# Properties

 Label 9.515078148096.16t1294.a.a Dimension $9$ Group $S_4\wr C_2$ Conductor $515078148096$ Root number $1$ Indicator $1$

# Learn more about

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $$515078148096$$$$\medspace = 2^{12} \cdot 3^{3} \cdot 167^{3}$$ Frobenius-Schur indicator: $1$ Root number: $1$ Artin number field: Galois closure of 8.2.221626368.1 Galois orbit size: $1$ Smallest permutation container: 16T1294 Parity: odd Determinant: 1.2004.2t1.a.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.2.221626368.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $x^{8} - 2 x^{7} + 2 x^{6} + 2 x^{5} - 4 x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} - 6 x + 1$.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 193 }$ to precision 60.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 193 }$: $x^{2} + 192 x + 5$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $47 a + 165 + \left(136 a + 63\right)\cdot 193 + \left(122 a + 98\right)\cdot 193^{2} + \left(30 a + 165\right)\cdot 193^{3} + \left(48 a + 170\right)\cdot 193^{4} + \left(127 a + 156\right)\cdot 193^{5} + \left(68 a + 40\right)\cdot 193^{6} + \left(22 a + 161\right)\cdot 193^{7} + \left(106 a + 188\right)\cdot 193^{8} + \left(112 a + 3\right)\cdot 193^{9} + \left(117 a + 37\right)\cdot 193^{10} + \left(39 a + 106\right)\cdot 193^{11} + \left(66 a + 7\right)\cdot 193^{12} + \left(41 a + 127\right)\cdot 193^{13} + \left(122 a + 178\right)\cdot 193^{14} + \left(165 a + 31\right)\cdot 193^{15} + \left(177 a + 54\right)\cdot 193^{16} + \left(152 a + 98\right)\cdot 193^{17} + \left(62 a + 69\right)\cdot 193^{18} + \left(159 a + 25\right)\cdot 193^{19} + \left(54 a + 126\right)\cdot 193^{20} + \left(56 a + 67\right)\cdot 193^{21} + \left(25 a + 10\right)\cdot 193^{22} + \left(49 a + 38\right)\cdot 193^{23} + \left(182 a + 81\right)\cdot 193^{24} + \left(50 a + 112\right)\cdot 193^{25} + \left(171 a + 26\right)\cdot 193^{26} + \left(155 a + 20\right)\cdot 193^{27} + \left(42 a + 101\right)\cdot 193^{28} + \left(87 a + 150\right)\cdot 193^{29} + \left(90 a + 101\right)\cdot 193^{30} + \left(151 a + 186\right)\cdot 193^{31} + \left(35 a + 6\right)\cdot 193^{32} + \left(41 a + 157\right)\cdot 193^{33} + \left(42 a + 185\right)\cdot 193^{34} + \left(53 a + 97\right)\cdot 193^{35} + \left(160 a + 12\right)\cdot 193^{36} + \left(74 a + 150\right)\cdot 193^{37} + \left(85 a + 153\right)\cdot 193^{38} + \left(107 a + 74\right)\cdot 193^{39} + \left(154 a + 119\right)\cdot 193^{40} + \left(147 a + 153\right)\cdot 193^{41} + \left(132 a + 50\right)\cdot 193^{42} + \left(130 a + 87\right)\cdot 193^{43} + \left(25 a + 2\right)\cdot 193^{44} + \left(186 a + 46\right)\cdot 193^{45} + \left(167 a + 142\right)\cdot 193^{46} + \left(96 a + 36\right)\cdot 193^{47} + \left(5 a + 51\right)\cdot 193^{48} + \left(85 a + 133\right)\cdot 193^{49} + \left(184 a + 69\right)\cdot 193^{50} + \left(14 a + 118\right)\cdot 193^{51} + \left(12 a + 15\right)\cdot 193^{52} + \left(89 a + 15\right)\cdot 193^{53} + \left(91 a + 30\right)\cdot 193^{54} + \left(96 a + 125\right)\cdot 193^{55} + \left(84 a + 81\right)\cdot 193^{56} + \left(27 a + 101\right)\cdot 193^{57} + \left(175 a + 136\right)\cdot 193^{58} + \left(173 a + 20\right)\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $146 a + 19 + \left(56 a + 153\right)\cdot 193 + \left(70 a + 84\right)\cdot 193^{2} + \left(162 a + 73\right)\cdot 193^{3} + \left(144 a + 188\right)\cdot 193^{4} + \left(65 a + 42\right)\cdot 193^{5} + \left(124 a + 175\right)\cdot 193^{6} + \left(170 a + 114\right)\cdot 193^{7} + \left(86 a + 79\right)\cdot 193^{8} + \left(80 a + 10\right)\cdot 193^{9} + \left(75 a + 42\right)\cdot 193^{10} + \left(153 a + 28\right)\cdot 193^{11} + \left(126 a + 34\right)\cdot 193^{12} + \left(151 a + 102\right)\cdot 193^{13} + \left(70 a + 66\right)\cdot 193^{14} + \left(27 a + 75\right)\cdot 193^{15} + \left(15 a + 66\right)\cdot 193^{16} + \left(40 a + 73\right)\cdot 193^{17} + \left(130 a + 172\right)\cdot 193^{18} + \left(33 a + 121\right)\cdot 193^{19} + \left(138 a + 21\right)\cdot 193^{20} + \left(136 a + 69\right)\cdot 193^{21} + \left(167 a + 172\right)\cdot 193^{22} + \left(143 a + 61\right)\cdot 193^{23} + \left(10 a + 21\right)\cdot 193^{24} + \left(142 a + 174\right)\cdot 193^{25} + \left(21 a + 146\right)\cdot 193^{26} + \left(37 a + 4\right)\cdot 193^{27} + \left(150 a + 181\right)\cdot 193^{28} + \left(105 a + 1\right)\cdot 193^{29} + \left(102 a + 105\right)\cdot 193^{30} + \left(41 a + 54\right)\cdot 193^{31} + \left(157 a + 84\right)\cdot 193^{32} + \left(151 a + 162\right)\cdot 193^{33} + \left(150 a + 186\right)\cdot 193^{34} + \left(139 a + 108\right)\cdot 193^{35} + \left(32 a + 119\right)\cdot 193^{36} + \left(118 a + 64\right)\cdot 193^{37} + \left(107 a + 164\right)\cdot 193^{38} + \left(85 a + 96\right)\cdot 193^{39} + \left(38 a + 166\right)\cdot 193^{40} + \left(45 a + 146\right)\cdot 193^{41} + \left(60 a + 35\right)\cdot 193^{42} + \left(62 a + 85\right)\cdot 193^{43} + \left(167 a + 90\right)\cdot 193^{44} + \left(6 a + 13\right)\cdot 193^{45} + \left(25 a + 124\right)\cdot 193^{46} + \left(96 a + 158\right)\cdot 193^{47} + \left(187 a + 152\right)\cdot 193^{48} + \left(107 a + 19\right)\cdot 193^{49} + \left(8 a + 169\right)\cdot 193^{50} + \left(178 a + 141\right)\cdot 193^{51} + \left(180 a + 12\right)\cdot 193^{52} + \left(103 a + 92\right)\cdot 193^{53} + \left(101 a + 32\right)\cdot 193^{54} + \left(96 a + 130\right)\cdot 193^{55} + \left(108 a + 69\right)\cdot 193^{56} + \left(165 a + 44\right)\cdot 193^{57} + \left(17 a + 91\right)\cdot 193^{58} + \left(19 a + 19\right)\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $151 a + 73 + \left(164 a + 129\right)\cdot 193 + \left(29 a + 146\right)\cdot 193^{2} + \left(191 a + 46\right)\cdot 193^{3} + \left(50 a + 125\right)\cdot 193^{4} + \left(107 a + 110\right)\cdot 193^{5} + \left(95 a + 119\right)\cdot 193^{6} + \left(158 a + 41\right)\cdot 193^{7} + \left(38 a + 155\right)\cdot 193^{8} + \left(114 a + 50\right)\cdot 193^{9} + \left(79 a + 176\right)\cdot 193^{10} + \left(116 a + 38\right)\cdot 193^{11} + \left(133 a + 56\right)\cdot 193^{12} + \left(131 a + 167\right)\cdot 193^{13} + \left(41 a + 192\right)\cdot 193^{14} + \left(157 a + 104\right)\cdot 193^{15} + \left(169 a + 145\right)\cdot 193^{16} + \left(9 a + 113\right)\cdot 193^{17} + \left(112 a + 2\right)\cdot 193^{18} + \left(87 a + 153\right)\cdot 193^{19} + \left(135 a + 82\right)\cdot 193^{20} + \left(52 a + 88\right)\cdot 193^{21} + \left(69 a + 5\right)\cdot 193^{22} + \left(102 a + 84\right)\cdot 193^{23} + \left(133 a + 108\right)\cdot 193^{24} + \left(25 a + 53\right)\cdot 193^{25} + \left(105 a + 127\right)\cdot 193^{26} + \left(129 a + 37\right)\cdot 193^{27} + \left(49 a + 162\right)\cdot 193^{28} + \left(176 a + 173\right)\cdot 193^{29} + \left(96 a + 90\right)\cdot 193^{30} + \left(157 a + 152\right)\cdot 193^{31} + \left(31 a + 150\right)\cdot 193^{32} + \left(103 a + 33\right)\cdot 193^{33} + \left(51 a + 124\right)\cdot 193^{34} + \left(75 a + 58\right)\cdot 193^{35} + \left(72 a + 129\right)\cdot 193^{36} + \left(119 a + 95\right)\cdot 193^{37} + \left(87 a + 61\right)\cdot 193^{38} + \left(140 a + 70\right)\cdot 193^{39} + \left(109 a + 109\right)\cdot 193^{40} + \left(48 a + 189\right)\cdot 193^{41} + \left(76 a + 83\right)\cdot 193^{42} + \left(157 a + 58\right)\cdot 193^{43} + \left(140 a + 80\right)\cdot 193^{44} + \left(109 a + 31\right)\cdot 193^{45} + \left(35 a + 184\right)\cdot 193^{46} + \left(94 a + 82\right)\cdot 193^{47} + \left(74 a + 12\right)\cdot 193^{48} + \left(79 a + 186\right)\cdot 193^{49} + \left(158 a + 4\right)\cdot 193^{50} + \left(130 a + 72\right)\cdot 193^{51} + \left(114 a + 108\right)\cdot 193^{52} + \left(192 a + 175\right)\cdot 193^{53} + \left(20 a + 109\right)\cdot 193^{54} + \left(63 a + 190\right)\cdot 193^{55} + \left(54 a + 19\right)\cdot 193^{56} + \left(188 a + 10\right)\cdot 193^{57} + \left(38 a + 8\right)\cdot 193^{58} + \left(128 a + 65\right)\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $91 a + 63 + \left(37 a + 142\right)\cdot 193 + \left(73 a + 59\right)\cdot 193^{2} + \left(39 a + 103\right)\cdot 193^{3} + \left(8 a + 44\right)\cdot 193^{4} + \left(131 a + 93\right)\cdot 193^{5} + \left(51 a + 103\right)\cdot 193^{6} + \left(73 a + 75\right)\cdot 193^{7} + \left(46 a + 94\right)\cdot 193^{8} + \left(108 a + 191\right)\cdot 193^{9} + 139 a\cdot 193^{10} + \left(14 a + 28\right)\cdot 193^{11} + \left(9 a + 79\right)\cdot 193^{12} + \left(186 a + 98\right)\cdot 193^{13} + \left(58 a + 169\right)\cdot 193^{14} + \left(119 a + 20\right)\cdot 193^{15} + \left(154 a + 24\right)\cdot 193^{16} + \left(147 a + 131\right)\cdot 193^{17} + \left(95 a + 105\right)\cdot 193^{18} + \left(8 a + 179\right)\cdot 193^{19} + \left(15 a + 155\right)\cdot 193^{20} + \left(138 a + 99\right)\cdot 193^{21} + \left(139 a + 10\right)\cdot 193^{22} + \left(99 a + 84\right)\cdot 193^{23} + \left(121 a + 164\right)\cdot 193^{24} + \left(142 a + 189\right)\cdot 193^{25} + \left(180 a + 77\right)\cdot 193^{26} + \left(110 a + 151\right)\cdot 193^{27} + \left(40 a + 152\right)\cdot 193^{28} + \left(179 a + 85\right)\cdot 193^{29} + \left(20 a + 141\right)\cdot 193^{30} + \left(55 a + 169\right)\cdot 193^{31} + \left(130 a + 132\right)\cdot 193^{32} + \left(68 a + 140\right)\cdot 193^{33} + \left(165 a + 183\right)\cdot 193^{34} + \left(22 a + 174\right)\cdot 193^{35} + \left(92 a + 72\right)\cdot 193^{36} + \left(116 a + 20\right)\cdot 193^{37} + \left(102 a + 156\right)\cdot 193^{38} + \left(58 a + 189\right)\cdot 193^{39} + \left(34 a + 8\right)\cdot 193^{40} + \left(98 a + 130\right)\cdot 193^{41} + \left(106 a + 88\right)\cdot 193^{42} + \left(44 a + 69\right)\cdot 193^{43} + \left(180 a + 47\right)\cdot 193^{44} + \left(75 a + 109\right)\cdot 193^{45} + \left(61 a + 23\right)\cdot 193^{46} + \left(50 a + 192\right)\cdot 193^{47} + \left(16 a + 63\right)\cdot 193^{48} + \left(97 a + 131\right)\cdot 193^{49} + \left(149 a + 174\right)\cdot 193^{50} + \left(120 a + 163\right)\cdot 193^{51} + \left(35 a + 97\right)\cdot 193^{52} + \left(19 a + 100\right)\cdot 193^{53} + \left(66 a + 48\right)\cdot 193^{54} + \left(145 a + 100\right)\cdot 193^{55} + \left(184 a + 59\right)\cdot 193^{56} + \left(57 a + 86\right)\cdot 193^{57} + \left(137 a + 114\right)\cdot 193^{58} + \left(128 a + 155\right)\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $42 a + 31 + \left(28 a + 143\right)\cdot 193 + \left(163 a + 11\right)\cdot 193^{2} + \left(a + 15\right)\cdot 193^{3} + \left(142 a + 178\right)\cdot 193^{4} + \left(85 a + 166\right)\cdot 193^{5} + \left(97 a + 107\right)\cdot 193^{6} + \left(34 a + 104\right)\cdot 193^{7} + \left(154 a + 35\right)\cdot 193^{8} + \left(78 a + 126\right)\cdot 193^{9} + \left(113 a + 141\right)\cdot 193^{10} + \left(76 a + 75\right)\cdot 193^{11} + \left(59 a + 73\right)\cdot 193^{12} + \left(61 a + 165\right)\cdot 193^{13} + \left(151 a + 102\right)\cdot 193^{14} + \left(35 a + 27\right)\cdot 193^{15} + \left(23 a + 158\right)\cdot 193^{16} + \left(183 a + 146\right)\cdot 193^{17} + \left(80 a + 104\right)\cdot 193^{18} + \left(105 a + 128\right)\cdot 193^{19} + \left(57 a + 130\right)\cdot 193^{20} + \left(140 a + 5\right)\cdot 193^{21} + \left(123 a + 22\right)\cdot 193^{22} + \left(90 a + 117\right)\cdot 193^{23} + \left(59 a + 139\right)\cdot 193^{24} + \left(167 a + 138\right)\cdot 193^{25} + \left(87 a + 13\right)\cdot 193^{26} + \left(63 a + 62\right)\cdot 193^{27} + \left(143 a + 82\right)\cdot 193^{28} + \left(16 a + 107\right)\cdot 193^{29} + \left(96 a + 11\right)\cdot 193^{30} + \left(35 a + 20\right)\cdot 193^{31} + \left(161 a + 25\right)\cdot 193^{32} + \left(89 a + 105\right)\cdot 193^{33} + \left(141 a + 72\right)\cdot 193^{34} + \left(117 a + 82\right)\cdot 193^{35} + \left(120 a + 126\right)\cdot 193^{36} + \left(73 a + 142\right)\cdot 193^{37} + \left(105 a + 29\right)\cdot 193^{38} + \left(52 a + 123\right)\cdot 193^{39} + \left(83 a + 78\right)\cdot 193^{40} + \left(144 a + 128\right)\cdot 193^{41} + \left(116 a + 111\right)\cdot 193^{42} + \left(35 a + 139\right)\cdot 193^{43} + \left(52 a + 63\right)\cdot 193^{44} + 83 a\cdot 193^{45} + \left(157 a + 110\right)\cdot 193^{46} + \left(98 a + 141\right)\cdot 193^{47} + \left(118 a + 185\right)\cdot 193^{48} + \left(113 a + 190\right)\cdot 193^{49} + \left(34 a + 83\right)\cdot 193^{50} + \left(62 a + 44\right)\cdot 193^{51} + \left(78 a + 92\right)\cdot 193^{52} + 60\cdot 193^{53} + \left(172 a + 131\right)\cdot 193^{54} + \left(129 a + 39\right)\cdot 193^{55} + \left(138 a + 11\right)\cdot 193^{56} + \left(4 a + 144\right)\cdot 193^{57} + \left(154 a + 51\right)\cdot 193^{58} + \left(64 a + 154\right)\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $150 + 167\cdot 193 + 16\cdot 193^{2} + 3\cdot 193^{3} + 43\cdot 193^{4} + 61\cdot 193^{5} + 162\cdot 193^{6} + 28\cdot 193^{7} + 92\cdot 193^{8} + 161\cdot 193^{9} + 76\cdot 193^{10} + 120\cdot 193^{11} + 101\cdot 193^{12} + 13\cdot 193^{13} + 169\cdot 193^{14} + 192\cdot 193^{15} + 62\cdot 193^{16} + 128\cdot 193^{17} + 86\cdot 193^{18} + 40\cdot 193^{19} + 167\cdot 193^{20} + 21\cdot 193^{21} + 95\cdot 193^{22} + 129\cdot 193^{23} + 66\cdot 193^{24} + 72\cdot 193^{25} + 52\cdot 193^{26} + 75\cdot 193^{27} + 24\cdot 193^{28} + 127\cdot 193^{29} + 25\cdot 193^{30} + 154\cdot 193^{31} + 57\cdot 193^{32} + 92\cdot 193^{33} + 57\cdot 193^{34} + 11\cdot 193^{35} + 17\cdot 193^{36} + 63\cdot 193^{37} + 152\cdot 193^{38} + 102\cdot 193^{39} + 185\cdot 193^{40} + 142\cdot 193^{41} + 113\cdot 193^{42} + 22\cdot 193^{43} + 17\cdot 193^{44} + 135\cdot 193^{45} + 191\cdot 193^{46} + 169\cdot 193^{47} + 157\cdot 193^{48} + 193^{49} + 90\cdot 193^{50} + 28\cdot 193^{51} + 165\cdot 193^{52} + 59\cdot 193^{53} + 122\cdot 193^{54} + 180\cdot 193^{55} + 11\cdot 193^{56} + 83\cdot 193^{57} + 100\cdot 193^{58} + 113\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $119 + 76\cdot 193 + 65\cdot 193^{2} + 102\cdot 193^{3} + 8\cdot 193^{4} + 117\cdot 193^{5} + 38\cdot 193^{6} + 148\cdot 193^{7} + 58\cdot 193^{8} + 167\cdot 193^{9} + 71\cdot 193^{10} + 85\cdot 193^{11} + 153\cdot 193^{12} + 15\cdot 193^{13} + 43\cdot 193^{14} + 44\cdot 193^{15} + 8\cdot 193^{16} + 149\cdot 193^{17} + 176\cdot 193^{18} + 30\cdot 193^{19} + 118\cdot 193^{20} + 3\cdot 193^{21} + 58\cdot 193^{22} + 20\cdot 193^{23} + 4\cdot 193^{24} + 13\cdot 193^{25} + 18\cdot 193^{26} + 146\cdot 193^{27} + 178\cdot 193^{28} + 93\cdot 193^{29} + 119\cdot 193^{30} + 23\cdot 193^{31} + 106\cdot 193^{32} + 193^{33} + 67\cdot 193^{34} + 12\cdot 193^{35} + 152\cdot 193^{36} + 190\cdot 193^{37} + 104\cdot 193^{38} + 161\cdot 193^{39} + 118\cdot 193^{40} + 72\cdot 193^{41} + 190\cdot 193^{42} + 108\cdot 193^{43} + 94\cdot 193^{44} + 45\cdot 193^{45} + 180\cdot 193^{46} + 193^{47} + 118\cdot 193^{48} + 89\cdot 193^{49} + 145\cdot 193^{50} + 67\cdot 193^{51} + 74\cdot 193^{52} + 184\cdot 193^{53} + 8\cdot 193^{54} + 19\cdot 193^{55} + 33\cdot 193^{56} + 150\cdot 193^{57} + 75\cdot 193^{58} + 96\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $102 a + 154 + \left(155 a + 88\right)\cdot 193 + \left(119 a + 95\right)\cdot 193^{2} + \left(153 a + 69\right)\cdot 193^{3} + \left(184 a + 13\right)\cdot 193^{4} + \left(61 a + 23\right)\cdot 193^{5} + \left(141 a + 24\right)\cdot 193^{6} + \left(119 a + 97\right)\cdot 193^{7} + \left(146 a + 67\right)\cdot 193^{8} + \left(84 a + 60\right)\cdot 193^{9} + \left(53 a + 32\right)\cdot 193^{10} + \left(178 a + 96\right)\cdot 193^{11} + \left(183 a + 73\right)\cdot 193^{12} + \left(6 a + 82\right)\cdot 193^{13} + \left(134 a + 42\right)\cdot 193^{14} + \left(73 a + 81\right)\cdot 193^{15} + \left(38 a + 59\right)\cdot 193^{16} + \left(45 a + 124\right)\cdot 193^{17} + \left(97 a + 53\right)\cdot 193^{18} + \left(184 a + 92\right)\cdot 193^{19} + \left(177 a + 162\right)\cdot 193^{20} + \left(54 a + 29\right)\cdot 193^{21} + \left(53 a + 12\right)\cdot 193^{22} + \left(93 a + 44\right)\cdot 193^{23} + \left(71 a + 186\right)\cdot 193^{24} + \left(50 a + 17\right)\cdot 193^{25} + \left(12 a + 116\right)\cdot 193^{26} + \left(82 a + 81\right)\cdot 193^{27} + \left(152 a + 82\right)\cdot 193^{28} + \left(13 a + 31\right)\cdot 193^{29} + \left(172 a + 176\right)\cdot 193^{30} + \left(137 a + 10\right)\cdot 193^{31} + \left(62 a + 15\right)\cdot 193^{32} + \left(124 a + 79\right)\cdot 193^{33} + \left(27 a + 87\right)\cdot 193^{34} + \left(170 a + 32\right)\cdot 193^{35} + \left(100 a + 142\right)\cdot 193^{36} + \left(76 a + 44\right)\cdot 193^{37} + \left(90 a + 142\right)\cdot 193^{38} + \left(134 a + 145\right)\cdot 193^{39} + \left(158 a + 177\right)\cdot 193^{40} + 94 a\cdot 193^{41} + \left(86 a + 97\right)\cdot 193^{42} + \left(148 a + 7\right)\cdot 193^{43} + \left(12 a + 183\right)\cdot 193^{44} + \left(117 a + 4\right)\cdot 193^{45} + \left(131 a + 9\right)\cdot 193^{46} + \left(142 a + 181\right)\cdot 193^{47} + \left(176 a + 29\right)\cdot 193^{48} + \left(95 a + 19\right)\cdot 193^{49} + \left(43 a + 34\right)\cdot 193^{50} + \left(72 a + 135\right)\cdot 193^{51} + \left(157 a + 12\right)\cdot 193^{52} + \left(173 a + 84\right)\cdot 193^{53} + \left(126 a + 95\right)\cdot 193^{54} + \left(47 a + 179\right)\cdot 193^{55} + \left(8 a + 98\right)\cdot 193^{56} + \left(135 a + 152\right)\cdot 193^{57} + 55 a\cdot 193^{58} + \left(64 a + 147\right)\cdot 193^{59} +O\left(193^{ 60 }\right)$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,2,4,8)$ $(1,2)$ $(1,3)(2,5)(4,6)(7,8)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(3,6)(5,7)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,4)(2,8)(3,6)(5,7)$ $1$ $12$ $2$ $(1,2)$ $3$ $24$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,6)(7,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(3,5)$ $1$ $36$ $2$ $(1,2)(3,6)(5,7)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,4,8)$ $0$ $64$ $3$ $(1,4,8)(5,6,7)$ $0$ $12$ $4$ $(3,5,6,7)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,4,8)(3,5,6,7)$ $1$ $36$ $4$ $(1,2,4,8)(3,6)(5,7)$ $1$ $72$ $4$ $(1,3,4,6)(2,5,8,7)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2)(3,5,6,7)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,5,2,3)(4,6)(7,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,8,4)(3,6)(5,7)$ $0$ $96$ $6$ $(1,2)(5,7,6)$ $0$ $192$ $6$ $(1,5,4,6,8,7)(2,3)$ $0$ $144$ $8$ $(1,3,2,5,4,6,8,7)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,4,8)(3,5,6,7)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.