# Properties

 Label 9.2e9_5e6_47e3.12t165.1c1 Dimension 9 Group $(A_4\wr C_2):C_2$ Conductor $2^{9} \cdot 5^{6} \cdot 47^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $(A_4\wr C_2):C_2$ Conductor: $830584000000= 2^{9} \cdot 5^{6} \cdot 47^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 18 x^{6} - 14 x^{5} + 65 x^{4} + 126 x^{3} + 99 x^{2} + 112 x + 64$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 12T165 Parity: Even Determinant: 1.2e3_47.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 80.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $x^{3} + 5 x + 57$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $19 a^{2} + 9 a + 35 + \left(14 a^{2} + 50 a + 55\right)\cdot 59 + \left(16 a^{2} + 53 a + 35\right)\cdot 59^{2} + \left(2 a^{2} + 13 a + 33\right)\cdot 59^{3} + \left(14 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 59^{4} + \left(13 a^{2} + 53 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(14 a^{2} + 54 a + 42\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 59^{8} + \left(27 a^{2} + a + 37\right)\cdot 59^{9} + \left(45 a^{2} + 28 a + 27\right)\cdot 59^{10} + \left(35 a^{2} + 34\right)\cdot 59^{11} + \left(4 a^{2} + 46 a + 7\right)\cdot 59^{12} + \left(20 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 59^{13} + \left(37 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 59^{14} + \left(21 a^{2} + 54 a + 52\right)\cdot 59^{15} + \left(50 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 59^{16} + \left(50 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 59^{17} + \left(38 a^{2} + 12 a + 41\right)\cdot 59^{18} + \left(30 a + 38\right)\cdot 59^{19} + \left(27 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 59^{20} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 59^{21} + \left(9 a^{2} + 6 a + 50\right)\cdot 59^{22} + \left(11 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 59^{23} + \left(48 a^{2} + 46 a + 37\right)\cdot 59^{24} + \left(57 a^{2} + 54 a + 31\right)\cdot 59^{25} + \left(45 a^{2} + 56 a + 55\right)\cdot 59^{26} + \left(42 a^{2} + 44 a + 48\right)\cdot 59^{27} + \left(9 a^{2} + 10 a + 50\right)\cdot 59^{28} + \left(19 a^{2} + 20 a + 54\right)\cdot 59^{29} + \left(53 a^{2} + 38 a + 1\right)\cdot 59^{30} + \left(45 a^{2} + a + 41\right)\cdot 59^{31} + \left(29 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 59^{32} + \left(30 a^{2} + 56 a + 11\right)\cdot 59^{33} + \left(48 a^{2} + 44 a + 57\right)\cdot 59^{34} + \left(39 a^{2} + 41 a + 13\right)\cdot 59^{35} + \left(18 a^{2} + 30 a + 18\right)\cdot 59^{36} + \left(25 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 59^{37} + \left(56 a^{2} + 23 a + 28\right)\cdot 59^{38} + \left(2 a^{2} + 19 a + 45\right)\cdot 59^{39} + \left(2 a^{2} + 4 a + 52\right)\cdot 59^{40} + \left(7 a + 47\right)\cdot 59^{41} + \left(21 a^{2} + 26 a + 36\right)\cdot 59^{42} + \left(18 a^{2} + 25 a + 51\right)\cdot 59^{43} + \left(56 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 59^{44} + \left(43 a^{2} + 10 a + 49\right)\cdot 59^{45} + \left(15 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 59^{46} + \left(18 a^{2} + 47 a + 28\right)\cdot 59^{47} + \left(50 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 59^{48} + \left(37 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 59^{49} + \left(36 a^{2} + 51 a + 32\right)\cdot 59^{50} + \left(54 a^{2} + 58 a + 42\right)\cdot 59^{51} + \left(41 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 59^{52} + \left(32 a^{2} + 40 a + 37\right)\cdot 59^{53} + \left(50 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 59^{54} + \left(38 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 59^{55} + \left(14 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 59^{56} + \left(51 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 59^{57} + \left(54 a^{2} + 9 a + 53\right)\cdot 59^{58} + \left(31 a^{2} + 11 a + 43\right)\cdot 59^{59} + \left(31 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 59^{60} + \left(18 a^{2} + 55 a + 49\right)\cdot 59^{61} + \left(14 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 59^{62} + \left(42 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 59^{63} + \left(28 a^{2} + 11 a + 56\right)\cdot 59^{64} + \left(6 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 59^{65} + \left(51 a^{2} + 31 a + 56\right)\cdot 59^{66} + \left(51 a^{2} + 49 a + 55\right)\cdot 59^{67} + \left(17 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 59^{68} + \left(34 a^{2} + 55 a + 50\right)\cdot 59^{69} + \left(31 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 59^{70} + \left(47 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 59^{71} + \left(37 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 59^{72} + \left(13 a^{2} + 55 a + 31\right)\cdot 59^{73} + \left(51 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 59^{74} + \left(10 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 59^{75} + \left(50 a^{2} + 36 a + 9\right)\cdot 59^{76} + \left(35 a^{2} + 58 a + 42\right)\cdot 59^{77} + \left(23 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 59^{78} + \left(19 a^{2} + 48 a + 37\right)\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $37 a^{2} + 12 a + 33 + \left(11 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 59 + \left(a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 59^{2} + \left(17 a^{2} + 56 a + 36\right)\cdot 59^{3} + \left(55 a + 31\right)\cdot 59^{4} + \left(7 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(a^{2} + 56 a + 56\right)\cdot 59^{6} + \left(27 a^{2} + 45 a + 56\right)\cdot 59^{7} + \left(37 a^{2} + 44 a + 24\right)\cdot 59^{8} + \left(38 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 59^{9} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 59^{10} + \left(57 a^{2} + 33 a + 55\right)\cdot 59^{11} + \left(56 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 59^{12} + \left(3 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 59^{13} + \left(25 a^{2} + 2 a + 55\right)\cdot 59^{14} + \left(18 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 59^{15} + \left(43 a^{2} + 21 a + 57\right)\cdot 59^{16} + \left(3 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 59^{17} + \left(a^{2} + 49 a + 26\right)\cdot 59^{18} + \left(a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 59^{19} + \left(2 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 59^{20} + \left(31 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 59^{21} + \left(30 a^{2} + 23 a + 45\right)\cdot 59^{22} + \left(49 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 59^{23} + \left(47 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 59^{24} + \left(49 a^{2} + 21 a + 43\right)\cdot 59^{25} + \left(10 a^{2} + 43 a + 58\right)\cdot 59^{26} + \left(18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 59^{27} + \left(21 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 59^{28} + \left(20 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 59^{29} + \left(58 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 59^{30} + \left(36 a^{2} + 35 a + 8\right)\cdot 59^{31} + \left(10 a^{2} + 53 a + 23\right)\cdot 59^{32} + \left(48 a^{2} + 37 a\right)\cdot 59^{33} + \left(36 a^{2} + a + 20\right)\cdot 59^{34} + \left(2 a^{2} + 9 a + 56\right)\cdot 59^{35} + \left(34 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 59^{36} + \left(38 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 59^{37} + \left(54 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 59^{38} + \left(31 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 59^{39} + \left(21 a^{2} + 48 a + 55\right)\cdot 59^{40} + \left(38 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 59^{41} + \left(2 a^{2} + 54 a + 30\right)\cdot 59^{42} + \left(43 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 59^{43} + \left(18 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 59^{44} + \left(36 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 59^{45} + \left(a + 58\right)\cdot 59^{46} + \left(31 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 59^{47} + \left(17 a^{2} + 52 a + 54\right)\cdot 59^{48} + \left(54 a^{2} + 49 a + 46\right)\cdot 59^{49} + \left(19 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 59^{50} + \left(44 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 59^{51} + \left(31 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 59^{52} + \left(5 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 59^{53} + \left(50 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 59^{54} + \left(34 a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 59^{55} + \left(36 a^{2} + 11 a + 49\right)\cdot 59^{56} + \left(50 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 59^{57} + \left(40 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 59^{58} + \left(27 a^{2} + 36 a + 3\right)\cdot 59^{59} + \left(50 a^{2} + 25 a + 47\right)\cdot 59^{60} + \left(a^{2} + 58 a + 49\right)\cdot 59^{61} + \left(26 a^{2} + 25 a + 16\right)\cdot 59^{62} + \left(12 a^{2} + 16 a + 54\right)\cdot 59^{63} + \left(24 a^{2} + 43 a + 41\right)\cdot 59^{64} + \left(37 a^{2} + 56 a + 25\right)\cdot 59^{65} + \left(34 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 59^{66} + \left(43 a^{2} + 7 a + 49\right)\cdot 59^{67} + \left(58 a^{2} + 16 a + 28\right)\cdot 59^{68} + \left(14 a^{2} + 49 a + 39\right)\cdot 59^{69} + \left(25 a^{2} + 26 a + 20\right)\cdot 59^{70} + \left(51 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 59^{71} + \left(35 a^{2} + 40 a + 50\right)\cdot 59^{72} + \left(43 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 59^{73} + \left(25 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 59^{74} + \left(52 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 59^{75} + \left(37 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 59^{76} + \left(42 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 59^{77} + \left(24 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 59^{78} + \left(15 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $37 a^{2} + 56 a + 33 + \left(8 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 59 + \left(7 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 59^{2} + \left(23 a^{2} + 34 a + 56\right)\cdot 59^{3} + \left(43 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 59^{4} + \left(11 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 59^{5} + \left(37 a^{2} + 44 a + 58\right)\cdot 59^{6} + \left(37 a^{2} + 56 a + 52\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 59^{8} + \left(6 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 59^{9} + \left(16 a^{2} + 8 a + 44\right)\cdot 59^{10} + \left(30 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 59^{11} + \left(20 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 59^{12} + \left(13 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 59^{13} + \left(20 a^{2} + 54 a\right)\cdot 59^{14} + \left(9 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 59^{15} + \left(12 a + 31\right)\cdot 59^{16} + \left(19 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 59^{17} + \left(43 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 59^{18} + \left(6 a^{2} + 26 a\right)\cdot 59^{19} + \left(48 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 59^{20} + \left(4 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 59^{21} + \left(11 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 59^{22} + \left(2 a^{2} + 37 a + 52\right)\cdot 59^{23} + \left(30 a^{2} + 50 a + 9\right)\cdot 59^{24} + \left(22 a^{2} + 43 a + 11\right)\cdot 59^{25} + \left(39 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 59^{26} + \left(48 a^{2} + 44 a + 13\right)\cdot 59^{27} + \left(43 a^{2} + 44\right)\cdot 59^{28} + \left(33 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 59^{29} + \left(12 a^{2} + 52 a + 17\right)\cdot 59^{30} + \left(27 a^{2} + 56 a + 15\right)\cdot 59^{31} + \left(4 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 59^{32} + \left(13 a^{2} + 24 a + 1\right)\cdot 59^{33} + \left(31 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 59^{34} + \left(49 a^{2} + 27 a + 55\right)\cdot 59^{35} + \left(10 a^{2} + 29 a + 47\right)\cdot 59^{36} + \left(28 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 59^{37} + \left(54 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 59^{38} + \left(29 a^{2} + 42 a + 55\right)\cdot 59^{39} + \left(27 a^{2} + 55\right)\cdot 59^{40} + \left(8 a^{2} + 44 a + 58\right)\cdot 59^{41} + \left(36 a^{2} + 55 a + 23\right)\cdot 59^{42} + \left(6 a^{2} + 17 a + 44\right)\cdot 59^{43} + \left(58 a^{2} + 55 a + 26\right)\cdot 59^{44} + \left(52 a^{2} + 45 a + 23\right)\cdot 59^{45} + \left(25 a^{2} + 50 a + 5\right)\cdot 59^{46} + \left(12 a^{2} + 29 a + 9\right)\cdot 59^{47} + \left(35 a^{2} + 7 a + 54\right)\cdot 59^{48} + \left(10 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 59^{49} + \left(50 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 59^{50} + \left(53 a^{2} + 35 a + 44\right)\cdot 59^{51} + \left(20 a^{2} + 34 a + 11\right)\cdot 59^{52} + \left(55 a^{2} + 41 a + 14\right)\cdot 59^{53} + \left(24 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 59^{54} + \left(32 a^{2} + 20 a + 53\right)\cdot 59^{55} + \left(39 a^{2} + 4 a + 39\right)\cdot 59^{56} + \left(19 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 59^{57} + \left(8 a^{2} + 43 a + 32\right)\cdot 59^{58} + \left(38 a + 9\right)\cdot 59^{59} + \left(20 a^{2} + 34 a + 24\right)\cdot 59^{60} + \left(13 a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 59^{61} + \left(33 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 59^{62} + \left(30 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 59^{63} + \left(2 a^{2} + 46 a + 48\right)\cdot 59^{64} + \left(49 a^{2} + 17 a + 44\right)\cdot 59^{65} + \left(27 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 59^{66} + \left(57 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 59^{67} + \left(21 a^{2} + 47 a + 24\right)\cdot 59^{68} + \left(16 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 59^{69} + \left(55 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 59^{70} + \left(31 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 59^{71} + \left(55 a^{2} + 47 a + 37\right)\cdot 59^{72} + \left(30 a^{2} + 54 a + 18\right)\cdot 59^{73} + \left(54 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 59^{74} + \left(47 a^{2} + 20 a + 46\right)\cdot 59^{75} + \left(46 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 59^{76} + \left(26 a^{2} + 19 a + 57\right)\cdot 59^{77} + \left(11 a^{2} + 17\right)\cdot 59^{78} + \left(a^{2} + 13 a + 50\right)\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $44 a^{2} + 50 a + 17 + \left(38 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 59 + \left(50 a^{2} + 57 a + 49\right)\cdot 59^{2} + \left(18 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 59^{3} + \left(15 a^{2} + 54 a + 42\right)\cdot 59^{4} + \left(40 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 59^{5} + \left(20 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 59^{6} + \left(53 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(55 a^{2} + 53 a + 27\right)\cdot 59^{8} + \left(13 a^{2} + 54 a + 35\right)\cdot 59^{9} + \left(33 a^{2} + 42 a + 42\right)\cdot 59^{10} + \left(30 a^{2} + 47 a + 5\right)\cdot 59^{11} + \left(40 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 59^{12} + \left(41 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 59^{13} + \left(13 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 59^{14} + \left(31 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 59^{15} + \left(15 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 59^{16} + \left(36 a^{2} + 7 a + 29\right)\cdot 59^{17} + \left(14 a^{2} + 50 a + 12\right)\cdot 59^{18} + \left(51 a^{2} + a + 11\right)\cdot 59^{19} + \left(8 a^{2} + 51 a + 4\right)\cdot 59^{20} + \left(23 a^{2} + 56 a + 58\right)\cdot 59^{21} + \left(17 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 59^{22} + \left(7 a^{2} + 38 a + 10\right)\cdot 59^{23} + \left(40 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 59^{24} + \left(45 a^{2} + 53 a + 49\right)\cdot 59^{25} + \left(8 a^{2} + 37 a + 51\right)\cdot 59^{26} + \left(51 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 59^{27} + \left(52 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 59^{28} + \left(4 a^{2} + 11 a + 45\right)\cdot 59^{29} + \left(47 a^{2} + 50 a + 53\right)\cdot 59^{30} + \left(53 a^{2} + 25 a + 44\right)\cdot 59^{31} + \left(43 a^{2} + 56 a + 35\right)\cdot 59^{32} + \left(56 a^{2} + 55 a + 48\right)\cdot 59^{33} + \left(49 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 59^{34} + \left(6 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 59^{35} + \left(14 a^{2} + 57 a + 19\right)\cdot 59^{36} + \left(51 a^{2} + 53 a + 21\right)\cdot 59^{37} + \left(8 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 59^{38} + \left(56 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 59^{39} + \left(9 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 59^{40} + \left(12 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 59^{41} + \left(20 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 59^{42} + \left(9 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 59^{43} + \left(41 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 59^{44} + \left(28 a^{2} + 19 a + 1\right)\cdot 59^{45} + \left(32 a^{2} + 6 a + 47\right)\cdot 59^{46} + \left(15 a^{2} + 15 a + 58\right)\cdot 59^{47} + \left(6 a^{2} + 58 a + 55\right)\cdot 59^{48} + \left(53 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 59^{49} + \left(47 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 59^{50} + \left(19 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 59^{51} + \left(6 a^{2} + 58 a + 22\right)\cdot 59^{52} + \left(57 a^{2} + 35 a\right)\cdot 59^{53} + \left(42 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 59^{54} + \left(50 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 59^{55} + \left(41 a^{2} + 43 a + 47\right)\cdot 59^{56} + \left(47 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 59^{57} + \left(9 a^{2} + 48 a + 37\right)\cdot 59^{58} + \left(31 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 59^{59} + \left(47 a^{2} + 57 a + 37\right)\cdot 59^{60} + \left(43 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 59^{61} + \left(58 a^{2} + 15 a + 47\right)\cdot 59^{62} + \left(15 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 59^{63} + \left(32 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 59^{64} + \left(31 a^{2} + 43 a + 45\right)\cdot 59^{65} + \left(55 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 59^{66} + \left(16 a^{2} + 15 a\right)\cdot 59^{67} + \left(37 a^{2} + 54 a + 36\right)\cdot 59^{68} + \left(27 a^{2} + a + 22\right)\cdot 59^{69} + \left(37 a^{2} + 56 a + 2\right)\cdot 59^{70} + \left(34 a^{2} + 6 a + 51\right)\cdot 59^{71} + \left(26 a^{2} + 30 a + 58\right)\cdot 59^{72} + \left(43 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 59^{73} + \left(37 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 59^{74} + \left(17 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 59^{75} + \left(33 a^{2} + 20 a\right)\cdot 59^{76} + \left(48 a^{2} + 6 a + 51\right)\cdot 59^{77} + \left(22 a^{2} + 34 a + 55\right)\cdot 59^{78} + \left(42 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $35 + 45\cdot 59 + 3\cdot 59^{2} + 2\cdot 59^{3} + 26\cdot 59^{4} + 53\cdot 59^{5} + 19\cdot 59^{6} + 40\cdot 59^{7} + 4\cdot 59^{8} + 33\cdot 59^{9} + 27\cdot 59^{10} + 52\cdot 59^{11} + 7\cdot 59^{12} + 57\cdot 59^{13} + 24\cdot 59^{14} + 41\cdot 59^{15} + 24\cdot 59^{16} + 39\cdot 59^{17} + 49\cdot 59^{18} + 6\cdot 59^{19} + 17\cdot 59^{20} + 57\cdot 59^{21} + 50\cdot 59^{22} + 40\cdot 59^{23} + 34\cdot 59^{24} + 14\cdot 59^{25} + 50\cdot 59^{26} + 33\cdot 59^{27} + 10\cdot 59^{28} + 30\cdot 59^{29} + 14\cdot 59^{30} + 49\cdot 59^{31} + 36\cdot 59^{32} + 8\cdot 59^{33} + 13\cdot 59^{34} + 34\cdot 59^{35} + 23\cdot 59^{36} + 35\cdot 59^{37} + 6\cdot 59^{38} + 14\cdot 59^{39} + 48\cdot 59^{40} + 25\cdot 59^{41} + 53\cdot 59^{42} + 50\cdot 59^{43} + 28\cdot 59^{44} + 46\cdot 59^{45} + 6\cdot 59^{46} + 38\cdot 59^{47} + 12\cdot 59^{48} + 48\cdot 59^{49} + 14\cdot 59^{50} + 51\cdot 59^{51} + 55\cdot 59^{52} + 38\cdot 59^{53} + 47\cdot 59^{55} + 39\cdot 59^{56} + 9\cdot 59^{57} + 44\cdot 59^{58} + 31\cdot 59^{59} + 9\cdot 59^{60} + 46\cdot 59^{61} + 32\cdot 59^{62} + 20\cdot 59^{63} + 57\cdot 59^{64} + 59^{65} + 45\cdot 59^{66} + 50\cdot 59^{67} + 28\cdot 59^{68} + 31\cdot 59^{69} + 13\cdot 59^{70} + 16\cdot 59^{71} + 30\cdot 59^{72} + 17\cdot 59^{73} + 6\cdot 59^{74} + 45\cdot 59^{75} + 37\cdot 59^{76} + 37\cdot 59^{77} + 59^{78} + 38\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $40 a^{2} + 57 a + 46 + \left(21 a^{2} + 29 a + 40\right)\cdot 59 + \left(3 a^{2} + 49 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(13 a^{2} + 56 a + 30\right)\cdot 59^{3} + \left(23 a^{2} + 40 a + 20\right)\cdot 59^{4} + \left(7 a^{2} + 28 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(11 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(56 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 59^{7} + \left(37 a^{2} + 18 a + 54\right)\cdot 59^{8} + \left(18 a^{2} + 50 a + 45\right)\cdot 59^{9} + \left(56 a^{2} + 53 a + 4\right)\cdot 59^{10} + \left(12 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 59^{11} + \left(a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 59^{12} + \left(49 a^{2} + 25 a + 56\right)\cdot 59^{13} + \left(26 a^{2} + 45 a + 2\right)\cdot 59^{14} + \left(51 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 59^{15} + \left(15 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 59^{16} + \left(18 a^{2} + 50 a + 1\right)\cdot 59^{17} + \left(44 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 59^{18} + \left(21 a^{2} + 28 a + 30\right)\cdot 59^{19} + \left(41 a^{2} + 47 a + 40\right)\cdot 59^{20} + \left(30 a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 59^{21} + \left(15 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 59^{22} + \left(22 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 59^{23} + \left(46 a^{2} + 53 a + 12\right)\cdot 59^{24} + \left(30 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 59^{25} + \left(56 a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 59^{26} + \left(52 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 59^{27} + \left(27 a^{2} + 47 a + 52\right)\cdot 59^{28} + \left(41 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 59^{29} + \left(28 a^{2} + 23 a + 57\right)\cdot 59^{30} + \left(26 a^{2} + 25 a + 54\right)\cdot 59^{31} + \left(37 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 59^{32} + \left(16 a^{2} + 52 a + 24\right)\cdot 59^{33} + \left(7 a^{2} + 31 a + 57\right)\cdot 59^{34} + \left(34 a^{2} + 38 a + 53\right)\cdot 59^{35} + \left(10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 59^{36} + \left(15 a^{2} + 55 a + 17\right)\cdot 59^{37} + \left(57 a^{2} + 31\right)\cdot 59^{38} + \left(52 a^{2} + 44 a + 15\right)\cdot 59^{39} + \left(15 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 59^{40} + \left(23 a^{2} + 54 a + 7\right)\cdot 59^{41} + \left(16 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 59^{42} + \left(9 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 59^{43} + \left(17 a^{2} + 46 a + 47\right)\cdot 59^{44} + \left(33 a^{2} + 42 a + 33\right)\cdot 59^{45} + \left(24 a^{2} + 43 a + 41\right)\cdot 59^{46} + \left(36 a^{2} + 49\right)\cdot 59^{47} + \left(6 a^{2} + 43 a + 12\right)\cdot 59^{48} + \left(a + 22\right)\cdot 59^{49} + \left(9 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 59^{50} + \left(42 a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 59^{51} + \left(40 a^{2} + 56 a + 7\right)\cdot 59^{52} + \left(13 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 59^{53} + \left(55 a^{2} + 18 a + 35\right)\cdot 59^{54} + \left(4 a^{2} + 31 a\right)\cdot 59^{55} + \left(36 a^{2} + 14 a + 54\right)\cdot 59^{56} + \left(18 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 59^{57} + \left(45 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 59^{58} + \left(55 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 59^{59} + \left(31 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 59^{60} + \left(35 a^{2} + 47 a + 47\right)\cdot 59^{61} + \left(48 a^{2} + 54 a + 36\right)\cdot 59^{62} + \left(57 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 59^{63} + \left(29 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 59^{64} + \left(34 a^{2} + 22 a + 57\right)\cdot 59^{65} + \left(30 a^{2} + 47 a + 7\right)\cdot 59^{66} + \left(48 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 59^{67} + \left(32 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 59^{68} + \left(18 a^{2} + 39 a + 17\right)\cdot 59^{69} + \left(7 a + 10\right)\cdot 59^{70} + \left(51 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 59^{71} + \left(9 a^{2} + 51 a + 9\right)\cdot 59^{72} + \left(43 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 59^{73} + \left(45 a^{2} + 36 a + 58\right)\cdot 59^{74} + \left(7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 59^{75} + \left(54 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 59^{76} + \left(19 a^{2} + 48 a + 28\right)\cdot 59^{77} + \left(28 a^{2} + 58 a + 45\right)\cdot 59^{78} + \left(6 a^{2} + 57 a + 33\right)\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $26 + 35\cdot 59 + 54\cdot 59^{2} + 39\cdot 59^{3} + 52\cdot 59^{4} + 28\cdot 59^{5} + 31\cdot 59^{6} + 14\cdot 59^{7} + 39\cdot 59^{8} + 48\cdot 59^{9} + 17\cdot 59^{10} + 18\cdot 59^{11} + 23\cdot 59^{12} + 25\cdot 59^{13} + 23\cdot 59^{14} + 13\cdot 59^{16} + 2\cdot 59^{17} + 29\cdot 59^{18} + 8\cdot 59^{19} + 56\cdot 59^{20} + 31\cdot 59^{21} + 58\cdot 59^{22} + 35\cdot 59^{23} + 14\cdot 59^{24} + 11\cdot 59^{25} + 57\cdot 59^{26} + 44\cdot 59^{27} + 3\cdot 59^{28} + 27\cdot 59^{29} + 55\cdot 59^{30} + 40\cdot 59^{31} + 11\cdot 59^{32} + 35\cdot 59^{33} + 18\cdot 59^{34} + 2\cdot 59^{35} + 14\cdot 59^{36} + 41\cdot 59^{37} + 6\cdot 59^{38} + 11\cdot 59^{39} + 39\cdot 59^{40} + 33\cdot 59^{41} + 40\cdot 59^{42} + 28\cdot 59^{43} + 30\cdot 59^{44} + 54\cdot 59^{45} + 2\cdot 59^{46} + 38\cdot 59^{47} + 27\cdot 59^{48} + 52\cdot 59^{49} + 31\cdot 59^{50} + 5\cdot 59^{51} + 30\cdot 59^{52} + 38\cdot 59^{53} + 33\cdot 59^{54} + 47\cdot 59^{55} + 21\cdot 59^{56} + 35\cdot 59^{57} + 33\cdot 59^{58} + 10\cdot 59^{59} + 39\cdot 59^{60} + 35\cdot 59^{61} + 21\cdot 59^{62} + 14\cdot 59^{63} + 57\cdot 59^{64} + 53\cdot 59^{65} + 45\cdot 59^{66} + 55\cdot 59^{67} + 3\cdot 59^{68} + 15\cdot 59^{69} + 31\cdot 59^{70} + 36\cdot 59^{71} + 11\cdot 59^{72} + 43\cdot 59^{73} + 45\cdot 59^{74} + 44\cdot 59^{75} + 2\cdot 59^{76} + 55\cdot 59^{77} + 28\cdot 59^{78} + 22\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $52 a + 11 + \left(23 a^{2} + 37 a + 45\right)\cdot 59 + \left(39 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(43 a^{2} + 47 a + 14\right)\cdot 59^{3} + \left(21 a^{2} + 55 a + 35\right)\cdot 59^{4} + \left(38 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 59^{5} + \left(42 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 59^{6} + \left(47 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 59^{7} + \left(29 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 59^{8} + \left(12 a^{2} + 7 a + 45\right)\cdot 59^{9} + \left(16 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 59^{10} + \left(10 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 59^{11} + \left(53 a^{2} + 35 a + 51\right)\cdot 59^{12} + \left(48 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 59^{13} + \left(53 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 59^{14} + \left(44 a^{2} + 54 a + 51\right)\cdot 59^{15} + \left(51 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 59^{16} + \left(48 a^{2} + 27 a + 44\right)\cdot 59^{17} + \left(34 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 59^{18} + \left(36 a^{2} + 40\right)\cdot 59^{19} + \left(49 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 59^{20} + \left(21 a^{2} + 42\right)\cdot 59^{21} + \left(34 a^{2} + 41 a + 55\right)\cdot 59^{22} + \left(25 a^{2} + 9 a + 33\right)\cdot 59^{23} + \left(23 a^{2} + 18 a + 53\right)\cdot 59^{24} + \left(29 a^{2} + 33 a + 54\right)\cdot 59^{25} + \left(15 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 59^{26} + 22 a^{2}59^{27} + \left(21 a^{2} + a + 11\right)\cdot 59^{28} + \left(57 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 59^{29} + \left(35 a^{2} + 56 a + 3\right)\cdot 59^{30} + \left(45 a^{2} + 31 a + 40\right)\cdot 59^{31} + \left(50 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 59^{32} + \left(11 a^{2} + 9 a + 47\right)\cdot 59^{33} + \left(3 a^{2} + 41 a + 43\right)\cdot 59^{34} + \left(44 a^{2} + 37 a + 47\right)\cdot 59^{35} + \left(29 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 59^{36} + \left(18 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 59^{37} + \left(4 a^{2} + 34 a + 51\right)\cdot 59^{38} + \left(3 a^{2} + 54 a + 45\right)\cdot 59^{39} + \left(41 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 59^{40} + \left(35 a^{2} + 56 a + 29\right)\cdot 59^{41} + \left(21 a^{2} + 21 a + 58\right)\cdot 59^{42} + \left(31 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 59^{43} + \left(44 a^{2} + 41 a\right)\cdot 59^{44} + \left(40 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 59^{45} + \left(18 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 59^{46} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 59^{47} + \left(2 a^{2} + 38 a + 37\right)\cdot 59^{48} + \left(21 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 59^{49} + \left(13 a^{2} + 58 a + 33\right)\cdot 59^{50} + \left(21 a^{2} + 41 a + 29\right)\cdot 59^{51} + \left(35 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 59^{52} + \left(12 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 59^{53} + \left(12 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 59^{54} + \left(15 a^{2} + 45 a + 54\right)\cdot 59^{55} + \left(8 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 59^{56} + \left(48 a^{2} + 22 a + 30\right)\cdot 59^{57} + \left(17 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 59^{58} + \left(30 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 59^{59} + \left(54 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 59^{60} + \left(4 a^{2} + 14 a + 43\right)\cdot 59^{61} + \left(55 a^{2} + 54 a + 38\right)\cdot 59^{62} + \left(17 a^{2} + 53 a + 15\right)\cdot 59^{63} + \left(14 a + 21\right)\cdot 59^{64} + \left(18 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 59^{65} + \left(36 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 59^{66} + \left(17 a^{2} + 48 a + 40\right)\cdot 59^{67} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 59^{68} + \left(6 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 59^{69} + \left(27 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 59^{70} + \left(19 a^{2} + 21 a + 52\right)\cdot 59^{71} + \left(11 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 59^{72} + \left(2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 59^{73} + \left(21 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 59^{74} + \left(40 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 59^{75} + \left(13 a^{2} + 52 a + 25\right)\cdot 59^{76} + \left(3 a^{2} + 10 a + 51\right)\cdot 59^{77} + \left(7 a^{2} + 54 a + 13\right)\cdot 59^{78} + \left(33 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 59^{79} +O\left(59^{ 80 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,7,8)$ $(1,7)(6,8)$ $(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$ $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(1,7)(6,8)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$ $1$ $12$ $2$ $(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$ $3$ $12$ $2$ $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ $3$ $36$ $2$ $(4,5)(6,7)$ $1$ $16$ $3$ $(2,4,5)$ $0$ $32$ $3$ $(1,7,8)(2,4,5)$ $0$ $32$ $3$ $(1,8,6)(2,5,4)$ $0$ $36$ $4$ $(1,6,7,8)(2,5,4,3)$ $1$ $36$ $4$ $(1,4,7,2)(3,6,5,8)$ $-1$ $36$ $4$ $(1,3,7,5)(2,6,4,8)$ $-1$ $72$ $4$ $(2,5,4,3)(7,8)$ $-1$ $48$ $6$ $(1,7)(2,4,5)(6,8)$ $0$ $96$ $6$ $(1,2,7,4,8,5)(3,6)$ $0$ $96$ $6$ $(1,4,8,2,6,5)(3,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.