# Properties

 Label 9.543338496000.16t1294.a.a Dimension $9$ Group $S_4\wr C_2$ Conductor $543338496000$ Root number $1$ Indicator $1$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $$543338496000$$$$\medspace = 2^{15} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 17^{3}$$ Frobenius-Schur indicator: $1$ Root number: $1$ Artin number field: Galois closure of 8.2.82104483840.1 Galois orbit size: $1$ Smallest permutation container: 16T1294 Parity: odd Determinant: 1.2040.2t1.b.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.2.82104483840.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $x^{8} + 4 x^{6} - 4 x^{5} - 18 x^{4} - 8 x^{3} - 40 x^{2} + 44 x - 15$.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 104.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $x^{3} + 3 x + 42$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $37 a^{2} + 14 a + 37 + \left(45 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 47 + \left(11 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 47^{2} + \left(12 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 47^{3} + \left(40 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 47^{4} + \left(19 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 47^{5} + \left(2 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 47^{6} + \left(38 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 47^{7} + \left(42 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 47^{8} + \left(17 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 47^{9} + \left(38 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 47^{10} + \left(a^{2} + 43 a + 40\right)\cdot 47^{11} + \left(29 a^{2} + 23 a + 3\right)\cdot 47^{12} + \left(15 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 47^{13} + \left(8 a^{2} + 38 a + 6\right)\cdot 47^{14} + \left(2 a^{2} + 16 a + 44\right)\cdot 47^{15} + \left(21 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 47^{16} + \left(42 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 47^{17} + \left(27 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 47^{18} + \left(39 a^{2} + 2 a + 43\right)\cdot 47^{19} + \left(14 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 47^{20} + \left(37 a^{2} + 44 a + 44\right)\cdot 47^{21} + \left(28 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 47^{22} + \left(24 a^{2} + 46 a + 31\right)\cdot 47^{23} + \left(24 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 47^{24} + \left(11 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 47^{25} + \left(46 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 47^{26} + \left(36 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 47^{27} + \left(29 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 47^{28} + \left(14 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 47^{29} + \left(4 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 47^{30} + \left(8 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 47^{31} + \left(21 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 47^{32} + \left(5 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 47^{33} + \left(14 a^{2} + 45 a + 17\right)\cdot 47^{34} + \left(17 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 47^{35} + \left(29 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 47^{36} + \left(41 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 47^{37} + \left(43 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 47^{38} + \left(37 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 47^{39} + \left(23 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 47^{40} + \left(35 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 47^{41} + \left(32 a^{2} + 44 a + 2\right)\cdot 47^{42} + \left(25 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 47^{43} + \left(39 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 47^{44} + \left(18 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 47^{45} + \left(26 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 47^{46} + \left(28 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 47^{47} + \left(26 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 47^{48} + \left(40 a^{2} + 46 a + 6\right)\cdot 47^{49} + \left(a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 47^{50} + \left(a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 47^{51} + \left(43 a^{2} + 31 a + 14\right)\cdot 47^{52} + \left(16 a + 24\right)\cdot 47^{53} + \left(22 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 47^{54} + \left(33 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 47^{55} + \left(17 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 47^{56} + \left(4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 47^{57} + \left(11 a^{2} + 43 a\right)\cdot 47^{58} + \left(38 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 47^{59} + \left(13 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 47^{60} + \left(28 a^{2} + 42 a + 27\right)\cdot 47^{61} + \left(34 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 47^{62} + \left(8 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 47^{63} + \left(25 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 47^{64} + \left(25 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 47^{65} + \left(20 a^{2} + 36 a + 43\right)\cdot 47^{66} + \left(32 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 47^{67} + \left(17 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 47^{68} + \left(22 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 47^{69} + \left(13 a^{2} + 38 a\right)\cdot 47^{70} + \left(44 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 47^{71} + \left(14 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 47^{72} + \left(6 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 47^{73} + \left(22 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 47^{74} + \left(17 a + 22\right)\cdot 47^{75} + \left(15 a^{2} + a + 44\right)\cdot 47^{76} + \left(38 a + 18\right)\cdot 47^{77} + \left(33 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 47^{78} + \left(3 a^{2} + 45 a + 30\right)\cdot 47^{79} + \left(41 a^{2} + a + 32\right)\cdot 47^{80} + \left(12 a^{2} + 32 a + 43\right)\cdot 47^{81} + \left(10 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 47^{82} + \left(28 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 47^{83} + \left(28 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 47^{84} + \left(16 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 47^{85} + \left(15 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 47^{86} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 47^{87} + \left(18 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 47^{88} + \left(5 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 47^{89} + \left(33 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 47^{90} + \left(37 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 47^{91} + \left(3 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 47^{92} + \left(43 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 47^{93} + \left(33 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 47^{94} + \left(11 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 47^{95} + \left(26 a^{2} + 45 a + 26\right)\cdot 47^{96} + \left(19 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 47^{97} + \left(31 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 47^{98} + \left(40 a^{2} + 19\right)\cdot 47^{99} + \left(35 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 47^{100} + \left(21 a^{2} + 45 a + 3\right)\cdot 47^{101} + \left(15 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 47^{102} + \left(44 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $14 a^{2} + 33 a + 26 + \left(42 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 47 + \left(36 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 47^{2} + \left(4 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 47^{3} + \left(10 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 47^{4} + \left(29 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 47^{5} + \left(11 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 47^{6} + \left(45 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 47^{7} + \left(a^{2} + 43 a + 24\right)\cdot 47^{8} + \left(40 a^{2} + 22 a + 39\right)\cdot 47^{9} + \left(8 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 47^{10} + \left(4 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 47^{11} + \left(29 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 47^{12} + \left(30 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 47^{13} + \left(17 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 47^{14} + \left(35 a^{2} + 39 a + 26\right)\cdot 47^{15} + \left(35 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 47^{16} + \left(a^{2} + 41 a + 12\right)\cdot 47^{17} + \left(39 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 47^{18} + \left(14 a^{2} + 20 a + 46\right)\cdot 47^{19} + \left(22 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 47^{20} + \left(31 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 47^{21} + \left(a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 47^{22} + \left(2 a^{2} + 28 a + 46\right)\cdot 47^{23} + \left(25 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 47^{24} + \left(41 a^{2} + 36 a\right)\cdot 47^{25} + \left(39 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 47^{26} + \left(17 a^{2} + 40 a + 2\right)\cdot 47^{27} + \left(8 a^{2} + 7 a + 46\right)\cdot 47^{28} + \left(40 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 47^{29} + \left(15 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 47^{30} + \left(6 a^{2} + a + 16\right)\cdot 47^{31} + \left(12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 47^{32} + \left(26 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 47^{33} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 47^{34} + \left(19 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 47^{35} + \left(7 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 47^{36} + \left(42 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 47^{37} + \left(9 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 47^{38} + \left(7 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 47^{39} + \left(28 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 47^{40} + \left(20 a + 5\right)\cdot 47^{41} + \left(18 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 47^{42} + \left(24 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 47^{43} + \left(14 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 47^{44} + \left(a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 47^{45} + \left(42 a + 5\right)\cdot 47^{46} + \left(5 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 47^{47} + \left(44 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 47^{48} + \left(4 a^{2} + 42 a + 32\right)\cdot 47^{49} + \left(16 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 47^{50} + \left(21 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 47^{51} + \left(23 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 47^{52} + \left(40 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 47^{53} + \left(29 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 47^{54} + \left(31 a^{2} + 15 a + 44\right)\cdot 47^{55} + \left(12 a^{2} + 31 a + 43\right)\cdot 47^{56} + \left(40 a^{2} + 43 a + 17\right)\cdot 47^{57} + \left(17 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 47^{58} + \left(33 a^{2} + 42 a + 23\right)\cdot 47^{59} + \left(37 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 47^{60} + \left(39 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 47^{61} + \left(24 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 47^{62} + \left(17 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 47^{63} + \left(37 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 47^{64} + \left(44 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 47^{65} + \left(33 a^{2} + 15 a + 45\right)\cdot 47^{66} + \left(9 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 47^{67} + \left(15 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 47^{68} + \left(17 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 47^{69} + \left(33 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 47^{70} + \left(10 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 47^{71} + \left(24 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 47^{72} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 47^{73} + \left(34 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 47^{74} + \left(46 a^{2} + 3 a + 44\right)\cdot 47^{75} + \left(17 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 47^{76} + \left(15 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 47^{77} + \left(10 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 47^{78} + \left(31 a^{2} + 46 a + 24\right)\cdot 47^{79} + \left(23 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 47^{80} + \left(18 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 47^{81} + \left(16 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 47^{82} + \left(34 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 47^{83} + \left(4 a^{2} + 24 a + 43\right)\cdot 47^{84} + \left(3 a^{2} + 46 a + 13\right)\cdot 47^{85} + \left(14 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 47^{86} + \left(34 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 47^{87} + \left(20 a^{2} + 10\right)\cdot 47^{88} + \left(20 a^{2} + 31 a + 39\right)\cdot 47^{89} + \left(34 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 47^{90} + \left(46 a^{2} + 22 a + 39\right)\cdot 47^{91} + \left(31 a^{2} + 16 a\right)\cdot 47^{92} + \left(5 a^{2} + 45 a + 1\right)\cdot 47^{93} + \left(35 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 47^{94} + \left(34 a^{2} + 10 a + 38\right)\cdot 47^{95} + \left(8 a^{2} + 45 a + 35\right)\cdot 47^{96} + \left(17 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 47^{97} + \left(15 a^{2} + 19 a + 44\right)\cdot 47^{98} + \left(22 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 47^{99} + \left(46 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 47^{100} + \left(35 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 47^{101} + \left(17 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 47^{102} + \left(5 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $17 + 16\cdot 47 + 15\cdot 47^{2} + 22\cdot 47^{4} + 3\cdot 47^{5} + 6\cdot 47^{6} + 33\cdot 47^{7} + 27\cdot 47^{8} + 24\cdot 47^{9} + 6\cdot 47^{10} + 29\cdot 47^{11} + 21\cdot 47^{12} + 17\cdot 47^{13} + 29\cdot 47^{14} + 21\cdot 47^{15} + 17\cdot 47^{16} + 26\cdot 47^{17} + 12\cdot 47^{18} + 14\cdot 47^{19} + 32\cdot 47^{20} + 43\cdot 47^{21} + 6\cdot 47^{23} + 38\cdot 47^{24} + 33\cdot 47^{25} + 37\cdot 47^{26} + 46\cdot 47^{27} + 27\cdot 47^{28} + 39\cdot 47^{29} + 10\cdot 47^{30} + 28\cdot 47^{31} + 6\cdot 47^{32} + 26\cdot 47^{33} + 31\cdot 47^{34} + 26\cdot 47^{35} + 19\cdot 47^{36} + 2\cdot 47^{37} + 41\cdot 47^{38} + 15\cdot 47^{39} + 2\cdot 47^{40} + 2\cdot 47^{41} + 2\cdot 47^{42} + 12\cdot 47^{43} + 5\cdot 47^{44} + 44\cdot 47^{45} + 20\cdot 47^{46} + 38\cdot 47^{47} + 28\cdot 47^{48} + 36\cdot 47^{49} + 20\cdot 47^{50} + 11\cdot 47^{51} + 26\cdot 47^{52} + 26\cdot 47^{53} + 34\cdot 47^{54} + 8\cdot 47^{55} + 33\cdot 47^{56} + 42\cdot 47^{57} + 18\cdot 47^{58} + 26\cdot 47^{59} + 43\cdot 47^{60} + 40\cdot 47^{61} + 42\cdot 47^{62} + 27\cdot 47^{63} + 28\cdot 47^{64} + 25\cdot 47^{65} + 39\cdot 47^{66} + 33\cdot 47^{67} + 3\cdot 47^{68} + 41\cdot 47^{69} + 31\cdot 47^{70} + 40\cdot 47^{71} + 27\cdot 47^{72} + 41\cdot 47^{73} + 15\cdot 47^{74} + 29\cdot 47^{75} + 3\cdot 47^{76} + 39\cdot 47^{77} + 16\cdot 47^{78} + 25\cdot 47^{79} + 7\cdot 47^{80} + 40\cdot 47^{81} + 12\cdot 47^{82} + 12\cdot 47^{83} + 46\cdot 47^{84} + 15\cdot 47^{85} + 20\cdot 47^{86} + 31\cdot 47^{87} + 14\cdot 47^{88} + 31\cdot 47^{89} + 28\cdot 47^{90} + 41\cdot 47^{91} + 12\cdot 47^{92} + 8\cdot 47^{93} + 22\cdot 47^{94} + 15\cdot 47^{95} + 31\cdot 47^{96} + 6\cdot 47^{97} + 23\cdot 47^{98} + 45\cdot 47^{99} + 36\cdot 47^{100} + 26\cdot 47^{101} + 40\cdot 47^{102} + 35\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $21 a^{2} + 19 a + 40 + \left(33 a^{2} + 30 a + 41\right)\cdot 47 + \left(16 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 47^{2} + \left(3 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 47^{3} + \left(5 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 47^{4} + \left(37 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 47^{5} + \left(6 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 47^{6} + \left(17 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 47^{7} + \left(2 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 47^{8} + \left(6 a + 6\right)\cdot 47^{9} + \left(10 a + 22\right)\cdot 47^{10} + \left(8 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 47^{11} + \left(36 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 47^{12} + \left(12 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 47^{13} + \left(39 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 47^{14} + \left(26 a^{2} + 9\right)\cdot 47^{15} + \left(29 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 47^{16} + \left(29 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 47^{17} + \left(43 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 47^{18} + \left(40 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 47^{19} + \left(15 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 47^{20} + \left(35 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 47^{21} + \left(29 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 47^{22} + \left(38 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 47^{23} + \left(31 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 47^{24} + \left(8 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 47^{25} + \left(28 a^{2} + 23 a + 43\right)\cdot 47^{26} + \left(38 a^{2} + 21 a + 43\right)\cdot 47^{27} + \left(45 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 47^{28} + \left(23 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 47^{29} + \left(6 a^{2} + 46 a + 45\right)\cdot 47^{30} + \left(8 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 47^{31} + \left(2 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 47^{32} + \left(24 a^{2} + 8 a + 36\right)\cdot 47^{33} + \left(31 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 47^{34} + \left(38 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 47^{35} + \left(31 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 47^{36} + \left(38 a^{2} + 34 a + 44\right)\cdot 47^{37} + \left(40 a^{2} + 45 a + 46\right)\cdot 47^{38} + \left(30 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 47^{39} + \left(38 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 47^{40} + \left(44 a^{2} + 26 a\right)\cdot 47^{41} + \left(43 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 47^{42} + \left(20 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 47^{43} + \left(37 a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 47^{44} + \left(40 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 47^{45} + \left(16 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 47^{46} + \left(43 a^{2} + 43 a + 18\right)\cdot 47^{47} + \left(29 a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 47^{48} + \left(46 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 47^{49} + \left(41 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 47^{50} + \left(24 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 47^{51} + \left(19 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 47^{52} + \left(a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 47^{53} + \left(22 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 47^{54} + \left(33 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 47^{55} + \left(42 a^{2} + 46 a + 10\right)\cdot 47^{56} + \left(25 a^{2} + 42 a + 36\right)\cdot 47^{57} + \left(20 a^{2} + 43 a + 20\right)\cdot 47^{58} + \left(25 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 47^{59} + \left(34 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 47^{60} + \left(21 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 47^{61} + \left(38 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 47^{62} + \left(16 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 47^{63} + \left(21 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 47^{64} + \left(5 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 47^{65} + \left(18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 47^{66} + \left(28 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 47^{67} + \left(22 a^{2} + 35 a + 46\right)\cdot 47^{68} + \left(45 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 47^{69} + \left(21 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 47^{70} + \left(27 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 47^{71} + \left(3 a^{2} + 27 a\right)\cdot 47^{72} + \left(17 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 47^{73} + \left(13 a^{2} + 21 a + 43\right)\cdot 47^{74} + \left(43 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 47^{75} + \left(19 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 47^{76} + \left(18 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 47^{77} + \left(21 a^{2} + 19 a + 43\right)\cdot 47^{78} + \left(22 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 47^{79} + \left(14 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 47^{80} + \left(17 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 47^{81} + \left(45 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 47^{82} + \left(27 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 47^{83} + \left(20 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 47^{84} + \left(38 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 47^{85} + \left(38 a^{2} + 45 a + 40\right)\cdot 47^{86} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 47^{87} + \left(34 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 47^{88} + \left(38 a^{2} + 38 a + 28\right)\cdot 47^{89} + \left(6 a + 8\right)\cdot 47^{90} + \left(36 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 47^{91} + \left(13 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 47^{92} + \left(38 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 47^{93} + \left(43 a^{2} + 4 a + 44\right)\cdot 47^{94} + \left(46 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 47^{95} + \left(23 a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 47^{96} + \left(17 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 47^{97} + \left(21 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 47^{98} + \left(39 a^{2} + 29 a + 44\right)\cdot 47^{99} + \left(31 a^{2} + 27 a + 43\right)\cdot 47^{100} + \left(11 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 47^{101} + \left(28 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 47^{102} + \left(29 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $6 + 28\cdot 47 + 13\cdot 47^{2} + 38\cdot 47^{3} + 7\cdot 47^{4} + 16\cdot 47^{5} + 33\cdot 47^{6} + 24\cdot 47^{7} + 33\cdot 47^{8} + 27\cdot 47^{9} + 27\cdot 47^{10} + 29\cdot 47^{11} + 4\cdot 47^{12} + 32\cdot 47^{13} + 18\cdot 47^{14} + 39\cdot 47^{15} + 9\cdot 47^{16} + 21\cdot 47^{17} + 24\cdot 47^{18} + 44\cdot 47^{19} + 46\cdot 47^{20} + 38\cdot 47^{21} + 47^{22} + 14\cdot 47^{23} + 29\cdot 47^{24} + 13\cdot 47^{25} + 38\cdot 47^{26} + 5\cdot 47^{27} + 6\cdot 47^{28} + 25\cdot 47^{29} + 42\cdot 47^{30} + 35\cdot 47^{31} + 18\cdot 47^{32} + 34\cdot 47^{33} + 21\cdot 47^{34} + 10\cdot 47^{35} + 46\cdot 47^{36} + 5\cdot 47^{37} + 10\cdot 47^{38} + 30\cdot 47^{39} + 14\cdot 47^{40} + 33\cdot 47^{41} + 41\cdot 47^{42} + 27\cdot 47^{43} + 6\cdot 47^{44} + 40\cdot 47^{45} + 30\cdot 47^{46} + 15\cdot 47^{47} + 4\cdot 47^{48} + 25\cdot 47^{49} + 4\cdot 47^{50} + 5\cdot 47^{51} + 45\cdot 47^{52} + 35\cdot 47^{53} + 12\cdot 47^{54} + 9\cdot 47^{55} + 38\cdot 47^{56} + 46\cdot 47^{57} + 13\cdot 47^{58} + 36\cdot 47^{59} + 12\cdot 47^{60} + 33\cdot 47^{61} + 12\cdot 47^{62} + 32\cdot 47^{63} + 9\cdot 47^{64} + 45\cdot 47^{65} + 20\cdot 47^{66} + 39\cdot 47^{67} + 43\cdot 47^{68} + 3\cdot 47^{69} + 4\cdot 47^{70} + 32\cdot 47^{71} + 20\cdot 47^{72} + 30\cdot 47^{73} + 43\cdot 47^{74} + 4\cdot 47^{75} + 31\cdot 47^{76} + 47^{77} + 44\cdot 47^{78} + 19\cdot 47^{79} + 19\cdot 47^{80} + 26\cdot 47^{81} + 8\cdot 47^{83} + 38\cdot 47^{84} + 23\cdot 47^{85} + 16\cdot 47^{86} + 32\cdot 47^{87} + 46\cdot 47^{88} + 4\cdot 47^{89} + 26\cdot 47^{90} + 20\cdot 47^{91} + 47^{92} + 31\cdot 47^{93} + 35\cdot 47^{94} + 45\cdot 47^{95} + 38\cdot 47^{96} + 25\cdot 47^{97} + 5\cdot 47^{98} + 10\cdot 47^{99} + 12\cdot 47^{100} + 18\cdot 47^{101} + 14\cdot 47^{102} + 35\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $34 a^{2} + 14 a + 31 + \left(39 a^{2} + 8 a + 42\right)\cdot 47 + \left(a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 47^{2} + \left(42 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 47^{3} + \left(43 a^{2} + 46 a + 2\right)\cdot 47^{4} + \left(21 a^{2} + a + 27\right)\cdot 47^{5} + \left(32 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 47^{6} + \left(18 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 47^{7} + \left(14 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 47^{8} + \left(11 a^{2} + 5 a + 45\right)\cdot 47^{9} + \left(28 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 47^{10} + \left(21 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 47^{11} + \left(16 a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 47^{12} + \left(39 a^{2} + 41\right)\cdot 47^{13} + \left(7 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 47^{14} + \left(26 a^{2} + 13 a + 45\right)\cdot 47^{15} + \left(8 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 47^{16} + \left(19 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 47^{17} + \left(7 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 47^{18} + \left(23 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 47^{19} + \left(25 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 47^{20} + \left(16 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 47^{21} + \left(40 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 47^{22} + \left(33 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 47^{23} + \left(7 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 47^{24} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 47^{25} + \left(30 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 47^{26} + \left(23 a^{2} + 40 a\right)\cdot 47^{27} + \left(45 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 47^{28} + \left(24 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 47^{29} + \left(30 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 47^{30} + \left(32 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 47^{31} + \left(35 a^{2} + a + 6\right)\cdot 47^{32} + \left(43 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 47^{33} + \left(31 a^{2} + 41 a + 6\right)\cdot 47^{34} + \left(11 a^{2} + 42 a + 30\right)\cdot 47^{35} + \left(46 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 47^{36} + \left(7 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 47^{37} + \left(13 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 47^{38} + \left(9 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 47^{39} + \left(40 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 47^{40} + \left(15 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 47^{41} + \left(37 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 47^{42} + \left(37 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 47^{43} + \left(a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 47^{44} + \left(16 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 47^{45} + \left(4 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 47^{46} + \left(46 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 47^{47} + \left(4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 47^{48} + \left(36 a^{2} + 23 a + 44\right)\cdot 47^{49} + \left(36 a + 25\right)\cdot 47^{50} + \left(36 a + 27\right)\cdot 47^{51} + \left(30 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 47^{52} + \left(45 a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 47^{53} + \left(13 a^{2} + 34 a + 16\right)\cdot 47^{54} + \left(30 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 47^{55} + \left(8 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 47^{56} + \left(18 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 47^{57} + \left(10 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 47^{58} + \left(26 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 47^{59} + \left(20 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 47^{60} + \left(40 a^{2} + a + 4\right)\cdot 47^{61} + \left(14 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 47^{62} + \left(24 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 47^{63} + \left(28 a^{2} + 14 a\right)\cdot 47^{64} + \left(27 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 47^{65} + \left(23 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 47^{66} + \left(43 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 47^{67} + \left(21 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 47^{68} + \left(32 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 47^{69} + \left(43 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 47^{70} + \left(34 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 47^{71} + \left(21 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 47^{72} + \left(32 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 47^{73} + \left(22 a^{2} + 20 a + 24\right)\cdot 47^{74} + \left(33 a^{2} + 44 a + 41\right)\cdot 47^{75} + \left(a^{2} + 17\right)\cdot 47^{76} + \left(21 a^{2} + 43 a + 13\right)\cdot 47^{77} + \left(11 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 47^{78} + \left(35 a^{2} + 15 a + 46\right)\cdot 47^{79} + \left(3 a^{2} + 44 a + 4\right)\cdot 47^{80} + 18\cdot 47^{81} + \left(15 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 47^{82} + \left(9 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 47^{83} + \left(9 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 47^{84} + \left(14 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 47^{85} + \left(29 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 47^{86} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 47^{87} + \left(45 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 47^{88} + \left(31 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 47^{89} + \left(9 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 47^{90} + \left(28 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 47^{91} + \left(26 a^{2} + 33\right)\cdot 47^{92} + \left(9 a^{2} + 23 a\right)\cdot 47^{93} + \left(42 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 47^{94} + \left(20 a^{2} + 26 a + 36\right)\cdot 47^{95} + \left(35 a^{2} + 24 a + 44\right)\cdot 47^{96} + \left(46 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 47^{97} + \left(8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 47^{98} + \left(25 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 47^{99} + \left(43 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 47^{100} + \left(34 a^{2} + 45 a + 29\right)\cdot 47^{101} + \left(5 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 47^{102} + \left(15 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $23 a^{2} + 19 a + 9 + \left(8 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 47 + \left(33 a^{2} + 9 a + 45\right)\cdot 47^{2} + \left(39 a^{2} + 5 a\right)\cdot 47^{3} + \left(9 a^{2} + 42 a + 28\right)\cdot 47^{4} + \left(5 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 47^{5} + \left(12 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 47^{6} + \left(37 a^{2} + 23 a\right)\cdot 47^{7} + \left(36 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 47^{8} + \left(17 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 47^{9} + \left(27 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 47^{10} + \left(23 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 47^{11} + \left(a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 47^{12} + \left(39 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 47^{13} + \left(30 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 47^{14} + \left(18 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 47^{15} + \left(17 a^{2} + 44\right)\cdot 47^{16} + \left(32 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 47^{17} + \left(11 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 47^{18} + \left(31 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 47^{19} + \left(6 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 47^{20} + \left(40 a^{2} + 45 a + 3\right)\cdot 47^{21} + \left(24 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 47^{22} + \left(35 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 47^{23} + \left(14 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 47^{24} + \left(34 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 47^{25} + \left(17 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 47^{26} + \left(33 a^{2} + 44 a + 19\right)\cdot 47^{27} + \left(18 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 47^{28} + \left(7 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 47^{29} + \left(12 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 47^{30} + \left(6 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 47^{31} + \left(37 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 47^{32} + \left(44 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 47^{33} + \left(6 a + 38\right)\cdot 47^{34} + \left(18 a^{2} + 46 a + 42\right)\cdot 47^{35} + \left(18 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 47^{36} + \left(44 a^{2} + 44 a + 40\right)\cdot 47^{37} + \left(36 a^{2} + 9 a + 28\right)\cdot 47^{38} + \left(46 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 47^{39} + \left(29 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 47^{40} + \left(42 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 47^{41} + \left(23 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 47^{42} + \left(30 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 47^{43} + \left(5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 47^{44} + \left(12 a^{2} + 45 a + 25\right)\cdot 47^{45} + \left(16 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 47^{46} + \left(19 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 47^{47} + \left(15 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 47^{48} + \left(17 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 47^{49} + \left(44 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 47^{50} + \left(45 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 47^{51} + \left(20 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 47^{52} + \left(41 a + 23\right)\cdot 47^{53} + \left(11 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 47^{54} + \left(30 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 47^{55} + \left(20 a^{2} + 43 a + 14\right)\cdot 47^{56} + \left(24 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 47^{57} + \left(25 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 47^{58} + \left(29 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 47^{59} + \left(12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 47^{60} + \left(25 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 47^{61} + \left(44 a^{2} + 46 a + 43\right)\cdot 47^{62} + \left(13 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 47^{63} + \left(40 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 47^{64} + \left(40 a^{2} + 46 a + 10\right)\cdot 47^{65} + \left(2 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 47^{66} + \left(18 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 47^{67} + \left(7 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 47^{68} + \left(39 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 47^{69} + \left(36 a^{2} + 13 a\right)\cdot 47^{70} + \left(14 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 47^{71} + \left(10 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 47^{72} + \left(8 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 47^{73} + \left(2 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 47^{74} + \left(13 a^{2} + 32 a\right)\cdot 47^{75} + \left(30 a^{2} + 44 a + 28\right)\cdot 47^{76} + \left(25 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 47^{77} + \left(2 a^{2} + 21 a + 46\right)\cdot 47^{78} + \left(8 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 47^{79} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 47^{80} + \left(34 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 47^{81} + \left(21 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 47^{82} + \left(9 a^{2} + 21 a + 46\right)\cdot 47^{83} + \left(9 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 47^{84} + \left(16 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 47^{85} + \left(2 a^{2} + 26 a + 13\right)\cdot 47^{86} + \left(42 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 47^{87} + \left(30 a^{2} + 46 a + 9\right)\cdot 47^{88} + \left(9 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 47^{89} + \left(4 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 47^{90} + \left(28 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 47^{91} + \left(16 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 47^{92} + \left(41 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 47^{93} + \left(17 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 47^{94} + \left(14 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 47^{95} + \left(32 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 47^{96} + \left(27 a^{2} + 46 a + 21\right)\cdot 47^{97} + \left(6 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 47^{98} + \left(28 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 47^{99} + \left(14 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 47^{100} + \left(37 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 47^{101} + \left(25 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 47^{102} + \left(34 a^{2} + 43 a + 10\right)\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $12 a^{2} + 42 a + 22 + \left(18 a^{2} + 37 a + 11\right)\cdot 47 + \left(40 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 47^{2} + \left(38 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 47^{3} + \left(31 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 47^{4} + \left(27 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 47^{5} + \left(28 a^{2} + a + 30\right)\cdot 47^{6} + \left(31 a^{2} + a + 23\right)\cdot 47^{7} + \left(42 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 47^{8} + \left(6 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 47^{9} + \left(38 a^{2} + a + 4\right)\cdot 47^{10} + \left(34 a^{2} + 31 a + 44\right)\cdot 47^{11} + \left(28 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 47^{12} + \left(3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 47^{13} + \left(37 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 47^{14} + \left(31 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 47^{15} + \left(28 a^{2} + 46 a + 38\right)\cdot 47^{16} + \left(15 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 47^{17} + \left(11 a^{2} + 44 a + 45\right)\cdot 47^{18} + \left(38 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 47^{19} + \left(8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 47^{20} + \left(27 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 47^{21} + \left(15 a^{2} + 3 a + 46\right)\cdot 47^{22} + \left(6 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 47^{23} + \left(37 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 47^{24} + \left(43 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 47^{25} + \left(25 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 47^{26} + \left(37 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 47^{27} + \left(39 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 47^{28} + \left(29 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 47^{29} + \left(24 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 47^{30} + \left(32 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 47^{31} + \left(32 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 47^{32} + \left(43 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 47^{33} + \left(5 a^{2} + 44 a + 4\right)\cdot 47^{34} + \left(36 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 47^{35} + \left(7 a^{2} + 21 a\right)\cdot 47^{36} + \left(13 a^{2} + 40 a + 40\right)\cdot 47^{37} + \left(43 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 47^{38} + \left(8 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 47^{39} + \left(27 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 47^{40} + \left(a^{2} + 46 a + 7\right)\cdot 47^{41} + \left(32 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 47^{42} + \left(a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 47^{43} + \left(42 a^{2} + 34\right)\cdot 47^{44} + \left(4 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 47^{45} + \left(30 a^{2} + 43 a + 18\right)\cdot 47^{46} + \left(45 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 47^{47} + \left(19 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 47^{48} + \left(42 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 47^{49} + \left(35 a^{2} + 44 a + 23\right)\cdot 47^{50} + 15\cdot 47^{51} + \left(4 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 47^{52} + \left(5 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 47^{53} + \left(42 a^{2} + 37 a + 1\right)\cdot 47^{54} + \left(28 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 47^{55} + \left(38 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 47^{56} + \left(27 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 47^{57} + \left(8 a^{2} + 14 a + 43\right)\cdot 47^{58} + \left(35 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 47^{59} + \left(21 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 47^{60} + \left(32 a^{2} + 36 a + 22\right)\cdot 47^{61} + \left(30 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 47^{62} + \left(12 a^{2} + 45 a + 45\right)\cdot 47^{63} + \left(35 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 47^{64} + \left(43 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 47^{65} + \left(41 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 47^{66} + \left(8 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 47^{67} + \left(9 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 47^{68} + \left(31 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 47^{69} + \left(38 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 47^{70} + \left(8 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 47^{71} + \left(19 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 47^{72} + \left(23 a^{2} + 26 a + 36\right)\cdot 47^{73} + \left(46 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 47^{74} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 47^{75} + \left(9 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 47^{76} + \left(13 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 47^{77} + \left(15 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 47^{78} + \left(40 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 47^{79} + \left(8 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 47^{80} + \left(11 a^{2} + 31 a + 13\right)\cdot 47^{81} + \left(32 a^{2} + 43 a + 17\right)\cdot 47^{82} + \left(31 a^{2} + 29\right)\cdot 47^{83} + \left(21 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 47^{84} + \left(5 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 47^{85} + \left(41 a^{2} + 22 a + 45\right)\cdot 47^{86} + \left(a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 47^{87} + \left(39 a^{2} + 39 a + 46\right)\cdot 47^{88} + \left(34 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 47^{89} + \left(11 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 47^{90} + \left(11 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 47^{91} + \left(a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 47^{92} + \left(3 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 47^{93} + \left(15 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 47^{94} + \left(12 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 47^{95} + \left(14 a^{2} + 6 a + 46\right)\cdot 47^{96} + \left(12 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 47^{97} + \left(10 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 47^{98} + \left(32 a^{2} + a + 29\right)\cdot 47^{99} + \left(15 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 47^{100} + \left(46 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 47^{101} + \left(45 a + 44\right)\cdot 47^{102} + \left(12 a^{2} + 20 a + 27\right)\cdot 47^{103} +O\left(47^{ 104 }\right)$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3)$ $(1,3,6,7)$ $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(2,5)(4,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,6)(2,5)(3,7)(4,8)$ $1$ $12$ $2$ $(1,3)$ $3$ $24$ $2$ $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,3)(2,4)$ $1$ $36$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,8)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,6,7)$ $0$ $64$ $3$ $(1,6,7)(4,5,8)$ $0$ $12$ $4$ $(2,4,5,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,3,6,7)(2,4,5,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,3,6,7)(2,5)(4,8)$ $1$ $72$ $4$ $(1,2,6,5)(3,4,7,8)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,3)(2,4,5,8)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,7,6)(2,5)(4,8)$ $0$ $96$ $6$ $(1,3)(4,8,5)$ $0$ $192$ $6$ $(1,4,6,5,7,8)(2,3)$ $0$ $144$ $8$ $(1,2,3,4,6,5,7,8)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,6,7)(2,4,5,8)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.