# Properties

 Label 9.640726867061.16t1294.a.a Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $37^{3} \cdot 233^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $640726867061= 37^{3} \cdot 233^{3}$ Artin number field: Splitting field of 8.4.109049934277.1 defined by $f= x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 7 x^{5} + 20 x^{4} - 13 x^{3} - 46 x^{2} + 71 x - 16$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Even Determinant: 1.8621.2t1.a.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.4.109049934277.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 89 }$ to precision 86.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 89 }$: $x^{2} + 82 x + 3$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $30 a + 70 + \left(29 a + 7\right)\cdot 89 + \left(79 a + 74\right)\cdot 89^{2} + \left(44 a + 53\right)\cdot 89^{3} + \left(21 a + 70\right)\cdot 89^{4} + \left(13 a + 84\right)\cdot 89^{5} + \left(38 a + 70\right)\cdot 89^{6} + \left(71 a + 61\right)\cdot 89^{7} + \left(7 a + 16\right)\cdot 89^{8} + \left(88 a + 86\right)\cdot 89^{9} + \left(47 a + 86\right)\cdot 89^{10} + \left(60 a + 88\right)\cdot 89^{11} + \left(24 a + 42\right)\cdot 89^{12} + \left(27 a + 17\right)\cdot 89^{13} + \left(58 a + 24\right)\cdot 89^{14} + \left(40 a + 21\right)\cdot 89^{15} + \left(9 a + 7\right)\cdot 89^{16} + \left(24 a + 17\right)\cdot 89^{17} + \left(3 a + 37\right)\cdot 89^{18} + 32\cdot 89^{19} + \left(9 a + 39\right)\cdot 89^{20} + \left(19 a + 17\right)\cdot 89^{21} + \left(70 a + 8\right)\cdot 89^{22} + \left(32 a + 31\right)\cdot 89^{23} + \left(15 a + 35\right)\cdot 89^{24} + \left(52 a + 18\right)\cdot 89^{25} + \left(72 a + 28\right)\cdot 89^{26} + \left(22 a + 4\right)\cdot 89^{27} + \left(17 a + 47\right)\cdot 89^{28} + \left(53 a + 18\right)\cdot 89^{29} + \left(23 a + 30\right)\cdot 89^{30} + \left(46 a + 33\right)\cdot 89^{31} + \left(43 a + 3\right)\cdot 89^{32} + \left(44 a + 23\right)\cdot 89^{33} + \left(86 a + 42\right)\cdot 89^{34} + 31\cdot 89^{35} + \left(16 a + 78\right)\cdot 89^{36} + \left(4 a + 87\right)\cdot 89^{37} + \left(62 a + 6\right)\cdot 89^{38} + \left(86 a + 82\right)\cdot 89^{39} + \left(82 a + 16\right)\cdot 89^{40} + \left(34 a + 22\right)\cdot 89^{41} + \left(11 a + 15\right)\cdot 89^{42} + \left(28 a + 3\right)\cdot 89^{43} + \left(68 a + 61\right)\cdot 89^{44} + \left(48 a + 14\right)\cdot 89^{45} + \left(18 a + 60\right)\cdot 89^{46} + \left(18 a + 26\right)\cdot 89^{47} + \left(38 a + 84\right)\cdot 89^{48} + \left(55 a + 58\right)\cdot 89^{49} + \left(76 a + 34\right)\cdot 89^{50} + \left(38 a + 8\right)\cdot 89^{51} + \left(76 a + 4\right)\cdot 89^{52} + \left(53 a + 25\right)\cdot 89^{53} + \left(73 a + 15\right)\cdot 89^{54} + \left(53 a + 35\right)\cdot 89^{55} + \left(60 a + 72\right)\cdot 89^{56} + \left(55 a + 38\right)\cdot 89^{57} + \left(3 a + 37\right)\cdot 89^{58} + \left(40 a + 24\right)\cdot 89^{59} + \left(28 a + 78\right)\cdot 89^{60} + \left(43 a + 14\right)\cdot 89^{61} + \left(21 a + 36\right)\cdot 89^{62} + \left(80 a + 30\right)\cdot 89^{63} + \left(5 a + 60\right)\cdot 89^{64} + \left(72 a + 69\right)\cdot 89^{65} + \left(75 a + 29\right)\cdot 89^{66} + \left(39 a + 70\right)\cdot 89^{67} + \left(30 a + 82\right)\cdot 89^{68} + \left(72 a + 85\right)\cdot 89^{69} + \left(59 a + 46\right)\cdot 89^{70} + \left(7 a + 41\right)\cdot 89^{71} + \left(60 a + 18\right)\cdot 89^{72} + \left(26 a + 18\right)\cdot 89^{73} + \left(78 a + 24\right)\cdot 89^{74} + \left(44 a + 67\right)\cdot 89^{75} + \left(61 a + 29\right)\cdot 89^{76} + \left(7 a + 16\right)\cdot 89^{77} + \left(73 a + 16\right)\cdot 89^{78} + \left(82 a + 79\right)\cdot 89^{79} + \left(24 a + 13\right)\cdot 89^{80} + \left(38 a + 64\right)\cdot 89^{81} + \left(68 a + 33\right)\cdot 89^{82} + \left(56 a + 42\right)\cdot 89^{83} + \left(59 a + 48\right)\cdot 89^{84} + \left(17 a + 17\right)\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $30 a + 83 + \left(32 a + 85\right)\cdot 89 + \left(46 a + 18\right)\cdot 89^{2} + \left(60 a + 4\right)\cdot 89^{3} + \left(87 a + 43\right)\cdot 89^{4} + \left(46 a + 38\right)\cdot 89^{5} + \left(21 a + 64\right)\cdot 89^{6} + \left(25 a + 47\right)\cdot 89^{7} + \left(36 a + 85\right)\cdot 89^{8} + \left(76 a + 1\right)\cdot 89^{9} + \left(21 a + 80\right)\cdot 89^{10} + \left(45 a + 81\right)\cdot 89^{11} + \left(13 a + 32\right)\cdot 89^{12} + \left(27 a + 62\right)\cdot 89^{13} + \left(46 a + 37\right)\cdot 89^{14} + \left(38 a + 86\right)\cdot 89^{15} + \left(77 a + 62\right)\cdot 89^{16} + \left(17 a + 41\right)\cdot 89^{17} + \left(24 a + 86\right)\cdot 89^{18} + \left(39 a + 58\right)\cdot 89^{19} + \left(85 a + 65\right)\cdot 89^{20} + \left(65 a + 54\right)\cdot 89^{21} + \left(56 a + 32\right)\cdot 89^{22} + \left(86 a + 19\right)\cdot 89^{23} + \left(14 a + 19\right)\cdot 89^{24} + \left(88 a + 2\right)\cdot 89^{25} + \left(42 a + 4\right)\cdot 89^{26} + \left(75 a + 2\right)\cdot 89^{27} + \left(22 a + 76\right)\cdot 89^{28} + \left(15 a + 18\right)\cdot 89^{29} + \left(84 a + 58\right)\cdot 89^{30} + \left(49 a + 80\right)\cdot 89^{31} + \left(83 a + 25\right)\cdot 89^{32} + \left(57 a + 58\right)\cdot 89^{33} + \left(47 a + 81\right)\cdot 89^{34} + \left(66 a + 55\right)\cdot 89^{35} + \left(30 a + 7\right)\cdot 89^{36} + \left(41 a + 58\right)\cdot 89^{37} + \left(68 a + 2\right)\cdot 89^{38} + \left(45 a + 60\right)\cdot 89^{39} + \left(22 a + 42\right)\cdot 89^{40} + \left(30 a + 70\right)\cdot 89^{41} + \left(83 a + 40\right)\cdot 89^{42} + \left(13 a + 25\right)\cdot 89^{43} + \left(40 a + 59\right)\cdot 89^{44} + \left(46 a + 81\right)\cdot 89^{45} + \left(70 a + 76\right)\cdot 89^{46} + \left(78 a + 30\right)\cdot 89^{47} + 73\cdot 89^{48} + \left(19 a + 72\right)\cdot 89^{49} + \left(72 a + 60\right)\cdot 89^{50} + \left(20 a + 83\right)\cdot 89^{51} + \left(9 a + 36\right)\cdot 89^{52} + \left(3 a + 45\right)\cdot 89^{53} + \left(43 a + 85\right)\cdot 89^{54} + \left(5 a + 11\right)\cdot 89^{55} + \left(83 a + 34\right)\cdot 89^{56} + \left(68 a + 81\right)\cdot 89^{57} + \left(25 a + 42\right)\cdot 89^{58} + 71 a\cdot 89^{59} + \left(49 a + 11\right)\cdot 89^{60} + \left(4 a + 76\right)\cdot 89^{61} + \left(6 a + 68\right)\cdot 89^{62} + \left(77 a + 48\right)\cdot 89^{63} + \left(85 a + 31\right)\cdot 89^{64} + \left(86 a + 60\right)\cdot 89^{65} + \left(42 a + 49\right)\cdot 89^{66} + \left(81 a + 67\right)\cdot 89^{67} + \left(54 a + 80\right)\cdot 89^{68} + \left(21 a + 85\right)\cdot 89^{69} + \left(55 a + 11\right)\cdot 89^{70} + \left(85 a + 32\right)\cdot 89^{71} + \left(51 a + 14\right)\cdot 89^{72} + \left(79 a + 9\right)\cdot 89^{73} + \left(88 a + 54\right)\cdot 89^{74} + \left(62 a + 54\right)\cdot 89^{75} + \left(51 a + 67\right)\cdot 89^{76} + \left(48 a + 18\right)\cdot 89^{77} + \left(80 a + 49\right)\cdot 89^{78} + \left(4 a + 37\right)\cdot 89^{79} + \left(40 a + 9\right)\cdot 89^{80} + \left(84 a + 86\right)\cdot 89^{81} + \left(13 a + 56\right)\cdot 89^{82} + 45 a\cdot 89^{83} + \left(86 a + 66\right)\cdot 89^{84} + \left(56 a + 31\right)\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $59 a + 26 + \left(36 a + 9\right)\cdot 89 + \left(21 a + 20\right)\cdot 89^{2} + \left(51 a + 26\right)\cdot 89^{3} + \left(55 a + 51\right)\cdot 89^{4} + \left(18 a + 77\right)\cdot 89^{5} + \left(19 a + 2\right)\cdot 89^{6} + \left(23 a + 6\right)\cdot 89^{7} + \left(76 a + 4\right)\cdot 89^{8} + \left(54 a + 54\right)\cdot 89^{9} + \left(51 a + 78\right)\cdot 89^{10} + \left(10 a + 2\right)\cdot 89^{11} + \left(21 a + 24\right)\cdot 89^{12} + \left(41 a + 83\right)\cdot 89^{13} + \left(78 a + 33\right)\cdot 89^{14} + \left(41 a + 15\right)\cdot 89^{15} + \left(28 a + 24\right)\cdot 89^{16} + \left(46 a + 5\right)\cdot 89^{17} + 80 a\cdot 89^{18} + \left(44 a + 82\right)\cdot 89^{19} + \left(42 a + 42\right)\cdot 89^{20} + \left(74 a + 80\right)\cdot 89^{21} + \left(54 a + 57\right)\cdot 89^{22} + \left(42 a + 85\right)\cdot 89^{23} + \left(53 a + 63\right)\cdot 89^{24} + \left(84 a + 85\right)\cdot 89^{25} + \left(79 a + 8\right)\cdot 89^{26} + \left(49 a + 14\right)\cdot 89^{27} + \left(64 a + 65\right)\cdot 89^{28} + \left(5 a + 78\right)\cdot 89^{29} + \left(13 a + 72\right)\cdot 89^{30} + \left(17 a + 47\right)\cdot 89^{31} + \left(11 a + 68\right)\cdot 89^{32} + \left(20 a + 76\right)\cdot 89^{33} + \left(67 a + 75\right)\cdot 89^{34} + \left(36 a + 28\right)\cdot 89^{35} + \left(58 a + 60\right)\cdot 89^{36} + \left(28 a + 14\right)\cdot 89^{37} + \left(67 a + 21\right)\cdot 89^{38} + \left(78 a + 31\right)\cdot 89^{39} + \left(23 a + 53\right)\cdot 89^{40} + \left(48 a + 13\right)\cdot 89^{41} + \left(25 a + 82\right)\cdot 89^{42} + \left(70 a + 54\right)\cdot 89^{43} + \left(41 a + 17\right)\cdot 89^{44} + \left(47 a + 17\right)\cdot 89^{45} + \left(63 a + 59\right)\cdot 89^{46} + \left(73 a + 86\right)\cdot 89^{47} + \left(24 a + 58\right)\cdot 89^{48} + \left(24 a + 66\right)\cdot 89^{49} + \left(82 a + 13\right)\cdot 89^{50} + 21\cdot 89^{51} + \left(47 a + 23\right)\cdot 89^{52} + \left(19 a + 88\right)\cdot 89^{53} + \left(54 a + 67\right)\cdot 89^{54} + \left(49 a + 66\right)\cdot 89^{55} + \left(67 a + 11\right)\cdot 89^{56} + \left(47 a + 1\right)\cdot 89^{57} + \left(17 a + 19\right)\cdot 89^{58} + \left(86 a + 29\right)\cdot 89^{59} + \left(17 a + 6\right)\cdot 89^{60} + \left(50 a + 70\right)\cdot 89^{61} + \left(10 a + 54\right)\cdot 89^{62} + \left(21 a + 2\right)\cdot 89^{63} + \left(10 a + 43\right)\cdot 89^{64} + \left(4 a + 65\right)\cdot 89^{65} + \left(69 a + 31\right)\cdot 89^{66} + \left(83 a + 48\right)\cdot 89^{67} + \left(37 a + 52\right)\cdot 89^{68} + \left(53 a + 64\right)\cdot 89^{69} + \left(87 a + 85\right)\cdot 89^{70} + \left(31 a + 34\right)\cdot 89^{71} + \left(35 a + 82\right)\cdot 89^{72} + \left(66 a + 14\right)\cdot 89^{73} + \left(56 a + 67\right)\cdot 89^{74} + \left(8 a + 78\right)\cdot 89^{75} + \left(85 a + 28\right)\cdot 89^{76} + \left(80 a + 79\right)\cdot 89^{77} + \left(8 a + 49\right)\cdot 89^{78} + \left(84 a + 80\right)\cdot 89^{79} + \left(48 a + 17\right)\cdot 89^{80} + \left(4 a + 14\right)\cdot 89^{81} + \left(75 a + 70\right)\cdot 89^{82} + \left(43 a + 35\right)\cdot 89^{83} + \left(2 a + 3\right)\cdot 89^{84} + \left(32 a + 77\right)\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $88 + 79\cdot 89 + 47\cdot 89^{2} + 38\cdot 89^{3} + 20\cdot 89^{4} + 47\cdot 89^{5} + 35\cdot 89^{6} + 77\cdot 89^{7} + 47\cdot 89^{8} + 17\cdot 89^{9} + 8\cdot 89^{10} + 4\cdot 89^{11} + 10\cdot 89^{12} + 70\cdot 89^{13} + 77\cdot 89^{14} + 27\cdot 89^{15} + 7\cdot 89^{17} + 76\cdot 89^{18} + 79\cdot 89^{19} + 27\cdot 89^{20} + 52\cdot 89^{21} + 60\cdot 89^{22} + 60\cdot 89^{23} + 24\cdot 89^{24} + 84\cdot 89^{25} + 45\cdot 89^{26} + 83\cdot 89^{27} + 65\cdot 89^{28} + 34\cdot 89^{29} + 47\cdot 89^{30} + 33\cdot 89^{31} + 40\cdot 89^{32} + 4\cdot 89^{33} + 10\cdot 89^{34} + 56\cdot 89^{35} + 57\cdot 89^{36} + 63\cdot 89^{37} + 39\cdot 89^{38} + 20\cdot 89^{39} + 85\cdot 89^{40} + 67\cdot 89^{41} + 39\cdot 89^{42} + 51\cdot 89^{43} + 72\cdot 89^{44} + 23\cdot 89^{45} + 53\cdot 89^{46} + 22\cdot 89^{47} + 63\cdot 89^{48} + 88\cdot 89^{49} + 54\cdot 89^{50} + 46\cdot 89^{51} + 26\cdot 89^{52} + 45\cdot 89^{53} + 4\cdot 89^{54} + 47\cdot 89^{55} + 9\cdot 89^{56} + 2\cdot 89^{57} + 45\cdot 89^{58} + 5\cdot 89^{59} + 83\cdot 89^{60} + 40\cdot 89^{61} + 73\cdot 89^{62} + 9\cdot 89^{63} + 47\cdot 89^{64} + 30\cdot 89^{65} + 14\cdot 89^{66} + 70\cdot 89^{67} + 54\cdot 89^{68} + 25\cdot 89^{69} + 20\cdot 89^{70} + 67\cdot 89^{71} + 78\cdot 89^{72} + 12\cdot 89^{73} + 53\cdot 89^{74} + 76\cdot 89^{75} + 56\cdot 89^{76} + 42\cdot 89^{77} + 56\cdot 89^{78} + 36\cdot 89^{79} + 14\cdot 89^{80} + 69\cdot 89^{81} + 69\cdot 89^{82} + 76\cdot 89^{83} + 25\cdot 89^{84} + 45\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $8 + 16\cdot 89 + 3\cdot 89^{2} + 38\cdot 89^{3} + 39\cdot 89^{4} + 44\cdot 89^{5} + 57\cdot 89^{6} + 72\cdot 89^{7} + 77\cdot 89^{8} + 52\cdot 89^{9} + 86\cdot 89^{10} + 10\cdot 89^{11} + 14\cdot 89^{12} + 67\cdot 89^{13} + 42\cdot 89^{14} + 11\cdot 89^{15} + 65\cdot 89^{16} + 43\cdot 89^{17} + 62\cdot 89^{18} + 88\cdot 89^{19} + 82\cdot 89^{20} + 84\cdot 89^{21} + 9\cdot 89^{22} + 46\cdot 89^{23} + 22\cdot 89^{24} + 81\cdot 89^{25} + 46\cdot 89^{26} + 38\cdot 89^{27} + 23\cdot 89^{28} + 39\cdot 89^{29} + 40\cdot 89^{30} + 84\cdot 89^{31} + 87\cdot 89^{32} + 38\cdot 89^{33} + 4\cdot 89^{34} + 16\cdot 89^{35} + 81\cdot 89^{36} + 85\cdot 89^{37} + 64\cdot 89^{38} + 62\cdot 89^{39} + 51\cdot 89^{40} + 29\cdot 89^{41} + 4\cdot 89^{42} + 82\cdot 89^{43} + 39\cdot 89^{44} + 79\cdot 89^{45} + 23\cdot 89^{46} + 29\cdot 89^{47} + 3\cdot 89^{48} + 48\cdot 89^{49} + 59\cdot 89^{50} + 12\cdot 89^{51} + 30\cdot 89^{52} + 15\cdot 89^{53} + 6\cdot 89^{54} + 50\cdot 89^{55} + 55\cdot 89^{57} + 30\cdot 89^{58} + 20\cdot 89^{59} + 66\cdot 89^{60} + 20\cdot 89^{61} + 20\cdot 89^{62} + 16\cdot 89^{63} + 5\cdot 89^{64} + 56\cdot 89^{65} + 2\cdot 89^{66} + 88\cdot 89^{67} + 84\cdot 89^{68} + 57\cdot 89^{69} + 48\cdot 89^{70} + 35\cdot 89^{71} + 63\cdot 89^{72} + 78\cdot 89^{73} + 38\cdot 89^{74} + 32\cdot 89^{75} + 56\cdot 89^{76} + 80\cdot 89^{77} + 84\cdot 89^{78} + 9\cdot 89^{79} + 44\cdot 89^{80} + 4\cdot 89^{81} + 45\cdot 89^{82} + 43\cdot 89^{83} + 50\cdot 89^{84} + 33\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $59 a + 13 + \left(39 a + 32\right)\cdot 89 + \left(45 a + 3\right)\cdot 89^{2} + \left(67 a + 4\right)\cdot 89^{3} + \left(40 a + 82\right)\cdot 89^{4} + \left(29 a + 87\right)\cdot 89^{5} + \left(6 a + 15\right)\cdot 89^{6} + \left(55 a + 39\right)\cdot 89^{7} + \left(19 a + 40\right)\cdot 89^{8} + \left(17 a + 57\right)\cdot 89^{9} + \left(70 a + 8\right)\cdot 89^{10} + \left(11 a + 4\right)\cdot 89^{11} + \left(38 a + 13\right)\cdot 89^{12} + \left(45 a + 65\right)\cdot 89^{13} + \left(57 a + 66\right)\cdot 89^{14} + \left(62 a + 30\right)\cdot 89^{15} + \left(15 a + 5\right)\cdot 89^{16} + \left(17 a + 53\right)\cdot 89^{17} + \left(18 a + 19\right)\cdot 89^{18} + \left(33 a + 60\right)\cdot 89^{19} + \left(76 a + 58\right)\cdot 89^{20} + \left(22 a + 77\right)\cdot 89^{21} + \left(74 a + 9\right)\cdot 89^{22} + \left(21 a + 18\right)\cdot 89^{23} + \left(80 a + 39\right)\cdot 89^{24} + \left(34 a + 25\right)\cdot 89^{25} + \left(40 a + 2\right)\cdot 89^{26} + 36 a\cdot 89^{27} + 17\cdot 89^{28} + \left(84 a + 35\right)\cdot 89^{29} + \left(76 a + 67\right)\cdot 89^{30} + \left(68 a + 73\right)\cdot 89^{31} + \left(7 a + 78\right)\cdot 89^{32} + \left(45 a + 45\right)\cdot 89^{33} + \left(28 a + 71\right)\cdot 89^{34} + \left(14 a + 83\right)\cdot 89^{35} + \left(47 a + 46\right)\cdot 89^{36} + 77\cdot 89^{37} + \left(48 a + 8\right)\cdot 89^{38} + \left(60 a + 48\right)\cdot 89^{39} + \left(74 a + 17\right)\cdot 89^{40} + \left(86 a + 88\right)\cdot 89^{41} + \left(58 a + 66\right)\cdot 89^{42} + \left(5 a + 55\right)\cdot 89^{43} + \left(48 a + 34\right)\cdot 89^{44} + \left(81 a + 58\right)\cdot 89^{45} + \left(57 a + 27\right)\cdot 89^{46} + \left(54 a + 46\right)\cdot 89^{47} + \left(32 a + 35\right)\cdot 89^{48} + \left(79 a + 25\right)\cdot 89^{49} + \left(45 a + 80\right)\cdot 89^{50} + \left(5 a + 30\right)\cdot 89^{51} + \left(87 a + 60\right)\cdot 89^{52} + \left(29 a + 55\right)\cdot 89^{53} + \left(73 a + 60\right)\cdot 89^{54} + \left(81 a + 16\right)\cdot 89^{55} + \left(80 a + 8\right)\cdot 89^{56} + \left(84 a + 54\right)\cdot 89^{57} + \left(31 a + 18\right)\cdot 89^{58} + \left(36 a + 44\right)\cdot 89^{59} + \left(52 a + 58\right)\cdot 89^{60} + \left(2 a + 68\right)\cdot 89^{61} + \left(39 a + 4\right)\cdot 89^{62} + \left(63 a + 77\right)\cdot 89^{63} + \left(11 a + 78\right)\cdot 89^{64} + \left(48 a + 82\right)\cdot 89^{65} + \left(61 a + 21\right)\cdot 89^{66} + \left(23 a + 23\right)\cdot 89^{67} + \left(23 a + 68\right)\cdot 89^{68} + \left(20 a + 73\right)\cdot 89^{69} + \left(86 a + 49\right)\cdot 89^{70} + \left(47 a + 88\right)\cdot 89^{71} + \left(49 a + 54\right)\cdot 89^{72} + \left(48 a + 76\right)\cdot 89^{73} + \left(7 a + 82\right)\cdot 89^{74} + \left(43 a + 47\right)\cdot 89^{75} + \left(39 a + 43\right)\cdot 89^{76} + \left(38 a + 5\right)\cdot 89^{77} + \left(18 a + 21\right)\cdot 89^{78} + \left(6 a + 52\right)\cdot 89^{79} + \left(64 a + 16\right)\cdot 89^{80} + \left(50 a + 40\right)\cdot 89^{81} + \left(20 a + 29\right)\cdot 89^{82} + \left(32 a + 15\right)\cdot 89^{83} + \left(29 a + 53\right)\cdot 89^{84} + \left(71 a + 81\right)\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $38 a + 80 + \left(15 a + 69\right)\cdot 89 + \left(50 a + 15\right)\cdot 89^{2} + \left(44 a + 47\right)\cdot 89^{3} + \left(18 a + 69\right)\cdot 89^{4} + \left(14 a + 38\right)\cdot 89^{5} + \left(21 a + 24\right)\cdot 89^{6} + \left(49 a + 60\right)\cdot 89^{7} + \left(42 a + 42\right)\cdot 89^{8} + \left(75 a + 15\right)\cdot 89^{9} + \left(70 a + 4\right)\cdot 89^{10} + \left(55 a + 16\right)\cdot 89^{11} + \left(33 a + 73\right)\cdot 89^{12} + \left(71 a + 29\right)\cdot 89^{13} + \left(70 a + 15\right)\cdot 89^{14} + \left(83 a + 85\right)\cdot 89^{15} + \left(22 a + 77\right)\cdot 89^{16} + \left(83 a + 6\right)\cdot 89^{17} + \left(8 a + 69\right)\cdot 89^{18} + \left(88 a + 9\right)\cdot 89^{19} + \left(14 a + 48\right)\cdot 89^{20} + \left(22 a + 9\right)\cdot 89^{21} + \left(68 a + 56\right)\cdot 89^{22} + \left(14 a + 30\right)\cdot 89^{23} + \left(18 a + 51\right)\cdot 89^{24} + \left(85 a + 18\right)\cdot 89^{25} + \left(62 a + 54\right)\cdot 89^{26} + \left(76 a + 41\right)\cdot 89^{27} + \left(20 a + 61\right)\cdot 89^{28} + \left(19 a + 49\right)\cdot 89^{29} + \left(46 a + 53\right)\cdot 89^{30} + \left(31 a + 6\right)\cdot 89^{31} + \left(75 a + 39\right)\cdot 89^{32} + \left(62 a + 41\right)\cdot 89^{33} + \left(35 a + 47\right)\cdot 89^{34} + \left(12 a + 10\right)\cdot 89^{35} + \left(31 a + 5\right)\cdot 89^{36} + \left(2 a + 78\right)\cdot 89^{37} + \left(85 a + 7\right)\cdot 89^{38} + \left(87 a + 44\right)\cdot 89^{39} + \left(83 a + 80\right)\cdot 89^{40} + \left(38 a + 54\right)\cdot 89^{41} + \left(42 a + 20\right)\cdot 89^{42} + \left(85 a + 53\right)\cdot 89^{43} + \left(49 a + 56\right)\cdot 89^{44} + \left(27 a + 88\right)\cdot 89^{45} + \left(80 a + 59\right)\cdot 89^{46} + \left(49 a + 37\right)\cdot 89^{47} + \left(20 a + 40\right)\cdot 89^{48} + \left(22 a + 84\right)\cdot 89^{49} + \left(55 a + 52\right)\cdot 89^{50} + \left(9 a + 43\right)\cdot 89^{51} + \left(6 a + 38\right)\cdot 89^{52} + \left(63 a + 54\right)\cdot 89^{53} + \left(40 a + 86\right)\cdot 89^{54} + \left(8 a + 24\right)\cdot 89^{55} + \left(73 a + 43\right)\cdot 89^{56} + \left(56 a + 48\right)\cdot 89^{57} + \left(47 a + 88\right)\cdot 89^{58} + \left(81 a + 57\right)\cdot 89^{59} + \left(78 a + 12\right)\cdot 89^{60} + \left(22 a + 33\right)\cdot 89^{61} + \left(72 a + 40\right)\cdot 89^{62} + \left(62 a + 75\right)\cdot 89^{63} + \left(84 a + 76\right)\cdot 89^{64} + \left(53 a + 19\right)\cdot 89^{65} + \left(75 a + 29\right)\cdot 89^{66} + \left(24 a + 1\right)\cdot 89^{67} + \left(49 a + 87\right)\cdot 89^{68} + \left(80 a + 61\right)\cdot 89^{69} + \left(37 a + 52\right)\cdot 89^{70} + \left(56 a + 81\right)\cdot 89^{71} + \left(39 a + 47\right)\cdot 89^{72} + \left(61 a + 58\right)\cdot 89^{73} + \left(88 a + 79\right)\cdot 89^{74} + \left(36 a + 29\right)\cdot 89^{75} + \left(80 a + 40\right)\cdot 89^{76} + \left(25 a + 30\right)\cdot 89^{77} + \left(35 a + 55\right)\cdot 89^{78} + \left(72 a + 61\right)\cdot 89^{79} + \left(84 a + 81\right)\cdot 89^{80} + \left(20 a + 7\right)\cdot 89^{81} + \left(11 a + 41\right)\cdot 89^{82} + \left(58 a + 6\right)\cdot 89^{83} + \left(29 a + 24\right)\cdot 89^{84} + \left(58 a + 23\right)\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $51 a + 79 + \left(51 a + 60\right)\cdot 89 + \left(42 a + 81\right)\cdot 89^{2} + \left(22 a + 55\right)\cdot 89^{3} + \left(51 a + 64\right)\cdot 89^{4} + \left(17 a + 20\right)\cdot 89^{5} + \left(27 a + 6\right)\cdot 89^{6} + \left(77 a + 75\right)\cdot 89^{7} + \left(73 a + 9\right)\cdot 89^{8} + \left(87 a + 44\right)\cdot 89^{9} + \left(47 a + 49\right)\cdot 89^{10} + \left(16 a + 15\right)\cdot 89^{11} + \left(29 a + 28\right)\cdot 89^{12} + \left(a + 47\right)\cdot 89^{13} + \left(4 a + 10\right)\cdot 89^{14} + \left(86 a + 81\right)\cdot 89^{15} + \left(2 a + 64\right)\cdot 89^{16} + \left(58 a + 40\right)\cdot 89^{17} + \left(7 a + 35\right)\cdot 89^{18} + \left(84 a + 53\right)\cdot 89^{19} + \left(69 a + 51\right)\cdot 89^{20} + \left(44 a + 55\right)\cdot 89^{21} + \left(31 a + 74\right)\cdot 89^{22} + \left(29 a + 9\right)\cdot 89^{23} + \left(88 a + 87\right)\cdot 89^{24} + \left(88 a + 56\right)\cdot 89^{25} + \left(2 a + 23\right)\cdot 89^{26} + \left(48 a + 12\right)\cdot 89^{27} + \left(66 a + 35\right)\cdot 89^{28} + \left(a + 56\right)\cdot 89^{29} + \left(49 a + 1\right)\cdot 89^{30} + \left(35 a + 74\right)\cdot 89^{31} + \left(63 a + 54\right)\cdot 89^{32} + \left(7 a + 36\right)\cdot 89^{33} + \left(a + 52\right)\cdot 89^{34} + \left(88 a + 8\right)\cdot 89^{35} + \left(82 a + 19\right)\cdot 89^{36} + \left(22 a + 73\right)\cdot 89^{37} + \left(50 a + 87\right)\cdot 89^{38} + \left(36 a + 10\right)\cdot 89^{39} + \left(51 a + 77\right)\cdot 89^{40} + \left(40 a + 30\right)\cdot 89^{41} + \left(65 a + 27\right)\cdot 89^{42} + \left(39 a + 11\right)\cdot 89^{43} + \left(54 a + 51\right)\cdot 89^{44} + \left(62 a + 57\right)\cdot 89^{45} + \left(14 a + 44\right)\cdot 89^{46} + \left(11 a + 54\right)\cdot 89^{47} + \left(4 a + 48\right)\cdot 89^{48} + \left(65 a + 41\right)\cdot 89^{49} + \left(10 a + 86\right)\cdot 89^{50} + \left(11 a + 10\right)\cdot 89^{51} + \left(52 a + 23\right)\cdot 89^{52} + \left(48 a + 67\right)\cdot 89^{53} + \left(13 a + 45\right)\cdot 89^{54} + \left(62 a + 72\right)\cdot 89^{55} + \left(55 a + 67\right)\cdot 89^{56} + \left(63 a + 5\right)\cdot 89^{57} + \left(34 a + 74\right)\cdot 89^{58} + \left(77 a + 48\right)\cdot 89^{59} + \left(4 a + 39\right)\cdot 89^{60} + \left(10 a + 6\right)\cdot 89^{61} + \left(33 a + 20\right)\cdot 89^{62} + \left(47 a + 65\right)\cdot 89^{63} + \left(8 a + 33\right)\cdot 89^{64} + \left(30 a + 79\right)\cdot 89^{65} + \left(57 a + 44\right)\cdot 89^{66} + \left(35 a + 2\right)\cdot 89^{67} + \left(53 a + 74\right)\cdot 89^{68} + \left(79 a + 17\right)\cdot 89^{69} + \left(2 a + 33\right)\cdot 89^{70} + \left(57 a + 37\right)\cdot 89^{71} + \left(56 a + 14\right)\cdot 89^{72} + \left(61 a + 19\right)\cdot 89^{73} + \left(36 a + 66\right)\cdot 89^{74} + \left(31 a + 26\right)\cdot 89^{75} + \left(51 a + 87\right)\cdot 89^{76} + \left(80 a + 1\right)\cdot 89^{77} + \left(52 a + 23\right)\cdot 89^{78} + \left(16 a + 87\right)\cdot 89^{79} + \left(4 a + 68\right)\cdot 89^{80} + \left(68 a + 69\right)\cdot 89^{81} + \left(77 a + 9\right)\cdot 89^{82} + \left(30 a + 46\right)\cdot 89^{83} + \left(59 a + 84\right)\cdot 89^{84} + \left(30 a + 45\right)\cdot 89^{85} +O\left(89^{ 86 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,4)$ $(1,4,5,6)$ $(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(2,7)(3,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$ $1$ $12$ $2$ $(1,4)$ $3$ $24$ $2$ $(1,2)(3,4)(5,7)(6,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,4)(2,3)$ $1$ $36$ $2$ $(1,4)(2,7)(3,8)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,5,6)$ $0$ $64$ $3$ $(1,5,6)(3,7,8)$ $0$ $12$ $4$ $(2,3,7,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,4,5,6)(2,3,7,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,4,5,6)(2,7)(3,8)$ $1$ $72$ $4$ $(1,2,5,7)(3,6,8,4)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,4)(2,3,7,8)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,3,4,2)(5,7)(6,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,6,5)(2,7)(3,8)$ $0$ $96$ $6$ $(1,4)(3,8,7)$ $0$ $192$ $6$ $(1,3,5,7,6,8)(2,4)$ $0$ $144$ $8$ $(1,2,4,3,5,7,6,8)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,5,6)(2,3,7,8)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.