Properties

Label 9.5e3_7e3_13e3_17e3.16t1294.1c1
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 5^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3} \cdot 17^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$462786790375= 5^{3} \cdot 7^{3} \cdot 13^{3} \cdot 17^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} - 3 x^{6} + 6 x^{5} + 13 x^{4} - 15 x^{3} - 21 x^{2} + 11 x - 25 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1294
Parity: Odd
Determinant: 1.5_7_13_17.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 93.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: $ x^{2} + 49 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 14 + 6\cdot 53 + 42\cdot 53^{2} + 38\cdot 53^{3} + 49\cdot 53^{4} + 14\cdot 53^{5} + 37\cdot 53^{6} + 14\cdot 53^{7} + 16\cdot 53^{8} + 45\cdot 53^{9} + 41\cdot 53^{10} + 24\cdot 53^{11} + 28\cdot 53^{12} + 35\cdot 53^{13} + 41\cdot 53^{14} + 34\cdot 53^{15} + 51\cdot 53^{16} + 40\cdot 53^{17} + 24\cdot 53^{18} + 53^{19} + 35\cdot 53^{20} + 22\cdot 53^{21} + 15\cdot 53^{22} + 3\cdot 53^{23} + 9\cdot 53^{24} + 26\cdot 53^{25} + 5\cdot 53^{26} + 36\cdot 53^{27} + 17\cdot 53^{28} + 16\cdot 53^{29} + 51\cdot 53^{30} + 5\cdot 53^{31} + 46\cdot 53^{32} + 14\cdot 53^{33} + 19\cdot 53^{34} + 35\cdot 53^{35} + 53^{36} + 3\cdot 53^{37} + 23\cdot 53^{38} + 46\cdot 53^{39} + 47\cdot 53^{40} + 47\cdot 53^{41} + 29\cdot 53^{42} + 19\cdot 53^{43} + 53^{44} + 16\cdot 53^{45} + 23\cdot 53^{46} + 53^{47} + 6\cdot 53^{48} + 34\cdot 53^{49} + 14\cdot 53^{50} + 12\cdot 53^{51} + 15\cdot 53^{52} + 38\cdot 53^{53} + 46\cdot 53^{54} + 18\cdot 53^{55} + 45\cdot 53^{56} + 14\cdot 53^{57} + 9\cdot 53^{58} + 44\cdot 53^{59} + 5\cdot 53^{60} + 10\cdot 53^{61} + 28\cdot 53^{62} + 13\cdot 53^{63} + 19\cdot 53^{64} + 50\cdot 53^{65} + 3\cdot 53^{66} + 48\cdot 53^{67} + 35\cdot 53^{68} + 2\cdot 53^{69} + 18\cdot 53^{70} + 14\cdot 53^{71} + 11\cdot 53^{72} + 10\cdot 53^{73} + 47\cdot 53^{75} + 19\cdot 53^{76} + 50\cdot 53^{77} + 11\cdot 53^{78} + 22\cdot 53^{79} + 40\cdot 53^{80} + 47\cdot 53^{81} + 30\cdot 53^{82} + 3\cdot 53^{83} + 5\cdot 53^{84} + 49\cdot 53^{85} + 18\cdot 53^{86} + 21\cdot 53^{87} + 34\cdot 53^{88} + 24\cdot 53^{89} + 42\cdot 53^{90} + 44\cdot 53^{91} + 12\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 15 a + 2 + \left(49 a + 29\right)\cdot 53 + \left(22 a + 29\right)\cdot 53^{2} + \left(22 a + 50\right)\cdot 53^{3} + \left(12 a + 43\right)\cdot 53^{4} + \left(27 a + 5\right)\cdot 53^{5} + \left(33 a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(51 a + 19\right)\cdot 53^{7} + \left(3 a + 2\right)\cdot 53^{8} + \left(7 a + 33\right)\cdot 53^{9} + \left(24 a + 38\right)\cdot 53^{10} + \left(42 a + 1\right)\cdot 53^{11} + \left(10 a + 25\right)\cdot 53^{12} + \left(a + 48\right)\cdot 53^{13} + \left(38 a + 16\right)\cdot 53^{14} + \left(22 a + 15\right)\cdot 53^{15} + \left(51 a + 37\right)\cdot 53^{16} + \left(46 a + 2\right)\cdot 53^{17} + \left(23 a + 40\right)\cdot 53^{18} + \left(12 a + 30\right)\cdot 53^{19} + \left(19 a + 33\right)\cdot 53^{20} + \left(26 a + 4\right)\cdot 53^{21} + \left(47 a + 17\right)\cdot 53^{22} + \left(41 a + 4\right)\cdot 53^{23} + \left(28 a + 5\right)\cdot 53^{24} + \left(6 a + 19\right)\cdot 53^{25} + \left(7 a + 28\right)\cdot 53^{26} + \left(22 a + 38\right)\cdot 53^{27} + \left(28 a + 16\right)\cdot 53^{28} + \left(34 a + 21\right)\cdot 53^{29} + \left(18 a + 46\right)\cdot 53^{30} + \left(34 a + 39\right)\cdot 53^{31} + \left(30 a + 30\right)\cdot 53^{32} + \left(6 a + 37\right)\cdot 53^{33} + \left(31 a + 20\right)\cdot 53^{34} + \left(33 a + 8\right)\cdot 53^{35} + \left(44 a + 27\right)\cdot 53^{36} + \left(43 a + 27\right)\cdot 53^{37} + \left(24 a + 20\right)\cdot 53^{38} + \left(14 a + 51\right)\cdot 53^{39} + \left(12 a + 20\right)\cdot 53^{40} + \left(7 a + 36\right)\cdot 53^{41} + \left(8 a + 41\right)\cdot 53^{42} + \left(49 a + 8\right)\cdot 53^{43} + 2 a\cdot 53^{44} + \left(47 a + 27\right)\cdot 53^{45} + \left(10 a + 42\right)\cdot 53^{46} + \left(2 a + 25\right)\cdot 53^{47} + \left(23 a + 8\right)\cdot 53^{48} + \left(23 a + 47\right)\cdot 53^{49} + \left(44 a + 22\right)\cdot 53^{50} + \left(12 a + 35\right)\cdot 53^{51} + \left(36 a + 18\right)\cdot 53^{52} + \left(13 a + 5\right)\cdot 53^{53} + \left(4 a + 21\right)\cdot 53^{54} + 40 a\cdot 53^{55} + \left(14 a + 51\right)\cdot 53^{56} + \left(27 a + 40\right)\cdot 53^{57} + \left(18 a + 31\right)\cdot 53^{58} + \left(20 a + 16\right)\cdot 53^{59} + \left(a + 49\right)\cdot 53^{60} + \left(49 a + 23\right)\cdot 53^{61} + \left(10 a + 41\right)\cdot 53^{62} + \left(4 a + 9\right)\cdot 53^{63} + \left(41 a + 51\right)\cdot 53^{64} + \left(51 a + 48\right)\cdot 53^{65} + \left(27 a + 30\right)\cdot 53^{66} + \left(25 a + 2\right)\cdot 53^{67} + \left(21 a + 13\right)\cdot 53^{68} + \left(12 a + 33\right)\cdot 53^{69} + 15 a\cdot 53^{70} + \left(7 a + 49\right)\cdot 53^{71} + \left(4 a + 14\right)\cdot 53^{72} + \left(3 a + 13\right)\cdot 53^{73} + \left(2 a + 9\right)\cdot 53^{74} + \left(21 a + 2\right)\cdot 53^{75} + \left(2 a + 51\right)\cdot 53^{76} + \left(36 a + 52\right)\cdot 53^{78} + \left(46 a + 24\right)\cdot 53^{79} + \left(8 a + 44\right)\cdot 53^{80} + \left(6 a + 35\right)\cdot 53^{81} + \left(40 a + 10\right)\cdot 53^{82} + \left(6 a + 25\right)\cdot 53^{83} + \left(32 a + 36\right)\cdot 53^{84} + \left(46 a + 38\right)\cdot 53^{85} + \left(33 a + 10\right)\cdot 53^{86} + \left(10 a + 21\right)\cdot 53^{87} + 35 a\cdot 53^{88} + \left(41 a + 50\right)\cdot 53^{89} + \left(6 a + 15\right)\cdot 53^{90} + \left(20 a + 18\right)\cdot 53^{91} + \left(34 a + 9\right)\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 33 a + 22 + \left(15 a + 6\right)\cdot 53 + \left(24 a + 48\right)\cdot 53^{2} + \left(a + 14\right)\cdot 53^{3} + \left(22 a + 26\right)\cdot 53^{4} + \left(35 a + 13\right)\cdot 53^{5} + \left(25 a + 41\right)\cdot 53^{6} + \left(46 a + 22\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a + 27\right)\cdot 53^{8} + \left(9 a + 3\right)\cdot 53^{9} + \left(50 a + 49\right)\cdot 53^{10} + \left(20 a + 33\right)\cdot 53^{11} + \left(38 a + 49\right)\cdot 53^{12} + 21\cdot 53^{13} + \left(43 a + 44\right)\cdot 53^{14} + \left(19 a + 45\right)\cdot 53^{15} + \left(2 a + 20\right)\cdot 53^{16} + \left(23 a + 12\right)\cdot 53^{17} + \left(26 a + 14\right)\cdot 53^{18} + \left(44 a + 8\right)\cdot 53^{19} + \left(27 a + 36\right)\cdot 53^{20} + \left(37 a + 10\right)\cdot 53^{21} + \left(22 a + 6\right)\cdot 53^{22} + \left(7 a + 6\right)\cdot 53^{23} + \left(26 a + 36\right)\cdot 53^{24} + \left(2 a + 11\right)\cdot 53^{25} + \left(52 a + 8\right)\cdot 53^{26} + \left(33 a + 34\right)\cdot 53^{27} + \left(11 a + 51\right)\cdot 53^{28} + \left(51 a + 8\right)\cdot 53^{29} + \left(38 a + 14\right)\cdot 53^{30} + \left(26 a + 14\right)\cdot 53^{31} + \left(26 a + 49\right)\cdot 53^{32} + \left(10 a + 28\right)\cdot 53^{33} + \left(6 a + 6\right)\cdot 53^{34} + \left(16 a + 4\right)\cdot 53^{35} + \left(16 a + 41\right)\cdot 53^{36} + \left(6 a + 13\right)\cdot 53^{37} + \left(49 a + 51\right)\cdot 53^{38} + \left(38 a + 13\right)\cdot 53^{39} + 14 a\cdot 53^{40} + \left(41 a + 46\right)\cdot 53^{41} + \left(29 a + 45\right)\cdot 53^{42} + \left(48 a + 31\right)\cdot 53^{43} + \left(47 a + 32\right)\cdot 53^{44} + \left(41 a + 50\right)\cdot 53^{45} + \left(3 a + 25\right)\cdot 53^{46} + \left(30 a + 39\right)\cdot 53^{47} + \left(27 a + 32\right)\cdot 53^{48} + \left(6 a + 50\right)\cdot 53^{49} + \left(29 a + 48\right)\cdot 53^{50} + \left(29 a + 17\right)\cdot 53^{51} + \left(2 a + 11\right)\cdot 53^{52} + \left(22 a + 12\right)\cdot 53^{53} + \left(16 a + 37\right)\cdot 53^{54} + \left(23 a + 10\right)\cdot 53^{55} + \left(18 a + 4\right)\cdot 53^{56} + \left(17 a + 29\right)\cdot 53^{57} + \left(13 a + 7\right)\cdot 53^{58} + \left(52 a + 48\right)\cdot 53^{59} + \left(a + 40\right)\cdot 53^{60} + \left(14 a + 9\right)\cdot 53^{61} + \left(43 a + 34\right)\cdot 53^{62} + \left(45 a + 39\right)\cdot 53^{63} + \left(43 a + 2\right)\cdot 53^{64} + \left(44 a + 48\right)\cdot 53^{65} + \left(15 a + 14\right)\cdot 53^{66} + \left(13 a + 14\right)\cdot 53^{67} + \left(9 a + 12\right)\cdot 53^{68} + \left(49 a + 5\right)\cdot 53^{69} + \left(45 a + 1\right)\cdot 53^{70} + \left(38 a + 34\right)\cdot 53^{71} + \left(40 a + 44\right)\cdot 53^{72} + \left(4 a + 26\right)\cdot 53^{73} + \left(42 a + 26\right)\cdot 53^{74} + \left(15 a + 14\right)\cdot 53^{75} + \left(31 a + 8\right)\cdot 53^{76} + \left(50 a + 8\right)\cdot 53^{77} + \left(27 a + 1\right)\cdot 53^{78} + \left(52 a + 47\right)\cdot 53^{79} + \left(20 a + 13\right)\cdot 53^{80} + \left(24 a + 42\right)\cdot 53^{81} + \left(23 a + 38\right)\cdot 53^{82} + \left(28 a + 37\right)\cdot 53^{83} + \left(20 a + 5\right)\cdot 53^{84} + \left(4 a + 11\right)\cdot 53^{85} + \left(20 a + 27\right)\cdot 53^{86} + \left(36 a + 39\right)\cdot 53^{87} + \left(13 a + 51\right)\cdot 53^{88} + \left(12 a + 38\right)\cdot 53^{89} + \left(30 a + 39\right)\cdot 53^{90} + \left(a + 49\right)\cdot 53^{91} + \left(12 a + 26\right)\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 31 a + 39 + \left(46 a + 40\right)\cdot 53 + \left(21 a + 34\right)\cdot 53^{2} + \left(11 a + 36\right)\cdot 53^{3} + \left(7 a + 39\right)\cdot 53^{4} + \left(50 a + 34\right)\cdot 53^{5} + \left(22 a + 35\right)\cdot 53^{6} + \left(37 a + 15\right)\cdot 53^{7} + \left(31 a + 50\right)\cdot 53^{8} + \left(12 a + 24\right)\cdot 53^{9} + \left(12 a + 4\right)\cdot 53^{10} + \left(27 a + 36\right)\cdot 53^{11} + \left(42 a + 35\right)\cdot 53^{12} + \left(16 a + 21\right)\cdot 53^{13} + \left(39 a + 49\right)\cdot 53^{14} + \left(41 a + 26\right)\cdot 53^{15} + \left(47 a + 8\right)\cdot 53^{16} + \left(3 a + 51\right)\cdot 53^{17} + \left(39 a + 44\right)\cdot 53^{18} + \left(50 a + 6\right)\cdot 53^{19} + \left(13 a + 11\right)\cdot 53^{20} + \left(29 a + 33\right)\cdot 53^{21} + \left(19 a + 35\right)\cdot 53^{22} + \left(3 a + 44\right)\cdot 53^{23} + \left(20 a + 25\right)\cdot 53^{24} + \left(44 a + 9\right)\cdot 53^{25} + \left(44 a + 52\right)\cdot 53^{26} + \left(33 a + 7\right)\cdot 53^{27} + \left(51 a + 10\right)\cdot 53^{28} + \left(41 a + 51\right)\cdot 53^{29} + \left(20 a + 18\right)\cdot 53^{30} + \left(13 a + 43\right)\cdot 53^{31} + \left(a + 8\right)\cdot 53^{32} + \left(15 a + 41\right)\cdot 53^{33} + \left(34 a + 44\right)\cdot 53^{34} + \left(a + 6\right)\cdot 53^{35} + \left(41 a + 31\right)\cdot 53^{36} + \left(30 a + 51\right)\cdot 53^{37} + \left(a + 16\right)\cdot 53^{38} + \left(45 a + 28\right)\cdot 53^{39} + \left(9 a + 17\right)\cdot 53^{40} + \left(45 a + 2\right)\cdot 53^{41} + \left(43 a + 13\right)\cdot 53^{42} + \left(20 a + 36\right)\cdot 53^{43} + \left(50 a + 7\right)\cdot 53^{44} + \left(17 a + 2\right)\cdot 53^{45} + \left(47 a + 6\right)\cdot 53^{46} + \left(44 a + 15\right)\cdot 53^{47} + \left(14 a + 45\right)\cdot 53^{48} + \left(17 a + 22\right)\cdot 53^{49} + \left(42 a + 9\right)\cdot 53^{50} + \left(9 a + 42\right)\cdot 53^{51} + \left(31 a + 16\right)\cdot 53^{52} + \left(26 a + 27\right)\cdot 53^{53} + \left(51 a + 46\right)\cdot 53^{54} + \left(48 a + 34\right)\cdot 53^{55} + \left(12 a + 17\right)\cdot 53^{56} + \left(24 a + 2\right)\cdot 53^{57} + \left(18 a + 26\right)\cdot 53^{58} + \left(37 a + 45\right)\cdot 53^{59} + \left(47 a + 13\right)\cdot 53^{60} + \left(22 a + 42\right)\cdot 53^{61} + \left(42 a + 46\right)\cdot 53^{62} + \left(4 a + 51\right)\cdot 53^{63} + \left(32 a + 18\right)\cdot 53^{64} + \left(41 a + 39\right)\cdot 53^{65} + \left(23 a + 44\right)\cdot 53^{66} + \left(38 a + 27\right)\cdot 53^{67} + \left(6 a + 15\right)\cdot 53^{68} + \left(32 a + 24\right)\cdot 53^{69} + \left(26 a + 17\right)\cdot 53^{70} + \left(46 a + 23\right)\cdot 53^{71} + \left(11 a + 6\right)\cdot 53^{72} + \left(49 a + 49\right)\cdot 53^{73} + \left(44 a + 28\right)\cdot 53^{74} + \left(8 a + 14\right)\cdot 53^{75} + \left(2 a + 34\right)\cdot 53^{76} + \left(41 a + 51\right)\cdot 53^{77} + \left(33 a + 40\right)\cdot 53^{78} + \left(24 a + 52\right)\cdot 53^{79} + \left(17 a + 17\right)\cdot 53^{80} + \left(43 a + 37\right)\cdot 53^{81} + \left(12 a + 40\right)\cdot 53^{82} + \left(35 a + 49\right)\cdot 53^{83} + \left(50 a + 30\right)\cdot 53^{84} + 13\cdot 53^{85} + \left(23 a + 5\right)\cdot 53^{86} + \left(46 a + 52\right)\cdot 53^{87} + \left(12 a + 37\right)\cdot 53^{88} + \left(52 a + 24\right)\cdot 53^{89} + \left(48 a + 25\right)\cdot 53^{90} + \left(38 a + 50\right)\cdot 53^{91} + \left(40 a + 28\right)\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 22 a + 4 + \left(6 a + 37\right)\cdot 53 + \left(31 a + 22\right)\cdot 53^{2} + \left(41 a + 7\right)\cdot 53^{3} + \left(45 a + 4\right)\cdot 53^{4} + \left(2 a + 16\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a + 24\right)\cdot 53^{6} + \left(15 a + 36\right)\cdot 53^{7} + \left(21 a + 33\right)\cdot 53^{8} + \left(40 a + 43\right)\cdot 53^{9} + \left(40 a + 40\right)\cdot 53^{10} + \left(25 a + 26\right)\cdot 53^{11} + \left(10 a + 19\right)\cdot 53^{12} + \left(36 a + 46\right)\cdot 53^{13} + \left(13 a + 30\right)\cdot 53^{14} + \left(11 a + 48\right)\cdot 53^{15} + \left(5 a + 51\right)\cdot 53^{16} + \left(49 a + 18\right)\cdot 53^{17} + \left(13 a + 38\right)\cdot 53^{18} + \left(2 a + 11\right)\cdot 53^{19} + \left(39 a + 16\right)\cdot 53^{20} + \left(23 a + 30\right)\cdot 53^{21} + \left(33 a + 31\right)\cdot 53^{22} + \left(49 a + 38\right)\cdot 53^{23} + \left(32 a + 49\right)\cdot 53^{24} + \left(8 a + 7\right)\cdot 53^{25} + \left(8 a + 28\right)\cdot 53^{26} + \left(19 a + 45\right)\cdot 53^{27} + \left(a + 23\right)\cdot 53^{28} + \left(11 a + 8\right)\cdot 53^{29} + \left(32 a + 7\right)\cdot 53^{30} + \left(39 a + 23\right)\cdot 53^{31} + 51 a\cdot 53^{32} + \left(37 a + 47\right)\cdot 53^{33} + \left(18 a + 7\right)\cdot 53^{34} + \left(51 a + 32\right)\cdot 53^{35} + \left(11 a + 34\right)\cdot 53^{36} + \left(22 a + 27\right)\cdot 53^{37} + \left(51 a + 45\right)\cdot 53^{38} + \left(7 a + 47\right)\cdot 53^{39} + \left(43 a + 11\right)\cdot 53^{40} + \left(7 a + 14\right)\cdot 53^{41} + \left(9 a + 37\right)\cdot 53^{42} + \left(32 a + 22\right)\cdot 53^{43} + \left(2 a + 29\right)\cdot 53^{44} + \left(35 a + 23\right)\cdot 53^{45} + \left(5 a + 18\right)\cdot 53^{46} + \left(8 a + 41\right)\cdot 53^{47} + \left(38 a + 6\right)\cdot 53^{48} + \left(35 a + 24\right)\cdot 53^{49} + \left(10 a + 2\right)\cdot 53^{50} + \left(43 a + 39\right)\cdot 53^{51} + \left(21 a + 25\right)\cdot 53^{52} + \left(26 a + 49\right)\cdot 53^{53} + \left(a + 13\right)\cdot 53^{54} + \left(4 a + 20\right)\cdot 53^{55} + \left(40 a + 20\right)\cdot 53^{56} + \left(28 a + 33\right)\cdot 53^{57} + \left(34 a + 22\right)\cdot 53^{58} + \left(15 a + 17\right)\cdot 53^{59} + \left(5 a + 8\right)\cdot 53^{60} + \left(30 a + 33\right)\cdot 53^{61} + \left(10 a + 34\right)\cdot 53^{62} + \left(48 a + 28\right)\cdot 53^{63} + \left(20 a + 36\right)\cdot 53^{64} + \left(11 a + 14\right)\cdot 53^{65} + \left(29 a + 45\right)\cdot 53^{66} + \left(14 a + 51\right)\cdot 53^{67} + \left(46 a + 3\right)\cdot 53^{68} + \left(20 a + 40\right)\cdot 53^{69} + \left(26 a + 38\right)\cdot 53^{70} + \left(6 a + 23\right)\cdot 53^{71} + \left(41 a + 7\right)\cdot 53^{72} + \left(3 a + 22\right)\cdot 53^{73} + 8 a\cdot 53^{74} + \left(44 a + 5\right)\cdot 53^{75} + \left(50 a + 34\right)\cdot 53^{76} + \left(11 a + 1\right)\cdot 53^{77} + \left(19 a + 29\right)\cdot 53^{78} + \left(28 a + 11\right)\cdot 53^{79} + \left(35 a + 10\right)\cdot 53^{80} + \left(9 a + 34\right)\cdot 53^{81} + \left(40 a + 48\right)\cdot 53^{82} + \left(17 a + 18\right)\cdot 53^{83} + \left(2 a + 39\right)\cdot 53^{84} + \left(52 a + 19\right)\cdot 53^{85} + \left(29 a + 43\right)\cdot 53^{86} + \left(6 a + 2\right)\cdot 53^{87} + \left(40 a + 43\right)\cdot 53^{88} + 8\cdot 53^{89} + \left(4 a + 10\right)\cdot 53^{90} + \left(14 a + 51\right)\cdot 53^{91} + \left(12 a + 46\right)\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 20 a + 48 + \left(37 a + 35\right)\cdot 53 + \left(28 a + 23\right)\cdot 53^{2} + \left(51 a + 49\right)\cdot 53^{3} + \left(30 a + 6\right)\cdot 53^{4} + \left(17 a + 27\right)\cdot 53^{5} + \left(27 a + 2\right)\cdot 53^{6} + \left(6 a + 24\right)\cdot 53^{7} + 48 a\cdot 53^{8} + \left(43 a + 35\right)\cdot 53^{9} + \left(2 a + 28\right)\cdot 53^{10} + \left(32 a + 14\right)\cdot 53^{11} + \left(14 a + 23\right)\cdot 53^{12} + \left(52 a + 39\right)\cdot 53^{13} + \left(9 a + 3\right)\cdot 53^{14} + \left(33 a + 29\right)\cdot 53^{15} + \left(50 a + 10\right)\cdot 53^{16} + \left(29 a + 49\right)\cdot 53^{17} + \left(26 a + 43\right)\cdot 53^{18} + 8 a\cdot 53^{19} + \left(25 a + 50\right)\cdot 53^{20} + \left(15 a + 26\right)\cdot 53^{21} + \left(30 a + 6\right)\cdot 53^{22} + \left(45 a + 13\right)\cdot 53^{23} + \left(26 a + 27\right)\cdot 53^{24} + \left(50 a + 48\right)\cdot 53^{25} + 53^{26} + \left(19 a + 12\right)\cdot 53^{27} + \left(41 a + 11\right)\cdot 53^{28} + \left(a + 43\right)\cdot 53^{29} + \left(14 a + 12\right)\cdot 53^{30} + \left(26 a + 29\right)\cdot 53^{31} + \left(26 a + 22\right)\cdot 53^{32} + \left(42 a + 44\right)\cdot 53^{33} + \left(46 a + 20\right)\cdot 53^{34} + \left(36 a + 9\right)\cdot 53^{35} + \left(36 a + 37\right)\cdot 53^{36} + \left(46 a + 22\right)\cdot 53^{37} + \left(3 a + 29\right)\cdot 53^{38} + \left(14 a + 14\right)\cdot 53^{39} + \left(38 a + 20\right)\cdot 53^{40} + \left(11 a + 37\right)\cdot 53^{41} + \left(23 a + 17\right)\cdot 53^{42} + \left(4 a + 37\right)\cdot 53^{43} + \left(5 a + 16\right)\cdot 53^{44} + \left(11 a + 11\right)\cdot 53^{45} + \left(49 a + 52\right)\cdot 53^{46} + \left(22 a + 49\right)\cdot 53^{47} + \left(25 a + 6\right)\cdot 53^{48} + \left(46 a + 49\right)\cdot 53^{49} + \left(23 a + 52\right)\cdot 53^{50} + 23 a\cdot 53^{51} + \left(50 a + 45\right)\cdot 53^{52} + \left(30 a + 44\right)\cdot 53^{53} + \left(36 a + 27\right)\cdot 53^{54} + \left(29 a + 34\right)\cdot 53^{55} + \left(34 a + 1\right)\cdot 53^{56} + \left(35 a + 27\right)\cdot 53^{57} + \left(39 a + 43\right)\cdot 53^{58} + 31\cdot 53^{59} + \left(51 a + 49\right)\cdot 53^{60} + \left(38 a + 10\right)\cdot 53^{61} + \left(9 a + 34\right)\cdot 53^{62} + \left(7 a + 20\right)\cdot 53^{63} + \left(9 a + 26\right)\cdot 53^{64} + \left(8 a + 24\right)\cdot 53^{65} + \left(37 a + 33\right)\cdot 53^{66} + \left(39 a + 51\right)\cdot 53^{67} + \left(43 a + 35\right)\cdot 53^{68} + \left(3 a + 33\right)\cdot 53^{69} + \left(7 a + 29\right)\cdot 53^{70} + \left(14 a + 37\right)\cdot 53^{71} + \left(12 a + 9\right)\cdot 53^{72} + \left(48 a + 5\right)\cdot 53^{73} + \left(10 a + 31\right)\cdot 53^{74} + \left(37 a + 35\right)\cdot 53^{75} + \left(21 a + 11\right)\cdot 53^{76} + \left(2 a + 20\right)\cdot 53^{77} + \left(25 a + 9\right)\cdot 53^{78} + 17\cdot 53^{79} + \left(32 a + 45\right)\cdot 53^{80} + \left(28 a + 12\right)\cdot 53^{81} + \left(29 a + 2\right)\cdot 53^{82} + \left(24 a + 22\right)\cdot 53^{83} + \left(32 a + 6\right)\cdot 53^{84} + \left(48 a + 8\right)\cdot 53^{85} + \left(32 a + 50\right)\cdot 53^{86} + \left(16 a + 5\right)\cdot 53^{87} + \left(39 a + 17\right)\cdot 53^{88} + \left(40 a + 21\right)\cdot 53^{89} + \left(22 a + 42\right)\cdot 53^{90} + \left(51 a + 25\right)\cdot 53^{91} + \left(40 a + 20\right)\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 23 + 4\cdot 53 + 45\cdot 53^{2} + 2\cdot 53^{3} + 23\cdot 53^{4} + 50\cdot 53^{5} + 24\cdot 53^{6} + 44\cdot 53^{7} + 8\cdot 53^{8} + 22\cdot 53^{9} + 39\cdot 53^{10} + 32\cdot 53^{11} + 4\cdot 53^{12} + 9\cdot 53^{13} + 16\cdot 53^{14} + 49\cdot 53^{15} + 22\cdot 53^{16} + 3\cdot 53^{17} + 23\cdot 53^{18} + 42\cdot 53^{19} + 37\cdot 53^{20} + 45\cdot 53^{21} + 24\cdot 53^{22} + 30\cdot 53^{23} + 33\cdot 53^{24} + 19\cdot 53^{25} + 37\cdot 53^{26} + 23\cdot 53^{27} + 25\cdot 53^{28} + 37\cdot 53^{29} + 27\cdot 53^{30} + 3\cdot 53^{31} + 41\cdot 53^{32} + 17\cdot 53^{33} + 6\cdot 53^{34} + 4\cdot 53^{35} + 26\cdot 53^{36} + 13\cdot 53^{37} + 2\cdot 53^{38} + 31\cdot 53^{39} + 37\cdot 53^{40} + 27\cdot 53^{41} + 12\cdot 53^{42} + 17\cdot 53^{43} + 2\cdot 53^{44} + 28\cdot 53^{45} + 4\cdot 53^{46} + 15\cdot 53^{47} + 7\cdot 53^{48} + 25\cdot 53^{49} + 42\cdot 53^{50} + 21\cdot 53^{51} + 34\cdot 53^{52} + 10\cdot 53^{53} + 47\cdot 53^{54} + 41\cdot 53^{55} + 53^{56} + 35\cdot 53^{57} + 45\cdot 53^{58} + 34\cdot 53^{59} + 9\cdot 53^{60} + 22\cdot 53^{61} + 9\cdot 53^{62} + 32\cdot 53^{63} + 4\cdot 53^{64} + 36\cdot 53^{65} + 45\cdot 53^{67} + 21\cdot 53^{68} + 11\cdot 53^{69} + 4\cdot 53^{70} + 20\cdot 53^{71} + 40\cdot 53^{72} + 10\cdot 53^{73} + 48\cdot 53^{74} + 8\cdot 53^{75} + 13\cdot 53^{76} + 27\cdot 53^{77} + 30\cdot 53^{78} + 19\cdot 53^{79} + 6\cdot 53^{80} + 3\cdot 53^{81} + 34\cdot 53^{82} + 42\cdot 53^{83} + 35\cdot 53^{84} + 37\cdot 53^{85} + 9\cdot 53^{86} + 39\cdot 53^{87} + 2\cdot 53^{88} + 21\cdot 53^{89} + 34\cdot 53^{90} + 38\cdot 53^{91} + 45\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 38 a + 9 + \left(3 a + 52\right)\cdot 53 + \left(30 a + 18\right)\cdot 53^{2} + \left(30 a + 11\right)\cdot 53^{3} + \left(40 a + 18\right)\cdot 53^{4} + \left(25 a + 49\right)\cdot 53^{5} + \left(19 a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(a + 33\right)\cdot 53^{7} + \left(49 a + 19\right)\cdot 53^{8} + \left(45 a + 4\right)\cdot 53^{9} + \left(28 a + 22\right)\cdot 53^{10} + \left(10 a + 41\right)\cdot 53^{11} + \left(42 a + 25\right)\cdot 53^{12} + \left(51 a + 42\right)\cdot 53^{13} + \left(14 a + 8\right)\cdot 53^{14} + \left(30 a + 15\right)\cdot 53^{15} + \left(a + 8\right)\cdot 53^{16} + \left(6 a + 33\right)\cdot 53^{17} + \left(29 a + 35\right)\cdot 53^{18} + \left(40 a + 3\right)\cdot 53^{19} + \left(33 a + 45\right)\cdot 53^{20} + \left(26 a + 37\right)\cdot 53^{21} + \left(5 a + 21\right)\cdot 53^{22} + \left(11 a + 18\right)\cdot 53^{23} + \left(24 a + 25\right)\cdot 53^{24} + \left(46 a + 16\right)\cdot 53^{25} + \left(45 a + 50\right)\cdot 53^{26} + \left(30 a + 13\right)\cdot 53^{27} + \left(24 a + 2\right)\cdot 53^{28} + \left(18 a + 25\right)\cdot 53^{29} + \left(34 a + 33\right)\cdot 53^{30} + \left(18 a + 52\right)\cdot 53^{31} + \left(22 a + 12\right)\cdot 53^{32} + \left(46 a + 33\right)\cdot 53^{33} + \left(21 a + 32\right)\cdot 53^{34} + \left(19 a + 5\right)\cdot 53^{35} + \left(8 a + 13\right)\cdot 53^{36} + \left(9 a + 52\right)\cdot 53^{37} + \left(28 a + 22\right)\cdot 53^{38} + \left(38 a + 31\right)\cdot 53^{39} + \left(40 a + 2\right)\cdot 53^{40} + 45 a\cdot 53^{41} + \left(44 a + 14\right)\cdot 53^{42} + \left(3 a + 38\right)\cdot 53^{43} + \left(50 a + 15\right)\cdot 53^{44} + 5 a\cdot 53^{45} + \left(42 a + 39\right)\cdot 53^{46} + \left(50 a + 23\right)\cdot 53^{47} + \left(29 a + 45\right)\cdot 53^{48} + \left(29 a + 11\right)\cdot 53^{49} + \left(8 a + 18\right)\cdot 53^{50} + \left(40 a + 42\right)\cdot 53^{51} + \left(16 a + 44\right)\cdot 53^{52} + \left(39 a + 23\right)\cdot 53^{53} + \left(48 a + 24\right)\cdot 53^{54} + \left(12 a + 50\right)\cdot 53^{55} + \left(38 a + 16\right)\cdot 53^{56} + \left(25 a + 29\right)\cdot 53^{57} + \left(34 a + 25\right)\cdot 53^{58} + \left(32 a + 26\right)\cdot 53^{59} + \left(51 a + 34\right)\cdot 53^{60} + \left(3 a + 6\right)\cdot 53^{61} + \left(42 a + 36\right)\cdot 53^{62} + \left(48 a + 15\right)\cdot 53^{63} + \left(11 a + 52\right)\cdot 53^{64} + \left(a + 2\right)\cdot 53^{65} + \left(25 a + 38\right)\cdot 53^{66} + \left(27 a + 23\right)\cdot 53^{67} + \left(31 a + 20\right)\cdot 53^{68} + \left(40 a + 8\right)\cdot 53^{69} + \left(37 a + 49\right)\cdot 53^{70} + \left(45 a + 9\right)\cdot 53^{71} + \left(48 a + 24\right)\cdot 53^{72} + \left(49 a + 21\right)\cdot 53^{73} + \left(50 a + 14\right)\cdot 53^{74} + \left(31 a + 31\right)\cdot 53^{75} + \left(50 a + 39\right)\cdot 53^{76} + \left(52 a + 51\right)\cdot 53^{77} + \left(16 a + 36\right)\cdot 53^{78} + \left(6 a + 16\right)\cdot 53^{79} + \left(44 a + 33\right)\cdot 53^{80} + \left(46 a + 51\right)\cdot 53^{81} + \left(12 a + 5\right)\cdot 53^{82} + \left(46 a + 12\right)\cdot 53^{83} + \left(20 a + 52\right)\cdot 53^{84} + \left(6 a + 33\right)\cdot 53^{85} + \left(19 a + 46\right)\cdot 53^{86} + \left(42 a + 29\right)\cdot 53^{87} + \left(17 a + 24\right)\cdot 53^{88} + \left(11 a + 22\right)\cdot 53^{89} + \left(46 a + 1\right)\cdot 53^{90} + \left(32 a + 39\right)\cdot 53^{91} + \left(18 a + 20\right)\cdot 53^{92} +O\left(53^{ 93 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,3)$
$(1,3,6,7)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(1,6)(3,7)$$-3$
$9$$2$$(1,6)(2,5)(3,7)(4,8)$$1$
$12$$2$$(1,3)$$3$
$24$$2$$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$$3$
$36$$2$$(1,3)(2,4)$$1$
$36$$2$$(1,3)(2,5)(4,8)$$-1$
$16$$3$$(3,6,7)$$0$
$64$$3$$(3,6,7)(4,5,8)$$0$
$12$$4$$(1,3,6,7)$$-3$
$36$$4$$(1,3,6,7)(2,4,5,8)$$1$
$36$$4$$(1,6)(2,4,5,8)(3,7)$$1$
$72$$4$$(1,5,6,2)(3,8,7,4)$$-1$
$72$$4$$(1,3)(2,4,5,8)$$-1$
$144$$4$$(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$$1$
$48$$6$$(2,5)(3,7,6)(4,8)$$0$
$96$$6$$(2,4)(3,6,7)$$0$
$192$$6$$(1,2)(3,5,6,8,7,4)$$0$
$144$$8$$(1,4,3,5,6,8,7,2)$$-1$
$96$$12$$(2,4,5,8)(3,6,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.