} + 4806528997 p^{6} T^{23} + 954747570 p^{7} T^{24} + 145663624 p^{8} T^{25} + 28400960 p^{9} T^{26} + 184968 p^{11} T^{27} + 695766 p^{11} T^{28} + 63832 p^{12} T^{29} + 13026 p^{13} T^{30} + 787 p^{14} T^{31} + 163 p^{15} T^{32} + 5 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 23 | \( 1 - 12 T + 239 T^{2} - 2133 T^{3} + 24739 T^{4} - 179111 T^{5} + 1572283 T^{6} - 9780962 T^{7} + 72560030 T^{8} - 405378699 T^{9} + 117740794 p T^{10} - 14052708460 T^{11} + 87562240915 T^{12} - 430213729605 T^{13} + 2530157859979 T^{14} - 11807208498605 T^{15} + 65455351872286 T^{16} - 288563966305146 T^{17} + 65455351872286 p T^{18} - 11807208498605 p^{2} T^{19} + 2530157859979 p^{3} T^{20} - 430213729605 p^{4} T^{21} + 87562240915 p^{5} T^{22} - 14052708460 p^{6} T^{23} + 117740794 p^{8} T^{24} - 405378699 p^{8} T^{25} + 72560030 p^{9} T^{26} - 9780962 p^{10} T^{27} + 1572283 p^{11} T^{28} - 179111 p^{12} T^{29} + 24739 p^{13} T^{30} - 2133 p^{14} T^{31} + 239 p^{15} T^{32} - 12 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 29 | \( 1 - 14 T + 355 T^{2} - 3740 T^{3} + 56093 T^{4} - 485019 T^{5} + 5537717 T^{6} - 41259601 T^{7} + 394776748 T^{8} - 2612080276 T^{9} + 21996183568 T^{10} - 131841485053 T^{11} + 1005289757439 T^{12} - 5533937998669 T^{13} + 38868388142751 T^{14} - 198363811397758 T^{15} + 1295632977449316 T^{16} - 6163616090425740 T^{17} + 1295632977449316 p T^{18} - 198363811397758 p^{2} T^{19} + 38868388142751 p^{3} T^{20} - 5533937998669 p^{4} T^{21} + 1005289757439 p^{5} T^{22} - 131841485053 p^{6} T^{23} + 21996183568 p^{7} T^{24} - 2612080276 p^{8} T^{25} + 394776748 p^{9} T^{26} - 41259601 p^{10} T^{27} + 5537717 p^{11} T^{28} - 485019 p^{12} T^{29} + 56093 p^{13} T^{30} - 3740 p^{14} T^{31} + 355 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 31 | \( 1 - 3 T + 347 T^{2} - 1300 T^{3} + 59126 T^{4} - 256653 T^{5} + 6622408 T^{6} - 31452855 T^{7} + 548340437 T^{8} - 2723127577 T^{9} + 35654760419 T^{10} - 178563886691 T^{11} + 1883992694832 T^{12} - 9237468719559 T^{13} + 82547595645174 T^{14} - 386125535886930 T^{15} + 3034111157193856 T^{16} - 13206622392649632 T^{17} + 3034111157193856 p T^{18} - 386125535886930 p^{2} T^{19} + 82547595645174 p^{3} T^{20} - 9237468719559 p^{4} T^{21} + 1883992694832 p^{5} T^{22} - 178563886691 p^{6} T^{23} + 35654760419 p^{7} T^{24} - 2723127577 p^{8} T^{25} + 548340437 p^{9} T^{26} - 31452855 p^{10} T^{27} + 6622408 p^{11} T^{28} - 256653 p^{12} T^{29} + 59126 p^{13} T^{30} - 1300 p^{14} T^{31} + 347 p^{15} T^{32} - 3 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 37 | \( 1 - 24 T + 635 T^{2} - 10550 T^{3} + 172557 T^{4} - 2265053 T^{5} + 28602825 T^{6} - 315182397 T^{7} + 3324477148 T^{8} - 31793967732 T^{9} + 290992183272 T^{10} - 2463971058773 T^{11} + 19986593517171 T^{12} - 151691430047243 T^{13} + 1104063428511095 T^{14} - 7565479281788688 T^{15} + 49751467190780188 T^{16} - 308878786314680280 T^{17} + 49751467190780188 p T^{18} - 7565479281788688 p^{2} T^{19} + 1104063428511095 p^{3} T^{20} - 151691430047243 p^{4} T^{21} + 19986593517171 p^{5} T^{22} - 2463971058773 p^{6} T^{23} + 290992183272 p^{7} T^{24} - 31793967732 p^{8} T^{25} + 3324477148 p^{9} T^{26} - 315182397 p^{10} T^{27} + 28602825 p^{11} T^{28} - 2265053 p^{12} T^{29} + 172557 p^{13} T^{30} - 10550 p^{14} T^{31} + 635 p^{15} T^{32} - 24 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 43 | \( 1 - 14 T + 501 T^{2} - 5620 T^{3} + 115543 T^{4} - 1085639 T^{5} + 16701801 T^{6} - 134788067 T^{7} + 1720763284 T^{8} - 12108396512 T^{9} + 135918356264 T^{10} - 843646315319 T^{11} + 8674070184701 T^{12} - 48173565945585 T^{13} + 468181132007451 T^{14} - 2377958296010682 T^{15} + 22259636743436564 T^{16} - 106350257816075028 T^{17} + 22259636743436564 p T^{18} - 2377958296010682 p^{2} T^{19} + 468181132007451 p^{3} T^{20} - 48173565945585 p^{4} T^{21} + 8674070184701 p^{5} T^{22} - 843646315319 p^{6} T^{23} + 135918356264 p^{7} T^{24} - 12108396512 p^{8} T^{25} + 1720763284 p^{9} T^{26} - 134788067 p^{10} T^{27} + 16701801 p^{11} T^{28} - 1085639 p^{12} T^{29} + 115543 p^{13} T^{30} - 5620 p^{14} T^{31} + 501 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 47 | \( 1 + 19 T + 12 p T^{2} + 7453 T^{3} + 132748 T^{4} + 1402530 T^{5} + 19412149 T^{6} + 176443224 T^{7} + 2084935814 T^{8} + 16917367649 T^{9} + 178088363476 T^{10} + 1317287494422 T^{11} + 12664555786511 T^{12} + 86665702079342 T^{13} + 772816680328506 T^{14} + 4938564140525389 T^{15} + 41201413204769941 T^{16} + 247105881695558708 T^{17} + 41201413204769941 p T^{18} + 4938564140525389 p^{2} T^{19} + 772816680328506 p^{3} T^{20} + 86665702079342 p^{4} T^{21} + 12664555786511 p^{5} T^{22} + 1317287494422 p^{6} T^{23} + 178088363476 p^{7} T^{24} + 16917367649 p^{8} T^{25} + 2084935814 p^{9} T^{26} + 176443224 p^{10} T^{27} + 19412149 p^{11} T^{28} + 1402530 p^{12} T^{29} + 132748 p^{13} T^{30} + 7453 p^{14} T^{31} + 12 p^{16} T^{32} + 19 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 53 | \( 1 - 4 T + 396 T^{2} - 878 T^{3} + 75201 T^{4} - 33051 T^{5} + 9386549 T^{6} + 12571486 T^{7} + 899147447 T^{8} + 2625685509 T^{9} + 73339077909 T^{10} + 290043535074 T^{11} + 5398154896079 T^{12} + 23098013958351 T^{13} + 361855448785051 T^{14} + 1494527926036494 T^{15} + 21725315334045739 T^{16} + 83995816250399126 T^{17} + 21725315334045739 p T^{18} + 1494527926036494 p^{2} T^{19} + 361855448785051 p^{3} T^{20} + 23098013958351 p^{4} T^{21} + 5398154896079 p^{5} T^{22} + 290043535074 p^{6} T^{23} + 73339077909 p^{7} T^{24} + 2625685509 p^{8} T^{25} + 899147447 p^{9} T^{26} + 12571486 p^{10} T^{27} + 9386549 p^{11} T^{28} - 33051 p^{12} T^{29} + 75201 p^{13} T^{30} - 878 p^{14} T^{31} + 396 p^{15} T^{32} - 4 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 59 | \( 1 - 27 T + 790 T^{2} - 14273 T^{3} + 254314 T^{4} - 3508798 T^{5} + 46825069 T^{6} - 517772828 T^{7} + 5489749622 T^{8} - 48746836501 T^{9} + 408142642896 T^{10} - 2694251996406 T^{11} + 15237077106519 T^{12} - 30876487133150 T^{13} - 387432455729864 T^{14} + 8685525217754091 T^{15} - 89925393528327001 T^{16} + 807078885733891640 T^{17} - 89925393528327001 p T^{18} + 8685525217754091 p^{2} T^{19} - 387432455729864 p^{3} T^{20} - 30876487133150 p^{4} T^{21} + 15237077106519 p^{5} T^{22} - 2694251996406 p^{6} T^{23} + 408142642896 p^{7} T^{24} - 48746836501 p^{8} T^{25} + 5489749622 p^{9} T^{26} - 517772828 p^{10} T^{27} + 46825069 p^{11} T^{28} - 3508798 p^{12} T^{29} + 254314 p^{13} T^{30} - 14273 p^{14} T^{31} + 790 p^{15} T^{32} - 27 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 61 | \( 1 - T + 560 T^{2} + 324 T^{3} + 153994 T^{4} + 291106 T^{5} + 28293893 T^{6} + 82014011 T^{7} + 3947642817 T^{8} + 14174537221 T^{9} + 446283326496 T^{10} + 1783064608833 T^{11} + 42328790366983 T^{12} + 176139656013474 T^{13} + 3434627111823547 T^{14} + 14185239745648499 T^{15} + 241035083860586949 T^{16} + 947656364864180242 T^{17} + 241035083860586949 p T^{18} + 14185239745648499 p^{2} T^{19} + 3434627111823547 p^{3} T^{20} + 176139656013474 p^{4} T^{21} + 42328790366983 p^{5} T^{22} + 1783064608833 p^{6} T^{23} + 446283326496 p^{7} T^{24} + 14174537221 p^{8} T^{25} + 3947642817 p^{9} T^{26} + 82014011 p^{10} T^{27} + 28293893 p^{11} T^{28} + 291106 p^{12} T^{29} + 153994 p^{13} T^{30} + 324 p^{14} T^{31} + 560 p^{15} T^{32} - p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 67 | \( 1 - 49 T + 1801 T^{2} - 48652 T^{3} + 1116265 T^{4} - 21935772 T^{5} + 384886511 T^{6} - 6079379447 T^{7} + 88015541222 T^{8} - 1175052922682 T^{9} + 14607671313010 T^{10} - 169826063101027 T^{11} + 1857414620972507 T^{12} - 19168380745213392 T^{13} + 187354457744892357 T^{14} - 1737460217921484366 T^{15} + 15320437388008044792 T^{16} - \)\(12\!\cdots\!50\)\( T^{17} + 15320437388008044792 p T^{18} - 1737460217921484366 p^{2} T^{19} + 187354457744892357 p^{3} T^{20} - 19168380745213392 p^{4} T^{21} + 1857414620972507 p^{5} T^{22} - 169826063101027 p^{6} T^{23} + 14607671313010 p^{7} T^{24} - 1175052922682 p^{8} T^{25} + 88015541222 p^{9} T^{26} - 6079379447 p^{10} T^{27} + 384886511 p^{11} T^{28} - 21935772 p^{12} T^{29} + 1116265 p^{13} T^{30} - 48652 p^{14} T^{31} + 1801 p^{15} T^{32} - 49 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 71 | \( 1 - 40 T + 1374 T^{2} - 33177 T^{3} + 715975 T^{4} - 13040936 T^{5} + 218184927 T^{6} - 3272019966 T^{7} + 45860802496 T^{8} - 592702948240 T^{9} + 7241747364173 T^{10} - 82885605229825 T^{11} + 903810471887914 T^{12} - 9319858469320218 T^{13} + 92021704416520370 T^{14} - 863959534379931611 T^{15} + 7789151191505478234 T^{16} - 66945292548611306582 T^{17} + 7789151191505478234 p T^{18} - 863959534379931611 p^{2} T^{19} + 92021704416520370 p^{3} T^{20} - 9319858469320218 p^{4} T^{21} + 903810471887914 p^{5} T^{22} - 82885605229825 p^{6} T^{23} + 7241747364173 p^{7} T^{24} - 592702948240 p^{8} T^{25} + 45860802496 p^{9} T^{26} - 3272019966 p^{10} T^{27} + 218184927 p^{11} T^{28} - 13040936 p^{12} T^{29} + 715975 p^{13} T^{30} - 33177 p^{14} T^{31} + 1374 p^{15} T^{32} - 40 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 73 | \( 1 - 14 T + 720 T^{2} - 9687 T^{3} + 270306 T^{4} - 3431349 T^{5} + 68849521 T^{6} - 816618430 T^{7} + 13172555356 T^{8} - 145309875303 T^{9} + 1994781329106 T^{10} - 20421139880276 T^{11} + 246535981040545 T^{12} - 2338641027340479 T^{13} + 25336379927237556 T^{14} - 222253591410494343 T^{15} + 2188948692794156785 T^{16} - 17697891775385147678 T^{17} + 2188948692794156785 p T^{18} - 222253591410494343 p^{2} T^{19} + 25336379927237556 p^{3} T^{20} - 2338641027340479 p^{4} T^{21} + 246535981040545 p^{5} T^{22} - 20421139880276 p^{6} T^{23} + 1994781329106 p^{7} T^{24} - 145309875303 p^{8} T^{25} + 13172555356 p^{9} T^{26} - 816618430 p^{10} T^{27} + 68849521 p^{11} T^{28} - 3431349 p^{12} T^{29} + 270306 p^{13} T^{30} - 9687 p^{14} T^{31} + 720 p^{15} T^{32} - 14 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 79 | \( 1 - 61 T + 2502 T^{2} - 75965 T^{3} + 1921212 T^{4} - 41664694 T^{5} + 803078539 T^{6} - 13949750004 T^{7} + 221918919163 T^{8} - 3258387952572 T^{9} + 44540686481580 T^{10} - 569446531924719 T^{11} + 6843743339160625 T^{12} - 77527861881114540 T^{13} + 830333552183309167 T^{14} - 8419647937183343721 T^{15} + 80964267131630511813 T^{16} - \)\(73\!\cdots\!77\)\( T^{17} + 80964267131630511813 p T^{18} - 8419647937183343721 p^{2} T^{19} + 830333552183309167 p^{3} T^{20} - 77527861881114540 p^{4} T^{21} + 6843743339160625 p^{5} T^{22} - 569446531924719 p^{6} T^{23} + 44540686481580 p^{7} T^{24} - 3258387952572 p^{8} T^{25} + 221918919163 p^{9} T^{26} - 13949750004 p^{10} T^{27} + 803078539 p^{11} T^{28} - 41664694 p^{12} T^{29} + 1921212 p^{13} T^{30} - 75965 p^{14} T^{31} + 2502 p^{15} T^{32} - 61 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 83 | \( 1 - 18 T + 649 T^{2} - 8266 T^{3} + 187447 T^{4} - 1911189 T^{5} + 35451581 T^{6} - 3685227 p T^{7} + 5175717576 T^{8} - 39367421468 T^{9} + 642998529916 T^{10} - 4466934544265 T^{11} + 71637393222865 T^{12} - 466445774476547 T^{13} + 7274839511346155 T^{14} - 44877481335368596 T^{15} + 670127463585613200 T^{16} - 3921599863597187412 T^{17} + 670127463585613200 p T^{18} - 44877481335368596 p^{2} T^{19} + 7274839511346155 p^{3} T^{20} - 466445774476547 p^{4} T^{21} + 71637393222865 p^{5} T^{22} - 4466934544265 p^{6} T^{23} + 642998529916 p^{7} T^{24} - 39367421468 p^{8} T^{25} + 5175717576 p^{9} T^{26} - 3685227 p^{11} T^{27} + 35451581 p^{11} T^{28} - 1911189 p^{12} T^{29} + 187447 p^{13} T^{30} - 8266 p^{14} T^{31} + 649 p^{15} T^{32} - 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 89 | \( 1 + 18 T + 1210 T^{2} + 18248 T^{3} + 680740 T^{4} + 8864127 T^{5} + 240661821 T^{6} + 2762259374 T^{7} + 60681859080 T^{8} + 623143969383 T^{9} + 11705249565930 T^{10} + 108726466717854 T^{11} + 1803991540372945 T^{12} + 15276479424715949 T^{13} + 228369702398463766 T^{14} + 1771921614312460364 T^{15} + 24145001558824388947 T^{16} + \)\(17\!\cdots\!34\)\( T^{17} + 24145001558824388947 p T^{18} + 1771921614312460364 p^{2} T^{19} + 228369702398463766 p^{3} T^{20} + 15276479424715949 p^{4} T^{21} + 1803991540372945 p^{5} T^{22} + 108726466717854 p^{6} T^{23} + 11705249565930 p^{7} T^{24} + 623143969383 p^{8} T^{25} + 60681859080 p^{9} T^{26} + 2762259374 p^{10} T^{27} + 240661821 p^{11} T^{28} + 8864127 p^{12} T^{29} + 680740 p^{13} T^{30} + 18248 p^{14} T^{31} + 1210 p^{15} T^{32} + 18 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| 97 | \( 1 + 26 T + 770 T^{2} + 14867 T^{3} + 292781 T^{4} + 4868120 T^{5} + 78821304 T^{6} + 1162618972 T^{7} + 16577872762 T^{8} + 221284097506 T^{9} + 2870029762020 T^{10} + 35191267282090 T^{11} + 421154908714594 T^{12} + 4794568498290144 T^{13} + 53333097252056137 T^{14} + 567616748953336231 T^{15} + 5895969216393339567 T^{16} + 58806362472633202712 T^{17} + 5895969216393339567 p T^{18} + 567616748953336231 p^{2} T^{19} + 53333097252056137 p^{3} T^{20} + 4794568498290144 p^{4} T^{21} + 421154908714594 p^{5} T^{22} + 35191267282090 p^{6} T^{23} + 2870029762020 p^{7} T^{24} + 221284097506 p^{8} T^{25} + 16577872762 p^{9} T^{26} + 1162618972 p^{10} T^{27} + 78821304 p^{11} T^{28} + 4868120 p^{12} T^{29} + 292781 p^{13} T^{30} + 14867 p^{14} T^{31} + 770 p^{15} T^{32} + 26 p^{16} T^{33} + p^{17} T^{34} \) | |
| show more | ||
| show less | ||
\(L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{34} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}\)
Imaginary part of the first few zeros on the critical line
−2.18590793148346113823766586017, −2.16567053885917478840314586831, −2.02361013909815023158514857663, −1.99051954030337965241223775121, −1.97786066183666923359334588310, −1.92462230251957711741455885211, −1.88479496551374640114966162867, −1.87626123527978726003228173848, −1.61083231568308690084749804186, −1.34753695212264610907265035245, −1.29847838773492496696266552964, −1.29702480152933380300248328224, −1.26619472926162470197734558994, −1.25815625132150218564649596946, −1.22127545248555124903326398244, −0.992861883777362336807323187145, −0.928265437406178625050439177719, −0.822317597455318377786862549921, −0.62066947478863401049904423825, −0.61838340673933243957866100945, −0.58636099838898291672503452090, −0.55201344122632391157078281232, −0.48236090735567782070871392127, −0.25562426107245205942610376392, −0.11566891612279901486891310766, 0.11566891612279901486891310766, 0.25562426107245205942610376392, 0.48236090735567782070871392127, 0.55201344122632391157078281232, 0.58636099838898291672503452090, 0.61838340673933243957866100945, 0.62066947478863401049904423825, 0.822317597455318377786862549921, 0.928265437406178625050439177719, 0.992861883777362336807323187145, 1.22127545248555124903326398244, 1.25815625132150218564649596946, 1.26619472926162470197734558994, 1.29702480152933380300248328224, 1.29847838773492496696266552964, 1.34753695212264610907265035245, 1.61083231568308690084749804186, 1.87626123527978726003228173848, 1.88479496551374640114966162867, 1.92462230251957711741455885211, 1.97786066183666923359334588310, 1.99051954030337965241223775121, 2.02361013909815023158514857663, 2.16567053885917478840314586831, 2.18590793148346113823766586017
Graph of the $Z$-function along the critical line
Plot not available for L-functions of degree greater than 10.