# Properties

 Label 9.519718464000.16t1294.a.a Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{9} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 67^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $519718464000= 2^{9} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 67^{3}$ Artin number field: Splitting field of 8.4.65289632040.1 defined by $f= x^{8} - 2 x^{7} - 3 x^{6} + 11 x^{5} - 5 x^{4} - 12 x^{3} - 34 x^{2} - 7 x + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Even Determinant: 1.8040.2t1.b.a Projective image: $S_4\wr C_2$ Projective field: Galois closure of 8.4.65289632040.1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 73 }$ to precision 92.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 73 }$: $x^{2} + 70 x + 5$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $15 + 42\cdot 73 + 9\cdot 73^{2} + 51\cdot 73^{3} + 27\cdot 73^{4} + 72\cdot 73^{5} + 39\cdot 73^{6} + 69\cdot 73^{7} + 19\cdot 73^{8} + 22\cdot 73^{9} + 57\cdot 73^{10} + 54\cdot 73^{11} + 3\cdot 73^{12} + 7\cdot 73^{13} + 25\cdot 73^{14} + 2\cdot 73^{15} + 7\cdot 73^{17} + 59\cdot 73^{19} + 42\cdot 73^{20} + 9\cdot 73^{21} + 25\cdot 73^{22} + 23\cdot 73^{23} + 31\cdot 73^{24} + 42\cdot 73^{25} + 55\cdot 73^{26} + 8\cdot 73^{27} + 63\cdot 73^{28} + 19\cdot 73^{29} + 21\cdot 73^{30} + 24\cdot 73^{31} + 44\cdot 73^{32} + 61\cdot 73^{33} + 4\cdot 73^{34} + 24\cdot 73^{35} + 65\cdot 73^{36} + 10\cdot 73^{37} + 60\cdot 73^{38} + 68\cdot 73^{39} + 2\cdot 73^{40} + 60\cdot 73^{41} + 17\cdot 73^{42} + 24\cdot 73^{43} + 11\cdot 73^{44} + 68\cdot 73^{45} + 52\cdot 73^{46} + 59\cdot 73^{47} + 59\cdot 73^{48} + 60\cdot 73^{49} + 58\cdot 73^{50} + 60\cdot 73^{51} + 59\cdot 73^{52} + 44\cdot 73^{53} + 65\cdot 73^{54} + 5\cdot 73^{55} + 14\cdot 73^{56} + 16\cdot 73^{57} + 62\cdot 73^{58} + 14\cdot 73^{59} + 15\cdot 73^{60} + 68\cdot 73^{61} + 16\cdot 73^{62} + 12\cdot 73^{63} + 32\cdot 73^{64} + 48\cdot 73^{65} + 3\cdot 73^{66} + 5\cdot 73^{67} + 60\cdot 73^{68} + 73^{69} + 68\cdot 73^{70} + 43\cdot 73^{71} + 23\cdot 73^{72} + 43\cdot 73^{74} + 72\cdot 73^{75} + 14\cdot 73^{76} + 43\cdot 73^{77} + 66\cdot 73^{78} + 53\cdot 73^{79} + 40\cdot 73^{80} + 20\cdot 73^{81} + 41\cdot 73^{82} + 62\cdot 73^{83} + 41\cdot 73^{84} + 53\cdot 73^{85} + 38\cdot 73^{86} + 31\cdot 73^{87} + 58\cdot 73^{88} + 71\cdot 73^{89} + 22\cdot 73^{90} + 37\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $35 a + 33 + \left(60 a + 61\right)\cdot 73 + \left(24 a + 5\right)\cdot 73^{2} + \left(47 a + 15\right)\cdot 73^{3} + \left(71 a + 29\right)\cdot 73^{4} + \left(30 a + 39\right)\cdot 73^{5} + \left(59 a + 14\right)\cdot 73^{6} + \left(53 a + 38\right)\cdot 73^{7} + \left(50 a + 58\right)\cdot 73^{8} + \left(10 a + 38\right)\cdot 73^{9} + \left(12 a + 24\right)\cdot 73^{10} + \left(68 a + 32\right)\cdot 73^{11} + \left(63 a + 30\right)\cdot 73^{12} + 36 a\cdot 73^{13} + \left(46 a + 63\right)\cdot 73^{14} + \left(50 a + 46\right)\cdot 73^{15} + 37 a\cdot 73^{16} + \left(39 a + 8\right)\cdot 73^{17} + \left(72 a + 46\right)\cdot 73^{18} + \left(65 a + 71\right)\cdot 73^{19} + \left(30 a + 67\right)\cdot 73^{20} + \left(19 a + 17\right)\cdot 73^{21} + \left(16 a + 40\right)\cdot 73^{22} + \left(2 a + 52\right)\cdot 73^{23} + \left(16 a + 48\right)\cdot 73^{24} + \left(27 a + 51\right)\cdot 73^{25} + \left(14 a + 35\right)\cdot 73^{26} + \left(39 a + 54\right)\cdot 73^{27} + \left(55 a + 40\right)\cdot 73^{28} + \left(2 a + 43\right)\cdot 73^{29} + \left(71 a + 60\right)\cdot 73^{30} + \left(62 a + 48\right)\cdot 73^{31} + \left(71 a + 50\right)\cdot 73^{32} + \left(31 a + 30\right)\cdot 73^{33} + \left(59 a + 19\right)\cdot 73^{34} + \left(31 a + 7\right)\cdot 73^{35} + \left(47 a + 71\right)\cdot 73^{36} + \left(71 a + 32\right)\cdot 73^{37} + \left(61 a + 71\right)\cdot 73^{38} + \left(42 a + 45\right)\cdot 73^{39} + \left(18 a + 69\right)\cdot 73^{40} + \left(48 a + 56\right)\cdot 73^{41} + \left(21 a + 60\right)\cdot 73^{42} + \left(34 a + 72\right)\cdot 73^{43} + \left(44 a + 47\right)\cdot 73^{44} + \left(49 a + 11\right)\cdot 73^{45} + \left(4 a + 51\right)\cdot 73^{46} + \left(7 a + 23\right)\cdot 73^{47} + 30 a\cdot 73^{48} + \left(46 a + 41\right)\cdot 73^{49} + 44\cdot 73^{50} + \left(60 a + 45\right)\cdot 73^{51} + \left(19 a + 61\right)\cdot 73^{52} + \left(20 a + 46\right)\cdot 73^{53} + \left(64 a + 72\right)\cdot 73^{54} + 71\cdot 73^{55} + \left(66 a + 38\right)\cdot 73^{56} + \left(4 a + 67\right)\cdot 73^{57} + \left(58 a + 10\right)\cdot 73^{58} + \left(27 a + 42\right)\cdot 73^{59} + \left(28 a + 51\right)\cdot 73^{60} + \left(11 a + 56\right)\cdot 73^{61} + \left(60 a + 49\right)\cdot 73^{62} + \left(45 a + 29\right)\cdot 73^{63} + \left(62 a + 6\right)\cdot 73^{64} + \left(5 a + 71\right)\cdot 73^{65} + \left(18 a + 4\right)\cdot 73^{66} + \left(24 a + 44\right)\cdot 73^{67} + \left(68 a + 49\right)\cdot 73^{68} + \left(30 a + 19\right)\cdot 73^{69} + \left(57 a + 47\right)\cdot 73^{70} + \left(38 a + 27\right)\cdot 73^{71} + \left(32 a + 31\right)\cdot 73^{72} + \left(63 a + 25\right)\cdot 73^{73} + \left(19 a + 63\right)\cdot 73^{74} + \left(39 a + 42\right)\cdot 73^{75} + \left(53 a + 1\right)\cdot 73^{76} + \left(15 a + 13\right)\cdot 73^{77} + \left(12 a + 44\right)\cdot 73^{78} + \left(18 a + 24\right)\cdot 73^{79} + \left(60 a + 29\right)\cdot 73^{80} + \left(49 a + 30\right)\cdot 73^{81} + \left(8 a + 67\right)\cdot 73^{82} + \left(66 a + 70\right)\cdot 73^{83} + \left(a + 68\right)\cdot 73^{84} + \left(15 a + 34\right)\cdot 73^{85} + \left(3 a + 72\right)\cdot 73^{86} + \left(49 a + 55\right)\cdot 73^{87} + \left(15 a + 33\right)\cdot 73^{88} + \left(9 a + 41\right)\cdot 73^{89} + \left(31 a + 66\right)\cdot 73^{90} + \left(15 a + 4\right)\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $20 a + 40 + \left(12 a + 22\right)\cdot 73 + \left(48 a + 45\right)\cdot 73^{2} + \left(33 a + 61\right)\cdot 73^{3} + \left(5 a + 47\right)\cdot 73^{4} + \left(61 a + 54\right)\cdot 73^{5} + \left(51 a + 16\right)\cdot 73^{6} + \left(40 a + 63\right)\cdot 73^{7} + \left(44 a + 33\right)\cdot 73^{8} + \left(30 a + 30\right)\cdot 73^{9} + \left(66 a + 17\right)\cdot 73^{10} + \left(27 a + 14\right)\cdot 73^{11} + \left(4 a + 64\right)\cdot 73^{12} + \left(37 a + 28\right)\cdot 73^{13} + \left(28 a + 37\right)\cdot 73^{14} + \left(8 a + 46\right)\cdot 73^{15} + 35 a\cdot 73^{16} + \left(64 a + 37\right)\cdot 73^{17} + \left(16 a + 53\right)\cdot 73^{18} + \left(21 a + 59\right)\cdot 73^{19} + \left(4 a + 8\right)\cdot 73^{20} + \left(9 a + 36\right)\cdot 73^{21} + \left(11 a + 65\right)\cdot 73^{22} + \left(22 a + 52\right)\cdot 73^{23} + \left(71 a + 62\right)\cdot 73^{24} + \left(52 a + 35\right)\cdot 73^{25} + \left(48 a + 69\right)\cdot 73^{26} + \left(54 a + 22\right)\cdot 73^{27} + \left(24 a + 62\right)\cdot 73^{28} + \left(67 a + 19\right)\cdot 73^{29} + \left(53 a + 41\right)\cdot 73^{30} + \left(5 a + 62\right)\cdot 73^{31} + \left(40 a + 45\right)\cdot 73^{32} + \left(10 a + 65\right)\cdot 73^{33} + \left(18 a + 48\right)\cdot 73^{34} + \left(72 a + 30\right)\cdot 73^{35} + 41 a\cdot 73^{36} + \left(32 a + 25\right)\cdot 73^{37} + \left(2 a + 14\right)\cdot 73^{38} + \left(69 a + 6\right)\cdot 73^{39} + \left(53 a + 69\right)\cdot 73^{40} + \left(68 a + 62\right)\cdot 73^{41} + \left(19 a + 41\right)\cdot 73^{42} + \left(69 a + 13\right)\cdot 73^{43} + \left(52 a + 33\right)\cdot 73^{44} + \left(46 a + 15\right)\cdot 73^{45} + \left(71 a + 1\right)\cdot 73^{46} + \left(30 a + 52\right)\cdot 73^{47} + \left(67 a + 19\right)\cdot 73^{48} + \left(37 a + 38\right)\cdot 73^{49} + \left(38 a + 33\right)\cdot 73^{50} + \left(21 a + 3\right)\cdot 73^{51} + \left(48 a + 5\right)\cdot 73^{52} + \left(51 a + 14\right)\cdot 73^{53} + \left(38 a + 42\right)\cdot 73^{54} + \left(12 a + 47\right)\cdot 73^{55} + \left(19 a + 8\right)\cdot 73^{56} + \left(13 a + 12\right)\cdot 73^{57} + 27 a\cdot 73^{58} + \left(51 a + 14\right)\cdot 73^{59} + \left(50 a + 66\right)\cdot 73^{60} + \left(22 a + 57\right)\cdot 73^{61} + \left(47 a + 72\right)\cdot 73^{62} + \left(59 a + 31\right)\cdot 73^{63} + \left(38 a + 21\right)\cdot 73^{64} + \left(43 a + 24\right)\cdot 73^{65} + \left(27 a + 3\right)\cdot 73^{66} + \left(69 a + 70\right)\cdot 73^{67} + \left(22 a + 56\right)\cdot 73^{68} + \left(47 a + 21\right)\cdot 73^{69} + \left(31 a + 19\right)\cdot 73^{70} + \left(2 a + 32\right)\cdot 73^{71} + \left(26 a + 49\right)\cdot 73^{72} + \left(5 a + 40\right)\cdot 73^{73} + \left(5 a + 60\right)\cdot 73^{74} + \left(20 a + 50\right)\cdot 73^{75} + \left(14 a + 29\right)\cdot 73^{76} + \left(22 a + 28\right)\cdot 73^{77} + \left(9 a + 6\right)\cdot 73^{78} + \left(60 a + 54\right)\cdot 73^{79} + \left(28 a + 51\right)\cdot 73^{80} + \left(60 a + 20\right)\cdot 73^{81} + \left(61 a + 33\right)\cdot 73^{82} + \left(33 a + 27\right)\cdot 73^{83} + \left(5 a + 3\right)\cdot 73^{84} + \left(62 a + 14\right)\cdot 73^{85} + \left(71 a + 14\right)\cdot 73^{86} + \left(70 a + 50\right)\cdot 73^{87} + \left(35 a + 49\right)\cdot 73^{88} + \left(11 a + 17\right)\cdot 73^{89} + \left(40 a + 51\right)\cdot 73^{90} + \left(54 a + 36\right)\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $44 a + 68 + \left(62 a + 48\right)\cdot 73 + \left(20 a + 23\right)\cdot 73^{2} + \left(44 a + 16\right)\cdot 73^{3} + \left(40 a + 67\right)\cdot 73^{4} + \left(38 a + 21\right)\cdot 73^{5} + \left(38 a + 19\right)\cdot 73^{6} + \left(51 a + 35\right)\cdot 73^{7} + \left(72 a + 64\right)\cdot 73^{8} + \left(68 a + 12\right)\cdot 73^{9} + \left(36 a + 51\right)\cdot 73^{10} + \left(43 a + 43\right)\cdot 73^{11} + \left(61 a + 19\right)\cdot 73^{12} + \left(29 a + 35\right)\cdot 73^{13} + \left(64 a + 59\right)\cdot 73^{14} + \left(21 a + 45\right)\cdot 73^{15} + \left(57 a + 2\right)\cdot 73^{16} + \left(33 a + 39\right)\cdot 73^{17} + \left(60 a + 46\right)\cdot 73^{18} + \left(4 a + 34\right)\cdot 73^{19} + \left(57 a + 54\right)\cdot 73^{20} + \left(49 a + 31\right)\cdot 73^{21} + \left(4 a + 72\right)\cdot 73^{22} + \left(2 a + 60\right)\cdot 73^{23} + \left(17 a + 49\right)\cdot 73^{24} + \left(6 a + 60\right)\cdot 73^{25} + \left(18 a + 41\right)\cdot 73^{26} + \left(13 a + 65\right)\cdot 73^{27} + \left(38 a + 63\right)\cdot 73^{28} + \left(7 a + 60\right)\cdot 73^{29} + \left(56 a + 45\right)\cdot 73^{30} + \left(40 a + 41\right)\cdot 73^{31} + \left(16 a + 14\right)\cdot 73^{32} + \left(70 a + 6\right)\cdot 73^{33} + 14\cdot 73^{34} + \left(25 a + 47\right)\cdot 73^{35} + \left(a + 66\right)\cdot 73^{36} + \left(11 a + 49\right)\cdot 73^{37} + \left(17 a + 33\right)\cdot 73^{38} + \left(59 a + 59\right)\cdot 73^{39} + \left(69 a + 67\right)\cdot 73^{40} + \left(28 a + 53\right)\cdot 73^{41} + \left(22 a + 57\right)\cdot 73^{42} + \left(7 a + 32\right)\cdot 73^{43} + \left(64 a + 65\right)\cdot 73^{44} + \left(16 a + 15\right)\cdot 73^{45} + \left(45 a + 53\right)\cdot 73^{46} + \left(41 a + 37\right)\cdot 73^{47} + \left(20 a + 57\right)\cdot 73^{48} + \left(17 a + 34\right)\cdot 73^{49} + \left(69 a + 28\right)\cdot 73^{50} + \left(18 a + 53\right)\cdot 73^{51} + \left(55 a + 47\right)\cdot 73^{52} + \left(39 a + 46\right)\cdot 73^{53} + \left(18 a + 15\right)\cdot 73^{54} + \left(14 a + 56\right)\cdot 73^{55} + \left(72 a + 16\right)\cdot 73^{56} + \left(63 a + 44\right)\cdot 73^{57} + \left(41 a + 19\right)\cdot 73^{58} + \left(26 a + 72\right)\cdot 73^{59} + \left(47 a + 7\right)\cdot 73^{60} + \left(15 a + 50\right)\cdot 73^{61} + \left(32 a + 7\right)\cdot 73^{62} + \left(11 a + 40\right)\cdot 73^{63} + \left(70 a + 5\right)\cdot 73^{64} + \left(14 a + 37\right)\cdot 73^{65} + \left(25 a + 13\right)\cdot 73^{66} + \left(66 a + 24\right)\cdot 73^{67} + \left(7 a + 27\right)\cdot 73^{68} + \left(28 a + 39\right)\cdot 73^{69} + \left(30 a + 69\right)\cdot 73^{70} + \left(59 a + 14\right)\cdot 73^{71} + \left(3 a + 36\right)\cdot 73^{72} + \left(5 a + 72\right)\cdot 73^{73} + \left(a + 48\right)\cdot 73^{74} + \left(19 a + 62\right)\cdot 73^{75} + \left(45 a + 61\right)\cdot 73^{76} + \left(60 a + 67\right)\cdot 73^{77} + \left(46 a + 14\right)\cdot 73^{78} + \left(2 a + 10\right)\cdot 73^{79} + \left(63 a + 15\right)\cdot 73^{80} + \left(15 a + 42\right)\cdot 73^{81} + \left(60 a + 44\right)\cdot 73^{82} + \left(48 a + 46\right)\cdot 73^{83} + \left(62 a + 37\right)\cdot 73^{84} + \left(54 a + 38\right)\cdot 73^{85} + \left(24 a + 66\right)\cdot 73^{86} + \left(67 a + 38\right)\cdot 73^{87} + \left(38 a + 15\right)\cdot 73^{88} + \left(31 a + 34\right)\cdot 73^{89} + \left(53 a + 9\right)\cdot 73^{90} + 33 a\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $38 a + 65 + \left(12 a + 61\right)\cdot 73 + \left(48 a + 19\right)\cdot 73^{2} + \left(25 a + 59\right)\cdot 73^{3} + \left(a + 50\right)\cdot 73^{4} + \left(42 a + 60\right)\cdot 73^{5} + \left(13 a + 15\right)\cdot 73^{6} + \left(19 a + 67\right)\cdot 73^{7} + \left(22 a + 10\right)\cdot 73^{8} + \left(62 a + 20\right)\cdot 73^{9} + \left(60 a + 50\right)\cdot 73^{10} + \left(4 a + 5\right)\cdot 73^{11} + \left(9 a + 8\right)\cdot 73^{12} + \left(36 a + 47\right)\cdot 73^{13} + \left(26 a + 19\right)\cdot 73^{14} + \left(22 a + 6\right)\cdot 73^{15} + \left(35 a + 63\right)\cdot 73^{16} + \left(33 a + 15\right)\cdot 73^{17} + 5\cdot 73^{18} + \left(7 a + 51\right)\cdot 73^{19} + \left(42 a + 21\right)\cdot 73^{20} + \left(53 a + 45\right)\cdot 73^{21} + \left(56 a + 69\right)\cdot 73^{22} + \left(70 a + 42\right)\cdot 73^{23} + \left(56 a + 21\right)\cdot 73^{24} + \left(45 a + 44\right)\cdot 73^{25} + \left(58 a + 51\right)\cdot 73^{26} + \left(33 a + 11\right)\cdot 73^{27} + \left(17 a + 22\right)\cdot 73^{28} + \left(70 a + 69\right)\cdot 73^{29} + \left(a + 51\right)\cdot 73^{30} + \left(10 a + 20\right)\cdot 73^{31} + \left(a + 57\right)\cdot 73^{32} + \left(41 a + 54\right)\cdot 73^{33} + \left(13 a + 19\right)\cdot 73^{34} + \left(41 a + 43\right)\cdot 73^{35} + \left(25 a + 35\right)\cdot 73^{36} + \left(a + 54\right)\cdot 73^{37} + \left(11 a + 39\right)\cdot 73^{38} + \left(30 a + 39\right)\cdot 73^{39} + \left(54 a + 9\right)\cdot 73^{40} + \left(24 a + 37\right)\cdot 73^{41} + \left(51 a + 4\right)\cdot 73^{42} + \left(38 a + 8\right)\cdot 73^{43} + \left(28 a + 1\right)\cdot 73^{44} + \left(23 a + 43\right)\cdot 73^{45} + \left(68 a + 15\right)\cdot 73^{46} + \left(65 a + 40\right)\cdot 73^{47} + \left(42 a + 10\right)\cdot 73^{48} + \left(26 a + 4\right)\cdot 73^{49} + 72 a\cdot 73^{50} + \left(12 a + 6\right)\cdot 73^{51} + \left(53 a + 61\right)\cdot 73^{52} + \left(52 a + 14\right)\cdot 73^{53} + \left(8 a + 26\right)\cdot 73^{54} + \left(72 a + 10\right)\cdot 73^{55} + \left(6 a + 17\right)\cdot 73^{56} + \left(68 a + 16\right)\cdot 73^{57} + \left(14 a + 34\right)\cdot 73^{58} + \left(45 a + 67\right)\cdot 73^{59} + \left(44 a + 35\right)\cdot 73^{60} + \left(61 a + 62\right)\cdot 73^{61} + \left(12 a + 72\right)\cdot 73^{62} + \left(27 a + 33\right)\cdot 73^{63} + \left(10 a + 2\right)\cdot 73^{64} + \left(67 a + 26\right)\cdot 73^{65} + \left(54 a + 53\right)\cdot 73^{66} + \left(48 a + 25\right)\cdot 73^{67} + \left(4 a + 11\right)\cdot 73^{68} + \left(42 a + 44\right)\cdot 73^{69} + \left(15 a + 42\right)\cdot 73^{70} + \left(34 a + 13\right)\cdot 73^{71} + \left(40 a + 17\right)\cdot 73^{72} + \left(9 a + 37\right)\cdot 73^{73} + \left(53 a + 59\right)\cdot 73^{74} + \left(33 a + 67\right)\cdot 73^{75} + \left(19 a + 49\right)\cdot 73^{76} + \left(57 a + 6\right)\cdot 73^{77} + \left(60 a + 65\right)\cdot 73^{78} + \left(54 a + 66\right)\cdot 73^{79} + \left(12 a + 45\right)\cdot 73^{80} + \left(23 a + 46\right)\cdot 73^{81} + \left(64 a + 43\right)\cdot 73^{82} + \left(6 a + 41\right)\cdot 73^{83} + \left(71 a + 8\right)\cdot 73^{84} + \left(57 a + 5\right)\cdot 73^{85} + \left(69 a + 67\right)\cdot 73^{86} + \left(23 a + 53\right)\cdot 73^{87} + \left(57 a + 31\right)\cdot 73^{88} + \left(63 a + 53\right)\cdot 73^{89} + \left(41 a + 4\right)\cdot 73^{90} + \left(57 a + 20\right)\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $53 a + 27 + \left(60 a + 39\right)\cdot 73 + \left(24 a + 31\right)\cdot 73^{2} + \left(39 a + 41\right)\cdot 73^{3} + \left(67 a + 30\right)\cdot 73^{4} + \left(11 a + 13\right)\cdot 73^{5} + \left(21 a + 38\right)\cdot 73^{6} + \left(32 a + 60\right)\cdot 73^{7} + \left(28 a + 53\right)\cdot 73^{8} + \left(42 a + 4\right)\cdot 73^{9} + \left(6 a + 40\right)\cdot 73^{10} + \left(45 a + 31\right)\cdot 73^{11} + \left(68 a + 49\right)\cdot 73^{12} + \left(35 a + 62\right)\cdot 73^{13} + \left(44 a + 12\right)\cdot 73^{14} + \left(64 a + 43\right)\cdot 73^{15} + \left(37 a + 24\right)\cdot 73^{16} + \left(8 a + 49\right)\cdot 73^{17} + \left(56 a + 39\right)\cdot 73^{18} + \left(51 a + 33\right)\cdot 73^{19} + 68 a\cdot 73^{20} + \left(63 a + 59\right)\cdot 73^{21} + \left(61 a + 16\right)\cdot 73^{22} + \left(50 a + 35\right)\cdot 73^{23} + \left(a + 35\right)\cdot 73^{24} + \left(20 a + 50\right)\cdot 73^{25} + \left(24 a + 16\right)\cdot 73^{26} + \left(18 a + 65\right)\cdot 73^{27} + \left(48 a + 8\right)\cdot 73^{28} + \left(5 a + 51\right)\cdot 73^{29} + \left(19 a + 62\right)\cdot 73^{30} + \left(67 a + 25\right)\cdot 73^{31} + \left(32 a + 14\right)\cdot 73^{32} + \left(62 a + 57\right)\cdot 73^{33} + \left(54 a + 19\right)\cdot 73^{34} + 10\cdot 73^{35} + \left(31 a + 54\right)\cdot 73^{36} + \left(40 a + 7\right)\cdot 73^{37} + \left(70 a + 62\right)\cdot 73^{38} + \left(3 a + 64\right)\cdot 73^{39} + \left(19 a + 15\right)\cdot 73^{40} + \left(4 a + 69\right)\cdot 73^{41} + \left(53 a + 32\right)\cdot 73^{42} + \left(3 a + 55\right)\cdot 73^{43} + \left(20 a + 49\right)\cdot 73^{44} + \left(26 a + 29\right)\cdot 73^{45} + \left(a + 23\right)\cdot 73^{46} + 42 a\cdot 73^{47} + \left(5 a + 45\right)\cdot 73^{48} + \left(35 a + 11\right)\cdot 73^{49} + \left(34 a + 38\right)\cdot 73^{50} + \left(51 a + 29\right)\cdot 73^{51} + \left(24 a + 55\right)\cdot 73^{52} + \left(21 a + 47\right)\cdot 73^{53} + \left(34 a + 33\right)\cdot 73^{54} + \left(60 a + 46\right)\cdot 73^{55} + \left(53 a + 53\right)\cdot 73^{56} + \left(59 a + 32\right)\cdot 73^{57} + \left(45 a + 68\right)\cdot 73^{58} + \left(21 a + 67\right)\cdot 73^{59} + \left(22 a + 20\right)\cdot 73^{60} + \left(50 a + 2\right)\cdot 73^{61} + \left(25 a + 46\right)\cdot 73^{62} + \left(13 a + 17\right)\cdot 73^{63} + \left(34 a + 5\right)\cdot 73^{64} + \left(29 a + 43\right)\cdot 73^{65} + \left(45 a + 42\right)\cdot 73^{66} + \left(3 a + 31\right)\cdot 73^{67} + \left(50 a + 56\right)\cdot 73^{68} + \left(25 a + 67\right)\cdot 73^{69} + \left(41 a + 66\right)\cdot 73^{70} + \left(70 a + 7\right)\cdot 73^{71} + \left(46 a + 52\right)\cdot 73^{72} + \left(67 a + 30\right)\cdot 73^{73} + \left(67 a + 70\right)\cdot 73^{74} + \left(52 a + 32\right)\cdot 73^{75} + \left(58 a + 52\right)\cdot 73^{76} + \left(50 a + 7\right)\cdot 73^{77} + \left(63 a + 12\right)\cdot 73^{78} + \left(12 a + 6\right)\cdot 73^{79} + \left(44 a + 5\right)\cdot 73^{80} + \left(12 a + 27\right)\cdot 73^{81} + \left(11 a + 12\right)\cdot 73^{82} + \left(39 a + 67\right)\cdot 73^{83} + \left(67 a + 58\right)\cdot 73^{84} + \left(10 a + 48\right)\cdot 73^{85} + \left(a + 21\right)\cdot 73^{86} + \left(2 a + 45\right)\cdot 73^{87} + \left(37 a + 13\right)\cdot 73^{88} + \left(61 a + 16\right)\cdot 73^{89} + \left(32 a + 14\right)\cdot 73^{90} + \left(18 a + 14\right)\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $29 a + 54 + \left(10 a + 46\right)\cdot 73 + \left(52 a + 23\right)\cdot 73^{2} + \left(28 a + 55\right)\cdot 73^{3} + \left(32 a + 71\right)\cdot 73^{4} + \left(34 a + 23\right)\cdot 73^{5} + \left(34 a + 23\right)\cdot 73^{6} + \left(21 a + 5\right)\cdot 73^{7} + 12\cdot 73^{8} + \left(4 a + 1\right)\cdot 73^{9} + \left(36 a + 20\right)\cdot 73^{10} + \left(29 a + 64\right)\cdot 73^{11} + \left(11 a + 14\right)\cdot 73^{12} + \left(43 a + 63\right)\cdot 73^{13} + \left(8 a + 3\right)\cdot 73^{14} + \left(51 a + 47\right)\cdot 73^{15} + \left(15 a + 6\right)\cdot 73^{16} + \left(39 a + 10\right)\cdot 73^{17} + \left(12 a + 48\right)\cdot 73^{18} + \left(68 a + 61\right)\cdot 73^{19} + \left(15 a + 1\right)\cdot 73^{20} + \left(23 a + 51\right)\cdot 73^{21} + \left(68 a + 36\right)\cdot 73^{22} + \left(70 a + 62\right)\cdot 73^{23} + \left(55 a + 25\right)\cdot 73^{24} + \left(66 a + 62\right)\cdot 73^{25} + \left(54 a + 16\right)\cdot 73^{26} + \left(59 a + 14\right)\cdot 73^{27} + \left(34 a + 19\right)\cdot 73^{28} + \left(65 a + 45\right)\cdot 73^{29} + \left(16 a + 60\right)\cdot 73^{30} + \left(32 a + 34\right)\cdot 73^{31} + \left(56 a + 23\right)\cdot 73^{32} + \left(2 a + 54\right)\cdot 73^{33} + \left(72 a + 19\right)\cdot 73^{34} + \left(47 a + 48\right)\cdot 73^{35} + \left(71 a + 45\right)\cdot 73^{36} + \left(61 a + 8\right)\cdot 73^{37} + \left(55 a + 1\right)\cdot 73^{38} + \left(13 a + 1\right)\cdot 73^{39} + \left(3 a + 72\right)\cdot 73^{40} + \left(44 a + 70\right)\cdot 73^{41} + \left(50 a + 22\right)\cdot 73^{42} + \left(65 a + 32\right)\cdot 73^{43} + \left(8 a + 31\right)\cdot 73^{44} + \left(56 a + 2\right)\cdot 73^{45} + \left(27 a + 26\right)\cdot 73^{46} + \left(31 a + 44\right)\cdot 73^{47} + \left(52 a + 4\right)\cdot 73^{48} + \left(55 a + 66\right)\cdot 73^{49} + \left(3 a + 72\right)\cdot 73^{50} + \left(54 a + 40\right)\cdot 73^{51} + \left(17 a + 48\right)\cdot 73^{52} + \left(33 a + 37\right)\cdot 73^{53} + \left(54 a + 31\right)\cdot 73^{54} + \left(58 a + 7\right)\cdot 73^{55} + \left(9 a + 18\right)\cdot 73^{57} + \left(31 a + 8\right)\cdot 73^{58} + \left(46 a + 37\right)\cdot 73^{59} + \left(25 a + 50\right)\cdot 73^{60} + \left(57 a + 49\right)\cdot 73^{61} + \left(40 a + 15\right)\cdot 73^{62} + \left(61 a + 42\right)\cdot 73^{63} + \left(2 a + 58\right)\cdot 73^{64} + \left(58 a + 11\right)\cdot 73^{65} + \left(47 a + 1\right)\cdot 73^{66} + \left(6 a + 52\right)\cdot 73^{67} + \left(65 a + 57\right)\cdot 73^{68} + \left(44 a + 42\right)\cdot 73^{69} + \left(42 a + 59\right)\cdot 73^{70} + \left(13 a + 16\right)\cdot 73^{71} + \left(69 a + 61\right)\cdot 73^{72} + \left(67 a + 10\right)\cdot 73^{73} + \left(71 a + 47\right)\cdot 73^{74} + \left(53 a + 45\right)\cdot 73^{75} + \left(27 a + 32\right)\cdot 73^{76} + \left(12 a + 58\right)\cdot 73^{77} + \left(26 a + 21\right)\cdot 73^{78} + \left(70 a + 44\right)\cdot 73^{79} + \left(9 a + 55\right)\cdot 73^{80} + \left(57 a + 26\right)\cdot 73^{81} + \left(12 a + 63\right)\cdot 73^{82} + \left(24 a + 59\right)\cdot 73^{83} + \left(10 a + 30\right)\cdot 73^{84} + \left(18 a + 67\right)\cdot 73^{85} + \left(48 a + 12\right)\cdot 73^{86} + \left(5 a + 70\right)\cdot 73^{87} + \left(34 a + 64\right)\cdot 73^{88} + \left(41 a + 16\right)\cdot 73^{89} + \left(19 a + 65\right)\cdot 73^{90} + \left(39 a + 47\right)\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $65 + 41\cdot 73 + 59\cdot 73^{2} + 64\cdot 73^{3} + 39\cdot 73^{4} + 5\cdot 73^{5} + 51\cdot 73^{6} + 25\cdot 73^{7} + 38\cdot 73^{8} + 15\cdot 73^{9} + 31\cdot 73^{10} + 45\cdot 73^{11} + 28\cdot 73^{12} + 47\cdot 73^{13} + 70\cdot 73^{14} + 53\cdot 73^{15} + 47\cdot 73^{16} + 52\cdot 73^{17} + 52\cdot 73^{18} + 66\cdot 73^{19} + 20\cdot 73^{20} + 41\cdot 73^{21} + 38\cdot 73^{22} + 34\cdot 73^{23} + 16\cdot 73^{24} + 17\cdot 73^{25} + 4\cdot 73^{26} + 49\cdot 73^{27} + 11\cdot 73^{28} + 55\cdot 73^{29} + 20\cdot 73^{30} + 33\cdot 73^{31} + 41\cdot 73^{32} + 34\cdot 73^{33} + 72\cdot 73^{34} + 7\cdot 73^{35} + 26\cdot 73^{36} + 29\cdot 73^{37} + 9\cdot 73^{38} + 6\cdot 73^{39} + 58\cdot 73^{40} + 26\cdot 73^{41} + 53\cdot 73^{42} + 52\cdot 73^{43} + 51\cdot 73^{44} + 32\cdot 73^{45} + 68\cdot 73^{46} + 33\cdot 73^{47} + 21\cdot 73^{48} + 35\cdot 73^{49} + 15\cdot 73^{50} + 52\cdot 73^{51} + 25\cdot 73^{52} + 39\cdot 73^{53} + 4\cdot 73^{54} + 46\cdot 73^{55} + 69\cdot 73^{56} + 11\cdot 73^{57} + 15\cdot 73^{58} + 49\cdot 73^{59} + 43\cdot 73^{60} + 17\cdot 73^{61} + 10\cdot 73^{62} + 11\cdot 73^{63} + 14\cdot 73^{64} + 30\cdot 73^{65} + 23\cdot 73^{66} + 39\cdot 73^{67} + 45\cdot 73^{68} + 54\cdot 73^{69} + 64\cdot 73^{70} + 61\cdot 73^{71} + 20\cdot 73^{72} + 73^{73} + 45\cdot 73^{74} + 62\cdot 73^{75} + 48\cdot 73^{76} + 66\cdot 73^{77} + 60\cdot 73^{78} + 31\cdot 73^{79} + 48\cdot 73^{80} + 4\cdot 73^{81} + 59\cdot 73^{82} + 61\cdot 73^{83} + 41\cdot 73^{84} + 29\cdot 73^{85} + 71\cdot 73^{86} + 18\cdot 73^{87} + 24\cdot 73^{88} + 40\cdot 73^{89} + 57\cdot 73^{90} + 57\cdot 73^{91} +O\left(73^{ 92 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,3)$ $(1,3,6,8)$ $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(2,5)(4,7)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$ $1$ $12$ $2$ $(1,3)$ $3$ $24$ $2$ $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,3)(2,4)$ $1$ $36$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,7)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,6,8)$ $0$ $64$ $3$ $(1,6,8)(4,5,7)$ $0$ $12$ $4$ $(2,4,5,7)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,3,6,8)(2,4,5,7)$ $1$ $36$ $4$ $(1,3,6,8)(2,5)(4,7)$ $1$ $72$ $4$ $(1,2,6,5)(3,4,8,7)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,3)(2,4,5,7)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,8,6)(2,5)(4,7)$ $0$ $96$ $6$ $(1,3)(4,7,5)$ $0$ $192$ $6$ $(1,4,6,5,8,7)(2,3)$ $0$ $144$ $8$ $(1,2,3,4,6,5,8,7)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,6,8)(2,4,5,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.