Properties

Label 9.3e6_853e3.18t272.1c1
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 3^{6} \cdot 853^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$452454197733= 3^{6} \cdot 853^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} - 11 x^{6} + 5 x^{5} + 33 x^{4} + 52 x^{3} - 141 x^{2} + 35 x + 25 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 18T272
Parity: Even
Determinant: 1.853.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 126.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 7 a + 33 + \left(12 a^{2} + 9 a + 35\right)\cdot 43 + \left(28 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(28 a^{2} + 12 a + 41\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 43^{9} + \left(13 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 43^{10} + \left(32 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 43^{11} + \left(40 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 43^{12} + \left(36 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 43^{13} + \left(16 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 43^{14} + \left(20 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 43^{15} + \left(17 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{16} + \left(36 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 43^{17} + \left(38 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 43^{18} + \left(23 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 43^{19} + \left(37 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 43^{20} + \left(22 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43^{21} + \left(27 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 43^{22} + \left(38 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 43^{23} + \left(14 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{24} + \left(3 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 43^{25} + \left(39 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 43^{26} + \left(6 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{27} + \left(32 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 43^{28} + \left(16 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 43^{29} + \left(23 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 43^{30} + \left(15 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 43^{31} + \left(9 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 43^{32} + \left(14 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 43^{33} + \left(14 a^{2} + 36 a + 37\right)\cdot 43^{34} + \left(5 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43^{35} + \left(14 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 43^{36} + \left(8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 43^{37} + \left(19 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 43^{38} + \left(30 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 43^{39} + \left(a^{2} + a + 2\right)\cdot 43^{40} + \left(19 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 43^{41} + \left(41 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 43^{42} + \left(13 a^{2} + 22 a + 24\right)\cdot 43^{43} + \left(25 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 43^{44} + \left(4 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 43^{45} + \left(6 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 43^{46} + \left(34 a^{2} + 16\right)\cdot 43^{47} + \left(35 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 43^{48} + \left(31 a^{2} + 10 a + 32\right)\cdot 43^{49} + \left(a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 43^{50} + \left(23 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 43^{51} + \left(23 a^{2} + 3\right)\cdot 43^{52} + \left(39 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 43^{53} + \left(38 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 43^{54} + \left(12 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 43^{55} + \left(3 a^{2} + 28 a + 2\right)\cdot 43^{56} + \left(32 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 43^{57} + \left(13 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 43^{58} + \left(17 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 43^{59} + \left(17 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 43^{60} + \left(13 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 43^{61} + \left(17 a^{2} + 14 a + 35\right)\cdot 43^{62} + \left(32 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 43^{63} + \left(19 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{64} + \left(9 a^{2} + 23 a + 33\right)\cdot 43^{65} + \left(3 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 43^{66} + \left(16 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 43^{67} + \left(40 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{68} + \left(17 a^{2} + 21 a + 41\right)\cdot 43^{69} + \left(32 a^{2} + 22 a + 39\right)\cdot 43^{70} + \left(7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 43^{71} + \left(2 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43^{72} + \left(26 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 43^{73} + \left(18 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 43^{74} + \left(36 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{75} + \left(24 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 43^{76} + \left(14 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 43^{77} + \left(35 a^{2} + 21 a + 39\right)\cdot 43^{78} + \left(36 a^{2} + a + 35\right)\cdot 43^{79} + \left(33 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 43^{80} + \left(40 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 43^{81} + \left(39 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 43^{82} + \left(26 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 43^{83} + \left(38 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 43^{84} + \left(42 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 43^{85} + \left(13 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{86} + \left(16 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 43^{87} + \left(36 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 43^{88} + \left(8 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 43^{89} + \left(41 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 43^{90} + \left(24 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{91} + \left(21 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 43^{92} + \left(38 a^{2} + 6 a + 24\right)\cdot 43^{93} + \left(30 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 43^{94} + \left(36 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 43^{95} + \left(37 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 43^{96} + \left(23 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 43^{97} + \left(39 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 43^{98} + \left(20 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{99} + \left(3 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 43^{100} + \left(8 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 43^{101} + \left(19 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 43^{102} + \left(37 a^{2} + 36 a + 15\right)\cdot 43^{103} + \left(26 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 43^{104} + \left(a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 43^{105} + \left(41 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 43^{106} + \left(39 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 43^{107} + \left(9 a + 10\right)\cdot 43^{108} + \left(19 a^{2} + 30 a + 28\right)\cdot 43^{109} + \left(15 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 43^{110} + \left(2 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 43^{111} + \left(20 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 43^{112} + \left(41 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{113} + \left(12 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 43^{114} + \left(32 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 43^{115} + \left(36 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 43^{116} + \left(38 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43^{117} + \left(10 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 43^{118} + \left(11 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{119} + \left(9 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 43^{120} + \left(34 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 43^{121} + \left(34 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 43^{122} + \left(37 a^{2} + 2\right)\cdot 43^{123} + \left(38 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43^{124} + \left(3 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 18 a + 29 + \left(33 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 41 a + 1\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 43^{5} + \left(26 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 43^{8} + \left(12 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 43^{9} + \left(35 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 43^{10} + \left(2 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 43^{11} + \left(24 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 43^{12} + \left(20 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 43^{13} + \left(22 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 43^{14} + \left(33 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{15} + \left(30 a^{2} + 7 a + 36\right)\cdot 43^{16} + \left(38 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 43^{17} + \left(10 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 43^{18} + \left(17 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43^{19} + \left(36 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 43^{20} + \left(a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{21} + \left(22 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 43^{22} + \left(12 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 43^{23} + \left(27 a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 43^{24} + \left(31 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 43^{25} + \left(15 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 43^{26} + \left(13 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 43^{27} + \left(3 a^{2} + a + 20\right)\cdot 43^{28} + \left(25 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{29} + \left(32 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 43^{30} + \left(16 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 43^{31} + \left(19 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 43^{32} + \left(26 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{33} + \left(22 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{34} + \left(42 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{35} + \left(9 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 43^{36} + \left(37 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 43^{37} + \left(37 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 43^{38} + \left(22 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{39} + \left(2 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 43^{40} + \left(13 a + 9\right)\cdot 43^{41} + \left(13 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 43^{42} + \left(32 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 43^{43} + \left(9 a^{2} + 37 a + 20\right)\cdot 43^{44} + \left(30 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 43^{45} + \left(15 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 43^{46} + \left(30 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 43^{47} + \left(27 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 43^{48} + \left(39 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 43^{49} + \left(23 a^{2} + 22 a\right)\cdot 43^{50} + \left(39 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{51} + \left(30 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 43^{52} + \left(41 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 43^{53} + \left(33 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 43^{54} + \left(14 a + 33\right)\cdot 43^{55} + \left(5 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 43^{56} + \left(31 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 43^{57} + \left(39 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{58} + \left(35 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{59} + \left(9 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 43^{60} + \left(6 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{61} + \left(14 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 43^{62} + \left(19 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 43^{63} + \left(18 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 43^{64} + \left(24 a^{2} + 20 a\right)\cdot 43^{65} + \left(34 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 43^{66} + \left(15 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 43^{67} + \left(10 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{68} + \left(39 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 43^{69} + \left(2 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43^{70} + \left(6 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 43^{71} + \left(18 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 43^{72} + \left(31 a^{2} + 24 a + 24\right)\cdot 43^{73} + \left(16 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 43^{74} + \left(14 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 43^{75} + \left(31 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 43^{76} + \left(32 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 43^{77} + \left(2 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 43^{78} + \left(18 a^{2} + 40 a + 37\right)\cdot 43^{79} + \left(13 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 43^{80} + \left(31 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 43^{81} + \left(14 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 43^{82} + \left(41 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 43^{83} + \left(15 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 43^{84} + \left(35 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 43^{85} + \left(3 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 43^{86} + \left(3 a + 34\right)\cdot 43^{87} + \left(20 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 43^{88} + \left(22 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 43^{89} + \left(30 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 43^{90} + \left(23 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 43^{91} + \left(12 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 43^{92} + \left(25 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 43^{93} + \left(37 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 43^{94} + \left(2 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 43^{95} + \left(22 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 43^{96} + \left(31 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 43^{97} + \left(19 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{98} + \left(35 a^{2} + 30\right)\cdot 43^{99} + \left(42 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 43^{100} + \left(37 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 43^{101} + \left(25 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 43^{102} + \left(6 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 43^{103} + \left(37 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 43^{104} + \left(11 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 43^{105} + \left(8 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 43^{106} + \left(27 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 43^{107} + \left(22 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 43^{108} + \left(39 a^{2} + a + 41\right)\cdot 43^{109} + \left(30 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 43^{110} + \left(18 a^{2} + 35 a + 30\right)\cdot 43^{111} + \left(26 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 43^{112} + \left(16 a^{2} + 21 a + 24\right)\cdot 43^{113} + \left(8 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 43^{114} + \left(6 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 43^{115} + \left(31 a^{2} + a + 6\right)\cdot 43^{116} + \left(33 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 43^{117} + \left(17 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 43^{118} + \left(42 a^{2} + a + 1\right)\cdot 43^{119} + \left(38 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{120} + \left(21 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 43^{121} + \left(39 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 43^{122} + \left(17 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 43^{123} + \left(27 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 43^{124} + \left(9 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 21 a + 30 + \left(35 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 43 + \left(4 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 43^{2} + \left(19 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(41 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 43^{6} + \left(a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(29 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{2} + 38 a + 42\right)\cdot 43^{9} + \left(39 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 43^{10} + \left(34 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 43^{11} + \left(36 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 43^{12} + \left(13 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{13} + \left(23 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 43^{14} + \left(4 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43^{15} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 43^{16} + \left(24 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 43^{17} + \left(37 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 43^{18} + \left(39 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 43^{19} + \left(35 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{20} + \left(31 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 43^{21} + \left(40 a^{2} + a + 32\right)\cdot 43^{22} + \left(28 a^{2} + 39\right)\cdot 43^{23} + \left(34 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 43^{24} + \left(30 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 43^{25} + \left(42 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 43^{26} + \left(15 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 43^{27} + \left(40 a^{2} + 4 a + 42\right)\cdot 43^{28} + \left(37 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 43^{29} + \left(31 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 43^{30} + \left(12 a^{2} + a + 28\right)\cdot 43^{31} + \left(19 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 43^{32} + \left(38 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 43^{33} + \left(35 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 43^{34} + \left(4 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 43^{35} + \left(3 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{36} + \left(23 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 43^{37} + \left(26 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 43^{38} + \left(25 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 43^{39} + \left(32 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 43^{40} + \left(4 a^{2} + 18 a + 34\right)\cdot 43^{41} + \left(29 a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 43^{42} + \left(19 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 43^{43} + \left(26 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 43^{44} + \left(34 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 43^{45} + \left(13 a^{2} + 39 a + 37\right)\cdot 43^{46} + \left(23 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 43^{47} + \left(12 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 43^{48} + \left(11 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 43^{49} + \left(38 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 43^{50} + \left(41 a^{2} + 34 a + 38\right)\cdot 43^{51} + \left(6 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 43^{52} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 43^{53} + \left(25 a^{2} + 33 a + 29\right)\cdot 43^{54} + \left(26 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 43^{55} + \left(2 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 43^{56} + \left(13 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 43^{57} + \left(36 a^{2} + 37 a + 15\right)\cdot 43^{58} + \left(37 a^{2} + 36 a + 24\right)\cdot 43^{59} + \left(27 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 43^{60} + \left(29 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 43^{61} + \left(38 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 43^{62} + \left(25 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 43^{63} + \left(6 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 43^{64} + \left(35 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{65} + \left(11 a^{2} + 14 a + 40\right)\cdot 43^{66} + \left(14 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 43^{67} + \left(27 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 43^{68} + \left(17 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 43^{69} + \left(23 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 43^{70} + \left(42 a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 43^{71} + \left(33 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{72} + \left(13 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 43^{73} + \left(28 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 43^{74} + \left(14 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 43^{75} + \left(34 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{76} + \left(2 a^{2} + 40 a + 25\right)\cdot 43^{77} + \left(19 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 43^{78} + \left(18 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 43^{79} + \left(28 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 43^{80} + \left(40 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 43^{81} + \left(4 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{82} + \left(24 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 43^{83} + \left(4 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 43^{84} + \left(9 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{85} + \left(13 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 43^{86} + \left(31 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 43^{87} + \left(35 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 43^{88} + \left(8 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 43^{89} + \left(a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 43^{90} + \left(24 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 43^{91} + \left(27 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 43^{92} + \left(29 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 43^{93} + \left(14 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 43^{94} + \left(16 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 43^{95} + \left(18 a + 15\right)\cdot 43^{96} + \left(20 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 43^{97} + \left(34 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 43^{98} + \left(23 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 43^{99} + \left(37 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 43^{100} + \left(13 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 43^{101} + \left(16 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 43^{102} + \left(36 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 43^{103} + \left(40 a^{2} + 40 a + 8\right)\cdot 43^{104} + \left(8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 43^{105} + \left(9 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 43^{106} + \left(10 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 43^{107} + \left(30 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 43^{108} + \left(35 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{109} + \left(33 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{110} + \left(5 a + 40\right)\cdot 43^{111} + \left(25 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 43^{112} + \left(38 a^{2} + 2 a + 34\right)\cdot 43^{113} + \left(22 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 43^{114} + \left(8 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 43^{115} + \left(6 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 43^{116} + \left(7 a^{2} + 35 a + 41\right)\cdot 43^{117} + \left(39 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 43^{118} + \left(14 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 43^{119} + \left(12 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 43^{120} + \left(12 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 43^{121} + \left(22 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 43^{122} + \left(42 a^{2} + 11\right)\cdot 43^{123} + \left(11 a^{2} + 21 a\right)\cdot 43^{124} + \left(3 a^{2} + 39 a + 15\right)\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 19 + 29\cdot 43 + 34\cdot 43^{2} + 35\cdot 43^{3} + 13\cdot 43^{4} + 39\cdot 43^{5} + 5\cdot 43^{6} + 4\cdot 43^{7} + 7\cdot 43^{8} + 19\cdot 43^{9} + 33\cdot 43^{10} + 8\cdot 43^{11} + 24\cdot 43^{12} + 8\cdot 43^{13} + 40\cdot 43^{14} + 13\cdot 43^{15} + 5\cdot 43^{16} + 43^{17} + 9\cdot 43^{18} + 3\cdot 43^{19} + 9\cdot 43^{20} + 43^{21} + 27\cdot 43^{22} + 24\cdot 43^{23} + 10\cdot 43^{24} + 5\cdot 43^{25} + 21\cdot 43^{26} + 2\cdot 43^{27} + 38\cdot 43^{28} + 33\cdot 43^{29} + 25\cdot 43^{31} + 39\cdot 43^{32} + 12\cdot 43^{34} + 40\cdot 43^{35} + 37\cdot 43^{36} + 25\cdot 43^{37} + 26\cdot 43^{38} + 35\cdot 43^{39} + 28\cdot 43^{40} + 33\cdot 43^{41} + 34\cdot 43^{42} + 11\cdot 43^{43} + 15\cdot 43^{44} + 41\cdot 43^{45} + 42\cdot 43^{46} + 7\cdot 43^{47} + 38\cdot 43^{48} + 25\cdot 43^{49} + 13\cdot 43^{50} + 12\cdot 43^{51} + 19\cdot 43^{52} + 35\cdot 43^{53} + 5\cdot 43^{54} + 37\cdot 43^{55} + 11\cdot 43^{56} + 8\cdot 43^{57} + 25\cdot 43^{58} + 2\cdot 43^{59} + 3\cdot 43^{60} + 11\cdot 43^{61} + 26\cdot 43^{62} + 15\cdot 43^{63} + 11\cdot 43^{64} + 28\cdot 43^{65} + 29\cdot 43^{66} + 6\cdot 43^{67} + 27\cdot 43^{68} + 25\cdot 43^{69} + 3\cdot 43^{71} + 2\cdot 43^{72} + 43^{73} + 10\cdot 43^{74} + 40\cdot 43^{75} + 27\cdot 43^{76} + 13\cdot 43^{77} + 6\cdot 43^{78} + 33\cdot 43^{79} + 24\cdot 43^{80} + 31\cdot 43^{81} + 16\cdot 43^{82} + 40\cdot 43^{83} + 15\cdot 43^{84} + 7\cdot 43^{85} + 11\cdot 43^{86} + 43^{87} + 31\cdot 43^{88} + 20\cdot 43^{89} + 5\cdot 43^{90} + 39\cdot 43^{91} + 7\cdot 43^{92} + 12\cdot 43^{93} + 15\cdot 43^{94} + 3\cdot 43^{95} + 39\cdot 43^{96} + 11\cdot 43^{97} + 15\cdot 43^{98} + 30\cdot 43^{99} + 34\cdot 43^{100} + 6\cdot 43^{101} + 26\cdot 43^{102} + 24\cdot 43^{103} + 13\cdot 43^{104} + 17\cdot 43^{105} + 12\cdot 43^{106} + 43^{107} + 5\cdot 43^{108} + 37\cdot 43^{109} + 22\cdot 43^{110} + 10\cdot 43^{111} + 28\cdot 43^{112} + 15\cdot 43^{113} + 28\cdot 43^{114} + 15\cdot 43^{115} + 11\cdot 43^{116} + 19\cdot 43^{117} + 17\cdot 43^{118} + 11\cdot 43^{119} + 29\cdot 43^{120} + 6\cdot 43^{121} + 35\cdot 43^{122} + 6\cdot 43^{123} + 23\cdot 43^{124} + 4\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 14 + 3\cdot 43 + 23\cdot 43^{2} + 36\cdot 43^{3} + 16\cdot 43^{4} + 18\cdot 43^{5} + 3\cdot 43^{6} + 23\cdot 43^{7} + 31\cdot 43^{8} + 41\cdot 43^{9} + 31\cdot 43^{10} + 21\cdot 43^{11} + 15\cdot 43^{12} + 21\cdot 43^{13} + 30\cdot 43^{14} + 22\cdot 43^{15} + 39\cdot 43^{16} + 12\cdot 43^{17} + 38\cdot 43^{18} + 38\cdot 43^{19} + 39\cdot 43^{20} + 8\cdot 43^{21} + 3\cdot 43^{22} + 35\cdot 43^{23} + 15\cdot 43^{24} + 5\cdot 43^{25} + 17\cdot 43^{26} + 4\cdot 43^{27} + 32\cdot 43^{28} + 38\cdot 43^{29} + 22\cdot 43^{30} + 14\cdot 43^{31} + 11\cdot 43^{32} + 7\cdot 43^{33} + 2\cdot 43^{34} + 16\cdot 43^{35} + 36\cdot 43^{36} + 22\cdot 43^{37} + 12\cdot 43^{38} + 24\cdot 43^{39} + 37\cdot 43^{40} + 15\cdot 43^{41} + 7\cdot 43^{42} + 41\cdot 43^{43} + 23\cdot 43^{45} + 22\cdot 43^{46} + 19\cdot 43^{47} + 35\cdot 43^{48} + 8\cdot 43^{49} + 3\cdot 43^{50} + 19\cdot 43^{51} + 35\cdot 43^{52} + 14\cdot 43^{53} + 6\cdot 43^{54} + 30\cdot 43^{55} + 42\cdot 43^{56} + 12\cdot 43^{57} + 31\cdot 43^{58} + 3\cdot 43^{59} + 3\cdot 43^{60} + 10\cdot 43^{61} + 13\cdot 43^{62} + 25\cdot 43^{63} + 38\cdot 43^{64} + 3\cdot 43^{65} + 14\cdot 43^{66} + 2\cdot 43^{67} + 27\cdot 43^{68} + 41\cdot 43^{69} + 30\cdot 43^{70} + 10\cdot 43^{71} + 32\cdot 43^{72} + 33\cdot 43^{73} + 36\cdot 43^{74} + 36\cdot 43^{75} + 29\cdot 43^{76} + 16\cdot 43^{77} + 39\cdot 43^{78} + 8\cdot 43^{79} + 10\cdot 43^{80} + 3\cdot 43^{81} + 42\cdot 43^{82} + 4\cdot 43^{83} + 40\cdot 43^{84} + 39\cdot 43^{85} + 29\cdot 43^{86} + 24\cdot 43^{87} + 40\cdot 43^{88} + 8\cdot 43^{89} + 21\cdot 43^{90} + 29\cdot 43^{91} + 33\cdot 43^{92} + 3\cdot 43^{93} + 20\cdot 43^{94} + 23\cdot 43^{95} + 36\cdot 43^{96} + 2\cdot 43^{97} + 23\cdot 43^{98} + 22\cdot 43^{99} + 17\cdot 43^{100} + 7\cdot 43^{101} + 3\cdot 43^{102} + 27\cdot 43^{103} + 17\cdot 43^{104} + 2\cdot 43^{105} + 9\cdot 43^{106} + 10\cdot 43^{107} + 12\cdot 43^{108} + 39\cdot 43^{109} + 25\cdot 43^{110} + 32\cdot 43^{111} + 30\cdot 43^{112} + 2\cdot 43^{113} + 43^{114} + 33\cdot 43^{115} + 12\cdot 43^{117} + 29\cdot 43^{118} + 38\cdot 43^{119} + 34\cdot 43^{120} + 33\cdot 43^{121} + 7\cdot 43^{122} + 26\cdot 43^{123} + 36\cdot 43^{124} + 11\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 17 a^{2} + 41 a + 34 + \left(22 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 43 + \left(36 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{2} + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(28 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(20 a^{2} + 26 a\right)\cdot 43^{5} + \left(29 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a^{2} + 26 a + 17\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{2} + 14 a + 40\right)\cdot 43^{9} + \left(16 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 43^{10} + \left(28 a^{2} + 37 a + 15\right)\cdot 43^{11} + \left(31 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43^{12} + \left(25 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 43^{13} + \left(16 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 43^{14} + \left(9 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 43^{15} + \left(42 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 43^{16} + \left(42 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 43^{17} + \left(41 a^{2} + 24\right)\cdot 43^{18} + \left(20 a^{2} + 33 a + 41\right)\cdot 43^{19} + \left(20 a^{2} + 5 a + 24\right)\cdot 43^{20} + \left(5 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 43^{21} + \left(26 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 43^{22} + \left(a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{23} + \left(34 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43^{24} + \left(22 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{25} + \left(3 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 43^{26} + \left(38 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 43^{27} + \left(35 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 43^{28} + \left(39 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{29} + \left(26 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 43^{30} + \left(16 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 43^{31} + \left(10 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 43^{32} + \left(41 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{33} + \left(5 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 43^{34} + \left(4 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{35} + \left(22 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 43^{36} + \left(38 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 43^{37} + \left(3 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 43^{38} + \left(10 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 43^{39} + \left(33 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 43^{40} + \left(11 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 43^{41} + \left(42 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 43^{42} + \left(18 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 43^{43} + \left(19 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 43^{44} + \left(20 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 43^{45} + \left(33 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 43^{46} + \left(35 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 43^{47} + \left(14 a + 30\right)\cdot 43^{48} + \left(18 a^{2} + 24 a + 17\right)\cdot 43^{49} + \left(3 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 43^{50} + \left(27 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 43^{51} + \left(36 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 43^{52} + \left(15 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{53} + \left(20 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 43^{54} + \left(5 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 43^{55} + \left(39 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 43^{56} + \left(35 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43^{57} + \left(42 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 43^{58} + \left(26 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 43^{59} + \left(22 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 43^{60} + \left(8 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 43^{61} + \left(8 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 43^{62} + \left(14 a + 23\right)\cdot 43^{63} + \left(21 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 43^{64} + \left(3 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{65} + \left(15 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 43^{66} + \left(14 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 43^{67} + \left(21 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 43^{68} + \left(2 a^{2} + 19 a + 36\right)\cdot 43^{69} + \left(20 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 43^{70} + \left(22 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 43^{71} + \left(14 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 43^{72} + \left(19 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 43^{73} + \left(9 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{74} + \left(37 a^{2} + 31 a + 11\right)\cdot 43^{75} + \left(4 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 43^{76} + \left(30 a^{2} + 28 a + 1\right)\cdot 43^{77} + \left(7 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 43^{78} + \left(28 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 43^{79} + \left(30 a^{2} + 33 a + 26\right)\cdot 43^{80} + \left(38 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 43^{81} + \left(12 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 43^{82} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 43^{83} + \left(32 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 43^{84} + \left(42 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 43^{85} + \left(29 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 43^{86} + \left(22 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 43^{87} + \left(24 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 43^{88} + \left(4 a^{2} + 29 a + 24\right)\cdot 43^{89} + \left(6 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 43^{90} + \left(26 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 43^{91} + \left(26 a^{2} + 42 a + 15\right)\cdot 43^{92} + \left(4 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 43^{93} + \left(7 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 43^{94} + \left(15 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 43^{95} + \left(17 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 43^{96} + \left(6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{97} + \left(38 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 43^{98} + \left(10 a^{2} + 34 a + 40\right)\cdot 43^{99} + \left(3 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 43^{100} + \left(28 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 43^{101} + \left(18 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 43^{102} + \left(6 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43^{103} + \left(29 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 43^{104} + \left(36 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 43^{105} + \left(31 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 43^{106} + \left(33 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 43^{107} + \left(28 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 43^{108} + \left(18 a^{2} + 2 a\right)\cdot 43^{109} + \left(36 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{110} + \left(37 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 43^{111} + \left(9 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 43^{112} + \left(28 a + 9\right)\cdot 43^{113} + \left(20 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 43^{114} + \left(4 a^{2} + 42 a + 26\right)\cdot 43^{115} + \left(30 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 43^{116} + \left(32 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 43^{117} + \left(19 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 43^{118} + \left(37 a^{2} + 8 a + 35\right)\cdot 43^{119} + \left(11 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 43^{120} + \left(19 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 43^{121} + \left(35 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 43^{122} + \left(12 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 43^{123} + \left(25 a^{2} + 41 a + 23\right)\cdot 43^{124} + \left(25 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 23 a^{2} + 18 a + 11 + \left(40 a^{2} + a + 40\right)\cdot 43 + \left(22 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(7 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 43^{4} + \left(38 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{2} + 36\right)\cdot 43^{6} + \left(30 a^{2} + 41 a + 26\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 43^{8} + \left(21 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 43^{9} + \left(37 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 43^{10} + \left(7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 43^{11} + \left(21 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 43^{12} + \left(28 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 43^{13} + \left(3 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 43^{14} + \left(32 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43^{15} + \left(37 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 43^{16} + \left(10 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 43^{17} + \left(36 a^{2} + 33 a + 11\right)\cdot 43^{18} + \left(a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 43^{19} + \left(12 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 43^{20} + \left(18 a^{2} + 8 a + 37\right)\cdot 43^{21} + \left(36 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 43^{22} + \left(34 a^{2} + 33 a + 40\right)\cdot 43^{23} + \left(11 a + 23\right)\cdot 43^{24} + \left(8 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 43^{25} + \left(31 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 43^{26} + \left(22 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{27} + \left(7 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 43^{28} + \left(a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 43^{29} + \left(30 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 43^{30} + \left(10 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 43^{31} + \left(14 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 43^{32} + \left(2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 43^{33} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 43^{34} + \left(38 a^{2} + 20\right)\cdot 43^{35} + \left(18 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{36} + \left(40 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 43^{37} + \left(28 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 43^{38} + \left(32 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 43^{39} + \left(38 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 43^{40} + \left(23 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 43^{41} + \left(31 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 43^{42} + \left(39 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 43^{43} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 43^{44} + \left(8 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 43^{45} + \left(21 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 43^{46} + \left(21 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 43^{47} + \left(22 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 43^{48} + \left(14 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 43^{49} + \left(17 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 43^{50} + \left(23 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 43^{51} + \left(31 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 43^{52} + \left(4 a^{2} + 8 a + 41\right)\cdot 43^{53} + \left(13 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 43^{54} + \left(29 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 43^{55} + \left(34 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 43^{56} + \left(22 a^{2} + 31 a + 39\right)\cdot 43^{57} + \left(32 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 43^{58} + \left(32 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 43^{59} + \left(15 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 43^{60} + \left(23 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 43^{61} + \left(11 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 43^{62} + \left(34 a^{2} + 14\right)\cdot 43^{63} + \left(4 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 43^{64} + \left(9 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 43^{65} + \left(5 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{66} + \left(11 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43^{67} + \left(35 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{68} + \left(28 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 43^{69} + \left(7 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 43^{70} + \left(29 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 43^{71} + \left(22 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{72} + \left(28 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 43^{73} + \left(7 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 43^{74} + \left(35 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 43^{75} + \left(29 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 43^{76} + \left(38 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 43^{77} + \left(4 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 43^{78} + \left(31 a^{2} + 3\right)\cdot 43^{79} + \left(38 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 43^{80} + \left(13 a^{2} + 32 a + 8\right)\cdot 43^{81} + \left(31 a^{2} + a + 21\right)\cdot 43^{82} + \left(17 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 43^{83} + \left(31 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 43^{84} + \left(7 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 43^{85} + \left(25 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43^{86} + \left(26 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 43^{87} + \left(29 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 43^{88} + \left(11 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 43^{89} + \left(14 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 43^{90} + \left(37 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 43^{91} + \left(8 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 43^{92} + \left(22 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{93} + \left(17 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 43^{94} + \left(3 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 43^{95} + \left(26 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{96} + \left(30 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 43^{97} + \left(26 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 43^{98} + \left(29 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 43^{99} + \left(39 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 43^{100} + \left(39 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 43^{101} + \left(40 a^{2} + 26\right)\cdot 43^{102} + \left(41 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 43^{103} + \left(21 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 43^{104} + \left(29 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 43^{105} + \left(36 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{106} + \left(18 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 43^{107} + \left(19 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 43^{108} + \left(27 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 43^{109} + \left(39 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 43^{110} + \left(21 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 43^{111} + \left(39 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 43^{112} + \left(27 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{113} + \left(21 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 43^{114} + \left(4 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 43^{115} + \left(18 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 43^{116} + \left(13 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 43^{117} + \left(14 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 43^{118} + \left(32 a^{2} + 18 a + 37\right)\cdot 43^{119} + \left(37 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 43^{120} + \left(29 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 43^{121} + \left(11 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 43^{122} + \left(30 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 43^{123} + \left(19 a^{2} + 35 a\right)\cdot 43^{124} + \left(29 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 15 a^{2} + 24 a + 4 + \left(28 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43 + \left(a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(5 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 43^{3} + \left(2 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 43^{4} + \left(38 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(7 a^{2} + 33 a + 27\right)\cdot 43^{9} + \left(30 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 43^{10} + \left(22 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 43^{11} + \left(17 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 43^{12} + \left(3 a^{2} + 35 a + 42\right)\cdot 43^{13} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 43^{14} + \left(29 a^{2} + 37 a + 29\right)\cdot 43^{15} + \left(32 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 43^{16} + \left(18 a^{2} + 41 a + 12\right)\cdot 43^{17} + \left(6 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 43^{18} + \left(25 a^{2} + 30\right)\cdot 43^{19} + \left(29 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 43^{20} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 43^{21} + \left(19 a^{2} + 42 a + 18\right)\cdot 43^{22} + \left(12 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 43^{23} + \left(17 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 43^{24} + \left(32 a^{2} + 5\right)\cdot 43^{25} + \left(39 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{26} + \left(31 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 43^{27} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 43^{28} + \left(8 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 43^{29} + \left(27 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 43^{30} + \left(13 a^{2} + 15 a + 29\right)\cdot 43^{31} + \left(13 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 43^{32} + \left(6 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 43^{33} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 43^{34} + \left(34 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 43^{35} + \left(17 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 43^{36} + \left(24 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 43^{37} + \left(12 a^{2} + 20 a + 42\right)\cdot 43^{38} + \left(7 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{39} + \left(20 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 43^{40} + \left(26 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 43^{41} + \left(14 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 43^{42} + \left(4 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 43^{43} + \left(40 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{44} + \left(30 a^{2} + a + 35\right)\cdot 43^{45} + \left(38 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 43^{46} + \left(26 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 43^{47} + \left(29 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 43^{48} + \left(13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 43^{49} + \left(a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 43^{50} + \left(17 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 43^{51} + \left(42 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 43^{52} + \left(14 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 43^{53} + \left(40 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 43^{54} + \left(10 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 43^{55} + \left(a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 43^{56} + \left(37 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 43^{57} + \left(6 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 43^{58} + \left(21 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 43^{59} + \left(35 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 43^{60} + \left(4 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 43^{61} + \left(39 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 43^{62} + \left(16 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 43^{63} + \left(15 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 43^{64} + \left(4 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 43^{65} + \left(16 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{66} + \left(14 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 43^{67} + \left(37 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 43^{68} + \left(22 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43^{69} + \left(42 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 43^{70} + \left(20 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 43^{71} + \left(37 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 43^{72} + \left(9 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 43^{73} + \left(5 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 43^{74} + \left(34 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 43^{75} + \left(3 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 43^{76} + \left(10 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 43^{77} + \left(16 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 43^{78} + \left(39 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 43^{79} + \left(26 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 43^{80} + \left(6 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 43^{81} + \left(25 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 43^{82} + \left(14 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 43^{83} + \left(6 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 43^{84} + \left(34 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 43^{85} + \left(42 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 43^{86} + \left(31 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 43^{87} + \left(25 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 43^{88} + \left(29 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 43^{89} + \left(35 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 43^{90} + \left(35 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43^{91} + \left(31 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 43^{92} + \left(8 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 43^{93} + \left(21 a^{2} + 34 a + 23\right)\cdot 43^{94} + \left(11 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 43^{95} + \left(25 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 43^{96} + \left(16 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 43^{97} + \left(13 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 43^{98} + \left(8 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 43^{99} + \left(2 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 43^{100} + \left(a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 43^{101} + \left(8 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 43^{102} + \left(2 a + 34\right)\cdot 43^{103} + \left(16 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 43^{104} + \left(40 a^{2} + 25 a + 6\right)\cdot 43^{105} + \left(a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 43^{106} + \left(42 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 43^{107} + \left(26 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 43^{108} + \left(31 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 43^{109} + \left(15 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 43^{110} + \left(4 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 43^{111} + \left(8 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 43^{112} + \left(4 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 43^{113} + \left(17 a + 33\right)\cdot 43^{114} + \left(30 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 43^{115} + \left(6 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 43^{116} + \left(3 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 43^{117} + \left(27 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 43^{118} + \left(33 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 43^{119} + \left(18 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 43^{120} + \left(11 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 43^{121} + \left(28 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 43^{122} + \left(30 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 43^{123} + \left(5 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 43^{124} + \left(14 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 43^{125} +O\left(43^{ 126 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(3,4,6,8)$
$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$
$(3,4)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(1,5)(2,7)$$-3$
$9$$2$$(1,5)(2,7)(3,6)(4,8)$$1$
$12$$2$$(3,4)$$-3$
$24$$2$$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$$3$
$36$$2$$(1,2)(3,4)$$1$
$36$$2$$(1,5)(2,7)(3,4)$$1$
$16$$3$$(3,6,8)$$0$
$64$$3$$(2,5,7)(3,6,8)$$0$
$12$$4$$(1,2,5,7)$$3$
$36$$4$$(1,2,5,7)(3,4,6,8)$$1$
$36$$4$$(1,5)(2,7)(3,4,6,8)$$-1$
$72$$4$$(1,6,5,3)(2,8,7,4)$$-1$
$72$$4$$(1,2,5,7)(3,4)$$-1$
$144$$4$$(1,3,2,4)(5,6)(7,8)$$-1$
$48$$6$$(1,5)(2,7)(3,8,6)$$0$
$96$$6$$(2,7,5)(3,4)$$0$
$192$$6$$(1,4)(2,6,5,8,7,3)$$0$
$144$$8$$(1,4,2,6,5,8,7,3)$$1$
$96$$12$$(1,2,5,7)(3,6,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.