LMFDB - L-function 12-1-1.1-c85e6-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 3.59e12·2^-s − 1.58e20·3^-s − 3.90e25·4^-s − 9.37e29·5^-s + 5.70e32·6^-s + 3.76e35·7^-s + 3.50e38·8^-s − 6.65e40·9^-s + 3.37e42·10^-s − 5.63e43·11^-s + 6.19e45·12^-s − 3.80e47·13^-s − 1.35e48·14^-s + 1.48e50·15^-s − 6.54e50·16^-s − 5.13e52·17^-s + 2.39e53·18^-s + 2.65e54·19^-s + 3.66e55·20^-s − 5.97e55·21^-s + 2.02e56·22^-s − 2.88e57·23^-s − 5.56e58·24^-s − 1.16e57·25^-s + 1.36e60·26^-s + 1.28e61·27^-s − 1.47e61·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.578·2^-s − 0.836·3^-s − 1.01·4^-s − 1.84·5^-s + 0.483·6^-s + 0.456·7^-s + 1.45·8^-s − 1.85·9^-s + 1.06·10^-s − 0.310·11^-s + 0.845·12^-s − 1.72·13^-s − 0.263·14^-s + 1.54·15^-s − 0.437·16^-s − 2.60·17^-s + 1.07·18^-s + 1.19·19^-s + 1.86·20^-s − 0.381·21^-s + 0.179·22^-s − 0.386·23^-s − 1.21·24^-s − 0.00450·25^-s + 0.999·26^-s + 1.88·27^-s − 0.461·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(86-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+85/2)^{6} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$12$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$9.17548\times 10^{9}$
Root analytic conductor:	$6.76424$
Motivic weight:	$85$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$6$
Selberg data:	$(12,\ 1,\ (\ :[85/2]^{6}),\ 1)$

Particular Values

$L(43)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{87}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
good	2	$ 1 + 112403459025 p^{5} T + $$15\!\cdots\!35$$ p^{15} T^{2} - $$68\!\cdots\!25$$ p^{25} T^{3} + $$61\!\cdots\!11$$ p^{41} T^{4} - $$82\!\cdots\!25$$ p^{62} T^{5} + $$81\!\cdots\!35$$ p^{86} T^{6} - $$82\!\cdots\!25$$ p^{147} T^{7} + $$61\!\cdots\!11$$ p^{211} T^{8} - $$68\!\cdots\!25$$ p^{280} T^{9} + $$15\!\cdots\!35$$ p^{355} T^{10} + 112403459025 p^{430} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	3	$ 1 + 1957707976600176200 p^{4} T + $$15\!\cdots\!90$$ p^{10} T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{19} T^{3} + $$10\!\cdots\!89$$ p^{33} T^{4} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{48} T^{5} + $$61\!\cdots\!80$$ p^{64} T^{6} + $$75\!\cdots\!00$$ p^{133} T^{7} + $$10\!\cdots\!89$$ p^{203} T^{8} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{274} T^{9} + $$15\!\cdots\!90$$ p^{350} T^{10} + 1957707976600176200 p^{429} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	5	$ 1 + $$37\!\cdots\!04$$ p^{2} T + $$11\!\cdots\!22$$ p^{7} T^{2} + $$36\!\cdots\!12$$ p^{13} T^{3} + $$10\!\cdots\!59$$ p^{22} T^{4} + $$29\!\cdots\!56$$ p^{32} T^{5} + $$72\!\cdots\!64$$ p^{44} T^{6} + $$29\!\cdots\!56$$ p^{117} T^{7} + $$10\!\cdots\!59$$ p^{192} T^{8} + $$36\!\cdots\!12$$ p^{268} T^{9} + $$11\!\cdots\!22$$ p^{347} T^{10} + $$37\!\cdots\!04$$ p^{427} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	7	$ 1 - $$76\!\cdots\!00$$ p^{2} T + $$23\!\cdots\!50$$ p^{5} T^{2} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{3} + $$19\!\cdots\!47$$ p^{16} T^{4} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{24} T^{5} + $$74\!\cdots\!00$$ p^{33} T^{6} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{109} T^{7} + $$19\!\cdots\!47$$ p^{186} T^{8} - $$30\!\cdots\!00$$ p^{264} T^{9} + $$23\!\cdots\!50$$ p^{345} T^{10} - $$76\!\cdots\!00$$ p^{427} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	11	$ 1 + $$51\!\cdots\!08$$ p T + $$82\!\cdots\!86$$ p^{3} T^{2} + $$87\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{3} + $$27\!\cdots\!95$$ p^{8} T^{4} + $$29\!\cdots\!68$$ p^{13} T^{5} + $$35\!\cdots\!64$$ p^{19} T^{6} + $$29\!\cdots\!68$$ p^{98} T^{7} + $$27\!\cdots\!95$$ p^{178} T^{8} + $$87\!\cdots\!80$$ p^{260} T^{9} + $$82\!\cdots\!86$$ p^{343} T^{10} + $$51\!\cdots\!08$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	13	$ 1 + $$29\!\cdots\!00$$ p T + $$10\!\cdots\!10$$ p^{3} T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{3} + $$14\!\cdots\!03$$ p^{10} T^{4} + $$79\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{5} + $$50\!\cdots\!20$$ p^{21} T^{6} + $$79\!\cdots\!00$$ p^{100} T^{7} + $$14\!\cdots\!03$$ p^{180} T^{8} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{261} T^{9} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{343} T^{10} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	17	$ 1 + $$30\!\cdots\!00$$ p T + $$38\!\cdots\!30$$ p^{3} T^{2} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{3} + $$99\!\cdots\!51$$ p^{9} T^{4} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{9} T^{5} + $$86\!\cdots\!20$$ p^{12} T^{6} + $$20\!\cdots\!00$$ p^{94} T^{7} + $$99\!\cdots\!51$$ p^{179} T^{8} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{260} T^{9} + $$38\!\cdots\!30$$ p^{343} T^{10} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	19	$ 1 - $$13\!\cdots\!40$$ p T + $$46\!\cdots\!54$$ p^{2} T^{2} - $$37\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$18\!\cdots\!85$$ p^{7} T^{4} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{5} + $$12\!\cdots\!80$$ p^{14} T^{6} - $$70\!\cdots\!00$$ p^{95} T^{7} + $$18\!\cdots\!85$$ p^{177} T^{8} - $$37\!\cdots\!00$$ p^{259} T^{9} + $$46\!\cdots\!54$$ p^{342} T^{10} - $$13\!\cdots\!40$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	23	$ 1 + $$28\!\cdots\!00$$ T + $$83\!\cdots\!10$$ p T^{2} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$62\!\cdots\!67$$ p^{4} T^{4} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$62\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{6} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{91} T^{7} + $$62\!\cdots\!67$$ p^{174} T^{8} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{257} T^{9} + $$83\!\cdots\!10$$ p^{341} T^{10} + $$28\!\cdots\!00$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	29	$ 1 + $$12\!\cdots\!60$$ T + $$73\!\cdots\!94$$ T^{2} + $$60\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$17\!\cdots\!15$$ p^{2} T^{4} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$28\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{6} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{89} T^{7} + $$17\!\cdots\!15$$ p^{172} T^{8} + $$60\!\cdots\!00$$ p^{256} T^{9} + $$73\!\cdots\!94$$ p^{340} T^{10} + $$12\!\cdots\!60$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	31	$ 1 + $$51\!\cdots\!88$$ T + $$10\!\cdots\!86$$ p T^{2} + $$12\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$15\!\cdots\!45$$ p^{3} T^{4} + $$44\!\cdots\!08$$ p^{5} T^{5} + $$13\!\cdots\!84$$ p^{7} T^{6} + $$44\!\cdots\!08$$ p^{90} T^{7} + $$15\!\cdots\!45$$ p^{173} T^{8} + $$12\!\cdots\!80$$ p^{257} T^{9} + $$10\!\cdots\!86$$ p^{341} T^{10} + $$51\!\cdots\!88$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	37	$ 1 + $$13\!\cdots\!00$$ p T + $$68\!\cdots\!30$$ p^{2} T^{2} + $$95\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$56\!\cdots\!71$$ p^{5} T^{4} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{5} + $$75\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{6} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{92} T^{7} + $$56\!\cdots\!71$$ p^{175} T^{8} + $$95\!\cdots\!00$$ p^{258} T^{9} + $$68\!\cdots\!30$$ p^{342} T^{10} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	41	$ 1 + $$91\!\cdots\!68$$ p T + $$29\!\cdots\!86$$ p^{2} T^{2} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$91\!\cdots\!95$$ p^{5} T^{4} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{7} T^{5} + $$45\!\cdots\!84$$ p^{9} T^{6} + $$11\!\cdots\!68$$ p^{92} T^{7} + $$91\!\cdots\!95$$ p^{175} T^{8} + $$10\!\cdots\!80$$ p^{258} T^{9} + $$29\!\cdots\!86$$ p^{342} T^{10} + $$91\!\cdots\!68$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	43	$ 1 + $$12\!\cdots\!00$$ T + $$24\!\cdots\!50$$ T^{2} + $$40\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$75\!\cdots\!29$$ p T^{4} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$35\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{6} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{87} T^{7} + $$75\!\cdots\!29$$ p^{171} T^{8} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{255} T^{9} + $$24\!\cdots\!50$$ p^{340} T^{10} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	47	$ 1 + $$23\!\cdots\!00$$ T + $$51\!\cdots\!10$$ T^{2} + $$63\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!01$$ p T^{4} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$74\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{6} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{87} T^{7} + $$16\!\cdots\!01$$ p^{171} T^{8} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{255} T^{9} + $$51\!\cdots\!10$$ p^{340} T^{10} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	53	$ 1 + $$50\!\cdots\!00$$ T + $$23\!\cdots\!10$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$61\!\cdots\!83$$ p^{2} T^{4} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$96\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{6} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{88} T^{7} + $$61\!\cdots\!83$$ p^{172} T^{8} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{256} T^{9} + $$23\!\cdots\!10$$ p^{340} T^{10} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	59	$ 1 - $$66\!\cdots\!80$$ T + $$33\!\cdots\!94$$ T^{2} - $$19\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$98\!\cdots\!15$$ p^{2} T^{4} - $$38\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$13\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{6} - $$38\!\cdots\!00$$ p^{88} T^{7} + $$98\!\cdots\!15$$ p^{172} T^{8} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{256} T^{9} + $$33\!\cdots\!94$$ p^{340} T^{10} - $$66\!\cdots\!80$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	61	$ 1 - $$14\!\cdots\!12$$ T + $$41\!\cdots\!06$$ p T^{2} - $$69\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{3} T^{4} - $$15\!\cdots\!12$$ p^{4} T^{5} + $$22\!\cdots\!24$$ p^{5} T^{6} - $$15\!\cdots\!12$$ p^{89} T^{7} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{173} T^{8} - $$69\!\cdots\!20$$ p^{257} T^{9} + $$41\!\cdots\!06$$ p^{341} T^{10} - $$14\!\cdots\!12$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	67	$ 1 + $$67\!\cdots\!00$$ T + $$12\!\cdots\!70$$ p T^{2} + $$85\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$86\!\cdots\!69$$ p^{3} T^{4} + $$48\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$37\!\cdots\!60$$ p^{5} T^{6} + $$48\!\cdots\!00$$ p^{89} T^{7} + $$86\!\cdots\!69$$ p^{173} T^{8} + $$85\!\cdots\!00$$ p^{257} T^{9} + $$12\!\cdots\!70$$ p^{341} T^{10} + $$67\!\cdots\!00$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	71	$ 1 + $$60\!\cdots\!88$$ T + $$14\!\cdots\!46$$ p T^{2} + $$99\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$18\!\cdots\!95$$ p^{4} T^{4} + $$75\!\cdots\!68$$ p^{4} T^{5} + $$74\!\cdots\!24$$ p^{5} T^{6} + $$75\!\cdots\!68$$ p^{89} T^{7} + $$18\!\cdots\!95$$ p^{174} T^{8} + $$99\!\cdots\!80$$ p^{257} T^{9} + $$14\!\cdots\!46$$ p^{341} T^{10} + $$60\!\cdots\!88$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	73	$ 1 - $$49\!\cdots\!00$$ p T + $$26\!\cdots\!70$$ p^{2} T^{2} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$28\!\cdots\!67$$ p^{4} T^{4} - $$68\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$16\!\cdots\!60$$ p^{6} T^{6} - $$68\!\cdots\!00$$ p^{90} T^{7} + $$28\!\cdots\!67$$ p^{174} T^{8} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{258} T^{9} + $$26\!\cdots\!70$$ p^{342} T^{10} - $$49\!\cdots\!00$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	79	$ 1 + $$17\!\cdots\!40$$ p T + $$25\!\cdots\!34$$ p^{2} T^{2} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$19\!\cdots\!15$$ p^{4} T^{4} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$82\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{6} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{90} T^{7} + $$19\!\cdots\!15$$ p^{174} T^{8} + $$23\!\cdots\!00$$ p^{258} T^{9} + $$25\!\cdots\!34$$ p^{342} T^{10} + $$17\!\cdots\!40$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	83	$ 1 + $$72\!\cdots\!00$$ p T + $$87\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{2} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$34\!\cdots\!07$$ p^{4} T^{4} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$82\!\cdots\!80$$ p^{6} T^{6} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{90} T^{7} + $$34\!\cdots\!07$$ p^{174} T^{8} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{258} T^{9} + $$87\!\cdots\!10$$ p^{342} T^{10} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{426} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	89	$ 1 - $$16\!\cdots\!20$$ T + $$32\!\cdots\!94$$ T^{2} - $$36\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$42\!\cdots\!15$$ T^{4} - $$35\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$35\!\cdots\!00$$ p^{85} T^{7} + $$42\!\cdots\!15$$ p^{170} T^{8} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{255} T^{9} + $$32\!\cdots\!94$$ p^{340} T^{10} - $$16\!\cdots\!20$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
	97	$ 1 - $$19\!\cdots\!00$$ T + $$29\!\cdots\!10$$ T^{2} - $$40\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$40\!\cdots\!47$$ T^{4} - $$44\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$37\!\cdots\!80$$ T^{6} - $$44\!\cdots\!00$$ p^{85} T^{7} + $$40\!\cdots\!47$$ p^{170} T^{8} - $$40\!\cdots\!00$$ p^{255} T^{9} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{340} T^{10} - $$19\!\cdots\!00$$ p^{425} T^{11} + p^{510} T^{12} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{12} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−7.38353066478613388457772202799, −7.23408742363977038108993832760, −7.22263062580644663214449257161, −6.93233153668210653722590023123, −6.19360691239888574386956191290, −6.15692257371978812266990141504, −6.07670600520996162129121132472, −5.23446479268528100305459211684, −5.16152845667467136105999056368, −5.08627527979381804968844224839, −4.80812312058240798082658536882, −4.77608962739642047502159514050, −4.20167196612041258851446831494, −4.08999669717093132020019499283, −3.59182721586255954855468217714, −3.55661286206166526449441616560, −3.31583493343716730812450773934, −2.89027261378791911420091177585, −2.53000443542404226135630695713, −2.33022784205521846762176889064, −1.95493179288210960989945063813, −1.67820578476657413249869961083, −1.52923498664387286713313153080, −1.20479656830402345073707867603, −0.69538035289095819575750220929, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.69538035289095819575750220929, 1.20479656830402345073707867603, 1.52923498664387286713313153080, 1.67820578476657413249869961083, 1.95493179288210960989945063813, 2.33022784205521846762176889064, 2.53000443542404226135630695713, 2.89027261378791911420091177585, 3.31583493343716730812450773934, 3.55661286206166526449441616560, 3.59182721586255954855468217714, 4.08999669717093132020019499283, 4.20167196612041258851446831494, 4.77608962739642047502159514050, 4.80812312058240798082658536882, 5.08627527979381804968844224839, 5.16152845667467136105999056368, 5.23446479268528100305459211684, 6.07670600520996162129121132472, 6.15692257371978812266990141504, 6.19360691239888574386956191290, 6.93233153668210653722590023123, 7.22263062580644663214449257161, 7.23408742363977038108993832760, 7.38353066478613388457772202799

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(43)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{87}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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