Properties

Label 9.2e9_1033e3.16t1294.1c1
Dimension 9
Group $S_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{9} \cdot 1033^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$9$
Group:$S_4\wr C_2$
Conductor:$564379103744= 2^{9} \cdot 1033^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 12 x^{6} - 16 x^{5} + 33 x^{4} + 96 x^{3} + 82 x^{2} + 24 x - 256 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 16T1294
Parity: Even
Determinant: 1.2e3_1033.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 163 }$ to precision 88.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 163 }$: $ x^{2} + 159 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 40 + 107\cdot 163 + 163^{2} + 58\cdot 163^{3} + 72\cdot 163^{4} + 39\cdot 163^{5} + 47\cdot 163^{6} + 78\cdot 163^{7} + 95\cdot 163^{8} + 73\cdot 163^{9} + 58\cdot 163^{10} + 144\cdot 163^{11} + 29\cdot 163^{12} + 83\cdot 163^{13} + 124\cdot 163^{14} + 56\cdot 163^{15} + 94\cdot 163^{16} + 131\cdot 163^{17} + 156\cdot 163^{18} + 82\cdot 163^{19} + 142\cdot 163^{20} + 128\cdot 163^{21} + 56\cdot 163^{22} + 159\cdot 163^{23} + 9\cdot 163^{24} + 49\cdot 163^{25} + 148\cdot 163^{26} + 152\cdot 163^{27} + 74\cdot 163^{28} + 63\cdot 163^{29} + 134\cdot 163^{30} + 88\cdot 163^{31} + 124\cdot 163^{32} + 159\cdot 163^{33} + 52\cdot 163^{34} + 124\cdot 163^{35} + 20\cdot 163^{36} + 159\cdot 163^{37} + 70\cdot 163^{38} + 125\cdot 163^{39} + 13\cdot 163^{40} + 107\cdot 163^{41} + 32\cdot 163^{42} + 129\cdot 163^{43} + 130\cdot 163^{44} + 123\cdot 163^{45} + 25\cdot 163^{46} + 117\cdot 163^{47} + 153\cdot 163^{48} + 32\cdot 163^{49} + 127\cdot 163^{50} + 10\cdot 163^{51} + 48\cdot 163^{52} + 92\cdot 163^{53} + 18\cdot 163^{54} + 131\cdot 163^{55} + 25\cdot 163^{57} + 151\cdot 163^{58} + 66\cdot 163^{59} + 124\cdot 163^{60} + 59\cdot 163^{61} + 124\cdot 163^{62} + 108\cdot 163^{63} + 51\cdot 163^{64} + 95\cdot 163^{65} + 53\cdot 163^{66} + 155\cdot 163^{67} + 130\cdot 163^{68} + 119\cdot 163^{69} + 103\cdot 163^{70} + 163^{71} + 132\cdot 163^{72} + 76\cdot 163^{73} + 136\cdot 163^{74} + 36\cdot 163^{75} + 93\cdot 163^{76} + 156\cdot 163^{77} + 26\cdot 163^{78} + 75\cdot 163^{79} + 25\cdot 163^{80} + 115\cdot 163^{81} + 44\cdot 163^{82} + 18\cdot 163^{83} + 137\cdot 163^{84} + 138\cdot 163^{85} + 115\cdot 163^{86} + 148\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 80 a + 128 + \left(153 a + 15\right)\cdot 163 + \left(118 a + 100\right)\cdot 163^{2} + \left(138 a + 145\right)\cdot 163^{3} + \left(124 a + 143\right)\cdot 163^{4} + \left(146 a + 95\right)\cdot 163^{5} + \left(150 a + 63\right)\cdot 163^{6} + \left(77 a + 86\right)\cdot 163^{7} + \left(102 a + 78\right)\cdot 163^{8} + \left(38 a + 92\right)\cdot 163^{9} + \left(121 a + 1\right)\cdot 163^{10} + \left(90 a + 27\right)\cdot 163^{11} + \left(41 a + 146\right)\cdot 163^{12} + \left(102 a + 138\right)\cdot 163^{13} + \left(69 a + 12\right)\cdot 163^{14} + \left(89 a + 9\right)\cdot 163^{15} + \left(162 a + 50\right)\cdot 163^{16} + \left(144 a + 81\right)\cdot 163^{17} + \left(111 a + 73\right)\cdot 163^{18} + \left(139 a + 22\right)\cdot 163^{19} + \left(42 a + 72\right)\cdot 163^{20} + \left(142 a + 84\right)\cdot 163^{21} + \left(158 a + 109\right)\cdot 163^{22} + \left(46 a + 57\right)\cdot 163^{23} + \left(92 a + 64\right)\cdot 163^{24} + \left(62 a + 5\right)\cdot 163^{25} + \left(72 a + 144\right)\cdot 163^{26} + \left(125 a + 73\right)\cdot 163^{27} + \left(133 a + 140\right)\cdot 163^{28} + \left(129 a + 46\right)\cdot 163^{29} + \left(88 a + 31\right)\cdot 163^{30} + \left(153 a + 102\right)\cdot 163^{31} + \left(83 a + 73\right)\cdot 163^{32} + \left(142 a + 111\right)\cdot 163^{33} + \left(74 a + 1\right)\cdot 163^{34} + \left(52 a + 7\right)\cdot 163^{35} + \left(79 a + 5\right)\cdot 163^{36} + \left(44 a + 12\right)\cdot 163^{37} + \left(101 a + 114\right)\cdot 163^{38} + \left(86 a + 150\right)\cdot 163^{39} + \left(63 a + 15\right)\cdot 163^{40} + \left(67 a + 90\right)\cdot 163^{41} + \left(131 a + 95\right)\cdot 163^{42} + \left(46 a + 5\right)\cdot 163^{43} + \left(42 a + 17\right)\cdot 163^{44} + \left(65 a + 132\right)\cdot 163^{45} + \left(61 a + 96\right)\cdot 163^{46} + \left(151 a + 80\right)\cdot 163^{47} + \left(66 a + 94\right)\cdot 163^{48} + \left(120 a + 154\right)\cdot 163^{49} + \left(81 a + 95\right)\cdot 163^{50} + \left(117 a + 100\right)\cdot 163^{51} + \left(44 a + 26\right)\cdot 163^{52} + \left(19 a + 98\right)\cdot 163^{53} + \left(61 a + 31\right)\cdot 163^{54} + \left(18 a + 63\right)\cdot 163^{55} + \left(101 a + 85\right)\cdot 163^{56} + \left(16 a + 42\right)\cdot 163^{57} + \left(23 a + 17\right)\cdot 163^{58} + \left(69 a + 22\right)\cdot 163^{59} + \left(27 a + 63\right)\cdot 163^{60} + \left(50 a + 159\right)\cdot 163^{61} + \left(59 a + 155\right)\cdot 163^{62} + \left(118 a + 49\right)\cdot 163^{63} + \left(113 a + 57\right)\cdot 163^{64} + \left(70 a + 128\right)\cdot 163^{65} + \left(82 a + 157\right)\cdot 163^{66} + \left(88 a + 105\right)\cdot 163^{67} + \left(146 a + 137\right)\cdot 163^{68} + \left(49 a + 134\right)\cdot 163^{69} + \left(65 a + 31\right)\cdot 163^{70} + \left(137 a + 94\right)\cdot 163^{71} + \left(96 a + 72\right)\cdot 163^{72} + \left(152 a + 20\right)\cdot 163^{73} + \left(116 a + 122\right)\cdot 163^{74} + \left(157 a + 71\right)\cdot 163^{75} + \left(57 a + 95\right)\cdot 163^{76} + \left(20 a + 105\right)\cdot 163^{77} + \left(129 a + 9\right)\cdot 163^{78} + \left(80 a + 48\right)\cdot 163^{79} + \left(107 a + 54\right)\cdot 163^{80} + \left(103 a + 72\right)\cdot 163^{81} + \left(77 a + 115\right)\cdot 163^{82} + \left(6 a + 101\right)\cdot 163^{83} + \left(61 a + 92\right)\cdot 163^{84} + \left(112 a + 1\right)\cdot 163^{85} + \left(140 a + 50\right)\cdot 163^{86} + \left(20 a + 86\right)\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 132 a + 100 + \left(121 a + 28\right)\cdot 163 + \left(74 a + 139\right)\cdot 163^{2} + \left(59 a + 43\right)\cdot 163^{3} + \left(67 a + 141\right)\cdot 163^{4} + \left(83 a + 28\right)\cdot 163^{5} + \left(75 a + 6\right)\cdot 163^{6} + \left(115 a + 129\right)\cdot 163^{7} + \left(81 a + 138\right)\cdot 163^{8} + \left(157 a + 14\right)\cdot 163^{9} + \left(99 a + 143\right)\cdot 163^{10} + \left(78 a + 70\right)\cdot 163^{11} + \left(126 a + 91\right)\cdot 163^{12} + \left(14 a + 118\right)\cdot 163^{13} + \left(47 a + 56\right)\cdot 163^{14} + \left(107 a + 63\right)\cdot 163^{15} + \left(27 a + 75\right)\cdot 163^{16} + \left(96 a + 20\right)\cdot 163^{17} + \left(42 a + 64\right)\cdot 163^{18} + \left(11 a + 160\right)\cdot 163^{19} + 162 a\cdot 163^{20} + \left(131 a + 40\right)\cdot 163^{21} + \left(49 a + 99\right)\cdot 163^{22} + \left(45 a + 106\right)\cdot 163^{23} + \left(134 a + 17\right)\cdot 163^{24} + \left(106 a + 95\right)\cdot 163^{25} + \left(87 a + 109\right)\cdot 163^{26} + \left(50 a + 61\right)\cdot 163^{27} + \left(96 a + 139\right)\cdot 163^{28} + \left(24 a + 3\right)\cdot 163^{29} + \left(35 a + 124\right)\cdot 163^{30} + 59\cdot 163^{31} + \left(142 a + 40\right)\cdot 163^{32} + \left(30 a + 62\right)\cdot 163^{33} + \left(89 a + 1\right)\cdot 163^{34} + \left(22 a + 88\right)\cdot 163^{35} + \left(32 a + 135\right)\cdot 163^{36} + \left(97 a + 4\right)\cdot 163^{37} + \left(129 a + 147\right)\cdot 163^{38} + \left(33 a + 49\right)\cdot 163^{39} + \left(146 a + 32\right)\cdot 163^{40} + \left(158 a + 51\right)\cdot 163^{41} + \left(58 a + 44\right)\cdot 163^{42} + \left(16 a + 126\right)\cdot 163^{43} + \left(61 a + 133\right)\cdot 163^{44} + \left(33 a + 129\right)\cdot 163^{45} + \left(6 a + 61\right)\cdot 163^{46} + \left(32 a + 75\right)\cdot 163^{47} + \left(130 a + 10\right)\cdot 163^{48} + \left(58 a + 156\right)\cdot 163^{49} + \left(83 a + 70\right)\cdot 163^{50} + \left(16 a + 121\right)\cdot 163^{51} + \left(145 a + 149\right)\cdot 163^{52} + \left(135 a + 93\right)\cdot 163^{53} + \left(56 a + 54\right)\cdot 163^{54} + \left(23 a + 75\right)\cdot 163^{55} + \left(125 a + 53\right)\cdot 163^{56} + \left(155 a + 133\right)\cdot 163^{57} + \left(162 a + 22\right)\cdot 163^{58} + \left(136 a + 66\right)\cdot 163^{59} + \left(117 a + 75\right)\cdot 163^{60} + \left(21 a + 95\right)\cdot 163^{61} + \left(127 a + 77\right)\cdot 163^{62} + \left(85 a + 42\right)\cdot 163^{63} + \left(11 a + 120\right)\cdot 163^{64} + \left(51 a + 16\right)\cdot 163^{65} + \left(5 a + 135\right)\cdot 163^{66} + \left(98 a + 53\right)\cdot 163^{67} + \left(94 a + 125\right)\cdot 163^{68} + \left(135 a + 103\right)\cdot 163^{69} + \left(139 a + 139\right)\cdot 163^{70} + \left(97 a + 26\right)\cdot 163^{71} + \left(10 a + 156\right)\cdot 163^{72} + \left(58 a + 100\right)\cdot 163^{73} + \left(13 a + 48\right)\cdot 163^{74} + \left(117 a + 14\right)\cdot 163^{75} + \left(135 a + 62\right)\cdot 163^{76} + \left(124 a + 108\right)\cdot 163^{77} + \left(141 a + 91\right)\cdot 163^{78} + \left(65 a + 38\right)\cdot 163^{79} + \left(77 a + 138\right)\cdot 163^{80} + \left(21 a + 95\right)\cdot 163^{81} + \left(87 a + 106\right)\cdot 163^{82} + \left(134 a + 24\right)\cdot 163^{83} + \left(51 a + 78\right)\cdot 163^{84} + \left(162 a + 157\right)\cdot 163^{85} + \left(49 a + 31\right)\cdot 163^{86} + \left(114 a + 146\right)\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 31 a + 139 + \left(41 a + 57\right)\cdot 163 + \left(88 a + 153\right)\cdot 163^{2} + \left(103 a + 43\right)\cdot 163^{3} + \left(95 a + 25\right)\cdot 163^{4} + \left(79 a + 132\right)\cdot 163^{5} + \left(87 a + 61\right)\cdot 163^{6} + \left(47 a + 26\right)\cdot 163^{7} + \left(81 a + 24\right)\cdot 163^{8} + \left(5 a + 74\right)\cdot 163^{9} + \left(63 a + 59\right)\cdot 163^{10} + \left(84 a + 122\right)\cdot 163^{11} + \left(36 a + 29\right)\cdot 163^{12} + \left(148 a + 51\right)\cdot 163^{13} + \left(115 a + 67\right)\cdot 163^{14} + \left(55 a + 119\right)\cdot 163^{15} + \left(135 a + 78\right)\cdot 163^{16} + \left(66 a + 51\right)\cdot 163^{17} + \left(120 a + 138\right)\cdot 163^{18} + \left(151 a + 162\right)\cdot 163^{19} + 148\cdot 163^{20} + \left(31 a + 79\right)\cdot 163^{21} + \left(113 a + 3\right)\cdot 163^{22} + \left(117 a + 75\right)\cdot 163^{23} + \left(28 a + 20\right)\cdot 163^{24} + \left(56 a + 62\right)\cdot 163^{25} + \left(75 a + 27\right)\cdot 163^{26} + \left(112 a + 13\right)\cdot 163^{27} + \left(66 a + 148\right)\cdot 163^{28} + \left(138 a + 5\right)\cdot 163^{29} + \left(127 a + 77\right)\cdot 163^{30} + \left(162 a + 25\right)\cdot 163^{31} + \left(20 a + 119\right)\cdot 163^{32} + \left(132 a + 43\right)\cdot 163^{33} + \left(73 a + 1\right)\cdot 163^{34} + \left(140 a + 89\right)\cdot 163^{35} + \left(130 a + 78\right)\cdot 163^{36} + \left(65 a + 35\right)\cdot 163^{37} + \left(33 a + 79\right)\cdot 163^{38} + \left(129 a + 55\right)\cdot 163^{39} + \left(16 a + 94\right)\cdot 163^{40} + \left(4 a + 51\right)\cdot 163^{41} + \left(104 a + 121\right)\cdot 163^{42} + \left(146 a + 132\right)\cdot 163^{43} + \left(101 a + 35\right)\cdot 163^{44} + \left(129 a + 39\right)\cdot 163^{45} + \left(156 a + 53\right)\cdot 163^{46} + \left(130 a + 34\right)\cdot 163^{47} + \left(32 a + 10\right)\cdot 163^{48} + \left(104 a + 98\right)\cdot 163^{49} + \left(79 a + 19\right)\cdot 163^{50} + \left(146 a + 104\right)\cdot 163^{51} + \left(17 a + 61\right)\cdot 163^{52} + \left(27 a + 3\right)\cdot 163^{53} + \left(106 a + 146\right)\cdot 163^{54} + \left(139 a + 111\right)\cdot 163^{55} + \left(37 a + 41\right)\cdot 163^{56} + \left(7 a + 142\right)\cdot 163^{57} + 29\cdot 163^{58} + \left(26 a + 125\right)\cdot 163^{59} + \left(45 a + 83\right)\cdot 163^{60} + \left(141 a + 64\right)\cdot 163^{61} + \left(35 a + 75\right)\cdot 163^{62} + \left(77 a + 95\right)\cdot 163^{63} + \left(151 a + 80\right)\cdot 163^{64} + \left(111 a + 46\right)\cdot 163^{65} + \left(157 a + 105\right)\cdot 163^{66} + \left(64 a + 114\right)\cdot 163^{67} + \left(68 a + 79\right)\cdot 163^{68} + \left(27 a + 62\right)\cdot 163^{69} + \left(23 a + 74\right)\cdot 163^{70} + \left(65 a + 115\right)\cdot 163^{71} + \left(152 a + 100\right)\cdot 163^{72} + \left(104 a + 159\right)\cdot 163^{73} + \left(149 a + 43\right)\cdot 163^{74} + \left(45 a + 143\right)\cdot 163^{75} + \left(27 a + 161\right)\cdot 163^{76} + \left(38 a + 145\right)\cdot 163^{77} + \left(21 a + 44\right)\cdot 163^{78} + \left(97 a + 160\right)\cdot 163^{79} + \left(85 a + 55\right)\cdot 163^{80} + \left(141 a + 104\right)\cdot 163^{81} + \left(75 a + 107\right)\cdot 163^{82} + \left(28 a + 149\right)\cdot 163^{83} + \left(111 a + 150\right)\cdot 163^{84} + 102\cdot 163^{85} + \left(113 a + 69\right)\cdot 163^{86} + \left(48 a + 64\right)\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 40 a + 49 + \left(16 a + 95\right)\cdot 163 + \left(23 a + 80\right)\cdot 163^{2} + \left(55 a + 61\right)\cdot 163^{3} + \left(86 a + 156\right)\cdot 163^{4} + \left(86 a + 73\right)\cdot 163^{5} + \left(42 a + 107\right)\cdot 163^{6} + \left(19 a + 44\right)\cdot 163^{7} + \left(120 a + 74\right)\cdot 163^{8} + \left(137 a + 126\right)\cdot 163^{9} + \left(3 a + 109\right)\cdot 163^{10} + \left(10 a + 97\right)\cdot 163^{11} + \left(15 a + 132\right)\cdot 163^{12} + \left(45 a + 101\right)\cdot 163^{13} + \left(41 a + 50\right)\cdot 163^{14} + \left(76 a + 20\right)\cdot 163^{15} + \left(43 a + 156\right)\cdot 163^{16} + \left(39 a + 58\right)\cdot 163^{17} + \left(63 a + 123\right)\cdot 163^{18} + \left(138 a + 29\right)\cdot 163^{19} + \left(19 a + 131\right)\cdot 163^{20} + \left(36 a + 7\right)\cdot 163^{21} + \left(17 a + 111\right)\cdot 163^{22} + \left(99 a + 151\right)\cdot 163^{23} + \left(3 a + 111\right)\cdot 163^{24} + \left(142 a + 149\right)\cdot 163^{25} + \left(6 a + 28\right)\cdot 163^{26} + \left(43 a + 137\right)\cdot 163^{27} + \left(143 a + 155\right)\cdot 163^{28} + \left(140 a + 105\right)\cdot 163^{29} + 138\cdot 163^{30} + \left(93 a + 24\right)\cdot 163^{31} + \left(127 a + 95\right)\cdot 163^{32} + \left(155 a + 46\right)\cdot 163^{33} + \left(95 a + 126\right)\cdot 163^{34} + \left(22 a + 100\right)\cdot 163^{35} + \left(63 a + 108\right)\cdot 163^{36} + \left(143 a + 32\right)\cdot 163^{37} + \left(70 a + 64\right)\cdot 163^{38} + \left(a + 22\right)\cdot 163^{39} + \left(110 a + 72\right)\cdot 163^{40} + \left(135 a + 51\right)\cdot 163^{41} + \left(153 a + 46\right)\cdot 163^{42} + \left(109 a + 25\right)\cdot 163^{43} + \left(145 a + 132\right)\cdot 163^{44} + \left(22 a + 37\right)\cdot 163^{45} + \left(130 a + 102\right)\cdot 163^{46} + \left(80 a + 64\right)\cdot 163^{47} + \left(112 a + 103\right)\cdot 163^{48} + \left(24 a + 36\right)\cdot 163^{49} + \left(35 a + 77\right)\cdot 163^{50} + \left(112 a + 97\right)\cdot 163^{51} + \left(94 a + 114\right)\cdot 163^{52} + \left(63 a + 57\right)\cdot 163^{53} + \left(17 a + 144\right)\cdot 163^{54} + \left(62 a + 158\right)\cdot 163^{55} + \left(47 a + 93\right)\cdot 163^{56} + \left(96 a + 65\right)\cdot 163^{57} + \left(75 a + 81\right)\cdot 163^{58} + \left(142 a + 157\right)\cdot 163^{59} + \left(3 a + 143\right)\cdot 163^{60} + \left(154 a + 132\right)\cdot 163^{61} + \left(68 a + 25\right)\cdot 163^{62} + \left(113 a + 105\right)\cdot 163^{63} + \left(95 a + 160\right)\cdot 163^{64} + \left(96 a + 90\right)\cdot 163^{65} + \left(151 a + 84\right)\cdot 163^{66} + \left(108 a + 147\right)\cdot 163^{67} + \left(132 a + 20\right)\cdot 163^{68} + \left(151 a + 97\right)\cdot 163^{69} + \left(91 a + 142\right)\cdot 163^{70} + \left(110 a + 77\right)\cdot 163^{71} + \left(160 a + 27\right)\cdot 163^{72} + \left(23 a + 108\right)\cdot 163^{73} + \left(17 a + 24\right)\cdot 163^{74} + \left(34 a + 124\right)\cdot 163^{75} + \left(153 a + 117\right)\cdot 163^{76} + \left(156 a + 143\right)\cdot 163^{77} + \left(9 a + 162\right)\cdot 163^{78} + \left(115 a + 113\right)\cdot 163^{79} + \left(14 a + 30\right)\cdot 163^{80} + \left(5 a + 20\right)\cdot 163^{81} + \left(129 a + 29\right)\cdot 163^{82} + \left(78 a + 148\right)\cdot 163^{83} + \left(113 a + 90\right)\cdot 163^{84} + \left(70 a + 97\right)\cdot 163^{85} + \left(2 a + 151\right)\cdot 163^{86} + \left(106 a + 23\right)\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 123 a + 46 + \left(146 a + 120\right)\cdot 163 + \left(139 a + 156\right)\cdot 163^{2} + \left(107 a + 95\right)\cdot 163^{3} + \left(76 a + 120\right)\cdot 163^{4} + \left(76 a + 7\right)\cdot 163^{5} + \left(120 a + 28\right)\cdot 163^{6} + \left(143 a + 79\right)\cdot 163^{7} + \left(42 a + 46\right)\cdot 163^{8} + \left(25 a + 68\right)\cdot 163^{9} + \left(159 a + 150\right)\cdot 163^{10} + \left(152 a + 133\right)\cdot 163^{11} + \left(147 a + 19\right)\cdot 163^{12} + \left(117 a + 104\right)\cdot 163^{13} + \left(121 a + 7\right)\cdot 163^{14} + \left(86 a + 121\right)\cdot 163^{15} + \left(119 a + 90\right)\cdot 163^{16} + \left(123 a + 9\right)\cdot 163^{17} + \left(99 a + 11\right)\cdot 163^{18} + \left(24 a + 31\right)\cdot 163^{19} + \left(143 a + 72\right)\cdot 163^{20} + \left(126 a + 132\right)\cdot 163^{21} + \left(145 a + 143\right)\cdot 163^{22} + \left(63 a + 41\right)\cdot 163^{23} + \left(159 a + 27\right)\cdot 163^{24} + \left(20 a + 62\right)\cdot 163^{25} + \left(156 a + 77\right)\cdot 163^{26} + \left(119 a + 139\right)\cdot 163^{27} + \left(19 a + 33\right)\cdot 163^{28} + \left(22 a + 37\right)\cdot 163^{29} + \left(162 a + 1\right)\cdot 163^{30} + \left(69 a + 70\right)\cdot 163^{31} + \left(35 a + 23\right)\cdot 163^{32} + \left(7 a + 53\right)\cdot 163^{33} + \left(67 a + 28\right)\cdot 163^{34} + \left(140 a + 95\right)\cdot 163^{35} + \left(99 a + 12\right)\cdot 163^{36} + \left(19 a + 54\right)\cdot 163^{37} + \left(92 a + 41\right)\cdot 163^{38} + \left(161 a + 120\right)\cdot 163^{39} + \left(52 a + 21\right)\cdot 163^{40} + \left(27 a + 158\right)\cdot 163^{41} + \left(9 a + 36\right)\cdot 163^{42} + \left(53 a + 148\right)\cdot 163^{43} + \left(17 a + 115\right)\cdot 163^{44} + \left(140 a + 146\right)\cdot 163^{45} + \left(32 a + 110\right)\cdot 163^{46} + \left(82 a + 94\right)\cdot 163^{47} + \left(50 a + 146\right)\cdot 163^{48} + \left(138 a + 22\right)\cdot 163^{49} + \left(127 a + 30\right)\cdot 163^{50} + \left(50 a + 22\right)\cdot 163^{51} + \left(68 a + 55\right)\cdot 163^{52} + \left(99 a + 54\right)\cdot 163^{53} + \left(145 a + 150\right)\cdot 163^{54} + \left(100 a + 63\right)\cdot 163^{55} + \left(115 a + 58\right)\cdot 163^{56} + \left(66 a + 77\right)\cdot 163^{57} + \left(87 a + 124\right)\cdot 163^{58} + \left(20 a + 162\right)\cdot 163^{59} + \left(159 a + 16\right)\cdot 163^{60} + \left(8 a + 93\right)\cdot 163^{61} + \left(94 a + 147\right)\cdot 163^{62} + 49 a\cdot 163^{63} + \left(67 a + 104\right)\cdot 163^{64} + \left(66 a + 55\right)\cdot 163^{65} + \left(11 a + 105\right)\cdot 163^{66} + \left(54 a + 105\right)\cdot 163^{67} + \left(30 a + 116\right)\cdot 163^{68} + \left(11 a + 82\right)\cdot 163^{69} + \left(71 a + 32\right)\cdot 163^{70} + \left(52 a + 102\right)\cdot 163^{71} + \left(2 a + 70\right)\cdot 163^{72} + \left(139 a + 43\right)\cdot 163^{73} + \left(145 a + 69\right)\cdot 163^{74} + \left(128 a + 80\right)\cdot 163^{75} + \left(9 a + 44\right)\cdot 163^{76} + \left(6 a + 129\right)\cdot 163^{77} + \left(153 a + 45\right)\cdot 163^{78} + \left(47 a + 75\right)\cdot 163^{79} + \left(148 a + 137\right)\cdot 163^{80} + \left(157 a + 25\right)\cdot 163^{81} + \left(33 a + 51\right)\cdot 163^{82} + \left(84 a + 8\right)\cdot 163^{83} + \left(49 a + 140\right)\cdot 163^{84} + \left(92 a + 103\right)\cdot 163^{85} + \left(160 a + 90\right)\cdot 163^{86} + \left(56 a + 119\right)\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 28 + 3\cdot 163 + 87\cdot 163^{2} + 110\cdot 163^{3} + 139\cdot 163^{4} + 41\cdot 163^{5} + 143\cdot 163^{6} + 123\cdot 163^{7} + 109\cdot 163^{8} + 57\cdot 163^{9} + 7\cdot 163^{10} + 113\cdot 163^{11} + 143\cdot 163^{12} + 36\cdot 163^{13} + 143\cdot 163^{14} + 127\cdot 163^{15} + 147\cdot 163^{16} + 125\cdot 163^{17} + 34\cdot 163^{18} + 19\cdot 163^{19} + 143\cdot 163^{20} + 56\cdot 163^{21} + 14\cdot 163^{22} + 136\cdot 163^{23} + 13\cdot 163^{24} + 65\cdot 163^{25} + 71\cdot 163^{26} + 59\cdot 163^{27} + 61\cdot 163^{28} + 119\cdot 163^{29} + 51\cdot 163^{30} + 142\cdot 163^{31} + 82\cdot 163^{32} + 66\cdot 163^{33} + 118\cdot 163^{34} + 5\cdot 163^{35} + 21\cdot 163^{36} + 80\cdot 163^{37} + 149\cdot 163^{38} + 57\cdot 163^{39} + 55\cdot 163^{40} + 9\cdot 163^{41} + 47\cdot 163^{42} + 23\cdot 163^{43} + 110\cdot 163^{44} + 17\cdot 163^{45} + 87\cdot 163^{46} + 49\cdot 163^{47} + 85\cdot 163^{48} + 70\cdot 163^{49} + 91\cdot 163^{50} + 32\cdot 163^{51} + 108\cdot 163^{52} + 121\cdot 163^{53} + 12\cdot 163^{54} + 135\cdot 163^{55} + 9\cdot 163^{56} + 158\cdot 163^{57} + 131\cdot 163^{58} + 101\cdot 163^{59} + 40\cdot 163^{60} + 40\cdot 163^{61} + 28\cdot 163^{62} + 111\cdot 163^{63} + 9\cdot 163^{64} + 84\cdot 163^{65} + 82\cdot 163^{66} + 80\cdot 163^{67} + 57\cdot 163^{68} + 26\cdot 163^{69} + 47\cdot 163^{70} + 144\cdot 163^{71} + 95\cdot 163^{72} + 97\cdot 163^{73} + 95\cdot 163^{74} + 84\cdot 163^{75} + 70\cdot 163^{76} + 59\cdot 163^{77} + 90\cdot 163^{78} + 61\cdot 163^{79} + 132\cdot 163^{80} + 163^{81} + 38\cdot 163^{82} + 151\cdot 163^{83} + 120\cdot 163^{84} + 148\cdot 163^{85} + 130\cdot 163^{86} + 33\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 83 a + 122 + \left(9 a + 60\right)\cdot 163 + \left(44 a + 96\right)\cdot 163^{2} + \left(24 a + 92\right)\cdot 163^{3} + \left(38 a + 15\right)\cdot 163^{4} + \left(16 a + 69\right)\cdot 163^{5} + \left(12 a + 31\right)\cdot 163^{6} + \left(85 a + 84\right)\cdot 163^{7} + \left(60 a + 84\right)\cdot 163^{8} + \left(124 a + 144\right)\cdot 163^{9} + \left(41 a + 121\right)\cdot 163^{10} + \left(72 a + 105\right)\cdot 163^{11} + \left(121 a + 58\right)\cdot 163^{12} + \left(60 a + 17\right)\cdot 163^{13} + \left(93 a + 26\right)\cdot 163^{14} + \left(73 a + 134\right)\cdot 163^{15} + 121\cdot 163^{16} + \left(18 a + 9\right)\cdot 163^{17} + \left(51 a + 50\right)\cdot 163^{18} + \left(23 a + 143\right)\cdot 163^{19} + \left(120 a + 103\right)\cdot 163^{20} + \left(20 a + 121\right)\cdot 163^{21} + \left(4 a + 113\right)\cdot 163^{22} + \left(116 a + 86\right)\cdot 163^{23} + \left(70 a + 60\right)\cdot 163^{24} + 100 a\cdot 163^{25} + \left(90 a + 45\right)\cdot 163^{26} + \left(37 a + 14\right)\cdot 163^{27} + \left(29 a + 61\right)\cdot 163^{28} + \left(33 a + 106\right)\cdot 163^{29} + \left(74 a + 93\right)\cdot 163^{30} + \left(9 a + 138\right)\cdot 163^{31} + \left(79 a + 92\right)\cdot 163^{32} + \left(20 a + 108\right)\cdot 163^{33} + \left(88 a + 158\right)\cdot 163^{34} + \left(110 a + 141\right)\cdot 163^{35} + \left(83 a + 106\right)\cdot 163^{36} + \left(118 a + 110\right)\cdot 163^{37} + \left(61 a + 148\right)\cdot 163^{38} + \left(76 a + 69\right)\cdot 163^{39} + \left(99 a + 20\right)\cdot 163^{40} + \left(95 a + 133\right)\cdot 163^{41} + \left(31 a + 64\right)\cdot 163^{42} + \left(116 a + 61\right)\cdot 163^{43} + \left(120 a + 139\right)\cdot 163^{44} + \left(97 a + 24\right)\cdot 163^{45} + \left(101 a + 114\right)\cdot 163^{46} + \left(11 a + 135\right)\cdot 163^{47} + \left(96 a + 47\right)\cdot 163^{48} + \left(42 a + 80\right)\cdot 163^{49} + \left(81 a + 139\right)\cdot 163^{50} + \left(45 a + 162\right)\cdot 163^{51} + \left(118 a + 87\right)\cdot 163^{52} + \left(143 a + 130\right)\cdot 163^{53} + \left(101 a + 93\right)\cdot 163^{54} + \left(144 a + 75\right)\cdot 163^{55} + \left(61 a + 145\right)\cdot 163^{56} + \left(146 a + 7\right)\cdot 163^{57} + \left(139 a + 93\right)\cdot 163^{58} + \left(93 a + 112\right)\cdot 163^{59} + \left(135 a + 103\right)\cdot 163^{60} + \left(112 a + 6\right)\cdot 163^{61} + \left(103 a + 17\right)\cdot 163^{62} + \left(44 a + 138\right)\cdot 163^{63} + \left(49 a + 67\right)\cdot 163^{64} + \left(92 a + 134\right)\cdot 163^{65} + \left(80 a + 90\right)\cdot 163^{66} + \left(74 a + 51\right)\cdot 163^{67} + \left(16 a + 146\right)\cdot 163^{68} + \left(113 a + 24\right)\cdot 163^{69} + \left(97 a + 80\right)\cdot 163^{70} + \left(25 a + 89\right)\cdot 163^{71} + \left(66 a + 159\right)\cdot 163^{72} + \left(10 a + 44\right)\cdot 163^{73} + \left(46 a + 111\right)\cdot 163^{74} + \left(5 a + 96\right)\cdot 163^{75} + \left(105 a + 6\right)\cdot 163^{76} + \left(142 a + 129\right)\cdot 163^{77} + \left(33 a + 16\right)\cdot 163^{78} + \left(82 a + 79\right)\cdot 163^{79} + \left(55 a + 77\right)\cdot 163^{80} + \left(59 a + 53\right)\cdot 163^{81} + \left(85 a + 159\right)\cdot 163^{82} + \left(156 a + 49\right)\cdot 163^{83} + \left(101 a + 4\right)\cdot 163^{84} + \left(50 a + 64\right)\cdot 163^{85} + \left(22 a + 11\right)\cdot 163^{86} + \left(142 a + 29\right)\cdot 163^{87} +O\left(163^{ 88 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5,6,7)$
$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$
$(1,5)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$9$
$6$$2$$(2,4)(3,8)$$-3$
$9$$2$$(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$$1$
$12$$2$$(2,3)$$3$
$24$$2$$(1,2)(3,5)(4,6)(7,8)$$3$
$36$$2$$(1,5)(2,3)$$1$
$36$$2$$(1,6)(2,3)(5,7)$$-1$
$16$$3$$(3,4,8)$$0$
$64$$3$$(2,4,8)(5,6,7)$$0$
$12$$4$$(2,3,4,8)$$-3$
$36$$4$$(1,5,6,7)(2,3,4,8)$$1$
$36$$4$$(1,5,6,7)(2,4)(3,8)$$1$
$72$$4$$(1,2,6,4)(3,7,8,5)$$-1$
$72$$4$$(1,5,6,7)(2,3)$$-1$
$144$$4$$(1,2,5,3)(4,6)(7,8)$$1$
$48$$6$$(1,6)(3,8,4)(5,7)$$0$
$96$$6$$(2,3)(5,7,6)$$0$
$192$$6$$(1,3)(2,5,4,6,8,7)$$0$
$144$$8$$(1,2,5,3,6,4,7,8)$$-1$
$96$$12$$(1,5,6,7)(3,4,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.