Properties

Label 9.3e4_17e3_101e3.16t1294.1c1
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 3^{4} \cdot 17^{3} \cdot 101^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$410011373853= 3^{4} \cdot 17^{3} \cdot 101^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 3 x^{7} + 3 x^{6} - 4 x^{5} + 4 x^{4} + x^{2} + x - 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1294
Parity: Even
Determinant: 1.17_101.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 79.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{2} + 63 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 8 a + 16 + \left(10 a + 53\right)\cdot 67 + \left(52 a + 18\right)\cdot 67^{2} + \left(37 a + 59\right)\cdot 67^{3} + \left(11 a + 46\right)\cdot 67^{4} + \left(53 a + 64\right)\cdot 67^{5} + \left(41 a + 4\right)\cdot 67^{6} + \left(4 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(64 a + 30\right)\cdot 67^{8} + \left(3 a + 45\right)\cdot 67^{9} + \left(48 a + 66\right)\cdot 67^{10} + \left(16 a + 1\right)\cdot 67^{11} + \left(15 a + 54\right)\cdot 67^{12} + \left(55 a + 26\right)\cdot 67^{13} + \left(60 a + 62\right)\cdot 67^{14} + \left(57 a + 51\right)\cdot 67^{15} + \left(18 a + 38\right)\cdot 67^{16} + \left(65 a + 65\right)\cdot 67^{17} + \left(21 a + 14\right)\cdot 67^{18} + \left(7 a + 58\right)\cdot 67^{19} + \left(30 a + 12\right)\cdot 67^{20} + \left(30 a + 62\right)\cdot 67^{21} + \left(20 a + 29\right)\cdot 67^{22} + \left(54 a + 12\right)\cdot 67^{23} + \left(50 a + 32\right)\cdot 67^{24} + \left(a + 15\right)\cdot 67^{25} + \left(29 a + 3\right)\cdot 67^{26} + \left(27 a + 47\right)\cdot 67^{27} + \left(24 a + 3\right)\cdot 67^{28} + \left(52 a + 5\right)\cdot 67^{29} + \left(47 a + 2\right)\cdot 67^{30} + \left(30 a + 3\right)\cdot 67^{31} + \left(9 a + 18\right)\cdot 67^{32} + \left(6 a + 33\right)\cdot 67^{33} + \left(19 a + 51\right)\cdot 67^{34} + \left(14 a + 28\right)\cdot 67^{35} + \left(15 a + 62\right)\cdot 67^{36} + \left(29 a + 20\right)\cdot 67^{37} + \left(61 a + 47\right)\cdot 67^{38} + \left(56 a + 62\right)\cdot 67^{39} + \left(64 a + 39\right)\cdot 67^{40} + \left(35 a + 14\right)\cdot 67^{41} + \left(9 a + 64\right)\cdot 67^{42} + \left(38 a + 29\right)\cdot 67^{43} + \left(56 a + 6\right)\cdot 67^{44} + \left(56 a + 61\right)\cdot 67^{45} + \left(34 a + 52\right)\cdot 67^{46} + \left(22 a + 56\right)\cdot 67^{47} + \left(27 a + 17\right)\cdot 67^{48} + \left(17 a + 10\right)\cdot 67^{49} + \left(31 a + 46\right)\cdot 67^{50} + \left(45 a + 48\right)\cdot 67^{51} + \left(55 a + 9\right)\cdot 67^{52} + \left(53 a + 21\right)\cdot 67^{53} + \left(48 a + 12\right)\cdot 67^{54} + \left(6 a + 44\right)\cdot 67^{55} + \left(21 a + 56\right)\cdot 67^{56} + \left(51 a + 13\right)\cdot 67^{57} + \left(47 a + 41\right)\cdot 67^{58} + 45 a\cdot 67^{59} + \left(39 a + 25\right)\cdot 67^{60} + \left(42 a + 42\right)\cdot 67^{61} + \left(47 a + 44\right)\cdot 67^{62} + \left(30 a + 36\right)\cdot 67^{63} + \left(61 a + 57\right)\cdot 67^{64} + \left(13 a + 19\right)\cdot 67^{65} + \left(23 a + 26\right)\cdot 67^{66} + \left(53 a + 22\right)\cdot 67^{67} + \left(26 a + 37\right)\cdot 67^{68} + \left(10 a + 34\right)\cdot 67^{69} + \left(40 a + 36\right)\cdot 67^{70} + \left(2 a + 11\right)\cdot 67^{71} + \left(18 a + 42\right)\cdot 67^{72} + \left(35 a + 44\right)\cdot 67^{73} + \left(36 a + 2\right)\cdot 67^{74} + \left(54 a + 65\right)\cdot 67^{75} + \left(48 a + 3\right)\cdot 67^{76} + \left(41 a + 33\right)\cdot 67^{77} + \left(43 a + 11\right)\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 32 + 48\cdot 67 + 12\cdot 67^{2} + 63\cdot 67^{3} + 5\cdot 67^{4} + 8\cdot 67^{5} + 22\cdot 67^{6} + 45\cdot 67^{7} + 64\cdot 67^{8} + 40\cdot 67^{9} + 33\cdot 67^{10} + 38\cdot 67^{11} + 31\cdot 67^{12} + 4\cdot 67^{13} + 9\cdot 67^{14} + 2\cdot 67^{15} + 67^{16} + 47\cdot 67^{17} + 67^{18} + 47\cdot 67^{19} + 52\cdot 67^{20} + 16\cdot 67^{21} + 36\cdot 67^{22} + 52\cdot 67^{23} + 20\cdot 67^{24} + 5\cdot 67^{25} + 66\cdot 67^{26} + 18\cdot 67^{27} + 25\cdot 67^{28} + 8\cdot 67^{29} + 44\cdot 67^{30} + 15\cdot 67^{31} + 8\cdot 67^{32} + 34\cdot 67^{33} + 48\cdot 67^{34} + 35\cdot 67^{35} + 39\cdot 67^{36} + 10\cdot 67^{37} + 31\cdot 67^{38} + 6\cdot 67^{39} + 50\cdot 67^{40} + 50\cdot 67^{41} + 48\cdot 67^{42} + 49\cdot 67^{43} + 60\cdot 67^{44} + 47\cdot 67^{45} + 47\cdot 67^{46} + 18\cdot 67^{47} + 28\cdot 67^{48} + 28\cdot 67^{49} + 50\cdot 67^{50} + 8\cdot 67^{51} + 17\cdot 67^{52} + 15\cdot 67^{53} + 52\cdot 67^{54} + 58\cdot 67^{56} + 48\cdot 67^{57} + 52\cdot 67^{58} + 50\cdot 67^{59} + 58\cdot 67^{60} + 55\cdot 67^{61} + 56\cdot 67^{62} + 13\cdot 67^{63} + 34\cdot 67^{64} + 44\cdot 67^{65} + 51\cdot 67^{66} + 5\cdot 67^{67} + 6\cdot 67^{68} + 41\cdot 67^{69} + 53\cdot 67^{70} + 58\cdot 67^{71} + 51\cdot 67^{72} + 4\cdot 67^{73} + 45\cdot 67^{74} + 67^{75} + 13\cdot 67^{76} + 49\cdot 67^{77} + 30\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 54 a + 3 + \left(18 a + 58\right)\cdot 67 + \left(42 a + 8\right)\cdot 67^{2} + \left(43 a + 60\right)\cdot 67^{3} + \left(27 a + 36\right)\cdot 67^{4} + \left(23 a + 63\right)\cdot 67^{5} + \left(32 a + 50\right)\cdot 67^{6} + \left(53 a + 22\right)\cdot 67^{7} + \left(40 a + 16\right)\cdot 67^{8} + \left(11 a + 27\right)\cdot 67^{9} + \left(44 a + 17\right)\cdot 67^{10} + \left(18 a + 50\right)\cdot 67^{11} + \left(33 a + 65\right)\cdot 67^{12} + \left(25 a + 7\right)\cdot 67^{13} + \left(11 a + 14\right)\cdot 67^{14} + \left(47 a + 2\right)\cdot 67^{15} + \left(8 a + 3\right)\cdot 67^{16} + \left(39 a + 29\right)\cdot 67^{17} + \left(25 a + 32\right)\cdot 67^{18} + \left(30 a + 14\right)\cdot 67^{19} + \left(10 a + 10\right)\cdot 67^{20} + \left(38 a + 59\right)\cdot 67^{21} + \left(26 a + 14\right)\cdot 67^{22} + \left(16 a + 35\right)\cdot 67^{23} + \left(39 a + 40\right)\cdot 67^{24} + \left(14 a + 60\right)\cdot 67^{25} + \left(52 a + 63\right)\cdot 67^{26} + \left(52 a + 57\right)\cdot 67^{27} + \left(29 a + 23\right)\cdot 67^{28} + \left(54 a + 9\right)\cdot 67^{29} + \left(6 a + 18\right)\cdot 67^{30} + \left(48 a + 33\right)\cdot 67^{31} + \left(53 a + 51\right)\cdot 67^{32} + \left(52 a + 57\right)\cdot 67^{33} + \left(60 a + 44\right)\cdot 67^{34} + \left(14 a + 30\right)\cdot 67^{35} + \left(40 a + 25\right)\cdot 67^{36} + \left(63 a + 8\right)\cdot 67^{37} + \left(43 a + 64\right)\cdot 67^{38} + \left(20 a + 19\right)\cdot 67^{39} + \left(55 a + 25\right)\cdot 67^{40} + 44\cdot 67^{41} + \left(40 a + 12\right)\cdot 67^{42} + \left(32 a + 30\right)\cdot 67^{43} + 46 a\cdot 67^{44} + \left(30 a + 23\right)\cdot 67^{45} + \left(10 a + 61\right)\cdot 67^{46} + \left(42 a + 21\right)\cdot 67^{47} + \left(66 a + 44\right)\cdot 67^{48} + \left(56 a + 4\right)\cdot 67^{49} + \left(18 a + 26\right)\cdot 67^{50} + \left(30 a + 4\right)\cdot 67^{51} + \left(18 a + 64\right)\cdot 67^{52} + \left(41 a + 65\right)\cdot 67^{53} + \left(50 a + 55\right)\cdot 67^{54} + \left(16 a + 11\right)\cdot 67^{55} + \left(14 a + 12\right)\cdot 67^{56} + \left(37 a + 48\right)\cdot 67^{57} + \left(24 a + 42\right)\cdot 67^{58} + \left(46 a + 42\right)\cdot 67^{59} + \left(32 a + 28\right)\cdot 67^{60} + \left(34 a + 16\right)\cdot 67^{61} + \left(46 a + 50\right)\cdot 67^{62} + \left(55 a + 50\right)\cdot 67^{63} + \left(31 a + 50\right)\cdot 67^{64} + \left(44 a + 51\right)\cdot 67^{65} + \left(21 a + 64\right)\cdot 67^{66} + \left(a + 66\right)\cdot 67^{67} + \left(32 a + 26\right)\cdot 67^{68} + \left(13 a + 14\right)\cdot 67^{69} + \left(7 a + 58\right)\cdot 67^{70} + \left(41 a + 50\right)\cdot 67^{71} + \left(9 a + 10\right)\cdot 67^{72} + \left(29 a + 29\right)\cdot 67^{73} + \left(47 a + 41\right)\cdot 67^{74} + \left(5 a + 22\right)\cdot 67^{75} + \left(49 a + 1\right)\cdot 67^{76} + \left(43 a + 29\right)\cdot 67^{77} + \left(9 a + 33\right)\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 19 + 54\cdot 67 + 30\cdot 67^{2} + 6\cdot 67^{3} + 40\cdot 67^{4} + 36\cdot 67^{5} + 60\cdot 67^{6} + 55\cdot 67^{7} + 47\cdot 67^{8} + 42\cdot 67^{9} + 62\cdot 67^{10} + 19\cdot 67^{11} + 58\cdot 67^{12} + 19\cdot 67^{13} + 43\cdot 67^{14} + 57\cdot 67^{15} + 36\cdot 67^{16} + 40\cdot 67^{17} + 5\cdot 67^{18} + 51\cdot 67^{19} + 26\cdot 67^{20} + 12\cdot 67^{21} + 23\cdot 67^{22} + 51\cdot 67^{23} + 31\cdot 67^{24} + 3\cdot 67^{25} + 45\cdot 67^{26} + 32\cdot 67^{27} + 38\cdot 67^{28} + 3\cdot 67^{29} + 9\cdot 67^{30} + 50\cdot 67^{31} + 8\cdot 67^{32} + 10\cdot 67^{33} + 56\cdot 67^{34} + 67^{35} + 36\cdot 67^{36} + 44\cdot 67^{37} + 35\cdot 67^{38} + 47\cdot 67^{39} + 4\cdot 67^{40} + 58\cdot 67^{41} + 25\cdot 67^{42} + 61\cdot 67^{43} + 63\cdot 67^{44} + 26\cdot 67^{45} + 60\cdot 67^{47} + 12\cdot 67^{48} + 65\cdot 67^{49} + 33\cdot 67^{50} + 39\cdot 67^{51} + 16\cdot 67^{52} + 62\cdot 67^{53} + 50\cdot 67^{54} + 58\cdot 67^{55} + 27\cdot 67^{56} + 54\cdot 67^{57} + 52\cdot 67^{58} + 61\cdot 67^{59} + 25\cdot 67^{60} + 6\cdot 67^{61} + 11\cdot 67^{62} + 58\cdot 67^{63} + 12\cdot 67^{64} + 53\cdot 67^{65} + 60\cdot 67^{66} + 27\cdot 67^{67} + 57\cdot 67^{68} + 45\cdot 67^{69} + 7\cdot 67^{70} + 53\cdot 67^{71} + 26\cdot 67^{72} + 35\cdot 67^{73} + 39\cdot 67^{74} + 38\cdot 67^{75} + 2\cdot 67^{76} + 65\cdot 67^{77} + 33\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 12 a + 10 + \left(34 a + 16\right)\cdot 67 + \left(12 a + 36\right)\cdot 67^{2} + \left(32 a + 40\right)\cdot 67^{3} + \left(33 a + 5\right)\cdot 67^{4} + \left(31 a + 38\right)\cdot 67^{5} + \left(31 a + 13\right)\cdot 67^{6} + \left(2 a + 45\right)\cdot 67^{7} + \left(63 a + 60\right)\cdot 67^{8} + \left(48 a + 7\right)\cdot 67^{9} + \left(43 a + 30\right)\cdot 67^{10} + \left(53 a + 9\right)\cdot 67^{11} + \left(19 a + 11\right)\cdot 67^{12} + \left(58 a + 44\right)\cdot 67^{13} + \left(3 a + 15\right)\cdot 67^{14} + \left(35 a + 42\right)\cdot 67^{15} + \left(41 a + 38\right)\cdot 67^{16} + \left(14 a + 26\right)\cdot 67^{17} + \left(44 a + 59\right)\cdot 67^{18} + \left(42 a + 64\right)\cdot 67^{19} + \left(36 a + 23\right)\cdot 67^{20} + \left(4 a + 24\right)\cdot 67^{21} + \left(24 a + 54\right)\cdot 67^{22} + \left(8 a + 45\right)\cdot 67^{23} + \left(11 a + 39\right)\cdot 67^{24} + \left(18 a + 1\right)\cdot 67^{25} + \left(40 a + 20\right)\cdot 67^{26} + \left(24 a + 55\right)\cdot 67^{27} + \left(60 a + 31\right)\cdot 67^{28} + \left(15 a + 59\right)\cdot 67^{29} + \left(21 a + 63\right)\cdot 67^{30} + \left(28 a + 55\right)\cdot 67^{31} + \left(48 a + 53\right)\cdot 67^{32} + \left(59 a + 6\right)\cdot 67^{33} + \left(59 a + 33\right)\cdot 67^{34} + \left(36 a + 60\right)\cdot 67^{35} + \left(12 a + 5\right)\cdot 67^{36} + \left(66 a + 61\right)\cdot 67^{37} + \left(36 a + 51\right)\cdot 67^{38} + \left(54 a + 65\right)\cdot 67^{39} + \left(64 a + 38\right)\cdot 67^{40} + \left(50 a + 4\right)\cdot 67^{41} + \left(52 a + 60\right)\cdot 67^{42} + \left(29 a + 35\right)\cdot 67^{43} + \left(65 a + 12\right)\cdot 67^{44} + \left(36 a + 15\right)\cdot 67^{45} + \left(38 a + 24\right)\cdot 67^{46} + \left(8 a + 45\right)\cdot 67^{47} + \left(23 a + 54\right)\cdot 67^{48} + \left(3 a + 8\right)\cdot 67^{49} + \left(2 a + 21\right)\cdot 67^{50} + \left(33 a + 66\right)\cdot 67^{51} + \left(52 a + 11\right)\cdot 67^{52} + \left(25 a + 64\right)\cdot 67^{53} + \left(59 a + 24\right)\cdot 67^{54} + \left(31 a + 50\right)\cdot 67^{55} + \left(20 a + 38\right)\cdot 67^{56} + \left(17 a + 37\right)\cdot 67^{57} + \left(25 a + 22\right)\cdot 67^{58} + \left(a + 30\right)\cdot 67^{59} + \left(62 a + 50\right)\cdot 67^{60} + \left(27 a + 1\right)\cdot 67^{61} + \left(42 a + 19\right)\cdot 67^{62} + \left(23 a + 26\right)\cdot 67^{63} + \left(6 a + 25\right)\cdot 67^{64} + \left(15 a + 50\right)\cdot 67^{65} + \left(49 a + 2\right)\cdot 67^{66} + \left(32 a + 34\right)\cdot 67^{67} + \left(44 a + 42\right)\cdot 67^{68} + \left(23 a + 31\right)\cdot 67^{69} + \left(9 a + 19\right)\cdot 67^{70} + \left(6 a + 11\right)\cdot 67^{71} + \left(56 a + 33\right)\cdot 67^{72} + \left(15 a + 55\right)\cdot 67^{73} + \left(52 a + 49\right)\cdot 67^{74} + \left(25 a + 22\right)\cdot 67^{75} + \left(12 a + 10\right)\cdot 67^{76} + \left(57 a + 19\right)\cdot 67^{77} + \left(58 a + 4\right)\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 59 a + 48 + \left(56 a + 18\right)\cdot 67 + \left(14 a + 16\right)\cdot 67^{2} + \left(29 a + 24\right)\cdot 67^{3} + \left(55 a + 55\right)\cdot 67^{4} + \left(13 a + 64\right)\cdot 67^{5} + \left(25 a + 51\right)\cdot 67^{6} + \left(62 a + 57\right)\cdot 67^{7} + \left(2 a + 13\right)\cdot 67^{8} + \left(63 a + 64\right)\cdot 67^{9} + \left(18 a + 53\right)\cdot 67^{10} + \left(50 a + 20\right)\cdot 67^{11} + \left(51 a + 31\right)\cdot 67^{12} + \left(11 a + 31\right)\cdot 67^{13} + \left(6 a + 49\right)\cdot 67^{14} + \left(9 a + 21\right)\cdot 67^{15} + \left(48 a + 56\right)\cdot 67^{16} + \left(a + 39\right)\cdot 67^{17} + \left(45 a + 37\right)\cdot 67^{18} + \left(59 a + 65\right)\cdot 67^{19} + \left(36 a + 58\right)\cdot 67^{20} + \left(36 a + 19\right)\cdot 67^{21} + \left(46 a + 14\right)\cdot 67^{22} + \left(12 a + 8\right)\cdot 67^{23} + \left(16 a + 47\right)\cdot 67^{24} + \left(65 a + 38\right)\cdot 67^{25} + \left(37 a + 50\right)\cdot 67^{26} + \left(39 a + 60\right)\cdot 67^{27} + \left(42 a + 6\right)\cdot 67^{28} + \left(14 a + 56\right)\cdot 67^{29} + \left(19 a + 6\right)\cdot 67^{30} + \left(36 a + 11\right)\cdot 67^{31} + \left(57 a + 25\right)\cdot 67^{32} + \left(60 a + 48\right)\cdot 67^{33} + \left(47 a + 54\right)\cdot 67^{34} + \left(52 a + 66\right)\cdot 67^{35} + \left(51 a + 41\right)\cdot 67^{36} + \left(37 a + 55\right)\cdot 67^{37} + \left(5 a + 62\right)\cdot 67^{38} + \left(10 a + 27\right)\cdot 67^{39} + \left(2 a + 41\right)\cdot 67^{40} + \left(31 a + 26\right)\cdot 67^{41} + \left(57 a + 66\right)\cdot 67^{42} + \left(28 a + 38\right)\cdot 67^{43} + \left(10 a + 60\right)\cdot 67^{44} + \left(10 a + 30\right)\cdot 67^{45} + \left(32 a + 1\right)\cdot 67^{46} + \left(44 a + 45\right)\cdot 67^{47} + \left(39 a + 37\right)\cdot 67^{48} + \left(49 a + 52\right)\cdot 67^{49} + \left(35 a + 19\right)\cdot 67^{50} + \left(21 a + 65\right)\cdot 67^{51} + \left(11 a + 52\right)\cdot 67^{52} + \left(13 a + 46\right)\cdot 67^{53} + \left(18 a + 19\right)\cdot 67^{54} + \left(60 a + 22\right)\cdot 67^{55} + 45 a\cdot 67^{56} + \left(15 a + 64\right)\cdot 67^{57} + \left(19 a + 46\right)\cdot 67^{58} + \left(21 a + 1\right)\cdot 67^{59} + \left(27 a + 4\right)\cdot 67^{60} + \left(24 a + 39\right)\cdot 67^{61} + \left(19 a + 58\right)\cdot 67^{62} + \left(36 a + 44\right)\cdot 67^{63} + \left(5 a + 4\right)\cdot 67^{64} + \left(53 a + 14\right)\cdot 67^{65} + \left(43 a + 38\right)\cdot 67^{66} + \left(13 a + 11\right)\cdot 67^{67} + \left(40 a + 24\right)\cdot 67^{68} + \left(56 a + 49\right)\cdot 67^{69} + \left(26 a + 52\right)\cdot 67^{70} + \left(64 a + 48\right)\cdot 67^{71} + \left(48 a + 44\right)\cdot 67^{72} + \left(31 a + 33\right)\cdot 67^{73} + \left(30 a + 46\right)\cdot 67^{74} + \left(12 a + 45\right)\cdot 67^{75} + \left(18 a + 10\right)\cdot 67^{76} + \left(25 a + 17\right)\cdot 67^{77} + \left(23 a + 10\right)\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 13 a + 18 + \left(48 a + 12\right)\cdot 67 + \left(24 a + 25\right)\cdot 67^{2} + \left(23 a + 58\right)\cdot 67^{3} + \left(39 a + 36\right)\cdot 67^{4} + \left(43 a + 62\right)\cdot 67^{5} + \left(34 a + 22\right)\cdot 67^{6} + \left(13 a + 3\right)\cdot 67^{7} + \left(26 a + 59\right)\cdot 67^{8} + \left(55 a + 32\right)\cdot 67^{9} + \left(22 a + 48\right)\cdot 67^{10} + \left(48 a + 13\right)\cdot 67^{11} + \left(33 a + 46\right)\cdot 67^{12} + \left(41 a + 9\right)\cdot 67^{13} + \left(55 a + 34\right)\cdot 67^{14} + \left(19 a + 45\right)\cdot 67^{15} + \left(58 a + 57\right)\cdot 67^{16} + \left(27 a + 42\right)\cdot 67^{17} + \left(41 a + 28\right)\cdot 67^{18} + \left(36 a + 43\right)\cdot 67^{19} + \left(56 a + 21\right)\cdot 67^{20} + 28 a\cdot 67^{21} + \left(40 a + 16\right)\cdot 67^{22} + \left(50 a + 7\right)\cdot 67^{23} + \left(27 a + 47\right)\cdot 67^{24} + \left(52 a + 12\right)\cdot 67^{25} + \left(14 a + 57\right)\cdot 67^{26} + \left(14 a + 15\right)\cdot 67^{27} + \left(37 a + 23\right)\cdot 67^{28} + \left(12 a + 63\right)\cdot 67^{29} + \left(60 a + 57\right)\cdot 67^{30} + \left(18 a + 17\right)\cdot 67^{31} + \left(13 a + 17\right)\cdot 67^{32} + \left(14 a + 14\right)\cdot 67^{33} + \left(6 a + 34\right)\cdot 67^{34} + \left(52 a + 29\right)\cdot 67^{35} + \left(26 a + 37\right)\cdot 67^{36} + \left(3 a + 21\right)\cdot 67^{37} + \left(23 a + 42\right)\cdot 67^{38} + \left(46 a + 58\right)\cdot 67^{39} + \left(11 a + 24\right)\cdot 67^{40} + \left(66 a + 59\right)\cdot 67^{41} + \left(26 a + 37\right)\cdot 67^{42} + \left(34 a + 53\right)\cdot 67^{43} + \left(20 a + 19\right)\cdot 67^{44} + \left(36 a + 32\right)\cdot 67^{45} + \left(56 a + 5\right)\cdot 67^{46} + \left(24 a + 46\right)\cdot 67^{47} + \left(10 a + 32\right)\cdot 67^{49} + \left(48 a + 44\right)\cdot 67^{50} + \left(36 a + 39\right)\cdot 67^{51} + \left(48 a + 40\right)\cdot 67^{52} + \left(25 a + 11\right)\cdot 67^{53} + \left(16 a + 16\right)\cdot 67^{54} + \left(50 a + 28\right)\cdot 67^{55} + \left(52 a + 52\right)\cdot 67^{56} + \left(29 a + 48\right)\cdot 67^{57} + \left(42 a + 36\right)\cdot 67^{58} + \left(20 a + 2\right)\cdot 67^{59} + \left(34 a + 46\right)\cdot 67^{60} + \left(32 a + 54\right)\cdot 67^{61} + 20 a\cdot 67^{62} + \left(11 a + 26\right)\cdot 67^{63} + \left(35 a + 55\right)\cdot 67^{64} + \left(22 a + 63\right)\cdot 67^{65} + \left(45 a + 39\right)\cdot 67^{66} + \left(65 a + 50\right)\cdot 67^{67} + \left(34 a + 19\right)\cdot 67^{68} + \left(53 a + 36\right)\cdot 67^{69} + \left(59 a + 6\right)\cdot 67^{70} + \left(25 a + 7\right)\cdot 67^{71} + \left(57 a + 8\right)\cdot 67^{72} + \left(37 a + 2\right)\cdot 67^{73} + \left(19 a + 1\right)\cdot 67^{74} + \left(61 a + 65\right)\cdot 67^{75} + \left(17 a + 57\right)\cdot 67^{76} + \left(23 a + 20\right)\cdot 67^{77} + \left(57 a + 28\right)\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 55 a + 58 + \left(32 a + 6\right)\cdot 67 + \left(54 a + 52\right)\cdot 67^{2} + \left(34 a + 22\right)\cdot 67^{3} + \left(33 a + 40\right)\cdot 67^{4} + \left(35 a + 63\right)\cdot 67^{5} + \left(35 a + 40\right)\cdot 67^{6} + \left(64 a + 23\right)\cdot 67^{7} + \left(3 a + 42\right)\cdot 67^{8} + \left(18 a + 6\right)\cdot 67^{9} + \left(23 a + 22\right)\cdot 67^{10} + \left(13 a + 46\right)\cdot 67^{11} + \left(47 a + 36\right)\cdot 67^{12} + \left(8 a + 56\right)\cdot 67^{13} + \left(63 a + 39\right)\cdot 67^{14} + \left(31 a + 44\right)\cdot 67^{15} + \left(25 a + 35\right)\cdot 67^{16} + \left(52 a + 43\right)\cdot 67^{17} + \left(22 a + 20\right)\cdot 67^{18} + \left(24 a + 57\right)\cdot 67^{19} + \left(30 a + 60\right)\cdot 67^{20} + \left(62 a + 5\right)\cdot 67^{21} + \left(42 a + 12\right)\cdot 67^{22} + \left(58 a + 55\right)\cdot 67^{23} + \left(55 a + 8\right)\cdot 67^{24} + \left(48 a + 63\right)\cdot 67^{25} + \left(26 a + 28\right)\cdot 67^{26} + \left(42 a + 46\right)\cdot 67^{27} + \left(6 a + 47\right)\cdot 67^{28} + \left(51 a + 62\right)\cdot 67^{29} + \left(45 a + 65\right)\cdot 67^{30} + \left(38 a + 13\right)\cdot 67^{31} + \left(18 a + 18\right)\cdot 67^{32} + \left(7 a + 63\right)\cdot 67^{33} + \left(7 a + 11\right)\cdot 67^{34} + \left(30 a + 14\right)\cdot 67^{35} + \left(54 a + 19\right)\cdot 67^{36} + 45\cdot 67^{37} + \left(30 a + 66\right)\cdot 67^{38} + \left(12 a + 45\right)\cdot 67^{39} + \left(2 a + 42\right)\cdot 67^{40} + \left(16 a + 9\right)\cdot 67^{41} + \left(14 a + 19\right)\cdot 67^{42} + \left(37 a + 35\right)\cdot 67^{43} + \left(a + 43\right)\cdot 67^{44} + \left(30 a + 30\right)\cdot 67^{45} + \left(28 a + 7\right)\cdot 67^{46} + \left(58 a + 41\right)\cdot 67^{47} + \left(43 a + 4\right)\cdot 67^{48} + \left(63 a + 66\right)\cdot 67^{49} + \left(64 a + 25\right)\cdot 67^{50} + \left(33 a + 62\right)\cdot 67^{51} + \left(14 a + 54\right)\cdot 67^{52} + \left(41 a + 47\right)\cdot 67^{53} + \left(7 a + 35\right)\cdot 67^{54} + \left(35 a + 51\right)\cdot 67^{55} + \left(46 a + 21\right)\cdot 67^{56} + \left(49 a + 19\right)\cdot 67^{57} + \left(41 a + 39\right)\cdot 67^{58} + \left(65 a + 10\right)\cdot 67^{59} + \left(4 a + 29\right)\cdot 67^{60} + \left(39 a + 51\right)\cdot 67^{61} + \left(24 a + 26\right)\cdot 67^{62} + \left(43 a + 11\right)\cdot 67^{63} + \left(60 a + 27\right)\cdot 67^{64} + \left(51 a + 37\right)\cdot 67^{65} + \left(17 a + 50\right)\cdot 67^{66} + \left(34 a + 48\right)\cdot 67^{67} + \left(22 a + 53\right)\cdot 67^{68} + \left(43 a + 14\right)\cdot 67^{69} + \left(57 a + 33\right)\cdot 67^{70} + \left(60 a + 26\right)\cdot 67^{71} + \left(10 a + 50\right)\cdot 67^{72} + \left(51 a + 62\right)\cdot 67^{73} + \left(14 a + 41\right)\cdot 67^{74} + \left(41 a + 6\right)\cdot 67^{75} + \left(54 a + 34\right)\cdot 67^{76} + \left(9 a + 34\right)\cdot 67^{77} + \left(8 a + 48\right)\cdot 67^{78} +O\left(67^{ 79 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,3)$
$(1,3,6,7)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(1,6)(3,7)$$-3$
$9$$2$$(1,6)(2,5)(3,7)(4,8)$$1$
$12$$2$$(1,3)$$3$
$24$$2$$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$$3$
$36$$2$$(1,3)(2,4)$$1$
$36$$2$$(1,3)(2,5)(4,8)$$-1$
$16$$3$$(3,6,7)$$0$
$64$$3$$(3,6,7)(4,5,8)$$0$
$12$$4$$(1,3,6,7)$$-3$
$36$$4$$(1,3,6,7)(2,4,5,8)$$1$
$36$$4$$(1,6)(2,4,5,8)(3,7)$$1$
$72$$4$$(1,5,6,2)(3,8,7,4)$$-1$
$72$$4$$(1,3)(2,4,5,8)$$-1$
$144$$4$$(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$$1$
$48$$6$$(2,5)(3,7,6)(4,8)$$0$
$96$$6$$(1,3)(4,8,5)$$0$
$192$$6$$(1,2)(3,5,6,8,7,4)$$0$
$144$$8$$(1,4,3,5,6,8,7,2)$$-1$
$96$$12$$(2,4,5,8)(3,6,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.