LMFDB - L-function 16-1-1.1-c109e8-0-0

Dirichlet series

L(s) = 1

+ 2.28e15·2^-s − 7.99e25·3^-s − 1.31e33·4^-s − 2.13e38·5^-s − 1.82e41·6^-s + 2.34e45·7^-s − 7.37e48·8^-s − 3.61e52·9^-s − 4.88e53·10^-s − 1.65e56·11^-s + 1.04e59·12^-s − 7.19e60·13^-s + 5.35e60·14^-s + 1.70e64·15^-s + 7.23e65·16^-s − 8.65e66·17^-s − 8.27e67·18^-s − 1.12e70·19^-s + 2.79e71·20^-s − 1.87e71·21^-s − 3.79e71·22^-s + 5.39e73·23^-s + 5.89e74·24^-s − 2.97e76·25^-s − 1.64e76·26^-s + 3.23e78·27^-s − 3.07e78·28^-s + ⋯

L(s) = 1

+ 0.0898·2^-s − 0.793·3^-s − 2.02·4^-s − 1.71·5^-s − 0.0712·6^-s + 0.204·7^-s − 0.446·8^-s − 3.56·9^-s − 0.154·10^-s − 0.291·11^-s + 1.60·12^-s − 1.40·13^-s + 0.0184·14^-s + 1.36·15^-s + 1.71·16^-s − 0.754·17^-s − 0.320·18^-s − 2.27·19^-s + 3.47·20^-s − 0.162·21^-s − 0.0261·22^-s + 0.329·23^-s + 0.353·24^-s − 1.93·25^-s − 0.125·26^-s + 3.17·27^-s − 0.414·28^-s + ⋯

Functional equation

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(110-s)\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\Lambda(s)=\mathstrut &\Gamma_{\C}(s+54.5)^{8} \, L(s)\cr=\mathstrut & \,\Lambda(1-s)\end{aligned}\]

Invariants

Degree:	$16$
Conductor:	$1$
Sign:	$1$
Analytic conductor:	$1.02698\times 10^{15}$
Root analytic conductor:	$8.67406$
Motivic weight:	$109$
Rational:	yes
Arithmetic:	yes
Character:	Trivial
Primitive:	no
Self-dual:	yes
Analytic rank:	$8$
Selberg data:	$(16,\ 1,\ (\ :[109/2]^{8}),\ 1)$

Particular Values

$L(55)$	$=$	$0$
$L(\frac12)$	$=$	$0$
$L(\frac{111}{2})$		not available
$L(1)$		not available

Euler product

$L(s) = \displaystyle \prod_{p} F_p(p^{-s})^{-1} $

	$p$	$F_p(T)$
good	2	$ 1 - 17878067241525 p^{7} T + $$32\!\cdots\!95$$ p^{12} T^{2} + $$40\!\cdots\!75$$ p^{25} T^{3} + $$22\!\cdots\!69$$ p^{42} T^{4} + $$42\!\cdots\!75$$ p^{66} T^{5} + $$79\!\cdots\!35$$ p^{86} T^{6} + $$35\!\cdots\!25$$ p^{113} T^{7} + $$76\!\cdots\!63$$ p^{145} T^{8} + $$35\!\cdots\!25$$ p^{222} T^{9} + $$79\!\cdots\!35$$ p^{304} T^{10} + $$42\!\cdots\!75$$ p^{393} T^{11} + $$22\!\cdots\!69$$ p^{478} T^{12} + $$40\!\cdots\!75$$ p^{570} T^{13} + $$32\!\cdots\!95$$ p^{666} T^{14} - 17878067241525 p^{770} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	3	$ 1 + $$29\!\cdots\!00$$ p^{3} T + $$72\!\cdots\!60$$ p^{10} T^{2} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{19} T^{3} + $$51\!\cdots\!44$$ p^{30} T^{4} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{47} T^{5} + $$55\!\cdots\!20$$ p^{66} T^{6} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{87} T^{7} + $$75\!\cdots\!86$$ p^{112} T^{8} + $$30\!\cdots\!00$$ p^{196} T^{9} + $$55\!\cdots\!20$$ p^{284} T^{10} + $$25\!\cdots\!00$$ p^{374} T^{11} + $$51\!\cdots\!44$$ p^{466} T^{12} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{564} T^{13} + $$72\!\cdots\!60$$ p^{664} T^{14} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{766} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	5	$ 1 + $$34\!\cdots\!52$$ p^{4} T + $$19\!\cdots\!76$$ p^{8} T^{2} + $$53\!\cdots\!96$$ p^{12} T^{3} + $$61\!\cdots\!44$$ p^{21} T^{4} + $$92\!\cdots\!16$$ p^{31} T^{5} + $$13\!\cdots\!52$$ p^{44} T^{6} + $$26\!\cdots\!44$$ p^{58} T^{7} + $$12\!\cdots\!66$$ p^{73} T^{8} + $$26\!\cdots\!44$$ p^{167} T^{9} + $$13\!\cdots\!52$$ p^{262} T^{10} + $$92\!\cdots\!16$$ p^{358} T^{11} + $$61\!\cdots\!44$$ p^{457} T^{12} + $$53\!\cdots\!96$$ p^{557} T^{13} + $$19\!\cdots\!76$$ p^{662} T^{14} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{767} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	7	$ 1 - $$47\!\cdots\!00$$ p^{2} T + $$37\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{2} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{3} + $$64\!\cdots\!04$$ p^{18} T^{4} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{26} T^{5} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{36} T^{6} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{47} T^{7} + $$38\!\cdots\!42$$ p^{59} T^{8} + $$15\!\cdots\!00$$ p^{156} T^{9} + $$72\!\cdots\!00$$ p^{254} T^{10} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{353} T^{11} + $$64\!\cdots\!04$$ p^{454} T^{12} + $$34\!\cdots\!00$$ p^{556} T^{13} + $$37\!\cdots\!00$$ p^{660} T^{14} - $$47\!\cdots\!00$$ p^{765} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	11	$ 1 + $$15\!\cdots\!24$$ p T + $$13\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{2} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{6} T^{3} + $$60\!\cdots\!20$$ p^{10} T^{4} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{14} T^{5} + $$14\!\cdots\!48$$ p^{19} T^{6} + $$52\!\cdots\!60$$ p^{25} T^{7} + $$15\!\cdots\!70$$ p^{32} T^{8} + $$52\!\cdots\!60$$ p^{134} T^{9} + $$14\!\cdots\!48$$ p^{237} T^{10} + $$34\!\cdots\!52$$ p^{341} T^{11} + $$60\!\cdots\!20$$ p^{446} T^{12} + $$11\!\cdots\!40$$ p^{551} T^{13} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{657} T^{14} + $$15\!\cdots\!24$$ p^{764} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	13	$ 1 + $$55\!\cdots\!00$$ p T + $$45\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{2} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{3} + $$38\!\cdots\!84$$ p^{10} T^{4} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{15} T^{5} + $$70\!\cdots\!20$$ p^{21} T^{6} + $$53\!\cdots\!00$$ p^{27} T^{7} + $$83\!\cdots\!82$$ p^{33} T^{8} + $$53\!\cdots\!00$$ p^{136} T^{9} + $$70\!\cdots\!20$$ p^{239} T^{10} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{342} T^{11} + $$38\!\cdots\!84$$ p^{446} T^{12} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{551} T^{13} + $$45\!\cdots\!40$$ p^{657} T^{14} + $$55\!\cdots\!00$$ p^{764} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	17	$ 1 + $$50\!\cdots\!00$$ p T + $$25\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{2} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{3} + $$64\!\cdots\!32$$ p^{7} T^{4} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{11} T^{5} + $$20\!\cdots\!40$$ p^{15} T^{6} + $$70\!\cdots\!00$$ p^{20} T^{7} + $$93\!\cdots\!94$$ p^{26} T^{8} + $$70\!\cdots\!00$$ p^{129} T^{9} + $$20\!\cdots\!40$$ p^{233} T^{10} + $$44\!\cdots\!00$$ p^{338} T^{11} + $$64\!\cdots\!32$$ p^{443} T^{12} + $$63\!\cdots\!00$$ p^{549} T^{13} + $$25\!\cdots\!40$$ p^{656} T^{14} + $$50\!\cdots\!00$$ p^{764} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	19	$ 1 + $$11\!\cdots\!60$$ T + $$70\!\cdots\!28$$ p T^{2} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{3} + $$25\!\cdots\!52$$ p^{5} T^{4} + $$18\!\cdots\!60$$ p^{8} T^{5} + $$82\!\cdots\!44$$ p^{12} T^{6} + $$27\!\cdots\!00$$ p^{16} T^{7} + $$63\!\cdots\!30$$ p^{21} T^{8} + $$27\!\cdots\!00$$ p^{125} T^{9} + $$82\!\cdots\!44$$ p^{230} T^{10} + $$18\!\cdots\!60$$ p^{335} T^{11} + $$25\!\cdots\!52$$ p^{441} T^{12} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{548} T^{13} + $$70\!\cdots\!28$$ p^{655} T^{14} + $$11\!\cdots\!60$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	23	$ 1 - $$53\!\cdots\!00$$ T + $$44\!\cdots\!40$$ p T^{2} - $$88\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$22\!\cdots\!36$$ p^{4} T^{4} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{9} T^{6} - $$52\!\cdots\!00$$ p^{12} T^{7} + $$12\!\cdots\!06$$ p^{16} T^{8} - $$52\!\cdots\!00$$ p^{121} T^{9} + $$14\!\cdots\!80$$ p^{227} T^{10} - $$20\!\cdots\!00$$ p^{333} T^{11} + $$22\!\cdots\!36$$ p^{440} T^{12} - $$88\!\cdots\!00$$ p^{547} T^{13} + $$44\!\cdots\!40$$ p^{655} T^{14} - $$53\!\cdots\!00$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	29	$ 1 - $$29\!\cdots\!60$$ T + $$49\!\cdots\!88$$ p T^{2} - $$47\!\cdots\!80$$ p^{2} T^{3} + $$40\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{4} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{5} T^{5} + $$24\!\cdots\!56$$ p^{7} T^{6} - $$22\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{7} + $$12\!\cdots\!30$$ p^{13} T^{8} - $$22\!\cdots\!00$$ p^{119} T^{9} + $$24\!\cdots\!56$$ p^{225} T^{10} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{332} T^{11} + $$40\!\cdots\!72$$ p^{439} T^{12} - $$47\!\cdots\!80$$ p^{547} T^{13} + $$49\!\cdots\!88$$ p^{655} T^{14} - $$29\!\cdots\!60$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	31	$ 1 + $$14\!\cdots\!24$$ T + $$57\!\cdots\!20$$ p T^{2} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$15\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{4} + $$71\!\cdots\!72$$ p^{6} T^{5} + $$84\!\cdots\!68$$ p^{8} T^{6} + $$36\!\cdots\!60$$ p^{11} T^{7} + $$37\!\cdots\!70$$ p^{14} T^{8} + $$36\!\cdots\!60$$ p^{120} T^{9} + $$84\!\cdots\!68$$ p^{226} T^{10} + $$71\!\cdots\!72$$ p^{333} T^{11} + $$15\!\cdots\!20$$ p^{440} T^{12} + $$16\!\cdots\!40$$ p^{547} T^{13} + $$57\!\cdots\!20$$ p^{655} T^{14} + $$14\!\cdots\!24$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	37	$ 1 - $$89\!\cdots\!00$$ p T + $$27\!\cdots\!80$$ T^{2} - $$16\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$25\!\cdots\!64$$ p^{2} T^{4} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$54\!\cdots\!80$$ p^{5} T^{6} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{7} + $$29\!\cdots\!98$$ p^{9} T^{8} - $$83\!\cdots\!00$$ p^{116} T^{9} + $$54\!\cdots\!80$$ p^{223} T^{10} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{11} + $$25\!\cdots\!64$$ p^{438} T^{12} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{546} T^{13} + $$27\!\cdots\!80$$ p^{654} T^{14} - $$89\!\cdots\!00$$ p^{764} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	41	$ 1 - $$26\!\cdots\!96$$ T + $$14\!\cdots\!20$$ T^{2} - $$26\!\cdots\!60$$ p T^{3} + $$20\!\cdots\!20$$ p^{3} T^{4} - $$38\!\cdots\!08$$ p^{3} T^{5} + $$93\!\cdots\!48$$ p^{5} T^{6} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{7} T^{7} + $$20\!\cdots\!70$$ p^{9} T^{8} - $$11\!\cdots\!40$$ p^{116} T^{9} + $$93\!\cdots\!48$$ p^{223} T^{10} - $$38\!\cdots\!08$$ p^{330} T^{11} + $$20\!\cdots\!20$$ p^{439} T^{12} - $$26\!\cdots\!60$$ p^{546} T^{13} + $$14\!\cdots\!20$$ p^{654} T^{14} - $$26\!\cdots\!96$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	43	$ 1 + $$31\!\cdots\!00$$ T + $$14\!\cdots\!00$$ p T^{2} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$22\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{4} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$53\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{6} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{7} + $$21\!\cdots\!94$$ p^{10} T^{8} + $$17\!\cdots\!00$$ p^{117} T^{9} + $$53\!\cdots\!00$$ p^{224} T^{10} + $$33\!\cdots\!00$$ p^{331} T^{11} + $$22\!\cdots\!28$$ p^{439} T^{12} + $$18\!\cdots\!00$$ p^{547} T^{13} + $$14\!\cdots\!00$$ p^{655} T^{14} + $$31\!\cdots\!00$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	47	$ 1 - $$16\!\cdots\!00$$ T + $$12\!\cdots\!20$$ p T^{2} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{3} + $$19\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{4} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{5} + $$50\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{6} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{8} T^{7} + $$20\!\cdots\!74$$ p^{10} T^{8} - $$12\!\cdots\!00$$ p^{117} T^{9} + $$50\!\cdots\!20$$ p^{224} T^{10} - $$23\!\cdots\!00$$ p^{331} T^{11} + $$19\!\cdots\!72$$ p^{439} T^{12} - $$11\!\cdots\!00$$ p^{547} T^{13} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{655} T^{14} - $$16\!\cdots\!00$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	53	$ 1 - $$17\!\cdots\!00$$ p T + $$71\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{2} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$33\!\cdots\!76$$ p^{4} T^{4} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{5} + $$45\!\cdots\!80$$ p^{8} T^{6} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{10} T^{7} + $$45\!\cdots\!86$$ p^{12} T^{8} - $$24\!\cdots\!00$$ p^{119} T^{9} + $$45\!\cdots\!80$$ p^{226} T^{10} - $$43\!\cdots\!00$$ p^{333} T^{11} + $$33\!\cdots\!76$$ p^{440} T^{12} - $$64\!\cdots\!00$$ p^{548} T^{13} + $$71\!\cdots\!60$$ p^{656} T^{14} - $$17\!\cdots\!00$$ p^{764} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	59	$ 1 - $$42\!\cdots\!20$$ T + $$70\!\cdots\!12$$ T^{2} - $$20\!\cdots\!60$$ T^{3} + $$20\!\cdots\!88$$ T^{4} - $$75\!\cdots\!80$$ p T^{5} + $$10\!\cdots\!44$$ p^{2} T^{6} - $$28\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{7} + $$35\!\cdots\!70$$ p^{4} T^{8} - $$28\!\cdots\!00$$ p^{112} T^{9} + $$10\!\cdots\!44$$ p^{220} T^{10} - $$75\!\cdots\!80$$ p^{328} T^{11} + $$20\!\cdots\!88$$ p^{436} T^{12} - $$20\!\cdots\!60$$ p^{545} T^{13} + $$70\!\cdots\!12$$ p^{654} T^{14} - $$42\!\cdots\!20$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	61	$ 1 + $$30\!\cdots\!64$$ T + $$13\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$27\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$13\!\cdots\!20$$ p T^{4} + $$33\!\cdots\!92$$ p^{2} T^{5} + $$13\!\cdots\!28$$ p^{3} T^{6} + $$24\!\cdots\!60$$ p^{4} T^{7} + $$12\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} + $$24\!\cdots\!60$$ p^{113} T^{9} + $$13\!\cdots\!28$$ p^{221} T^{10} + $$33\!\cdots\!92$$ p^{329} T^{11} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{437} T^{12} + $$27\!\cdots\!40$$ p^{545} T^{13} + $$13\!\cdots\!20$$ p^{654} T^{14} + $$30\!\cdots\!64$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	67	$ 1 + $$24\!\cdots\!00$$ T + $$64\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$13\!\cdots\!00$$ T^{3} + $$29\!\cdots\!08$$ p T^{4} + $$74\!\cdots\!00$$ p^{2} T^{5} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{3} T^{6} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{4} T^{7} + $$36\!\cdots\!98$$ p^{5} T^{8} + $$26\!\cdots\!00$$ p^{113} T^{9} + $$12\!\cdots\!40$$ p^{221} T^{10} + $$74\!\cdots\!00$$ p^{329} T^{11} + $$29\!\cdots\!08$$ p^{437} T^{12} + $$13\!\cdots\!00$$ p^{545} T^{13} + $$64\!\cdots\!60$$ p^{654} T^{14} + $$24\!\cdots\!00$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	71	$ 1 + $$18\!\cdots\!44$$ T + $$48\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$57\!\cdots\!40$$ T^{3} + $$12\!\cdots\!20$$ p T^{4} + $$14\!\cdots\!52$$ p^{2} T^{5} + $$22\!\cdots\!48$$ p^{3} T^{6} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{4} T^{7} + $$29\!\cdots\!70$$ p^{5} T^{8} + $$21\!\cdots\!60$$ p^{113} T^{9} + $$22\!\cdots\!48$$ p^{221} T^{10} + $$14\!\cdots\!52$$ p^{329} T^{11} + $$12\!\cdots\!20$$ p^{437} T^{12} + $$57\!\cdots\!40$$ p^{545} T^{13} + $$48\!\cdots\!20$$ p^{654} T^{14} + $$18\!\cdots\!44$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	73	$ 1 + $$99\!\cdots\!00$$ T + $$11\!\cdots\!20$$ T^{2} + $$11\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$10\!\cdots\!44$$ p^{2} T^{4} + $$76\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$53\!\cdots\!40$$ p^{4} T^{6} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$15\!\cdots\!94$$ p^{6} T^{8} + $$29\!\cdots\!00$$ p^{114} T^{9} + $$53\!\cdots\!40$$ p^{222} T^{10} + $$76\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{11} + $$10\!\cdots\!44$$ p^{438} T^{12} + $$11\!\cdots\!00$$ p^{546} T^{13} + $$11\!\cdots\!20$$ p^{654} T^{14} + $$99\!\cdots\!00$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	79	$ 1 + $$90\!\cdots\!40$$ T + $$47\!\cdots\!52$$ T^{2} + $$22\!\cdots\!80$$ p T^{3} + $$87\!\cdots\!88$$ p^{2} T^{4} + $$28\!\cdots\!60$$ p^{3} T^{5} + $$84\!\cdots\!84$$ p^{4} T^{6} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} + $$69\!\cdots\!70$$ p^{6} T^{8} + $$22\!\cdots\!00$$ p^{114} T^{9} + $$84\!\cdots\!84$$ p^{222} T^{10} + $$28\!\cdots\!60$$ p^{330} T^{11} + $$87\!\cdots\!88$$ p^{438} T^{12} + $$22\!\cdots\!80$$ p^{546} T^{13} + $$47\!\cdots\!52$$ p^{654} T^{14} + $$90\!\cdots\!40$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	83	$ 1 + $$86\!\cdots\!00$$ T + $$55\!\cdots\!60$$ T^{2} + $$32\!\cdots\!00$$ p T^{3} + $$14\!\cdots\!24$$ p^{2} T^{4} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{5} + $$72\!\cdots\!20$$ p^{4} T^{6} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{7} - $$25\!\cdots\!06$$ p^{6} T^{8} - $$26\!\cdots\!00$$ p^{114} T^{9} + $$72\!\cdots\!20$$ p^{222} T^{10} + $$40\!\cdots\!00$$ p^{330} T^{11} + $$14\!\cdots\!24$$ p^{438} T^{12} + $$32\!\cdots\!00$$ p^{546} T^{13} + $$55\!\cdots\!60$$ p^{654} T^{14} + $$86\!\cdots\!00$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	89	$ 1 - $$53\!\cdots\!80$$ T + $$19\!\cdots\!48$$ p T^{2} - $$13\!\cdots\!40$$ p^{2} T^{3} + $$20\!\cdots\!72$$ p^{3} T^{4} - $$14\!\cdots\!80$$ p^{4} T^{5} + $$13\!\cdots\!76$$ p^{5} T^{6} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{6} T^{7} + $$64\!\cdots\!30$$ p^{7} T^{8} - $$87\!\cdots\!00$$ p^{115} T^{9} + $$13\!\cdots\!76$$ p^{223} T^{10} - $$14\!\cdots\!80$$ p^{331} T^{11} + $$20\!\cdots\!72$$ p^{439} T^{12} - $$13\!\cdots\!40$$ p^{547} T^{13} + $$19\!\cdots\!48$$ p^{655} T^{14} - $$53\!\cdots\!80$$ p^{763} T^{15} + p^{872} T^{16} $
	97	$ 1 - $$31\!\cdots\!00$$ p T + $$14\!\cdots\!60$$ p^{2} T^{2} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{3} T^{3} + $$47\!\cdots\!76$$ p^{4} T^{4} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{5} T^{5} + $$26\!\cdots\!20$$ p^{6} T^{6} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{7} T^{7} + $$17\!\cdots\!66$$ p^{8} T^{8} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{116} T^{9} + $$26\!\cdots\!20$$ p^{224} T^{10} - $$14\!\cdots\!00$$ p^{332} T^{11} + $$47\!\cdots\!76$$ p^{440} T^{12} - $$15\!\cdots\!00$$ p^{548} T^{13} + $$14\!\cdots\!60$$ p^{656} T^{14} - $$31\!\cdots\!00$$ p^{764} T^{15} + p^{872} T^{16} $
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$L(s) = \displaystyle\prod_p \ \prod_{j=1}^{16} (1 - \alpha_{j,p}\, p^{-s})^{-1}$

Imaginary part of the first few zeros on the critical line

−5.25191499314382153134292664489, −4.81944974173765843683828084456, −4.68824945088112333311443502186, −4.60513163289099376473947601882, −4.45768567347611492414493694150, −4.24471205543454593613266188902, −4.24206786175495172893324167503, −4.06804755238774253688749978996, −3.95368851945862958446260543492, −3.43709370859810692779002400713, −3.27559036024760161654497242061, −3.18020390465006111019677626795, −3.07444307082402688070990666526, −3.04816167504371431132627986539, −2.58530586854731955590113719711, −2.49755491621002396002902594511, −2.24762534544577145625121646197, −2.19611372589607151712949514650, −2.16215318242575778828359585831, −1.56553757023145886641107294414, −1.48219260379089342192975726157, −1.31193207360976713927254890538, −1.13876916935493967162061779737, −0.805411289186455820329643643205, −0.65937969282655750345896634497, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.65937969282655750345896634497, 0.805411289186455820329643643205, 1.13876916935493967162061779737, 1.31193207360976713927254890538, 1.48219260379089342192975726157, 1.56553757023145886641107294414, 2.16215318242575778828359585831, 2.19611372589607151712949514650, 2.24762534544577145625121646197, 2.49755491621002396002902594511, 2.58530586854731955590113719711, 3.04816167504371431132627986539, 3.07444307082402688070990666526, 3.18020390465006111019677626795, 3.27559036024760161654497242061, 3.43709370859810692779002400713, 3.95368851945862958446260543492, 4.06804755238774253688749978996, 4.24206786175495172893324167503, 4.24471205543454593613266188902, 4.45768567347611492414493694150, 4.60513163289099376473947601882, 4.68824945088112333311443502186, 4.81944974173765843683828084456, 5.25191499314382153134292664489

Graph of the $Z$-function along the critical line

Plot not available for L-functions of degree greater than 10.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

\(L(55)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac12)\)	\(=\)	\(0\)
\(L(\frac{111}{2})\)		not available
\(L(1)\)		not available

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Origins

Origins of factors

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