LMFDB - L-function 10-1-1.1-c65e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

− 3.95e9·2^-s − 2.23e15·3^-s − 2.59e19·4^-s + 2.68e22·5^-s + 8.83e24·6^-s − 6.92e27·7^-s + 2.31e28·8^-s − 7.30e30·9^-s − 1.06e32·10^-s − 5.43e33·11^-s + 5.78e34·12^-s − 2.89e36·13^-s + 2.74e37·14^-s − 5.99e37·15^-s − 7.33e38·16^-s + 1.38e40·17^-s + 2.89e40·18^-s − 5.32e41·19^-s − 6.97e41·20^-s + 1.54e43·21^-s + 2.15e43·22^-s − 9.49e43·23^-s − 5.16e43·24^-s − 6.45e45·25^-s + 1.14e46·26^-s − 1.55e46·27^-s + 1.79e47·28^-s + ⋯

L(s) = 1

− 0.651·2^-s − 0.695·3^-s − 0.703·4^-s + 0.516·5^-s + 0.453·6^-s − 2.36·7^-s + 0.103·8^-s − 0.709·9^-s − 0.336·10^-s − 0.776·11^-s + 0.488·12^-s − 1.81·13^-s + 1.54·14^-s − 0.358·15^-s − 0.539·16^-s + 1.42·17^-s + 0.462·18^-s − 1.46·19^-s − 0.362·20^-s + 1.64·21^-s + 0.506·22^-s − 0.526·23^-s − 0.0717·24^-s − 2.38·25^-s + 1.18·26^-s − 0.470·27^-s + 1.66·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(66-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+65/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & -\,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$1$
Sign:	$-1$
Analytic conductor:	$1.37153\times 10^{7}$
Root analytic conductor:	$5.17273$
Motivic weight:	$65$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$5$
Selberg data:	$(10,\ 1,\ (\ :65/2, 65/2, 65/2, 65/2, 65/2),\ -1)$

Particular Values

$L(33)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{67}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 247481853 p^{4} T + 10160467436057137 p^{12} T^{2} + $$36\!\cdots\!15$$ p^{26} T^{3} + $$61\!\cdots\!47$$ p^{42} T^{4} + $$12\!\cdots\!29$$ p^{60} T^{5} + $$61\!\cdots\!47$$ p^{107} T^{6} + $$36\!\cdots\!15$$ p^{156} T^{7} + 10160467436057137 p^{207} T^{8} + 247481853 p^{264} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	3	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + 247923048326156 p^{2} T + $$56\!\cdots\!09$$ p^{7} T^{2} + $$13\!\cdots\!60$$ p^{16} T^{3} + $$32\!\cdots\!14$$ p^{27} T^{4} + $$11\!\cdots\!64$$ p^{41} T^{5} + $$32\!\cdots\!14$$ p^{92} T^{6} + $$13\!\cdots\!60$$ p^{146} T^{7} + $$56\!\cdots\!09$$ p^{202} T^{8} + 247923048326156 p^{262} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$10\!\cdots\!66$$ p^{2} T + $$91\!\cdots\!93$$ p^{7} T^{2} - $$13\!\cdots\!88$$ p^{13} T^{3} + $$13\!\cdots\!58$$ p^{22} T^{4} - $$24\!\cdots\!76$$ p^{32} T^{5} + $$13\!\cdots\!58$$ p^{87} T^{6} - $$13\!\cdots\!88$$ p^{143} T^{7} + $$91\!\cdots\!93$$ p^{202} T^{8} - $$10\!\cdots\!66$$ p^{262} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$98\!\cdots\!44$$ p T + $$10\!\cdots\!49$$ p^{3} T^{2} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{3} + $$57\!\cdots\!14$$ p^{13} T^{4} + $$21\!\cdots\!84$$ p^{20} T^{5} + $$57\!\cdots\!14$$ p^{78} T^{6} + $$16\!\cdots\!00$$ p^{137} T^{7} + $$10\!\cdots\!49$$ p^{198} T^{8} + $$98\!\cdots\!44$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$49\!\cdots\!40$$ p T + $$17\!\cdots\!45$$ p^{3} T^{2} + $$63\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{3} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{8} T^{4} + $$21\!\cdots\!08$$ p^{13} T^{5} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{73} T^{6} + $$63\!\cdots\!80$$ p^{135} T^{7} + $$17\!\cdots\!45$$ p^{198} T^{8} + $$49\!\cdots\!40$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$22\!\cdots\!78$$ p T + $$50\!\cdots\!09$$ p^{3} T^{2} + $$64\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{3} + $$85\!\cdots\!14$$ p^{7} T^{4} + $$62\!\cdots\!28$$ p^{10} T^{5} + $$85\!\cdots\!14$$ p^{72} T^{6} + $$64\!\cdots\!40$$ p^{135} T^{7} + $$50\!\cdots\!09$$ p^{198} T^{8} + $$22\!\cdots\!78$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$13\!\cdots\!22$$ T + $$20\!\cdots\!01$$ p T^{2} - $$79\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{3} + $$24\!\cdots\!22$$ p^{6} T^{4} - $$43\!\cdots\!48$$ p^{9} T^{5} + $$24\!\cdots\!22$$ p^{71} T^{6} - $$79\!\cdots\!40$$ p^{133} T^{7} + $$20\!\cdots\!01$$ p^{196} T^{8} - $$13\!\cdots\!22$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$53\!\cdots\!00$$ T + $$15\!\cdots\!05$$ p T^{2} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} - $$20\!\cdots\!10$$ p^{5} T^{4} - $$75\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} - $$20\!\cdots\!10$$ p^{70} T^{6} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{133} T^{7} + $$15\!\cdots\!05$$ p^{196} T^{8} + $$53\!\cdots\!00$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$94\!\cdots\!24$$ T + $$49\!\cdots\!81$$ p T^{2} + $$91\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$19\!\cdots\!38$$ p^{4} T^{4} + $$80\!\cdots\!68$$ p^{6} T^{5} + $$19\!\cdots\!38$$ p^{69} T^{6} + $$91\!\cdots\!20$$ p^{132} T^{7} + $$49\!\cdots\!81$$ p^{196} T^{8} + $$94\!\cdots\!24$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$39\!\cdots\!50$$ p T + $$10\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$40\!\cdots\!10$$ p^{6} T^{4} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{5} + $$40\!\cdots\!10$$ p^{71} T^{6} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{134} T^{7} + $$10\!\cdots\!45$$ p^{197} T^{8} + $$39\!\cdots\!50$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$15\!\cdots\!40$$ p T + $$21\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$53\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} - $$13\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{4} - $$18\!\cdots\!32$$ p^{7} T^{5} - $$13\!\cdots\!90$$ p^{70} T^{6} + $$53\!\cdots\!80$$ p^{133} T^{7} + $$21\!\cdots\!95$$ p^{197} T^{8} + $$15\!\cdots\!40$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$25\!\cdots\!82$$ T + $$54\!\cdots\!37$$ T^{2} - $$20\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$71\!\cdots\!82$$ p^{2} T^{4} - $$18\!\cdots\!12$$ p^{3} T^{5} + $$71\!\cdots\!82$$ p^{67} T^{6} - $$20\!\cdots\!80$$ p^{131} T^{7} + $$54\!\cdots\!37$$ p^{195} T^{8} - $$25\!\cdots\!82$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$32\!\cdots\!90$$ T + $$63\!\cdots\!45$$ p T^{2} + $$33\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$39\!\cdots\!10$$ p^{3} T^{4} + $$16\!\cdots\!68$$ p^{4} T^{5} + $$39\!\cdots\!10$$ p^{68} T^{6} + $$33\!\cdots\!80$$ p^{132} T^{7} + $$63\!\cdots\!45$$ p^{196} T^{8} + $$32\!\cdots\!90$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$40\!\cdots\!44$$ T + $$10\!\cdots\!43$$ T^{2} + $$45\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$15\!\cdots\!02$$ p^{2} T^{4} + $$46\!\cdots\!16$$ p^{3} T^{5} + $$15\!\cdots\!02$$ p^{67} T^{6} + $$45\!\cdots\!00$$ p^{131} T^{7} + $$10\!\cdots\!43$$ p^{195} T^{8} + $$40\!\cdots\!44$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$15\!\cdots\!12$$ T + $$36\!\cdots\!01$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{2} T^{3} + $$27\!\cdots\!38$$ p^{4} T^{4} - $$43\!\cdots\!96$$ p^{4} T^{5} + $$27\!\cdots\!38$$ p^{69} T^{6} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{132} T^{7} + $$36\!\cdots\!01$$ p^{196} T^{8} - $$15\!\cdots\!12$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$18\!\cdots\!18$$ p T + $$15\!\cdots\!37$$ p^{2} T^{2} + $$21\!\cdots\!80$$ p^{3} T^{3} + $$10\!\cdots\!78$$ p^{4} T^{4} + $$11\!\cdots\!44$$ p^{5} T^{5} + $$10\!\cdots\!78$$ p^{69} T^{6} + $$21\!\cdots\!80$$ p^{133} T^{7} + $$15\!\cdots\!37$$ p^{197} T^{8} + $$18\!\cdots\!18$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$43\!\cdots\!00$$ p T + $$95\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$46\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$46\!\cdots\!10$$ p^{69} T^{6} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{133} T^{7} + $$95\!\cdots\!95$$ p^{197} T^{8} + $$43\!\cdots\!00$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$64\!\cdots\!10$$ p T + $$98\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} - $$73\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$50\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$29\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$50\!\cdots\!10$$ p^{69} T^{6} - $$73\!\cdots\!20$$ p^{133} T^{7} + $$98\!\cdots\!45$$ p^{197} T^{8} - $$64\!\cdots\!10$$ p^{261} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$47\!\cdots\!72$$ T + $$28\!\cdots\!67$$ T^{2} - $$80\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$27\!\cdots\!18$$ T^{4} - $$55\!\cdots\!56$$ T^{5} + $$27\!\cdots\!18$$ p^{65} T^{6} - $$80\!\cdots\!20$$ p^{130} T^{7} + $$28\!\cdots\!67$$ p^{195} T^{8} - $$47\!\cdots\!72$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$34\!\cdots\!40$$ T + $$12\!\cdots\!95$$ T^{2} + $$26\!\cdots\!80$$ T^{3} + $$54\!\cdots\!10$$ T^{4} + $$78\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$54\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} + $$26\!\cdots\!80$$ p^{130} T^{7} + $$12\!\cdots\!95$$ p^{195} T^{8} + $$34\!\cdots\!40$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$73\!\cdots\!26$$ T + $$79\!\cdots\!13$$ T^{2} - $$79\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$29\!\cdots\!58$$ T^{4} - $$26\!\cdots\!48$$ T^{5} + $$29\!\cdots\!58$$ p^{65} T^{6} - $$79\!\cdots\!20$$ p^{130} T^{7} + $$79\!\cdots\!13$$ p^{195} T^{8} - $$73\!\cdots\!26$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$59\!\cdots\!00$$ T + $$89\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$35\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$32\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$98\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$32\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} - $$35\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{7} + $$89\!\cdots\!95$$ p^{195} T^{8} - $$59\!\cdots\!00$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$20\!\cdots\!16$$ T + $$12\!\cdots\!03$$ T^{2} - $$13\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$64\!\cdots\!78$$ T^{4} - $$22\!\cdots\!68$$ T^{5} + $$64\!\cdots\!78$$ p^{65} T^{6} - $$13\!\cdots\!60$$ p^{130} T^{7} + $$12\!\cdots\!03$$ p^{195} T^{8} - $$20\!\cdots\!16$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$14\!\cdots\!50$$ T + $$22\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$25\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$21\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$18\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$21\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} - $$25\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{7} + $$22\!\cdots\!45$$ p^{195} T^{8} - $$14\!\cdots\!50$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$31\!\cdots\!38$$ T + $$60\!\cdots\!97$$ T^{2} + $$15\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$15\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$32\!\cdots\!24$$ T^{5} + $$15\!\cdots\!78$$ p^{65} T^{6} + $$15\!\cdots\!20$$ p^{130} T^{7} + $$60\!\cdots\!97$$ p^{195} T^{8} + $$31\!\cdots\!38$$ p^{260} T^{9} + p^{325} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−10.08838205751244337962930170840, −9.672711911031898333862188867002, −9.394016900306873436855339835438, −9.380069905523076979387573648353, −9.185543224092519303335693828658, −8.206391305087962312649636486345, −8.041122666342372690077244900064, −7.62489546586294146271189935109, −7.35151603075895830250849752515, −6.55543719167963494662796228037, −6.54376882672648155736900490075, −6.10838062101252633943688578069, −5.53486851278332426663607487847, −5.43710714778185431817529393363, −5.39121725880309566753437613863, −4.62950461753859644043500508645, −3.91783513697314506031043975933, −3.91582205405400920767222060390, −3.45666845193236614903521960548, −2.99313109284787755800306477961, −2.75043297436361265178081020797, −2.01578865589714756326541336873, −1.97359949007865296934919061665, −1.77663422927447001515696105822, −0.836090781875320704259488231914, 0, 0, 0, 0, 0, 0.836090781875320704259488231914, 1.77663422927447001515696105822, 1.97359949007865296934919061665, 2.01578865589714756326541336873, 2.75043297436361265178081020797, 2.99313109284787755800306477961, 3.45666845193236614903521960548, 3.91582205405400920767222060390, 3.91783513697314506031043975933, 4.62950461753859644043500508645, 5.39121725880309566753437613863, 5.43710714778185431817529393363, 5.53486851278332426663607487847, 6.10838062101252633943688578069, 6.54376882672648155736900490075, 6.55543719167963494662796228037, 7.35151603075895830250849752515, 7.62489546586294146271189935109, 8.041122666342372690077244900064, 8.206391305087962312649636486345, 9.185543224092519303335693828658, 9.380069905523076979387573648353, 9.394016900306873436855339835438, 9.672711911031898333862188867002, 10.08838205751244337962930170840

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(33)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{67}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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