LMFDB - L-function 10-1-1.1-c63e5-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 5.07e8·2^-s + 9.53e14·3^-s − 1.95e19·4^-s − 5.01e20·5^-s + 4.83e23·6^-s + 3.76e26·7^-s − 9.06e27·8^-s − 2.08e30·9^-s − 2.54e29·10^-s − 5.40e32·11^-s − 1.86e34·12^-s + 1.08e35·13^-s + 1.91e35·14^-s − 4.77e35·15^-s + 1.72e38·16^-s + 2.33e38·17^-s − 1.05e39·18^-s − 7.86e39·19^-s + 9.79e39·20^-s + 3.59e41·21^-s − 2.74e41·22^-s + 1.57e43·23^-s − 8.63e42·24^-s − 1.24e44·25^-s + 5.48e43·26^-s − 6.44e44·27^-s − 7.36e45·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.167·2^-s + 0.891·3^-s − 2.11·4^-s − 0.0481·5^-s + 0.148·6^-s + 0.902·7^-s − 0.323·8^-s − 1.82·9^-s − 0.00804·10^-s − 0.848·11^-s − 1.88·12^-s + 0.880·13^-s + 0.150·14^-s − 0.0428·15^-s + 2.02·16^-s + 0.406·17^-s − 0.304·18^-s − 0.412·19^-s + 0.101·20^-s + 0.804·21^-s − 0.141·22^-s + 2.00·23^-s − 0.288·24^-s − 1.15·25^-s + 0.147·26^-s − 0.526·27^-s − 1.91·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(64-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+63/2)^{5} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$10$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.00343\times 10^{7}$
Root analytic conductor:	$5.01359$
Motivic weight:	$63$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$0$
Selberg data:	$(10,\ 1,\ (\ :63/2, 63/2, 63/2, 63/2, 63/2),\ 1)$

Particular Values

$L(32)$	$\approx$	$8.712291760$
$L(\frac12)$	$\approx$	$8.712291760$
$L(\frac{65}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$\Gal(F_p)$	$F_p(T)$
good	2	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 63414387 p^{3} T + 19336575150992617 p^{10} T^{2} - $$12\!\cdots\!25$$ p^{23} T^{3} + $$78\!\cdots\!87$$ p^{38} T^{4} - $$15\!\cdots\!91$$ p^{55} T^{5} + $$78\!\cdots\!87$$ p^{101} T^{6} - $$12\!\cdots\!25$$ p^{149} T^{7} + 19336575150992617 p^{199} T^{8} - 63414387 p^{255} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	3	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - 3922820374964 p^{5} T + $$45\!\cdots\!07$$ p^{8} T^{2} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{17} T^{3} + $$24\!\cdots\!42$$ p^{30} T^{4} - $$20\!\cdots\!08$$ p^{43} T^{5} + $$24\!\cdots\!42$$ p^{93} T^{6} - $$32\!\cdots\!00$$ p^{143} T^{7} + $$45\!\cdots\!07$$ p^{197} T^{8} - 3922820374964 p^{257} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	5	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$10\!\cdots\!86$$ p T + $$20\!\cdots\!49$$ p^{4} T^{2} - $$14\!\cdots\!72$$ p^{9} T^{3} + $$27\!\cdots\!94$$ p^{17} T^{4} + $$75\!\cdots\!76$$ p^{27} T^{5} + $$27\!\cdots\!94$$ p^{80} T^{6} - $$14\!\cdots\!72$$ p^{135} T^{7} + $$20\!\cdots\!49$$ p^{193} T^{8} + $$10\!\cdots\!86$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	7	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$53\!\cdots\!08$$ p T + $$20\!\cdots\!49$$ p^{5} T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{3} + $$75\!\cdots\!98$$ p^{16} T^{4} + $$30\!\cdots\!84$$ p^{23} T^{5} + $$75\!\cdots\!98$$ p^{79} T^{6} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{136} T^{7} + $$20\!\cdots\!49$$ p^{194} T^{8} - $$53\!\cdots\!08$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	11	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$49\!\cdots\!40$$ p T + $$10\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$26\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{3} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{9} T^{4} + $$47\!\cdots\!28$$ p^{14} T^{5} + $$29\!\cdots\!10$$ p^{72} T^{6} + $$26\!\cdots\!80$$ p^{131} T^{7} + $$10\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} + $$49\!\cdots\!40$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	13	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$83\!\cdots\!74$$ p T + $$15\!\cdots\!13$$ p^{2} T^{2} - $$99\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$12\!\cdots\!02$$ p^{6} T^{4} - $$45\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{5} + $$12\!\cdots\!02$$ p^{69} T^{6} - $$99\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$15\!\cdots\!13$$ p^{191} T^{8} - $$83\!\cdots\!74$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	17	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$23\!\cdots\!26$$ T + $$48\!\cdots\!89$$ p T^{2} - $$59\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$32\!\cdots\!34$$ p^{5} T^{4} - $$15\!\cdots\!68$$ p^{8} T^{5} + $$32\!\cdots\!34$$ p^{68} T^{6} - $$59\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$48\!\cdots\!89$$ p^{190} T^{8} - $$23\!\cdots\!26$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	19	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$41\!\cdots\!00$$ p T + $$40\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} + $$86\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{7} T^{4} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{5} + $$10\!\cdots\!90$$ p^{70} T^{6} + $$86\!\cdots\!00$$ p^{130} T^{7} + $$40\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} + $$41\!\cdots\!00$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	23	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$15\!\cdots\!72$$ T + $$11\!\cdots\!29$$ p T^{2} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$66\!\cdots\!58$$ p^{4} T^{4} - $$66\!\cdots\!44$$ p^{6} T^{5} + $$66\!\cdots\!58$$ p^{67} T^{6} - $$36\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$11\!\cdots\!29$$ p^{190} T^{8} - $$15\!\cdots\!72$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	29	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$17\!\cdots\!50$$ p T + $$19\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$29\!\cdots\!90$$ p^{5} T^{4} - $$45\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{5} + $$29\!\cdots\!90$$ p^{68} T^{6} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$19\!\cdots\!45$$ p^{191} T^{8} - $$17\!\cdots\!50$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	31	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$16\!\cdots\!60$$ p^{2} T + $$38\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$65\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$17\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$65\!\cdots\!10$$ p^{67} T^{6} - $$13\!\cdots\!20$$ p^{129} T^{7} + $$38\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} - $$16\!\cdots\!60$$ p^{254} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	37	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!34$$ T + $$27\!\cdots\!53$$ T^{2} + $$10\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$23\!\cdots\!22$$ p^{2} T^{4} + $$67\!\cdots\!04$$ p^{3} T^{5} + $$23\!\cdots\!22$$ p^{65} T^{6} + $$10\!\cdots\!00$$ p^{127} T^{7} + $$27\!\cdots\!53$$ p^{189} T^{8} + $$17\!\cdots\!34$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	41	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$15\!\cdots\!10$$ T + $$26\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$61\!\cdots\!20$$ p T^{3} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{2} T^{4} - $$21\!\cdots\!12$$ p^{3} T^{5} + $$14\!\cdots\!10$$ p^{65} T^{6} - $$61\!\cdots\!20$$ p^{127} T^{7} + $$26\!\cdots\!45$$ p^{189} T^{8} - $$15\!\cdots\!10$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	43	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$29\!\cdots\!08$$ T + $$83\!\cdots\!49$$ p T^{2} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$70\!\cdots\!14$$ p^{3} T^{4} + $$30\!\cdots\!84$$ p^{4} T^{5} + $$70\!\cdots\!14$$ p^{66} T^{6} + $$47\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$83\!\cdots\!49$$ p^{190} T^{8} + $$29\!\cdots\!08$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	47	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$48\!\cdots\!64$$ T + $$23\!\cdots\!09$$ p T^{2} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$47\!\cdots\!46$$ p^{3} T^{4} + $$27\!\cdots\!52$$ p^{4} T^{5} + $$47\!\cdots\!46$$ p^{66} T^{6} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$23\!\cdots\!09$$ p^{190} T^{8} + $$48\!\cdots\!64$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	53	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$69\!\cdots\!98$$ T + $$24\!\cdots\!09$$ p T^{2} + $$88\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$48\!\cdots\!54$$ p^{3} T^{4} - $$49\!\cdots\!36$$ p^{4} T^{5} + $$48\!\cdots\!54$$ p^{66} T^{6} + $$88\!\cdots\!00$$ p^{128} T^{7} + $$24\!\cdots\!09$$ p^{190} T^{8} + $$69\!\cdots\!98$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	59	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$17\!\cdots\!00$$ p T + $$51\!\cdots\!95$$ p^{2} T^{2} - $$63\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$94\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$10\!\cdots\!10$$ p^{67} T^{6} - $$63\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{7} + $$51\!\cdots\!95$$ p^{191} T^{8} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	61	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$64\!\cdots\!10$$ p T + $$26\!\cdots\!45$$ p^{2} T^{2} - $$57\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$12\!\cdots\!10$$ p^{4} T^{4} - $$23\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{5} + $$12\!\cdots\!10$$ p^{67} T^{6} - $$57\!\cdots\!20$$ p^{129} T^{7} + $$26\!\cdots\!45$$ p^{191} T^{8} - $$64\!\cdots\!10$$ p^{253} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	67	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$47\!\cdots\!24$$ T + $$56\!\cdots\!63$$ T^{2} + $$19\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!38$$ T^{4} + $$31\!\cdots\!12$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!38$$ p^{63} T^{6} + $$19\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$56\!\cdots\!63$$ p^{189} T^{8} + $$47\!\cdots\!24$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	71	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$50\!\cdots\!60$$ T + $$23\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$62\!\cdots\!20$$ T^{3} + $$16\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$32\!\cdots\!52$$ T^{5} + $$16\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} - $$62\!\cdots\!20$$ p^{126} T^{7} + $$23\!\cdots\!95$$ p^{189} T^{8} - $$50\!\cdots\!60$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	73	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$29\!\cdots\!78$$ T + $$69\!\cdots\!17$$ T^{2} + $$36\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$23\!\cdots\!78$$ T^{4} + $$13\!\cdots\!84$$ T^{5} + $$23\!\cdots\!78$$ p^{63} T^{6} + $$36\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$69\!\cdots\!17$$ p^{189} T^{8} + $$29\!\cdots\!78$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	79	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$58\!\cdots\!00$$ T + $$13\!\cdots\!95$$ T^{2} - $$81\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$81\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$43\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$81\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} - $$81\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$13\!\cdots\!95$$ p^{189} T^{8} - $$58\!\cdots\!00$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	83	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$27\!\cdots\!32$$ T + $$25\!\cdots\!87$$ T^{2} - $$58\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$33\!\cdots\!38$$ T^{4} - $$58\!\cdots\!16$$ T^{5} + $$33\!\cdots\!38$$ p^{63} T^{6} - $$58\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$25\!\cdots\!87$$ p^{189} T^{8} - $$27\!\cdots\!32$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	89	$C_2 \wr S_5$	$ 1 - $$32\!\cdots\!50$$ T + $$78\!\cdots\!45$$ T^{2} - $$14\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$71\!\cdots\!10$$ T^{4} - $$11\!\cdots\!00$$ T^{5} + $$71\!\cdots\!10$$ p^{63} T^{6} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$78\!\cdots\!45$$ p^{189} T^{8} - $$32\!\cdots\!50$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
	97	$C_2 \wr S_5$	$ 1 + $$17\!\cdots\!14$$ T + $$52\!\cdots\!73$$ T^{2} + $$12\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!58$$ T^{4} + $$29\!\cdots\!12$$ T^{5} + $$12\!\cdots\!58$$ p^{63} T^{6} + $$12\!\cdots\!00$$ p^{126} T^{7} + $$52\!\cdots\!73$$ p^{189} T^{8} + $$17\!\cdots\!14$$ p^{252} T^{9} + p^{315} T^{10} $
show more
show less

$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{10} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−9.267756777022281022914557827508, −8.572137877718424829530249086383, −8.529931552949539470805252488505, −8.528091325463947058665729713447, −8.521125339432963339889268140313, −7.71513151385096268331106059192, −7.54164017761432726094566132719, −6.47207300135663117431492117326, −6.36932168417662856012186571069, −6.11308787721379987450502308199, −5.19326363783780132194148380768, −5.07839043795559135938970624058, −4.89862718473805193834153393419, −4.64415932938404842791853805292, −4.18209228791014334376063149687, −3.65374290931023038947315699063, −3.13322097782405085288527911067, −3.01726640481319240814008038374, −2.80685379906930605441069033119, −2.21468931928119782116171883813, −1.90718296516908783667460242487, −1.07806871839496369775651965234, −0.64534129392468597418821265851, −0.62694026687984783057215458063, −0.60824199369184346752501954201, 0.60824199369184346752501954201, 0.62694026687984783057215458063, 0.64534129392468597418821265851, 1.07806871839496369775651965234, 1.90718296516908783667460242487, 2.21468931928119782116171883813, 2.80685379906930605441069033119, 3.01726640481319240814008038374, 3.13322097782405085288527911067, 3.65374290931023038947315699063, 4.18209228791014334376063149687, 4.64415932938404842791853805292, 4.89862718473805193834153393419, 5.07839043795559135938970624058, 5.19326363783780132194148380768, 6.11308787721379987450502308199, 6.36932168417662856012186571069, 6.47207300135663117431492117326, 7.54164017761432726094566132719, 7.71513151385096268331106059192, 8.521125339432963339889268140313, 8.528091325463947058665729713447, 8.529931552949539470805252488505, 8.572137877718424829530249086383, 9.267756777022281022914557827508

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(32)\)	\(\approx\)	\(8.712291760\)
\(L(\frac12)\)	\(\approx\)	\(8.712291760\)
\(L(\frac{65}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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