# Properties

 Label 9.409675763483.16t1294.a.a Dimension $9$ Group $S_4\wr C_2$ Conductor $409675763483$ Root number $1$ Indicator $1$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $$409675763483$$$$\medspace = 7^{3} \cdot 1061^{3}$$ Frobenius-Schur indicator: $1$ Root number: $1$ Artin number field: Galois closure of 8.2.8870734388887.1 Galois orbit size: $1$ Smallest permutation container: 16T1294 Parity: odd Determinant: 1.7427.2t1.a.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.2.8870734388887.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $x^{8} - 10 x^{6} - 14 x^{5} + 30 x^{4} + 70 x^{3} + 24 x^{2} - 35 x - 259$.

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 107.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: $x^{3} + 3 x + 51$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $51 a^{2} + 26 a + 46 + \left(a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 53 + \left(48 a^{2} + a + 1\right)\cdot 53^{2} + \left(23 a^{2} + 44 a + 21\right)\cdot 53^{3} + \left(42 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 53^{4} + \left(19 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 53^{5} + \left(47 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 53^{6} + \left(27 a^{2} + 13 a + 46\right)\cdot 53^{7} + \left(45 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(31 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 53^{9} + \left(19 a^{2} + a + 26\right)\cdot 53^{10} + \left(10 a^{2} + 50 a + 49\right)\cdot 53^{11} + \left(18 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 53^{12} + \left(18 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 53^{13} + \left(18 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 53^{14} + \left(41 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 53^{15} + \left(52 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 53^{16} + \left(15 a^{2} + 29 a + 47\right)\cdot 53^{17} + \left(26 a^{2} + 4 a + 44\right)\cdot 53^{18} + \left(18 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 53^{19} + \left(16 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 53^{20} + \left(6 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 53^{21} + \left(42 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 53^{22} + \left(51 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 53^{23} + \left(20 a^{2} + 42 a + 36\right)\cdot 53^{24} + \left(15 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 53^{25} + \left(41 a^{2} + 18 a + 34\right)\cdot 53^{26} + \left(11 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 53^{27} + \left(37 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 53^{28} + \left(47 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 53^{29} + \left(41 a^{2} + 24 a + 46\right)\cdot 53^{30} + \left(8 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 53^{31} + \left(8 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 53^{32} + \left(12 a^{2} + 20 a + 47\right)\cdot 53^{33} + \left(16 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 53^{34} + \left(52 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 53^{35} + \left(29 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 53^{36} + \left(42 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 53^{37} + \left(15 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 53^{38} + \left(24 a^{2} + 49 a + 17\right)\cdot 53^{39} + \left(8 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 53^{40} + \left(8 a^{2} + 50 a + 38\right)\cdot 53^{41} + \left(25 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 53^{42} + \left(35 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 53^{43} + \left(43 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 53^{44} + \left(42 a^{2} + 34 a + 46\right)\cdot 53^{45} + \left(45 a^{2} + 8\right)\cdot 53^{46} + \left(2 a + 11\right)\cdot 53^{47} + \left(37 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 53^{48} + \left(50 a^{2} + 47 a + 30\right)\cdot 53^{49} + \left(33 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 53^{50} + \left(22 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 53^{51} + \left(3 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 53^{52} + \left(32 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 53^{53} + \left(37 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 53^{54} + \left(49 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 53^{55} + \left(11 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 53^{56} + \left(25 a^{2} + 34 a + 36\right)\cdot 53^{57} + \left(35 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 53^{58} + \left(35 a^{2} + 29 a + 47\right)\cdot 53^{59} + \left(11 a^{2} + 20 a\right)\cdot 53^{60} + \left(22 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 53^{61} + \left(11 a^{2} + 46\right)\cdot 53^{62} + \left(31 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 53^{63} + \left(30 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 53^{64} + \left(32 a^{2} + a + 51\right)\cdot 53^{65} + \left(8 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 53^{66} + \left(7 a^{2} + 34 a + 45\right)\cdot 53^{67} + \left(40 a^{2} + 46 a + 33\right)\cdot 53^{68} + \left(25 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 53^{69} + \left(11 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 53^{70} + \left(24 a^{2} + 24 a + 44\right)\cdot 53^{71} + \left(14 a^{2} + 47 a + 34\right)\cdot 53^{72} + \left(10 a^{2} + 12 a + 47\right)\cdot 53^{73} + \left(a^{2} + a + 20\right)\cdot 53^{74} + \left(24 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 53^{75} + \left(28 a^{2} + 25 a + 44\right)\cdot 53^{76} + \left(5 a^{2} + 38 a + 35\right)\cdot 53^{77} + \left(8 a^{2} + 7 a + 47\right)\cdot 53^{78} + \left(31 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 53^{79} + \left(43 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 53^{80} + \left(41 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 53^{81} + \left(45 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 53^{82} + \left(44 a^{2} + 48 a + 35\right)\cdot 53^{83} + \left(26 a^{2} + 46 a\right)\cdot 53^{84} + \left(13 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 53^{85} + \left(36 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 53^{86} + \left(12 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 53^{87} + \left(19 a^{2} + 47 a + 39\right)\cdot 53^{88} + \left(22 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 53^{89} + \left(19 a^{2} + 43 a + 43\right)\cdot 53^{90} + \left(25 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 53^{91} + \left(a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 53^{92} + \left(37 a^{2} + 47 a + 36\right)\cdot 53^{93} + \left(46 a^{2} + 36 a + 19\right)\cdot 53^{94} + \left(46 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 53^{95} + \left(12 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 53^{96} + \left(38 a^{2} + 17 a + 34\right)\cdot 53^{97} + \left(2 a^{2} + 13 a\right)\cdot 53^{98} + \left(39 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 53^{99} + \left(36 a^{2} + 39 a + 16\right)\cdot 53^{100} + \left(36 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 53^{101} + \left(5 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 53^{102} + \left(15 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 53^{103} + \left(13 a^{2} + 52 a + 35\right)\cdot 53^{104} + \left(13 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 53^{105} + \left(18 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $18 a^{2} + 47 a + 33 + \left(11 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 53 + \left(17 a^{2} + 29 a + 46\right)\cdot 53^{2} + \left(37 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 53^{3} + \left(35 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 53^{4} + \left(32 a^{2} + 44 a + 5\right)\cdot 53^{5} + \left(32 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 53^{6} + \left(23 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 53^{7} + \left(11 a^{2} + 49 a + 16\right)\cdot 53^{8} + \left(21 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 53^{9} + \left(26 a^{2} + 43 a + 39\right)\cdot 53^{10} + \left(29 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 53^{11} + \left(7 a^{2} + 34 a + 52\right)\cdot 53^{12} + \left(30 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 53^{13} + \left(42 a^{2} + 47 a + 50\right)\cdot 53^{14} + \left(18 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 53^{15} + \left(23 a^{2} + 52 a + 22\right)\cdot 53^{16} + \left(46 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 53^{17} + \left(45 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 53^{18} + \left(36 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 53^{19} + \left(34 a + 50\right)\cdot 53^{20} + \left(41 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 53^{21} + \left(35 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 53^{22} + \left(2 a^{2} + 42 a + 41\right)\cdot 53^{23} + \left(44 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 53^{24} + \left(30 a^{2} + 44 a + 20\right)\cdot 53^{25} + \left(39 a^{2} + 24 a + 31\right)\cdot 53^{26} + \left(40 a^{2} + 43 a + 36\right)\cdot 53^{27} + \left(2 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 53^{28} + \left(37 a^{2} + 50 a + 50\right)\cdot 53^{29} + \left(25 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 53^{30} + \left(39 a^{2} + 38 a + 24\right)\cdot 53^{31} + \left(33 a^{2} + 8 a + 23\right)\cdot 53^{32} + \left(12 a^{2} + 37 a + 48\right)\cdot 53^{33} + \left(48 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 53^{34} + \left(12 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 53^{35} + \left(32 a^{2} + 13 a + 43\right)\cdot 53^{36} + \left(51 a + 19\right)\cdot 53^{37} + \left(28 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 53^{38} + \left(48 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 53^{39} + \left(34 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{40} + \left(52 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 53^{41} + \left(49 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 53^{42} + \left(35 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 53^{43} + \left(40 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 53^{44} + \left(48 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 53^{45} + \left(23 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 53^{46} + \left(32 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 53^{47} + \left(21 a^{2} + 23 a\right)\cdot 53^{48} + \left(31 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 53^{49} + \left(34 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 53^{50} + \left(23 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 53^{51} + \left(a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 53^{52} + \left(17 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 53^{53} + \left(8 a^{2} + 49 a + 50\right)\cdot 53^{54} + \left(6 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 53^{55} + \left(19 a^{2} + 48 a + 37\right)\cdot 53^{56} + \left(43 a^{2} + 46 a + 19\right)\cdot 53^{57} + \left(50 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 53^{58} + \left(42 a^{2} + 51 a + 8\right)\cdot 53^{59} + \left(16 a^{2} + a + 11\right)\cdot 53^{60} + \left(46 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 53^{61} + \left(23 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 53^{62} + \left(42 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 53^{63} + \left(4 a^{2} + 49 a + 30\right)\cdot 53^{64} + \left(41 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 53^{65} + \left(13 a^{2} + 46 a + 25\right)\cdot 53^{66} + \left(42 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 53^{67} + \left(21 a^{2} + 10 a + 50\right)\cdot 53^{68} + \left(49 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 53^{69} + \left(48 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 53^{70} + \left(13 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 53^{71} + \left(9 a^{2} + 24\right)\cdot 53^{72} + \left(2 a + 27\right)\cdot 53^{73} + \left(44 a^{2} + 49 a\right)\cdot 53^{74} + \left(8 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 53^{75} + \left(13 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 53^{76} + \left(24 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 53^{77} + \left(38 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 53^{78} + \left(a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 53^{79} + \left(17 a^{2} + 19 a + 39\right)\cdot 53^{80} + \left(25 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 53^{81} + \left(34 a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 53^{82} + \left(18 a^{2} + 4 a + 36\right)\cdot 53^{83} + \left(33 a^{2} + 13\right)\cdot 53^{84} + \left(46 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 53^{85} + \left(37 a^{2} + 49 a + 45\right)\cdot 53^{86} + \left(3 a^{2} + 52 a + 48\right)\cdot 53^{87} + \left(45 a^{2} + 52 a + 37\right)\cdot 53^{88} + \left(17 a^{2} + 48\right)\cdot 53^{89} + \left(17 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 53^{90} + \left(51 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 53^{91} + \left(50 a^{2} + 41 a + 47\right)\cdot 53^{92} + \left(51 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 53^{93} + \left(12 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 53^{94} + \left(13 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 53^{95} + \left(12 a^{2} + 5 a + 49\right)\cdot 53^{96} + \left(11 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 53^{97} + \left(11 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 53^{98} + \left(8 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 53^{99} + \left(36 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 53^{100} + \left(45 a^{2} + 51 a + 26\right)\cdot 53^{101} + \left(22 a^{2} + 51 a + 2\right)\cdot 53^{102} + \left(6 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 53^{103} + \left(19 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 53^{104} + \left(34 a^{2} + 24 a + 50\right)\cdot 53^{105} + \left(21 a^{2} + 51 a + 29\right)\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $11 a^{2} + 30 a + 27 + \left(39 a^{2} + 21 a + 47\right)\cdot 53 + \left(50 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 53^{2} + \left(33 a^{2} + 35 a + 43\right)\cdot 53^{3} + \left(48 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 53^{4} + \left(50 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 53^{5} + \left(2 a^{2} + 7 a + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(42 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 53^{7} + \left(46 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 53^{8} + \left(13 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 53^{9} + \left(48 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 53^{10} + \left(29 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 53^{11} + \left(20 a^{2} + 31 a + 48\right)\cdot 53^{12} + \left(52 a^{2} + 50 a + 14\right)\cdot 53^{13} + \left(46 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 53^{14} + \left(26 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 53^{15} + \left(14 a^{2} + 35\right)\cdot 53^{16} + \left(40 a^{2} + 30 a + 47\right)\cdot 53^{17} + \left(2 a^{2} + 35\right)\cdot 53^{18} + \left(16 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 53^{19} + \left(21 a^{2} + 26 a + 44\right)\cdot 53^{20} + \left(5 a^{2} + 49 a + 16\right)\cdot 53^{21} + \left(18 a^{2} + 42 a + 23\right)\cdot 53^{22} + \left(10 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 53^{23} + \left(11 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 53^{24} + \left(27 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 53^{25} + \left(38 a^{2} + 33 a + 41\right)\cdot 53^{26} + \left(30 a^{2} + 45 a + 39\right)\cdot 53^{27} + \left(11 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 53^{28} + \left(2 a^{2} + 2\right)\cdot 53^{29} + \left(47 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 53^{30} + \left(34 a^{2} + 29 a + 52\right)\cdot 53^{31} + \left(26 a^{2} + 37 a + 29\right)\cdot 53^{32} + \left(47 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 53^{33} + \left(20 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 53^{34} + \left(38 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 53^{35} + \left(36 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 53^{36} + \left(35 a^{2} + 47 a + 32\right)\cdot 53^{37} + \left(38 a^{2} + 43 a + 52\right)\cdot 53^{38} + \left(11 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 53^{39} + \left(31 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 53^{40} + \left(47 a^{2} + 43 a + 25\right)\cdot 53^{41} + \left(52 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 53^{42} + \left(36 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 53^{43} + \left(35 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 53^{44} + \left(47 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 53^{45} + \left(42 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 53^{46} + \left(37 a^{2} + a + 49\right)\cdot 53^{47} + \left(26 a^{2} + 19 a + 43\right)\cdot 53^{48} + \left(29 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 53^{49} + \left(19 a^{2} + 19 a + 45\right)\cdot 53^{50} + \left(39 a^{2} + 49 a + 31\right)\cdot 53^{51} + \left(25 a^{2} + 28 a + 47\right)\cdot 53^{52} + \left(47 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 53^{53} + \left(36 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 53^{54} + \left(14 a^{2} + 37 a + 48\right)\cdot 53^{55} + \left(26 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 53^{56} + \left(a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 53^{57} + \left(42 a + 13\right)\cdot 53^{58} + \left(17 a^{2} + 52 a + 14\right)\cdot 53^{59} + \left(8 a + 45\right)\cdot 53^{60} + \left(23 a^{2} + 42 a + 18\right)\cdot 53^{61} + \left(32 a^{2} + 2 a + 52\right)\cdot 53^{62} + \left(19 a^{2} + 22 a + 49\right)\cdot 53^{63} + \left(35 a^{2} + 24 a + 33\right)\cdot 53^{64} + \left(10 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 53^{65} + \left(3 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 53^{66} + \left(11 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 53^{67} + \left(36 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 53^{68} + \left(26 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 53^{69} + \left(36 a^{2} + 51 a + 50\right)\cdot 53^{70} + \left(49 a^{2} + 24 a + 44\right)\cdot 53^{71} + \left(13 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 53^{72} + \left(12 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 53^{73} + \left(20 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 53^{74} + \left(10 a + 47\right)\cdot 53^{75} + \left(42 a^{2} + 35 a + 10\right)\cdot 53^{76} + \left(14 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 53^{77} + \left(48 a^{2} + 30 a + 13\right)\cdot 53^{78} + \left(16 a^{2} + 45 a + 8\right)\cdot 53^{79} + \left(48 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 53^{80} + \left(51 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 53^{81} + \left(37 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 53^{82} + \left(26 a^{2} + 23 a + 46\right)\cdot 53^{83} + \left(11 a^{2} + 18 a\right)\cdot 53^{84} + \left(24 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 53^{85} + \left(32 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 53^{86} + \left(25 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 53^{87} + \left(49 a^{2} + 46 a + 39\right)\cdot 53^{88} + \left(8 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 53^{89} + \left(12 a^{2} + 49 a + 14\right)\cdot 53^{90} + \left(25 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 53^{91} + \left(13 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 53^{92} + \left(36 a^{2} + 31 a + 51\right)\cdot 53^{93} + \left(3 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 53^{94} + \left(38 a^{2} + 37 a + 48\right)\cdot 53^{95} + \left(7 a^{2} + 21 a + 29\right)\cdot 53^{96} + \left(4 a^{2} + 36 a + 48\right)\cdot 53^{97} + \left(15 a^{2} + 29 a + 34\right)\cdot 53^{98} + \left(16 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 53^{99} + \left(5 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 53^{100} + \left(3 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 53^{101} + \left(49 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 53^{102} + \left(46 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 53^{103} + \left(51 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 53^{104} + \left(47 a^{2} + 33 a + 25\right)\cdot 53^{105} + \left(29 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $15 a + 5 + \left(2 a^{2} + 46 a + 26\right)\cdot 53 + \left(6 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 53^{2} + \left(19 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 53^{3} + \left(25 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 53^{4} + \left(11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 53^{5} + \left(19 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 53^{6} + \left(47 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 53^{7} + \left(32 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(32 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 53^{9} + \left(19 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 53^{10} + \left(48 a^{2} + 7 a + 47\right)\cdot 53^{11} + \left(13 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 53^{12} + \left(4 a^{2} + 48 a + 24\right)\cdot 53^{13} + \left(4 a^{2} + 50 a + 19\right)\cdot 53^{14} + \left(18 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 53^{15} + \left(48 a^{2} + 14 a + 50\right)\cdot 53^{16} + \left(5 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 53^{17} + \left(44 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 53^{18} + \left(27 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 53^{19} + \left(30 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 53^{20} + \left(33 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 53^{21} + \left(52 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 53^{22} + \left(52 a^{2} + 27 a + 45\right)\cdot 53^{23} + \left(16 a^{2} + 46 a + 47\right)\cdot 53^{24} + \left(25 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 53^{25} + \left(13 a^{2} + 16 a + 44\right)\cdot 53^{26} + \left(28 a + 31\right)\cdot 53^{27} + \left(47 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 53^{28} + \left(18 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 53^{29} + \left(31 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 53^{30} + \left(38 a + 36\right)\cdot 53^{31} + \left(25 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 53^{32} + \left(27 a^{2} + 7 a + 50\right)\cdot 53^{33} + \left(49 a^{2} + 37 a + 49\right)\cdot 53^{34} + \left(4 a^{2} + 48 a + 11\right)\cdot 53^{35} + \left(27 a^{2} + 51 a + 11\right)\cdot 53^{36} + \left(20 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 53^{37} + \left(32 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 53^{38} + \left(28 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 53^{39} + \left(18 a^{2} + 23 a + 48\right)\cdot 53^{40} + \left(20 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 53^{41} + \left(2 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 53^{42} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 53^{43} + \left(18 a^{2} + 2 a + 44\right)\cdot 53^{44} + \left(50 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 53^{45} + \left(30 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 53^{46} + \left(23 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 53^{47} + \left(38 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 53^{48} + \left(32 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 53^{49} + \left(12 a^{2} + 17 a + 31\right)\cdot 53^{50} + \left(41 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 53^{51} + \left(52 a^{2} + 6 a + 48\right)\cdot 53^{52} + \left(38 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 53^{53} + \left(29 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 53^{54} + \left(18 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 53^{55} + \left(33 a^{2} + 20 a + 43\right)\cdot 53^{56} + \left(28 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 53^{57} + \left(21 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 53^{58} + \left(10 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 53^{59} + \left(52 a^{2} + 14 a + 43\right)\cdot 53^{60} + \left(41 a + 27\right)\cdot 53^{61} + \left(29 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 53^{62} + \left(37 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 53^{63} + \left(24 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 53^{64} + \left(43 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 53^{65} + \left(a^{2} + 49 a + 21\right)\cdot 53^{66} + \left(41 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 53^{67} + \left(3 a^{2} + 51 a + 2\right)\cdot 53^{68} + \left(42 a^{2} + 52 a + 2\right)\cdot 53^{69} + \left(24 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 53^{70} + \left(27 a^{2} + 48 a\right)\cdot 53^{71} + \left(20 a + 48\right)\cdot 53^{72} + \left(20 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 53^{73} + \left(9 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 53^{74} + \left(21 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 53^{75} + \left(13 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 53^{76} + \left(16 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 53^{77} + \left(37 a^{2} + 52 a + 44\right)\cdot 53^{78} + \left(48 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 53^{79} + \left(2 a^{2} + 16 a\right)\cdot 53^{80} + \left(37 a^{2} + 47 a + 26\right)\cdot 53^{81} + \left(20 a^{2} + 46 a + 49\right)\cdot 53^{82} + \left(31 a^{2} + 48 a + 2\right)\cdot 53^{83} + \left(27 a^{2} + 50 a + 33\right)\cdot 53^{84} + \left(32 a^{2} + 46 a + 41\right)\cdot 53^{85} + \left(20 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 53^{86} + \left(52 a^{2} + 32 a + 8\right)\cdot 53^{87} + \left(28 a^{2} + 11 a + 51\right)\cdot 53^{88} + \left(4 a^{2} + 51 a + 27\right)\cdot 53^{89} + \left(19 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 53^{90} + \left(44 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 53^{91} + \left(42 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 53^{92} + \left(2 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 53^{93} + \left(25 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 53^{94} + \left(35 a^{2} + 12 a + 43\right)\cdot 53^{95} + \left(31 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 53^{96} + \left(33 a^{2} + 45 a + 1\right)\cdot 53^{97} + \left(37 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 53^{98} + \left(34 a^{2} + 17\right)\cdot 53^{99} + \left(a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 53^{100} + \left(28 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 53^{101} + \left(4 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 53^{102} + \left(9 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 53^{103} + \left(2 a^{2} + 44 a + 48\right)\cdot 53^{104} + \left(12 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 53^{105} + \left(25 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $9 + 42\cdot 53 + 17\cdot 53^{2} + 27\cdot 53^{3} + 43\cdot 53^{4} + 21\cdot 53^{5} + 25\cdot 53^{6} + 28\cdot 53^{7} + 18\cdot 53^{8} + 39\cdot 53^{10} + 19\cdot 53^{11} + 46\cdot 53^{12} + 52\cdot 53^{13} + 50\cdot 53^{14} + 51\cdot 53^{15} + 18\cdot 53^{16} + 6\cdot 53^{17} + 23\cdot 53^{18} + 52\cdot 53^{19} + 10\cdot 53^{20} + 14\cdot 53^{21} + 47\cdot 53^{22} + 51\cdot 53^{23} + 15\cdot 53^{24} + 17\cdot 53^{25} + 37\cdot 53^{26} + 28\cdot 53^{27} + 31\cdot 53^{28} + 18\cdot 53^{29} + 6\cdot 53^{30} + 5\cdot 53^{31} + 26\cdot 53^{32} + 36\cdot 53^{33} + 49\cdot 53^{34} + 11\cdot 53^{35} + 9\cdot 53^{36} + 50\cdot 53^{37} + 21\cdot 53^{38} + 39\cdot 53^{39} + 15\cdot 53^{40} + 39\cdot 53^{41} + 28\cdot 53^{42} + 20\cdot 53^{43} + 2\cdot 53^{44} + 11\cdot 53^{45} + 36\cdot 53^{46} + 24\cdot 53^{47} + 22\cdot 53^{48} + 34\cdot 53^{50} + 43\cdot 53^{51} + 50\cdot 53^{52} + 4\cdot 53^{53} + 4\cdot 53^{54} + 35\cdot 53^{55} + 53^{56} + 42\cdot 53^{57} + 18\cdot 53^{58} + 19\cdot 53^{59} + 14\cdot 53^{60} + 47\cdot 53^{61} + 35\cdot 53^{62} + 11\cdot 53^{63} + 44\cdot 53^{64} + 40\cdot 53^{65} + 6\cdot 53^{66} + 13\cdot 53^{67} + 33\cdot 53^{68} + 12\cdot 53^{69} + 15\cdot 53^{70} + 11\cdot 53^{71} + 35\cdot 53^{72} + 24\cdot 53^{73} + 50\cdot 53^{74} + 35\cdot 53^{75} + 37\cdot 53^{76} + 31\cdot 53^{77} + 11\cdot 53^{78} + 37\cdot 53^{80} + 49\cdot 53^{81} + 31\cdot 53^{82} + 2\cdot 53^{83} + 2\cdot 53^{85} + 39\cdot 53^{86} + 34\cdot 53^{87} + 50\cdot 53^{88} + 13\cdot 53^{89} + 40\cdot 53^{90} + 11\cdot 53^{91} + 3\cdot 53^{92} + 8\cdot 53^{93} + 9\cdot 53^{94} + 27\cdot 53^{95} + 30\cdot 53^{96} + 18\cdot 53^{97} + 14\cdot 53^{98} + 47\cdot 53^{99} + 11\cdot 53^{100} + 36\cdot 53^{101} + 23\cdot 53^{102} + 26\cdot 53^{103} + 26\cdot 53^{104} + 40\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $37 a^{2} + 33 a + 18 + \left(39 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 53 + \left(40 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{2} + \left(44 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 53^{3} + \left(27 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 53^{4} + \left(23 a + 46\right)\cdot 53^{5} + \left(26 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 53^{6} + \left(a^{2} + 16 a + 46\right)\cdot 53^{7} + \left(49 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 53^{8} + \left(52 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 53^{9} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 53^{10} + \left(13 a^{2} + 43 a + 2\right)\cdot 53^{11} + \left(27 a^{2} + 47 a + 39\right)\cdot 53^{12} + \left(4 a^{2} + 47 a + 26\right)\cdot 53^{13} + \left(45 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 53^{14} + \left(45 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 53^{15} + \left(29 a^{2} + 43 a + 35\right)\cdot 53^{16} + \left(43 a^{2} + 52 a + 49\right)\cdot 53^{17} + \left(33 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 53^{18} + \left(50 a^{2} + 45 a + 13\right)\cdot 53^{19} + \left(35 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 53^{20} + \left(5 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 53^{21} + \left(28 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 53^{22} + \left(51 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 53^{23} + \left(40 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 53^{24} + \left(6 a^{2} + 40 a + 25\right)\cdot 53^{25} + \left(25 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 53^{26} + \left(52 a + 9\right)\cdot 53^{27} + \left(13 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 53^{28} + \left(21 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 53^{29} + \left(38 a^{2} + 52 a + 39\right)\cdot 53^{30} + \left(4 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 53^{31} + \left(11 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 53^{32} + \left(28 a^{2} + 48 a + 26\right)\cdot 53^{33} + \left(41 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 53^{34} + \left(40 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 53^{35} + \left(43 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 53^{36} + \left(9 a^{2} + 51 a + 38\right)\cdot 53^{37} + \left(9 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 53^{38} + \left(33 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 53^{39} + \left(9 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 53^{40} + \left(45 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 53^{41} + \left(30 a^{2} + 47 a + 52\right)\cdot 53^{42} + \left(34 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 53^{43} + \left(21 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 53^{44} + \left(14 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 53^{45} + \left(36 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 53^{46} + \left(19 a^{2} + 16 a + 48\right)\cdot 53^{47} + \left(47 a^{2} + 5 a + 51\right)\cdot 53^{48} + \left(23 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{49} + \left(37 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 53^{50} + \left(6 a^{2} + 34\right)\cdot 53^{51} + \left(48 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 53^{52} + \left(3 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 53^{53} + \left(7 a^{2} + 46 a + 48\right)\cdot 53^{54} + \left(50 a^{2} + 50 a + 17\right)\cdot 53^{55} + \left(21 a^{2} + 28 a + 43\right)\cdot 53^{56} + \left(37 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 53^{57} + \left(19 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 53^{58} + \left(27 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 53^{59} + \left(24 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 53^{60} + \left(37 a^{2} + 20 a + 41\right)\cdot 53^{61} + \left(17 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 53^{62} + \left(32 a^{2} + 22 a + 43\right)\cdot 53^{63} + \left(17 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 53^{64} + \left(32 a^{2} + 34 a + 51\right)\cdot 53^{65} + \left(30 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 53^{66} + \left(3 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 53^{67} + \left(44 a^{2} + 48 a + 41\right)\cdot 53^{68} + \left(30 a^{2} + 43 a + 39\right)\cdot 53^{69} + \left(45 a^{2} + 4 a + 50\right)\cdot 53^{70} + \left(14 a^{2} + 44 a + 25\right)\cdot 53^{71} + \left(29 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 53^{72} + \left(42 a^{2} + 38 a + 6\right)\cdot 53^{73} + \left(7 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 53^{74} + \left(20 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 53^{75} + \left(11 a^{2} + 44 a + 10\right)\cdot 53^{76} + \left(23 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 53^{77} + \left(6 a^{2} + 42 a + 44\right)\cdot 53^{78} + \left(20 a^{2} + 46 a + 4\right)\cdot 53^{79} + \left(45 a^{2} + 16 a + 43\right)\cdot 53^{80} + \left(38 a^{2} + 42 a + 25\right)\cdot 53^{81} + \left(25 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 53^{82} + \left(42 a^{2} + 52 a + 31\right)\cdot 53^{83} + \left(45 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 53^{84} + \left(45 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 53^{85} + \left(31 a^{2} + 45 a + 33\right)\cdot 53^{86} + \left(36 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 53^{87} + \left(41 a^{2} + 5 a + 31\right)\cdot 53^{88} + \left(12 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 53^{89} + \left(16 a^{2} + 37 a + 36\right)\cdot 53^{90} + \left(29 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 53^{91} + 40 a\cdot 53^{92} + \left(17 a^{2} + 31 a + 49\right)\cdot 53^{93} + \left(46 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 53^{94} + \left(45 a^{2} + 38 a + 47\right)\cdot 53^{95} + \left(27 a^{2} + 43 a + 27\right)\cdot 53^{96} + \left(3 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 53^{97} + \left(39 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 53^{98} + \left(5 a^{2} + 47 a + 13\right)\cdot 53^{99} + \left(33 a^{2} + a + 9\right)\cdot 53^{100} + \left(23 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 53^{101} + \left(24 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 53^{102} + \left(31 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 53^{103} + \left(20 a^{2} + 37 a + 50\right)\cdot 53^{104} + \left(5 a^{2} + 2 a + 45\right)\cdot 53^{105} + \left(13 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $42 a^{2} + 8 a + 36 + \left(11 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 53 + \left(49 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 53^{2} + \left(52 a^{2} + 51 a + 28\right)\cdot 53^{3} + \left(31 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 53^{4} + \left(43 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a^{2} + 23 a + 52\right)\cdot 53^{6} + \left(16 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 53^{7} + \left(26 a^{2} + 43 a + 18\right)\cdot 53^{8} + \left(6 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 53^{9} + \left(38 a^{2} + 10 a + 43\right)\cdot 53^{10} + \left(27 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 53^{11} + \left(18 a^{2} + 47 a + 44\right)\cdot 53^{12} + \left(49 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 53^{13} + \left(a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 53^{14} + \left(8 a^{2} + 45 a + 41\right)\cdot 53^{15} + \left(43 a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 53^{16} + \left(6 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 53^{17} + \left(6 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 53^{18} + \left(9 a^{2} + 2 a + 43\right)\cdot 53^{19} + \left(a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 53^{20} + \left(14 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 53^{21} + \left(35 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 53^{22} + \left(42 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 53^{23} + \left(24 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 53^{24} + \left(a + 36\right)\cdot 53^{25} + \left(a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 53^{26} + \left(22 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 53^{27} + \left(47 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 53^{28} + \left(31 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 53^{29} + \left(27 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 53^{30} + \left(17 a^{2} + 38 a + 17\right)\cdot 53^{31} + \left(a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 53^{32} + \left(31 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 53^{33} + \left(35 a^{2} + 32 a + 22\right)\cdot 53^{34} + \left(9 a^{2} + 45 a + 21\right)\cdot 53^{35} + \left(42 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 53^{36} + \left(49 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 53^{37} + \left(34 a^{2} + 35 a + 45\right)\cdot 53^{38} + \left(12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 53^{39} + \left(3 a^{2} + 52 a + 18\right)\cdot 53^{40} + \left(38 a^{2} + 38 a + 6\right)\cdot 53^{41} + \left(50 a^{2} + 7 a + 27\right)\cdot 53^{42} + \left(13 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 53^{43} + \left(52 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 53^{44} + \left(7 a^{2} + 49 a + 30\right)\cdot 53^{45} + \left(32 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 53^{46} + \left(44 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 53^{47} + \left(40 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 53^{48} + \left(43 a^{2} + 50 a + 44\right)\cdot 53^{49} + \left(20 a^{2} + 15 a + 47\right)\cdot 53^{50} + \left(25 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 53^{51} + \left(27 a^{2} + 17 a + 51\right)\cdot 53^{52} + \left(19 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 53^{53} + \left(39 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 53^{54} + \left(19 a^{2} + 39 a + 5\right)\cdot 53^{55} + \left(46 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 53^{56} + \left(22 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 53^{57} + \left(31 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 53^{58} + \left(25 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 53^{59} + \left(29 a + 45\right)\cdot 53^{60} + \left(29 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 53^{61} + \left(44 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 53^{62} + \left(48 a^{2} + 47 a + 2\right)\cdot 53^{63} + \left(45 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 53^{64} + \left(51 a^{2} + 51 a + 34\right)\cdot 53^{65} + \left(47 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 53^{66} + \left(29 a + 18\right)\cdot 53^{67} + \left(13 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 53^{68} + \left(37 a^{2} + 40 a + 45\right)\cdot 53^{69} + \left(44 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 53^{70} + \left(28 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 53^{71} + \left(38 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 53^{72} + \left(20 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 53^{73} + \left(23 a^{2} + 5 a + 34\right)\cdot 53^{74} + \left(31 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 53^{75} + \left(50 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 53^{76} + \left(21 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 53^{77} + \left(20 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 53^{78} + \left(40 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 53^{79} + \left(a^{2} + 47 a + 51\right)\cdot 53^{80} + \left(17 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 53^{81} + \left(47 a^{2} + 25 a + 49\right)\cdot 53^{82} + \left(47 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 53^{83} + \left(13 a^{2} + 36 a + 5\right)\cdot 53^{84} + \left(49 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 53^{85} + \left(52 a^{2} + 32 a + 51\right)\cdot 53^{86} + \left(27 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 53^{87} + \left(27 a^{2} + 47 a + 48\right)\cdot 53^{88} + \left(39 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 53^{89} + \left(21 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 53^{90} + \left(36 a^{2} + 49 a\right)\cdot 53^{91} + \left(49 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 53^{92} + \left(13 a^{2} + 47 a + 6\right)\cdot 53^{93} + \left(24 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 53^{94} + \left(32 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 53^{95} + \left(13 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 53^{96} + \left(15 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 53^{97} + \left(49 a + 5\right)\cdot 53^{98} + \left(2 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 53^{99} + \left(46 a^{2} + 44 a + 14\right)\cdot 53^{100} + \left(21 a^{2} + a + 2\right)\cdot 53^{101} + \left(52 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 53^{102} + \left(49 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 53^{103} + \left(51 a^{2} + 47 a + 41\right)\cdot 53^{104} + \left(45 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 53^{105} + \left(50 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $38 + 39\cdot 53 + 23\cdot 53^{2} + 20\cdot 53^{3} + 26\cdot 53^{4} + 34\cdot 53^{5} + 27\cdot 53^{6} + 9\cdot 53^{7} + 49\cdot 53^{8} + 9\cdot 53^{9} + 45\cdot 53^{10} + 42\cdot 53^{11} + 31\cdot 53^{12} + 4\cdot 53^{13} + 19\cdot 53^{14} + 30\cdot 53^{15} + 33\cdot 53^{16} + 45\cdot 53^{17} + 14\cdot 53^{18} + 29\cdot 53^{19} + 48\cdot 53^{20} + 34\cdot 53^{21} + 38\cdot 53^{22} + 21\cdot 53^{23} + 11\cdot 53^{24} + 12\cdot 53^{27} + 9\cdot 53^{28} + 5\cdot 53^{29} + 25\cdot 53^{30} + 52\cdot 53^{31} + 16\cdot 53^{32} + 13\cdot 53^{33} + 41\cdot 53^{34} + 46\cdot 53^{35} + 22\cdot 53^{36} + 10\cdot 53^{37} + 21\cdot 53^{38} + 52\cdot 53^{39} + 17\cdot 53^{40} + 50\cdot 53^{41} + 10\cdot 53^{42} + 36\cdot 53^{43} + 28\cdot 53^{44} + 10\cdot 53^{45} + 31\cdot 53^{46} + 24\cdot 53^{47} + 28\cdot 53^{48} + 23\cdot 53^{49} + 34\cdot 53^{50} + 34\cdot 53^{51} + 11\cdot 53^{52} + 13\cdot 53^{53} + 47\cdot 53^{54} + 47\cdot 53^{55} + 17\cdot 53^{56} + 53^{57} + 14\cdot 53^{58} + 6\cdot 53^{59} + 25\cdot 53^{60} + 28\cdot 53^{61} + 37\cdot 53^{62} + 20\cdot 53^{63} + 4\cdot 53^{64} + 50\cdot 53^{65} + 52\cdot 53^{66} + 3\cdot 53^{67} + 14\cdot 53^{68} + 34\cdot 53^{69} + 14\cdot 53^{70} + 4\cdot 53^{71} + 18\cdot 53^{72} + 36\cdot 53^{74} + 18\cdot 53^{75} + 7\cdot 53^{76} + 37\cdot 53^{77} + 37\cdot 53^{78} + 23\cdot 53^{79} + 16\cdot 53^{80} + 38\cdot 53^{81} + 28\cdot 53^{82} + 20\cdot 53^{83} + 13\cdot 53^{84} + 17\cdot 53^{85} + 4\cdot 53^{86} + 23\cdot 53^{87} + 20\cdot 53^{88} + 49\cdot 53^{89} + 28\cdot 53^{90} + 4\cdot 53^{91} + 46\cdot 53^{92} + 10\cdot 53^{93} + 50\cdot 53^{94} + 29\cdot 53^{95} + 9\cdot 53^{96} + 38\cdot 53^{97} + 38\cdot 53^{98} + 49\cdot 53^{99} + 21\cdot 53^{100} + 18\cdot 53^{101} + 39\cdot 53^{102} + 40\cdot 53^{103} + 27\cdot 53^{104} + 51\cdot 53^{105} + 7\cdot 53^{106} +O\left(53^{ 107 }\right)$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(3,4,7,8)$ $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ $(3,4)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(1,5)(2,6)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ $1$ $12$ $2$ $(3,4)$ $3$ $24$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(3,4)$ $1$ $36$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,4)$ $-1$ $16$ $3$ $(3,7,8)$ $0$ $64$ $3$ $(2,5,6)(3,7,8)$ $0$ $12$ $4$ $(1,2,5,6)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,5)(2,6)(3,4,7,8)$ $1$ $72$ $4$ $(1,7,5,3)(2,8,6,4)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2,5,6)(3,4)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,3,2,4)(5,7)(6,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,5)(2,6)(3,8,7)$ $0$ $96$ $6$ $(2,6,5)(3,4)$ $0$ $192$ $6$ $(1,4)(2,7,5,8,6,3)$ $0$ $144$ $8$ $(1,4,2,7,5,8,6,3)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,2,5,6)(3,7,8)$ $0$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.