# Properties

 Label 9.2e9_857e3.16t1294.1c1 Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{9} \cdot 857^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $322264470016= 2^{9} \cdot 857^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 29 x^{5} + 31 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 29 x + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.2e3_857.2t1.2c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 123.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $x^{3} + x + 40$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $21 a + 10 + \left(22 a^{2} + a + 39\right)\cdot 43 + \left(26 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(39 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 43^{5} + \left(24 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 43^{8} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 43^{9} + \left(42 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 43^{10} + \left(21 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 43^{11} + \left(38 a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 43^{12} + \left(38 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 43^{13} + \left(10 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 43^{14} + \left(15 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 43^{15} + \left(29 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 43^{16} + \left(8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 43^{17} + \left(19 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 43^{18} + \left(33 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 43^{19} + \left(39 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 43^{20} + \left(38 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 43^{21} + \left(31 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 43^{22} + \left(17 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 43^{23} + \left(24 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 43^{24} + \left(30 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 43^{25} + \left(8 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 43^{26} + \left(5 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 43^{27} + \left(29 a^{2} + 23 a + 2\right)\cdot 43^{28} + \left(39 a^{2} + 37 a + 12\right)\cdot 43^{29} + \left(37 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 43^{30} + \left(38 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 43^{31} + \left(6 a^{2} + 29 a + 2\right)\cdot 43^{32} + \left(19 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 43^{33} + \left(37 a^{2} + 40 a\right)\cdot 43^{34} + \left(25 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 43^{35} + \left(16 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 43^{36} + \left(40 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 43^{37} + \left(27 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 43^{38} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 43^{39} + \left(14 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 43^{40} + \left(8 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 43^{41} + \left(40 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 43^{42} + \left(15 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 43^{43} + \left(11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 43^{44} + \left(2 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43^{45} + \left(18 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 43^{46} + \left(17 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 43^{47} + \left(25 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 43^{48} + \left(14 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{49} + \left(35 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 43^{50} + \left(9 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 43^{51} + \left(6 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 43^{52} + \left(41 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 43^{53} + \left(18 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 43^{54} + \left(16 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 43^{55} + \left(15 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 43^{56} + \left(21 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 43^{57} + \left(20 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 43^{58} + \left(7 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 43^{59} + \left(42 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 43^{60} + \left(5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{61} + \left(31 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 43^{62} + \left(4 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 43^{63} + \left(23 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 43^{64} + \left(19 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 43^{65} + \left(34 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 43^{66} + \left(16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 43^{67} + \left(11 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 43^{68} + \left(38 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 43^{69} + \left(5 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 43^{70} + \left(30 a^{2} + 32\right)\cdot 43^{71} + \left(16 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 43^{72} + \left(6 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 43^{73} + \left(41 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 43^{74} + \left(3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 43^{75} + \left(27 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{76} + \left(38 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{77} + \left(20 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 43^{78} + \left(34 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 43^{79} + \left(6 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 43^{80} + \left(19 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 43^{81} + \left(14 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 43^{82} + \left(3 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 43^{83} + \left(31 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 43^{84} + \left(18 a^{2} + 14 a + 23\right)\cdot 43^{85} + \left(30 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 43^{86} + \left(8 a^{2} + a + 33\right)\cdot 43^{87} + \left(39 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{88} + \left(40 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 43^{89} + \left(5 a^{2} + 33 a + 7\right)\cdot 43^{90} + \left(5 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 43^{91} + \left(10 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 43^{92} + \left(36 a^{2} + a + 10\right)\cdot 43^{93} + \left(31 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 43^{94} + \left(21 a^{2} + 2 a + 41\right)\cdot 43^{95} + \left(15 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 43^{96} + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 43^{97} + \left(14 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 43^{98} + \left(5 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 43^{99} + \left(7 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{100} + \left(13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 43^{101} + \left(24 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 43^{102} + \left(32 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 43^{103} + \left(30 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 43^{104} + \left(35 a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 43^{105} + \left(33 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 43^{106} + \left(29 a^{2} + 16 a\right)\cdot 43^{107} + \left(32 a^{2} + 33 a + 22\right)\cdot 43^{108} + \left(13 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 43^{109} + \left(a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{110} + \left(9 a^{2} + 34\right)\cdot 43^{111} + \left(9 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 43^{112} + \left(19 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 43^{113} + \left(17 a^{2} + 38 a + 27\right)\cdot 43^{114} + \left(14 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 43^{115} + \left(21 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 43^{116} + \left(37 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 43^{117} + \left(9 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 43^{118} + \left(6 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 43^{119} + \left(36 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{120} + \left(8 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 43^{121} + \left(28 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $14 + 12\cdot 43 + 19\cdot 43^{2} + 29\cdot 43^{3} + 7\cdot 43^{4} + 17\cdot 43^{5} + 37\cdot 43^{6} + 43^{7} + 4\cdot 43^{8} + 5\cdot 43^{9} + 17\cdot 43^{10} + 27\cdot 43^{11} + 30\cdot 43^{12} + 28\cdot 43^{13} + 16\cdot 43^{14} + 43^{15} + 27\cdot 43^{16} + 20\cdot 43^{17} + 38\cdot 43^{18} + 43^{19} + 13\cdot 43^{20} + 35\cdot 43^{21} + 33\cdot 43^{22} + 29\cdot 43^{23} + 40\cdot 43^{24} + 35\cdot 43^{25} + 21\cdot 43^{26} + 17\cdot 43^{27} + 6\cdot 43^{28} + 23\cdot 43^{30} + 10\cdot 43^{31} + 7\cdot 43^{32} + 33\cdot 43^{33} + 30\cdot 43^{34} + 29\cdot 43^{35} + 42\cdot 43^{36} + 19\cdot 43^{37} + 37\cdot 43^{38} + 26\cdot 43^{39} + 2\cdot 43^{40} + 31\cdot 43^{41} + 5\cdot 43^{42} + 22\cdot 43^{43} + 10\cdot 43^{44} + 28\cdot 43^{45} + 39\cdot 43^{46} + 37\cdot 43^{47} + 33\cdot 43^{48} + 6\cdot 43^{49} + 19\cdot 43^{50} + 13\cdot 43^{51} + 21\cdot 43^{52} + 23\cdot 43^{53} + 41\cdot 43^{54} + 8\cdot 43^{55} + 6\cdot 43^{56} + 33\cdot 43^{57} + 4\cdot 43^{58} + 29\cdot 43^{59} + 35\cdot 43^{60} + 2\cdot 43^{61} + 39\cdot 43^{62} + 27\cdot 43^{63} + 18\cdot 43^{64} + 24\cdot 43^{65} + 2\cdot 43^{66} + 27\cdot 43^{67} + 25\cdot 43^{68} + 33\cdot 43^{69} + 8\cdot 43^{70} + 6\cdot 43^{71} + 22\cdot 43^{73} + 29\cdot 43^{74} + 36\cdot 43^{75} + 24\cdot 43^{76} + 8\cdot 43^{77} + 35\cdot 43^{78} + 6\cdot 43^{79} + 4\cdot 43^{80} + 5\cdot 43^{81} + 7\cdot 43^{82} + 3\cdot 43^{83} + 31\cdot 43^{84} + 9\cdot 43^{85} + 3\cdot 43^{86} + 2\cdot 43^{87} + 13\cdot 43^{88} + 36\cdot 43^{89} + 31\cdot 43^{90} + 32\cdot 43^{91} + 23\cdot 43^{92} + 40\cdot 43^{93} + 31\cdot 43^{94} + 3\cdot 43^{95} + 10\cdot 43^{96} + 20\cdot 43^{97} + 20\cdot 43^{98} + 10\cdot 43^{99} + 30\cdot 43^{100} + 24\cdot 43^{101} + 37\cdot 43^{102} + 3\cdot 43^{103} + 5\cdot 43^{104} + 7\cdot 43^{105} + 41\cdot 43^{106} + 14\cdot 43^{107} + 42\cdot 43^{108} + 28\cdot 43^{109} + 8\cdot 43^{110} + 42\cdot 43^{111} + 16\cdot 43^{112} + 20\cdot 43^{113} + 38\cdot 43^{114} + 40\cdot 43^{115} + 25\cdot 43^{116} + 30\cdot 43^{117} + 13\cdot 43^{118} + 42\cdot 43^{119} + 32\cdot 43^{120} + 37\cdot 43^{121} + 38\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $40 + 2\cdot 43 + 20\cdot 43^{2} + 35\cdot 43^{3} + 41\cdot 43^{4} + 17\cdot 43^{5} + 33\cdot 43^{6} + 43^{7} + 16\cdot 43^{8} + 9\cdot 43^{9} + 32\cdot 43^{10} + 9\cdot 43^{11} + 8\cdot 43^{12} + 22\cdot 43^{13} + 41\cdot 43^{14} + 26\cdot 43^{15} + 34\cdot 43^{16} + 14\cdot 43^{17} + 14\cdot 43^{18} + 27\cdot 43^{19} + 41\cdot 43^{20} + 22\cdot 43^{21} + 11\cdot 43^{22} + 15\cdot 43^{23} + 41\cdot 43^{24} + 43^{25} + 42\cdot 43^{26} + 14\cdot 43^{27} + 19\cdot 43^{28} + 4\cdot 43^{29} + 28\cdot 43^{30} + 32\cdot 43^{31} + 39\cdot 43^{33} + 4\cdot 43^{34} + 26\cdot 43^{35} + 30\cdot 43^{36} + 6\cdot 43^{37} + 34\cdot 43^{38} + 31\cdot 43^{39} + 9\cdot 43^{40} + 42\cdot 43^{41} + 38\cdot 43^{42} + 43^{43} + 38\cdot 43^{44} + 4\cdot 43^{45} + 31\cdot 43^{46} + 9\cdot 43^{47} + 15\cdot 43^{48} + 8\cdot 43^{49} + 11\cdot 43^{50} + 6\cdot 43^{51} + 22\cdot 43^{52} + 6\cdot 43^{53} + 9\cdot 43^{54} + 35\cdot 43^{55} + 23\cdot 43^{56} + 21\cdot 43^{57} + 22\cdot 43^{58} + 14\cdot 43^{59} + 24\cdot 43^{60} + 9\cdot 43^{61} + 16\cdot 43^{62} + 13\cdot 43^{63} + 2\cdot 43^{64} + 17\cdot 43^{65} + 7\cdot 43^{66} + 6\cdot 43^{67} + 33\cdot 43^{68} + 4\cdot 43^{69} + 3\cdot 43^{70} + 30\cdot 43^{71} + 7\cdot 43^{72} + 23\cdot 43^{73} + 15\cdot 43^{74} + 13\cdot 43^{75} + 4\cdot 43^{76} + 39\cdot 43^{77} + 10\cdot 43^{78} + 38\cdot 43^{79} + 2\cdot 43^{80} + 17\cdot 43^{81} + 5\cdot 43^{82} + 30\cdot 43^{83} + 21\cdot 43^{84} + 26\cdot 43^{85} + 11\cdot 43^{86} + 33\cdot 43^{87} + 30\cdot 43^{88} + 6\cdot 43^{89} + 7\cdot 43^{90} + 23\cdot 43^{91} + 34\cdot 43^{92} + 20\cdot 43^{93} + 8\cdot 43^{94} + 27\cdot 43^{95} + 25\cdot 43^{96} + 13\cdot 43^{97} + 24\cdot 43^{98} + 33\cdot 43^{99} + 22\cdot 43^{100} + 4\cdot 43^{101} + 3\cdot 43^{102} + 34\cdot 43^{103} + 27\cdot 43^{104} + 37\cdot 43^{105} + 33\cdot 43^{106} + 24\cdot 43^{107} + 25\cdot 43^{108} + 10\cdot 43^{109} + 12\cdot 43^{110} + 34\cdot 43^{111} + 42\cdot 43^{112} + 8\cdot 43^{113} + 34\cdot 43^{114} + 6\cdot 43^{115} + 33\cdot 43^{116} + 12\cdot 43^{117} + 19\cdot 43^{118} + 20\cdot 43^{119} + 22\cdot 43^{120} + 28\cdot 43^{121} + 35\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $3 a^{2} + 3 a + 12 + \left(2 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 43 + \left(14 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 43^{2} + \left(38 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(19 a^{2} + 5 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{2} + 31 a + 42\right)\cdot 43^{7} + \left(9 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a^{2} + 18 a + 34\right)\cdot 43^{9} + \left(34 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 43^{10} + \left(27 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{11} + \left(2 a^{2} + 18 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(40 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 43^{13} + \left(31 a^{2} + 31 a + 30\right)\cdot 43^{14} + \left(3 a^{2} + 32 a + 30\right)\cdot 43^{15} + \left(24 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 43^{16} + \left(41 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 43^{17} + \left(20 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 43^{18} + \left(26 a^{2} + a + 31\right)\cdot 43^{19} + \left(11 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 43^{20} + \left(9 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 43^{21} + \left(35 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 43^{22} + \left(a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 43^{23} + \left(34 a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 43^{24} + \left(21 a^{2} + 2\right)\cdot 43^{25} + \left(a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 43^{26} + \left(34 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{27} + \left(14 a^{2} + 28 a + 7\right)\cdot 43^{28} + \left(25 a^{2} + 23 a + 31\right)\cdot 43^{29} + \left(38 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{30} + \left(10 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 43^{31} + \left(35 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 43^{32} + \left(7 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 43^{33} + \left(7 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 43^{34} + \left(32 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 43^{35} + \left(3 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 43^{36} + \left(13 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 43^{37} + \left(8 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 43^{38} + \left(11 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 43^{39} + \left(a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 43^{40} + \left(14 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 43^{41} + \left(32 a^{2} + 37 a + 5\right)\cdot 43^{42} + \left(31 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{43} + \left(35 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 43^{44} + \left(3 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 43^{45} + \left(7 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 43^{46} + \left(42 a^{2} + 3 a + 29\right)\cdot 43^{47} + \left(11 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 43^{48} + \left(25 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{49} + \left(28 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 43^{50} + \left(18 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 43^{51} + \left(32 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 43^{52} + \left(25 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 43^{53} + \left(30 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 43^{54} + \left(17 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 43^{55} + \left(32 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{56} + \left(20 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 43^{57} + \left(11 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 43^{58} + \left(21 a^{2} + 30 a + 4\right)\cdot 43^{59} + \left(3 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 43^{60} + \left(3 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 43^{61} + \left(27 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 43^{62} + \left(16 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 43^{63} + \left(24 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 43^{64} + \left(29 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 43^{65} + \left(25 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 43^{66} + \left(6 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 43^{67} + \left(33 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 43^{68} + \left(36 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 43^{69} + \left(33 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 43^{70} + \left(24 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43^{71} + \left(6 a + 14\right)\cdot 43^{72} + \left(37 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 43^{73} + \left(9 a^{2} + 23 a + 25\right)\cdot 43^{74} + \left(23 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 43^{75} + \left(21 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 43^{76} + \left(7 a^{2} + 16\right)\cdot 43^{77} + \left(13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 43^{78} + \left(11 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 43^{79} + \left(23 a^{2} + 37 a + 14\right)\cdot 43^{80} + \left(6 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 43^{81} + \left(23 a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 43^{82} + \left(22 a^{2} + 37 a + 13\right)\cdot 43^{83} + \left(19 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 43^{84} + \left(2 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 43^{85} + \left(6 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 43^{86} + \left(6 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{87} + \left(38 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 43^{88} + \left(16 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{89} + \left(26 a + 18\right)\cdot 43^{90} + \left(34 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 43^{91} + \left(28 a^{2} + 11 a + 39\right)\cdot 43^{92} + \left(22 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 43^{93} + \left(11 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 43^{94} + \left(39 a^{2} + 16 a + 39\right)\cdot 43^{95} + \left(28 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 43^{96} + \left(28 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 43^{97} + \left(23 a^{2} + a + 23\right)\cdot 43^{98} + \left(21 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 43^{99} + \left(12 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 43^{100} + \left(23 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{101} + \left(22 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 43^{102} + \left(32 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 43^{103} + \left(4 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 43^{104} + \left(6 a + 40\right)\cdot 43^{105} + \left(9 a^{2} + 25 a + 20\right)\cdot 43^{106} + \left(25 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 43^{107} + \left(32 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 43^{108} + \left(26 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 43^{109} + \left(19 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 43^{110} + \left(16 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 43^{111} + \left(27 a^{2} + 40 a + 12\right)\cdot 43^{112} + \left(22 a^{2} + 8\right)\cdot 43^{113} + \left(39 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 43^{114} + \left(9 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43^{115} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 43^{116} + \left(39 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 43^{117} + \left(41 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 43^{118} + \left(3 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 43^{119} + \left(23 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 43^{120} + \left(a^{2} + 40 a + 2\right)\cdot 43^{121} + \left(33 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $40 a^{2} + 19 a + 8 + \left(18 a^{2} + 17 a + 37\right)\cdot 43 + \left(2 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 43^{3} + \left(26 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{4} + \left(26 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(5 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 43^{7} + \left(16 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 43^{8} + \left(5 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 43^{9} + \left(9 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 43^{10} + \left(36 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43^{11} + \left(a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(7 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 43^{13} + \left(40 a + 37\right)\cdot 43^{14} + \left(24 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{15} + \left(32 a^{2} + a + 12\right)\cdot 43^{16} + \left(35 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 43^{17} + \left(2 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 43^{18} + \left(26 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 43^{19} + \left(34 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 43^{20} + \left(37 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 43^{21} + \left(18 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 43^{22} + \left(23 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 43^{23} + \left(27 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 43^{24} + \left(33 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 43^{25} + \left(32 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 43^{26} + \left(3 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 43^{27} + \left(42 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 43^{28} + \left(20 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{29} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 43^{30} + \left(36 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 43^{31} + \left(a + 41\right)\cdot 43^{32} + \left(16 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 43^{33} + \left(41 a^{2} + 29 a + 17\right)\cdot 43^{34} + \left(27 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 43^{35} + \left(22 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{36} + \left(32 a^{2} + 36 a + 15\right)\cdot 43^{37} + \left(6 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 43^{38} + \left(26 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 43^{39} + \left(27 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 43^{40} + \left(20 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 43^{41} + \left(13 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 43^{42} + \left(38 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 43^{43} + \left(38 a^{2} + 36 a + 36\right)\cdot 43^{44} + \left(36 a^{2} + 41 a\right)\cdot 43^{45} + \left(17 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 43^{46} + \left(26 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 43^{47} + \left(5 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 43^{48} + \left(3 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 43^{49} + \left(22 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 43^{50} + \left(14 a^{2} + 16 a + 33\right)\cdot 43^{51} + \left(4 a^{2} + 9 a + 38\right)\cdot 43^{52} + \left(19 a^{2} + 26 a + 4\right)\cdot 43^{53} + \left(36 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 43^{54} + \left(8 a^{2} + 35 a + 2\right)\cdot 43^{55} + \left(38 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 43^{56} + \left(22 a + 18\right)\cdot 43^{57} + \left(11 a^{2} + 31 a + 34\right)\cdot 43^{58} + \left(14 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{59} + \left(40 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 43^{60} + \left(33 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 43^{61} + \left(27 a^{2} + 27 a + 34\right)\cdot 43^{62} + \left(21 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 43^{63} + \left(38 a^{2} + 2 a + 33\right)\cdot 43^{64} + \left(36 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 43^{65} + \left(25 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43^{66} + \left(19 a^{2} + 2 a + 32\right)\cdot 43^{67} + \left(41 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 43^{68} + \left(10 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 43^{69} + \left(3 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 43^{70} + \left(31 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 43^{71} + \left(25 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 43^{72} + \left(42 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 43^{73} + \left(34 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 43^{74} + \left(15 a^{2} + 30 a + 26\right)\cdot 43^{75} + \left(37 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 43^{76} + \left(39 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 43^{77} + \left(8 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 43^{78} + \left(40 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 43^{79} + \left(12 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 43^{80} + \left(17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 43^{81} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 43^{82} + \left(17 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 43^{83} + \left(35 a^{2} + 20 a + 41\right)\cdot 43^{84} + \left(21 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 43^{85} + \left(6 a^{2} + a + 31\right)\cdot 43^{86} + \left(28 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 43^{87} + \left(8 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 43^{88} + \left(28 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 43^{89} + \left(36 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 43^{90} + \left(3 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 43^{91} + \left(4 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 43^{92} + \left(27 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 43^{93} + \left(42 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 43^{94} + \left(24 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 43^{95} + \left(41 a^{2} + 31 a + 10\right)\cdot 43^{96} + \left(3 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 43^{97} + \left(5 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 43^{98} + \left(16 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 43^{99} + \left(23 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 43^{100} + \left(6 a^{2} + 40 a + 39\right)\cdot 43^{101} + \left(39 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 43^{102} + \left(20 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 43^{103} + \left(7 a^{2} + 3\right)\cdot 43^{104} + \left(7 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 43^{105} + 10 a\cdot 43^{106} + \left(31 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 43^{107} + \left(20 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 43^{108} + \left(2 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 43^{109} + \left(22 a^{2} + 32 a + 11\right)\cdot 43^{110} + \left(17 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 43^{111} + \left(6 a^{2} + 29 a + 41\right)\cdot 43^{112} + \left(a^{2} + 21 a + 36\right)\cdot 43^{113} + \left(29 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 43^{114} + \left(18 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 43^{115} + \left(18 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 43^{116} + \left(9 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 43^{117} + \left(34 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 43^{118} + \left(32 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 43^{119} + \left(26 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 43^{120} + \left(32 a^{2} + 23 a + 37\right)\cdot 43^{121} + \left(24 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $37 a^{2} + 42 a + 26 + \left(15 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 43 + \left(30 a^{2} + 21 a + 42\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a^{2} + 32 a + 31\right)\cdot 43^{5} + \left(18 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{2} + 34 a + 40\right)\cdot 43^{7} + \left(29 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 43^{8} + \left(28 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 43^{9} + \left(36 a^{2} + 28 a + 28\right)\cdot 43^{10} + \left(28 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 43^{11} + \left(27 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 43^{12} + \left(6 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 43^{13} + 32 a\cdot 43^{14} + \left(14 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 43^{15} + \left(28 a^{2} + 25 a + 21\right)\cdot 43^{16} + \left(5 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 43^{17} + \left(31 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 43^{18} + \left(40 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{19} + \left(30 a^{2} + 27 a + 35\right)\cdot 43^{20} + \left(32 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43^{21} + \left(10 a^{2} + a + 31\right)\cdot 43^{22} + \left(7 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{23} + \left(13 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 43^{24} + \left(19 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 43^{25} + \left(35 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 43^{26} + \left(19 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 43^{27} + \left(27 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 43^{28} + \left(26 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 43^{29} + \left(27 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 43^{30} + \left(30 a^{2} + 41 a + 38\right)\cdot 43^{31} + \left(37 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 43^{32} + \left(37 a^{2} + 26\right)\cdot 43^{33} + \left(35 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 43^{34} + \left(36 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 43^{35} + \left(33 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 43^{36} + \left(19 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 43^{37} + \left(3 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 43^{38} + \left(22 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 43^{39} + \left(8 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 43^{40} + \left(27 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 43^{41} + \left(5 a^{2} + 24 a + 5\right)\cdot 43^{42} + \left(14 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{43} + \left(16 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 43^{44} + \left(25 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 43^{45} + \left(16 a^{2} + 29 a + 29\right)\cdot 43^{46} + \left(35 a + 25\right)\cdot 43^{47} + \left(26 a^{2} + 33 a + 26\right)\cdot 43^{48} + \left(40 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 43^{49} + \left(28 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 43^{50} + \left(24 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 43^{51} + \left(2 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 43^{52} + \left(26 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 43^{53} + \left(34 a^{2} + 19 a + 34\right)\cdot 43^{54} + \left(25 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 43^{55} + \left(9 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 43^{56} + \left(20 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 43^{57} + \left(40 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 43^{58} + \left(10 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 43^{59} + \left(12 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 43^{60} + \left(28 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 43^{61} + \left(28 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 43^{62} + \left(16 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 43^{63} + \left(42 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 43^{64} + \left(9 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 43^{65} + \left(28 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 43^{66} + \left(22 a^{2} + 27\right)\cdot 43^{67} + \left(29 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 43^{68} + \left(18 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 43^{69} + \left(15 a^{2} + 12 a + 23\right)\cdot 43^{70} + \left(9 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 43^{71} + \left(37 a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 43^{72} + \left(38 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 43^{73} + \left(13 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{74} + \left(12 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{75} + \left(23 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 43^{76} + \left(23 a + 30\right)\cdot 43^{77} + \left(23 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 43^{78} + \left(42 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 43^{79} + \left(4 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{80} + \left(24 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 43^{81} + \left(25 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 43^{82} + \left(20 a^{2} + 39 a + 3\right)\cdot 43^{83} + \left(12 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 43^{84} + \left(30 a^{2} + 40 a + 40\right)\cdot 43^{85} + \left(8 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 43^{86} + \left(20 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 43^{87} + \left(33 a^{2} + 21 a + 40\right)\cdot 43^{88} + \left(18 a^{2} + 6 a + 38\right)\cdot 43^{89} + \left(25 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 43^{90} + \left(23 a^{2} + 13 a + 36\right)\cdot 43^{91} + \left(4 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 43^{92} + \left(9 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 43^{93} + \left(15 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 43^{94} + \left(7 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 43^{95} + \left(18 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 43^{96} + \left(38 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{97} + \left(36 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 43^{98} + \left(17 a^{2} + 6 a\right)\cdot 43^{99} + \left(6 a^{2} + 11\right)\cdot 43^{100} + \left(40 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 43^{101} + \left(31 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 43^{102} + \left(40 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 43^{103} + \left(15 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 43^{104} + \left(22 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 43^{105} + \left(23 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 43^{106} + \left(14 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 43^{107} + \left(34 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{108} + \left(32 a^{2} + 4\right)\cdot 43^{109} + \left(23 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 43^{110} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 43^{111} + \left(a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 43^{112} + \left(13 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 43^{113} + \left(15 a^{2} + 12 a + 41\right)\cdot 43^{114} + \left(18 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 43^{115} + \left(11 a^{2} + 22 a + 25\right)\cdot 43^{116} + \left(36 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{117} + \left(5 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 43^{118} + \left(21 a^{2} + 23 a + 21\right)\cdot 43^{119} + \left(12 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 43^{120} + \left(13 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 43^{121} + \left(24 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $30 a^{2} + 26 a + 7 + \left(3 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43 + \left(30 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(14 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 43^{4} + \left(40 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{5} + \left(19 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 43^{6} + \left(4 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 43^{7} + \left(22 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 43^{8} + \left(34 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 43^{9} + \left(20 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 43^{10} + \left(4 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 43^{11} + \left(25 a^{2} + 31 a + 42\right)\cdot 43^{12} + \left(37 a^{2} + 15 a + 31\right)\cdot 43^{13} + \left(33 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 43^{14} + \left(42 a^{2} + 42 a + 5\right)\cdot 43^{15} + \left(30 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 43^{16} + \left(25 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 43^{17} + \left(38 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 43^{18} + \left(22 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 43^{19} + \left(15 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 43^{20} + \left(39 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 43^{21} + \left(18 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 43^{22} + \left(9 a + 9\right)\cdot 43^{23} + \left(19 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 43^{24} + \left(38 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 43^{25} + \left(5 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{26} + \left(17 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 43^{27} + \left(21 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 43^{28} + \left(27 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 43^{29} + \left(16 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 43^{30} + \left(42 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 43^{31} + \left(3 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 43^{32} + \left(40 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{33} + \left(31 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 43^{34} + \left(20 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 43^{35} + \left(31 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 43^{36} + \left(7 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 43^{37} + \left(35 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 43^{38} + \left(22 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 43^{39} + \left(2 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 43^{40} + \left(11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 43^{41} + \left(42 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 43^{42} + \left(23 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 43^{43} + \left(7 a^{2} + 37 a + 35\right)\cdot 43^{44} + \left(41 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 43^{45} + \left(15 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 43^{46} + \left(30 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 43^{47} + \left(39 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 43^{48} + \left(3 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{49} + \left(30 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 43^{50} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 43^{51} + \left(39 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 43^{52} + \left(9 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 43^{53} + \left(17 a^{2} + 32 a + 8\right)\cdot 43^{54} + \left(13 a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 43^{55} + \left(20 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 43^{56} + \left(18 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 43^{57} + \left(26 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 43^{58} + \left(42 a^{2} + 6 a + 23\right)\cdot 43^{59} + \left(28 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 43^{60} + \left(40 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 43^{61} + \left(23 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 43^{62} + \left(24 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 43^{63} + \left(19 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 43^{64} + \left(35 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 43^{65} + \left(8 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 43^{66} + \left(16 a^{2} + a + 37\right)\cdot 43^{67} + \left(6 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 43^{68} + \left(42 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 43^{69} + \left(17 a^{2} + 39\right)\cdot 43^{70} + \left(22 a^{2} + a + 4\right)\cdot 43^{71} + \left(41 a^{2} + a + 25\right)\cdot 43^{72} + \left(33 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{73} + \left(31 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 43^{74} + \left(34 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 43^{75} + \left(20 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 43^{76} + \left(28 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{77} + \left(a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 43^{78} + \left(28 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 43^{79} + \left(9 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 43^{80} + \left(3 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 43^{81} + \left(34 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 43^{82} + \left(38 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 43^{83} + \left(41 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 43^{84} + \left(39 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 43^{85} + \left(24 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 43^{86} + \left(14 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 43^{87} + \left(32 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 43^{88} + \left(32 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43^{89} + \left(10 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 43^{90} + \left(2 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 43^{91} + \left(37 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 43^{92} + \left(24 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 43^{93} + \left(37 a^{2} + 42 a + 22\right)\cdot 43^{94} + \left(22 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 43^{95} + \left(12 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 43^{96} + \left(36 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 43^{97} + \left(38 a^{2} + 24 a + 3\right)\cdot 43^{98} + \left(34 a^{2} + 30 a + 12\right)\cdot 43^{99} + \left(6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 43^{100} + \left(27 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 43^{101} + \left(41 a^{2} + 29 a + 41\right)\cdot 43^{102} + \left(16 a^{2} + 9 a + 42\right)\cdot 43^{103} + \left(23 a^{2} + 24 a + 34\right)\cdot 43^{104} + \left(14 a^{2} + a + 25\right)\cdot 43^{105} + \left(40 a^{2} + 23 a + 15\right)\cdot 43^{106} + \left(12 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{107} + \left(26 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 43^{108} + \left(5 a^{2} + 27 a\right)\cdot 43^{109} + \left(33 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 43^{110} + \left(28 a^{2} + 6 a + 36\right)\cdot 43^{111} + \left(25 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 43^{112} + \left(38 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 43^{113} + \left(10 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 43^{114} + \left(29 a^{2} + 35 a + 2\right)\cdot 43^{115} + \left(36 a^{2} + 6 a + 42\right)\cdot 43^{116} + \left(42 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 43^{117} + \left(11 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{118} + \left(38 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 43^{119} + \left(28 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 43^{120} + \left(33 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 43^{121} + \left(24 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $19 a^{2} + 18 a + 14 + \left(23 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43 + \left(25 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 43^{4} + \left(32 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 43^{8} + \left(22 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 43^{9} + \left(28 a^{2} + 42 a + 8\right)\cdot 43^{10} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 43^{11} + \left(33 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 43^{12} + \left(41 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 43^{13} + \left(8 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 43^{14} + \left(29 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 43^{15} + \left(26 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 43^{16} + \left(11 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 43^{17} + \left(16 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 43^{18} + \left(22 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 43^{19} + \left(39 a^{2} + 36 a + 41\right)\cdot 43^{20} + \left(13 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{21} + \left(13 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 43^{22} + \left(35 a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 43^{23} + \left(10 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 43^{24} + \left(28 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 43^{25} + \left(a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 43^{26} + \left(6 a^{2} + 26 a + 27\right)\cdot 43^{27} + \left(37 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 43^{28} + \left(31 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 43^{29} + \left(41 a^{2} + 18\right)\cdot 43^{30} + \left(12 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43^{31} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{32} + \left(8 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43^{33} + \left(18 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 43^{34} + \left(28 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 43^{35} + \left(20 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 43^{36} + \left(15 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 43^{37} + \left(4 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{38} + \left(41 a^{2} + 8 a + 31\right)\cdot 43^{39} + \left(31 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 43^{40} + \left(4 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 43^{41} + \left(38 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 43^{42} + \left(4 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 43^{43} + \left(19 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{44} + \left(19 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 43^{45} + \left(10 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 43^{46} + \left(12 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{47} + \left(20 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 43^{48} + \left(41 a^{2} + 26 a + 39\right)\cdot 43^{49} + \left(26 a^{2} + 31 a + 42\right)\cdot 43^{50} + \left(7 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 43^{51} + \left(a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 43^{52} + \left(7 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 43^{53} + \left(34 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 43^{54} + \left(3 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{55} + \left(13 a^{2} + 39 a\right)\cdot 43^{56} + \left(4 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 43^{57} + \left(19 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 43^{58} + \left(32 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 43^{59} + \left(a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{60} + \left(17 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 43^{61} + \left(33 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 43^{62} + \left(a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 43^{63} + \left(24 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 43^{64} + \left(40 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 43^{65} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 43^{66} + \left(4 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 43^{67} + \left(7 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 43^{68} + \left(25 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{69} + \left(9 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 43^{70} + \left(11 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 43^{71} + \left(7 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 43^{72} + \left(13 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 43^{73} + \left(40 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 43^{74} + \left(38 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 43^{75} + \left(41 a^{2} + a + 26\right)\cdot 43^{76} + \left(13 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 43^{77} + \left(18 a^{2} + 12 a + 37\right)\cdot 43^{78} + \left(15 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 43^{79} + \left(28 a^{2} + 30 a + 32\right)\cdot 43^{80} + \left(15 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 43^{81} + \left(26 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 43^{82} + \left(26 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 43^{83} + \left(31 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43^{84} + \left(15 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 43^{85} + \left(9 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 43^{86} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 43^{87} + \left(20 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 43^{88} + \left(34 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 43^{89} + \left(6 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 43^{90} + \left(17 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 43^{91} + \left(a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 43^{92} + \left(9 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 43^{93} + \left(33 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 43^{94} + \left(12 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 43^{95} + \left(12 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 43^{96} + \left(11 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 43^{97} + \left(10 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 43^{98} + \left(33 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 43^{99} + \left(29 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 43^{100} + \left(18 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 43^{101} + \left(12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 43^{102} + \left(28 a^{2} + 25 a + 36\right)\cdot 43^{103} + \left(3 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 43^{104} + \left(6 a^{2} + 16 a + 34\right)\cdot 43^{105} + \left(22 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 43^{106} + \left(15 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 43^{107} + \left(25 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 43^{108} + \left(4 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 43^{109} + \left(29 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 43^{110} + \left(2 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 43^{111} + \left(16 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 43^{112} + \left(34 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 43^{113} + \left(16 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 43^{114} + \left(38 a^{2} + a + 23\right)\cdot 43^{115} + \left(37 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 43^{116} + \left(6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 43^{117} + \left(25 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 43^{118} + \left(26 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 43^{119} + \left(a^{2} + 23 a + 36\right)\cdot 43^{120} + \left(39 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 43^{121} + \left(36 a^{2} + a + 12\right)\cdot 43^{122} +O\left(43^{ 123 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$ $(1,2,4,5)$ $(1,2)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(3,7)(6,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$ $1$ $12$ $2$ $(3,6)$ $3$ $24$ $2$ $(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(3,6)$ $1$ $36$ $2$ $(1,4)(2,5)(3,6)$ $-1$ $16$ $3$ $(6,8,7)$ $0$ $64$ $3$ $(2,5,4)(6,8,7)$ $0$ $12$ $4$ $(3,6,7,8)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,4,5)(3,6,7,8)$ $1$ $36$ $4$ $(1,2,4,5)(3,7)(6,8)$ $1$ $72$ $4$ $(1,3,4,7)(2,6,5,8)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2,4,5)(3,6)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,3,2,6)(4,7)(5,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,4)(2,5)(6,7,8)$ $0$ $96$ $6$ $(2,5,4)(3,6)$ $0$ $192$ $6$ $(1,3)(2,6,5,8,4,7)$ $0$ $144$ $8$ $(1,3,2,6,4,7,5,8)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,2,4,5)(6,8,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.