# Properties

 Label 9.2e8_7e3_11e3_19e3.16t1294.1c1 Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{8} \cdot 7^{3} \cdot 11^{3} \cdot 19^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $801628120832= 2^{8} \cdot 7^{3} \cdot 11^{3} \cdot 19^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} + 12 x^{6} - 2 x^{5} - 3 x^{4} + 38 x^{3} + 8 x^{2} - 14 x + 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.7_11_19.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 113 }$ to precision 97.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 113 }$: $x^{2} + 101 x + 3$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $93 a + 62 + \left(29 a + 61\right)\cdot 113 + \left(92 a + 75\right)\cdot 113^{2} + \left(64 a + 60\right)\cdot 113^{3} + \left(32 a + 38\right)\cdot 113^{4} + \left(34 a + 42\right)\cdot 113^{5} + \left(99 a + 25\right)\cdot 113^{6} + \left(18 a + 63\right)\cdot 113^{7} + \left(13 a + 35\right)\cdot 113^{8} + \left(17 a + 42\right)\cdot 113^{9} + \left(104 a + 101\right)\cdot 113^{10} + \left(42 a + 101\right)\cdot 113^{11} + \left(46 a + 25\right)\cdot 113^{12} + \left(23 a + 3\right)\cdot 113^{13} + \left(9 a + 73\right)\cdot 113^{14} + \left(37 a + 111\right)\cdot 113^{15} + \left(6 a + 3\right)\cdot 113^{16} + \left(60 a + 17\right)\cdot 113^{17} + \left(6 a + 30\right)\cdot 113^{18} + \left(12 a + 70\right)\cdot 113^{19} + \left(68 a + 50\right)\cdot 113^{20} + 87\cdot 113^{21} + \left(103 a + 111\right)\cdot 113^{22} + \left(6 a + 86\right)\cdot 113^{23} + \left(16 a + 19\right)\cdot 113^{24} + \left(78 a + 89\right)\cdot 113^{25} + \left(49 a + 4\right)\cdot 113^{26} + \left(10 a + 4\right)\cdot 113^{27} + \left(59 a + 61\right)\cdot 113^{28} + \left(83 a + 11\right)\cdot 113^{29} + \left(95 a + 36\right)\cdot 113^{30} + \left(38 a + 103\right)\cdot 113^{31} + \left(76 a + 24\right)\cdot 113^{32} + \left(7 a + 33\right)\cdot 113^{33} + \left(33 a + 11\right)\cdot 113^{34} + \left(3 a + 82\right)\cdot 113^{35} + \left(62 a + 92\right)\cdot 113^{36} + \left(93 a + 48\right)\cdot 113^{37} + \left(36 a + 10\right)\cdot 113^{38} + \left(42 a + 7\right)\cdot 113^{39} + \left(97 a + 55\right)\cdot 113^{40} + \left(82 a + 46\right)\cdot 113^{41} + \left(25 a + 91\right)\cdot 113^{42} + \left(41 a + 100\right)\cdot 113^{43} + \left(26 a + 30\right)\cdot 113^{44} + \left(96 a + 17\right)\cdot 113^{45} + \left(37 a + 13\right)\cdot 113^{46} + \left(93 a + 23\right)\cdot 113^{47} + \left(59 a + 107\right)\cdot 113^{48} + \left(77 a + 6\right)\cdot 113^{49} + \left(40 a + 52\right)\cdot 113^{50} + \left(82 a + 69\right)\cdot 113^{51} + \left(95 a + 38\right)\cdot 113^{52} + \left(37 a + 30\right)\cdot 113^{53} + \left(8 a + 72\right)\cdot 113^{54} + \left(111 a + 37\right)\cdot 113^{55} + \left(58 a + 93\right)\cdot 113^{56} + \left(11 a + 14\right)\cdot 113^{57} + \left(13 a + 106\right)\cdot 113^{58} + \left(86 a + 13\right)\cdot 113^{59} + \left(50 a + 98\right)\cdot 113^{60} + \left(36 a + 78\right)\cdot 113^{61} + \left(29 a + 66\right)\cdot 113^{62} + \left(62 a + 48\right)\cdot 113^{63} + \left(111 a + 20\right)\cdot 113^{64} + \left(47 a + 82\right)\cdot 113^{65} + \left(11 a + 77\right)\cdot 113^{66} + \left(81 a + 89\right)\cdot 113^{67} + \left(a + 49\right)\cdot 113^{68} + \left(77 a + 30\right)\cdot 113^{69} + \left(4 a + 10\right)\cdot 113^{70} + \left(4 a + 36\right)\cdot 113^{71} + \left(11 a + 74\right)\cdot 113^{72} + \left(67 a + 109\right)\cdot 113^{73} + \left(106 a + 96\right)\cdot 113^{74} + \left(112 a + 34\right)\cdot 113^{75} + \left(48 a + 4\right)\cdot 113^{76} + \left(56 a + 85\right)\cdot 113^{77} + \left(2 a + 64\right)\cdot 113^{78} + \left(58 a + 62\right)\cdot 113^{79} + \left(31 a + 19\right)\cdot 113^{80} + \left(58 a + 86\right)\cdot 113^{81} + \left(20 a + 83\right)\cdot 113^{82} + \left(41 a + 56\right)\cdot 113^{83} + \left(57 a + 10\right)\cdot 113^{84} + 28 a\cdot 113^{85} + \left(59 a + 1\right)\cdot 113^{86} + \left(37 a + 42\right)\cdot 113^{87} + \left(90 a + 52\right)\cdot 113^{88} + \left(34 a + 110\right)\cdot 113^{89} + \left(101 a + 37\right)\cdot 113^{90} + \left(62 a + 89\right)\cdot 113^{91} + \left(97 a + 6\right)\cdot 113^{92} + \left(12 a + 108\right)\cdot 113^{93} + \left(39 a + 25\right)\cdot 113^{94} + \left(8 a + 60\right)\cdot 113^{95} + \left(34 a + 14\right)\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $84 + 20\cdot 113 + 107\cdot 113^{2} + 104\cdot 113^{3} + 98\cdot 113^{4} + 30\cdot 113^{5} + 33\cdot 113^{6} + 44\cdot 113^{7} + 88\cdot 113^{8} + 98\cdot 113^{9} + 84\cdot 113^{10} + 110\cdot 113^{11} + 91\cdot 113^{12} + 82\cdot 113^{13} + 15\cdot 113^{14} + 105\cdot 113^{15} + 44\cdot 113^{16} + 21\cdot 113^{17} + 104\cdot 113^{18} + 30\cdot 113^{19} + 69\cdot 113^{20} + 81\cdot 113^{21} + 83\cdot 113^{22} + 41\cdot 113^{23} + 63\cdot 113^{24} + 76\cdot 113^{25} + 34\cdot 113^{26} + 55\cdot 113^{27} + 21\cdot 113^{28} + 38\cdot 113^{29} + 85\cdot 113^{30} + 92\cdot 113^{31} + 55\cdot 113^{32} + 26\cdot 113^{33} + 10\cdot 113^{34} + 101\cdot 113^{35} + 55\cdot 113^{36} + 3\cdot 113^{37} + 69\cdot 113^{38} + 75\cdot 113^{39} + 48\cdot 113^{40} + 40\cdot 113^{41} + 57\cdot 113^{42} + 12\cdot 113^{43} + 5\cdot 113^{44} + 70\cdot 113^{45} + 80\cdot 113^{46} + 51\cdot 113^{47} + 75\cdot 113^{48} + 68\cdot 113^{49} + 37\cdot 113^{50} + 47\cdot 113^{51} + 89\cdot 113^{52} + 34\cdot 113^{53} + 108\cdot 113^{54} + 65\cdot 113^{55} + 94\cdot 113^{56} + 20\cdot 113^{57} + 75\cdot 113^{58} + 95\cdot 113^{59} + 77\cdot 113^{60} + 103\cdot 113^{61} + 28\cdot 113^{62} + 33\cdot 113^{63} + 27\cdot 113^{64} + 87\cdot 113^{65} + 77\cdot 113^{66} + 47\cdot 113^{67} + 4\cdot 113^{68} + 75\cdot 113^{69} + 34\cdot 113^{70} + 60\cdot 113^{71} + 31\cdot 113^{72} + 107\cdot 113^{73} + 83\cdot 113^{74} + 110\cdot 113^{75} + 67\cdot 113^{76} + 13\cdot 113^{77} + 50\cdot 113^{78} + 35\cdot 113^{79} + 55\cdot 113^{80} + 13\cdot 113^{81} + 3\cdot 113^{82} + 70\cdot 113^{83} + 29\cdot 113^{84} + 106\cdot 113^{85} + 99\cdot 113^{86} + 20\cdot 113^{87} + 43\cdot 113^{88} + 38\cdot 113^{89} + 46\cdot 113^{90} + 78\cdot 113^{91} + 46\cdot 113^{92} + 13\cdot 113^{93} + 103\cdot 113^{94} + 29\cdot 113^{95} + 43\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $71 a + 75 + \left(6 a + 40\right)\cdot 113 + \left(66 a + 74\right)\cdot 113^{2} + \left(77 a + 37\right)\cdot 113^{3} + \left(36 a + 88\right)\cdot 113^{4} + \left(75 a + 19\right)\cdot 113^{5} + \left(12 a + 87\right)\cdot 113^{6} + \left(38 a + 32\right)\cdot 113^{7} + \left(53 a + 22\right)\cdot 113^{8} + \left(54 a + 2\right)\cdot 113^{9} + \left(70 a + 69\right)\cdot 113^{10} + \left(48 a + 25\right)\cdot 113^{11} + \left(3 a + 85\right)\cdot 113^{12} + \left(103 a + 112\right)\cdot 113^{13} + \left(11 a + 28\right)\cdot 113^{14} + \left(39 a + 57\right)\cdot 113^{15} + \left(24 a + 65\right)\cdot 113^{16} + \left(82 a + 64\right)\cdot 113^{17} + \left(33 a + 74\right)\cdot 113^{18} + \left(13 a + 86\right)\cdot 113^{19} + \left(101 a + 38\right)\cdot 113^{20} + \left(70 a + 64\right)\cdot 113^{21} + \left(51 a + 31\right)\cdot 113^{22} + \left(49 a + 81\right)\cdot 113^{23} + \left(36 a + 65\right)\cdot 113^{24} + \left(82 a + 88\right)\cdot 113^{25} + \left(96 a + 48\right)\cdot 113^{26} + \left(98 a + 96\right)\cdot 113^{27} + \left(103 a + 7\right)\cdot 113^{28} + \left(50 a + 45\right)\cdot 113^{29} + \left(88 a + 61\right)\cdot 113^{30} + \left(66 a + 68\right)\cdot 113^{31} + \left(18 a + 40\right)\cdot 113^{32} + \left(85 a + 110\right)\cdot 113^{33} + \left(90 a + 91\right)\cdot 113^{34} + \left(83 a + 48\right)\cdot 113^{35} + \left(44 a + 97\right)\cdot 113^{36} + \left(33 a + 51\right)\cdot 113^{37} + \left(101 a + 67\right)\cdot 113^{38} + \left(105 a + 75\right)\cdot 113^{39} + \left(40 a + 84\right)\cdot 113^{40} + \left(102 a + 89\right)\cdot 113^{41} + \left(104 a + 49\right)\cdot 113^{42} + \left(74 a + 63\right)\cdot 113^{43} + \left(5 a + 92\right)\cdot 113^{44} + \left(28 a + 58\right)\cdot 113^{45} + \left(27 a + 97\right)\cdot 113^{46} + \left(67 a + 48\right)\cdot 113^{47} + \left(32 a + 11\right)\cdot 113^{48} + \left(27 a + 20\right)\cdot 113^{49} + \left(107 a + 6\right)\cdot 113^{50} + \left(106 a + 79\right)\cdot 113^{51} + \left(73 a + 110\right)\cdot 113^{52} + \left(a + 71\right)\cdot 113^{53} + \left(86 a + 32\right)\cdot 113^{54} + \left(75 a + 48\right)\cdot 113^{55} + \left(78 a + 26\right)\cdot 113^{56} + \left(39 a + 112\right)\cdot 113^{57} + \left(49 a + 26\right)\cdot 113^{58} + \left(79 a + 50\right)\cdot 113^{59} + \left(27 a + 3\right)\cdot 113^{60} + \left(61 a + 100\right)\cdot 113^{61} + \left(106 a + 59\right)\cdot 113^{62} + \left(89 a + 13\right)\cdot 113^{63} + \left(90 a + 6\right)\cdot 113^{64} + \left(16 a + 49\right)\cdot 113^{65} + \left(84 a + 32\right)\cdot 113^{66} + \left(67 a + 7\right)\cdot 113^{67} + \left(44 a + 62\right)\cdot 113^{68} + \left(84 a + 27\right)\cdot 113^{69} + \left(29 a + 99\right)\cdot 113^{70} + \left(81 a + 105\right)\cdot 113^{71} + \left(78 a + 60\right)\cdot 113^{72} + \left(59 a + 61\right)\cdot 113^{73} + \left(90 a + 92\right)\cdot 113^{74} + 10\cdot 113^{75} + \left(81 a + 88\right)\cdot 113^{76} + \left(3 a + 52\right)\cdot 113^{77} + \left(12 a + 28\right)\cdot 113^{78} + \left(17 a + 102\right)\cdot 113^{79} + \left(108 a + 4\right)\cdot 113^{80} + \left(73 a + 50\right)\cdot 113^{81} + \left(102 a + 49\right)\cdot 113^{82} + 57 a\cdot 113^{83} + \left(45 a + 66\right)\cdot 113^{84} + \left(13 a + 33\right)\cdot 113^{85} + \left(3 a + 58\right)\cdot 113^{86} + \left(53 a + 100\right)\cdot 113^{87} + \left(9 a + 106\right)\cdot 113^{88} + \left(35 a + 112\right)\cdot 113^{89} + \left(31 a + 97\right)\cdot 113^{90} + \left(49 a + 23\right)\cdot 113^{91} + \left(45 a + 56\right)\cdot 113^{92} + \left(34 a + 112\right)\cdot 113^{93} + \left(104 a + 110\right)\cdot 113^{94} + \left(11 a + 28\right)\cdot 113^{95} + \left(22 a + 111\right)\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $42 a + 23 + \left(106 a + 49\right)\cdot 113 + \left(46 a + 69\right)\cdot 113^{2} + \left(35 a + 111\right)\cdot 113^{3} + \left(76 a + 111\right)\cdot 113^{4} + \left(37 a + 95\right)\cdot 113^{5} + \left(100 a + 50\right)\cdot 113^{6} + \left(74 a + 25\right)\cdot 113^{7} + \left(59 a + 59\right)\cdot 113^{8} + \left(58 a + 37\right)\cdot 113^{9} + \left(42 a + 69\right)\cdot 113^{10} + \left(64 a + 86\right)\cdot 113^{11} + \left(109 a + 77\right)\cdot 113^{12} + \left(9 a + 102\right)\cdot 113^{13} + \left(101 a + 68\right)\cdot 113^{14} + \left(73 a + 62\right)\cdot 113^{15} + \left(88 a + 92\right)\cdot 113^{16} + \left(30 a + 9\right)\cdot 113^{17} + \left(79 a + 58\right)\cdot 113^{18} + \left(99 a + 99\right)\cdot 113^{19} + \left(11 a + 108\right)\cdot 113^{20} + \left(42 a + 22\right)\cdot 113^{21} + \left(61 a + 15\right)\cdot 113^{22} + \left(63 a + 58\right)\cdot 113^{23} + \left(76 a + 1\right)\cdot 113^{24} + \left(30 a + 23\right)\cdot 113^{25} + \left(16 a + 110\right)\cdot 113^{26} + \left(14 a + 55\right)\cdot 113^{27} + \left(9 a + 25\right)\cdot 113^{28} + \left(62 a + 100\right)\cdot 113^{29} + \left(24 a + 54\right)\cdot 113^{30} + \left(46 a + 103\right)\cdot 113^{31} + \left(94 a + 83\right)\cdot 113^{32} + \left(27 a + 96\right)\cdot 113^{33} + \left(22 a + 78\right)\cdot 113^{34} + \left(29 a + 59\right)\cdot 113^{35} + \left(68 a + 98\right)\cdot 113^{36} + \left(79 a + 68\right)\cdot 113^{37} + \left(11 a + 6\right)\cdot 113^{38} + \left(7 a + 2\right)\cdot 113^{39} + \left(72 a + 18\right)\cdot 113^{40} + \left(10 a + 34\right)\cdot 113^{41} + \left(8 a + 76\right)\cdot 113^{42} + \left(38 a + 66\right)\cdot 113^{43} + \left(107 a + 85\right)\cdot 113^{44} + \left(84 a + 50\right)\cdot 113^{45} + \left(85 a + 57\right)\cdot 113^{46} + \left(45 a + 37\right)\cdot 113^{47} + \left(80 a + 109\right)\cdot 113^{48} + \left(85 a + 88\right)\cdot 113^{49} + \left(5 a + 22\right)\cdot 113^{50} + \left(6 a + 12\right)\cdot 113^{51} + \left(39 a + 100\right)\cdot 113^{52} + \left(111 a + 17\right)\cdot 113^{53} + \left(26 a + 46\right)\cdot 113^{54} + \left(37 a + 80\right)\cdot 113^{55} + \left(34 a + 103\right)\cdot 113^{56} + \left(73 a + 57\right)\cdot 113^{57} + \left(63 a + 14\right)\cdot 113^{58} + \left(33 a + 50\right)\cdot 113^{59} + \left(85 a + 30\right)\cdot 113^{60} + \left(51 a + 16\right)\cdot 113^{61} + \left(6 a + 34\right)\cdot 113^{62} + \left(23 a + 82\right)\cdot 113^{63} + \left(22 a + 101\right)\cdot 113^{64} + \left(96 a + 46\right)\cdot 113^{65} + \left(28 a + 8\right)\cdot 113^{66} + \left(45 a + 58\right)\cdot 113^{67} + \left(68 a + 77\right)\cdot 113^{68} + \left(28 a + 91\right)\cdot 113^{69} + \left(83 a + 32\right)\cdot 113^{70} + \left(31 a + 34\right)\cdot 113^{71} + \left(34 a + 20\right)\cdot 113^{72} + \left(53 a + 21\right)\cdot 113^{73} + \left(22 a + 102\right)\cdot 113^{74} + \left(112 a + 42\right)\cdot 113^{75} + \left(31 a + 42\right)\cdot 113^{76} + \left(109 a + 16\right)\cdot 113^{77} + \left(100 a + 56\right)\cdot 113^{78} + \left(95 a + 69\right)\cdot 113^{79} + \left(4 a + 42\right)\cdot 113^{80} + \left(39 a + 38\right)\cdot 113^{81} + \left(10 a + 77\right)\cdot 113^{82} + \left(55 a + 27\right)\cdot 113^{83} + \left(67 a + 102\right)\cdot 113^{84} + \left(99 a + 35\right)\cdot 113^{85} + \left(109 a + 82\right)\cdot 113^{86} + \left(59 a + 55\right)\cdot 113^{87} + \left(103 a + 54\right)\cdot 113^{88} + \left(77 a + 72\right)\cdot 113^{89} + \left(81 a + 99\right)\cdot 113^{90} + \left(63 a + 18\right)\cdot 113^{91} + \left(67 a + 100\right)\cdot 113^{92} + \left(78 a + 27\right)\cdot 113^{93} + \left(8 a + 85\right)\cdot 113^{94} + \left(101 a + 67\right)\cdot 113^{95} + \left(90 a + 25\right)\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $46 + 2\cdot 113 + 88\cdot 113^{2} + 84\cdot 113^{3} + 39\cdot 113^{4} + 79\cdot 113^{5} + 54\cdot 113^{6} + 10\cdot 113^{7} + 56\cdot 113^{8} + 87\cdot 113^{9} + 2\cdot 113^{10} + 3\cdot 113^{11} + 84\cdot 113^{12} + 40\cdot 113^{13} + 112\cdot 113^{14} + 23\cdot 113^{16} + 17\cdot 113^{17} + 102\cdot 113^{18} + 8\cdot 113^{19} + 9\cdot 113^{20} + 57\cdot 113^{21} + 95\cdot 113^{22} + 44\cdot 113^{23} + 95\cdot 113^{24} + 37\cdot 113^{25} + 32\cdot 113^{26} + 18\cdot 113^{27} + 58\cdot 113^{28} + 42\cdot 113^{29} + 24\cdot 113^{30} + 74\cdot 113^{31} + 45\cdot 113^{32} + 105\cdot 113^{33} + 44\cdot 113^{34} + 16\cdot 113^{35} + 87\cdot 113^{36} + 101\cdot 113^{37} + 82\cdot 113^{38} + 72\cdot 113^{39} + 74\cdot 113^{40} + 61\cdot 113^{41} + 42\cdot 113^{42} + 83\cdot 113^{43} + 42\cdot 113^{44} + 46\cdot 113^{45} + 103\cdot 113^{46} + 87\cdot 113^{47} + 29\cdot 113^{48} + 48\cdot 113^{49} + 46\cdot 113^{50} + 87\cdot 113^{51} + 38\cdot 113^{52} + 101\cdot 113^{53} + 38\cdot 113^{54} + 31\cdot 113^{55} + 113^{56} + 35\cdot 113^{57} + 109\cdot 113^{58} + 29\cdot 113^{59} + 113^{60} + 6\cdot 113^{61} + 103\cdot 113^{62} + 96\cdot 113^{63} + 90\cdot 113^{64} + 42\cdot 113^{65} + 107\cdot 113^{66} + 112\cdot 113^{67} + 81\cdot 113^{68} + 31\cdot 113^{69} + 59\cdot 113^{70} + 25\cdot 113^{71} + 36\cdot 113^{73} + 60\cdot 113^{74} + 61\cdot 113^{75} + 27\cdot 113^{76} + 30\cdot 113^{77} + 91\cdot 113^{78} + 18\cdot 113^{79} + 10\cdot 113^{80} + 11\cdot 113^{81} + 96\cdot 113^{82} + 14\cdot 113^{83} + 28\cdot 113^{84} + 50\cdot 113^{85} + 98\cdot 113^{86} + 48\cdot 113^{87} + 21\cdot 113^{88} + 2\cdot 113^{89} + 95\cdot 113^{90} + 104\cdot 113^{91} + 22\cdot 113^{92} + 72\cdot 113^{93} + 39\cdot 113^{94} + 99\cdot 113^{95} + 45\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $79 a + 37 + \left(8 a + 19\right)\cdot 113 + \left(55 a + 20\right)\cdot 113^{2} + \left(59 a + 58\right)\cdot 113^{3} + \left(88 a + 31\right)\cdot 113^{4} + \left(76 a + 86\right)\cdot 113^{5} + \left(14 a + 80\right)\cdot 113^{6} + \left(36 a + 2\right)\cdot 113^{7} + \left(22 a + 5\right)\cdot 113^{8} + 101 a\cdot 113^{9} + \left(92 a + 75\right)\cdot 113^{10} + \left(68 a + 60\right)\cdot 113^{11} + \left(64 a + 98\right)\cdot 113^{12} + \left(37 a + 81\right)\cdot 113^{13} + \left(95 a + 64\right)\cdot 113^{14} + \left(25 a + 71\right)\cdot 113^{15} + \left(46 a + 107\right)\cdot 113^{16} + \left(84 a + 102\right)\cdot 113^{17} + \left(60 a + 33\right)\cdot 113^{18} + \left(102 a + 10\right)\cdot 113^{19} + \left(28 a + 46\right)\cdot 113^{20} + \left(74 a + 20\right)\cdot 113^{21} + \left(20 a + 31\right)\cdot 113^{22} + \left(23 a + 20\right)\cdot 113^{23} + \left(37 a + 71\right)\cdot 113^{24} + \left(74 a + 39\right)\cdot 113^{25} + \left(81 a + 74\right)\cdot 113^{26} + \left(47 a + 51\right)\cdot 113^{27} + \left(69 a + 44\right)\cdot 113^{28} + \left(23 a + 31\right)\cdot 113^{29} + \left(89 a + 94\right)\cdot 113^{30} + \left(101 a + 105\right)\cdot 113^{31} + \left(3 a + 15\right)\cdot 113^{32} + \left(111 a + 29\right)\cdot 113^{33} + \left(a + 7\right)\cdot 113^{34} + \left(51 a + 5\right)\cdot 113^{35} + \left(9 a + 14\right)\cdot 113^{36} + \left(70 a + 22\right)\cdot 113^{37} + \left(81 a + 95\right)\cdot 113^{38} + \left(85 a + 74\right)\cdot 113^{39} + \left(83 a + 108\right)\cdot 113^{40} + \left(7 a + 8\right)\cdot 113^{41} + \left(38 a + 23\right)\cdot 113^{42} + \left(30 a + 10\right)\cdot 113^{43} + \left(a + 65\right)\cdot 113^{44} + \left(19 a + 39\right)\cdot 113^{45} + \left(93 a + 49\right)\cdot 113^{46} + \left(39 a + 34\right)\cdot 113^{47} + \left(41 a + 30\right)\cdot 113^{48} + \left(88 a + 65\right)\cdot 113^{49} + \left(71 a + 90\right)\cdot 113^{50} + \left(102 a + 6\right)\cdot 113^{51} + \left(70 a + 71\right)\cdot 113^{52} + \left(86 a + 40\right)\cdot 113^{53} + \left(80 a + 20\right)\cdot 113^{54} + \left(92 a + 27\right)\cdot 113^{55} + \left(49 a + 90\right)\cdot 113^{56} + \left(80 a + 52\right)\cdot 113^{57} + \left(107 a + 62\right)\cdot 113^{58} + \left(106 a + 74\right)\cdot 113^{59} + \left(99 a + 54\right)\cdot 113^{60} + \left(93 a + 5\right)\cdot 113^{61} + \left(24 a + 69\right)\cdot 113^{62} + \left(29 a + 107\right)\cdot 113^{63} + \left(37 a + 92\right)\cdot 113^{64} + \left(99 a + 68\right)\cdot 113^{65} + \left(97 a + 74\right)\cdot 113^{66} + \left(79 a + 72\right)\cdot 113^{67} + \left(8 a + 24\right)\cdot 113^{68} + \left(17 a + 88\right)\cdot 113^{69} + \left(52 a + 34\right)\cdot 113^{70} + \left(70 a + 110\right)\cdot 113^{71} + \left(45 a + 74\right)\cdot 113^{72} + \left(17 a + 89\right)\cdot 113^{73} + \left(32 a + 16\right)\cdot 113^{74} + \left(32 a + 67\right)\cdot 113^{75} + \left(95 a + 106\right)\cdot 113^{76} + \left(73 a + 52\right)\cdot 113^{77} + \left(94 a + 95\right)\cdot 113^{78} + \left(82 a + 44\right)\cdot 113^{79} + \left(58 a + 74\right)\cdot 113^{80} + \left(58 a + 105\right)\cdot 113^{81} + \left(75 a + 19\right)\cdot 113^{82} + \left(69 a + 4\right)\cdot 113^{83} + \left(22 a + 17\right)\cdot 113^{84} + \left(84 a + 98\right)\cdot 113^{85} + \left(72 a + 110\right)\cdot 113^{86} + \left(28 a + 78\right)\cdot 113^{87} + \left(44 a + 20\right)\cdot 113^{88} + \left(95 a + 23\right)\cdot 113^{89} + \left(39 a + 84\right)\cdot 113^{90} + \left(96 a + 42\right)\cdot 113^{91} + \left(13 a + 82\right)\cdot 113^{92} + \left(37 a + 99\right)\cdot 113^{93} + \left(68 a + 88\right)\cdot 113^{94} + \left(92 a + 65\right)\cdot 113^{95} + \left(105 a + 100\right)\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $34 a + 81 + \left(104 a + 44\right)\cdot 113 + \left(57 a + 107\right)\cdot 113^{2} + \left(53 a + 38\right)\cdot 113^{3} + \left(24 a + 17\right)\cdot 113^{4} + \left(36 a + 15\right)\cdot 113^{5} + \left(98 a + 67\right)\cdot 113^{6} + \left(76 a + 82\right)\cdot 113^{7} + \left(90 a + 10\right)\cdot 113^{8} + \left(11 a + 62\right)\cdot 113^{9} + \left(20 a + 71\right)\cdot 113^{10} + \left(44 a + 2\right)\cdot 113^{11} + \left(48 a + 14\right)\cdot 113^{12} + \left(75 a + 16\right)\cdot 113^{13} + \left(17 a + 41\right)\cdot 113^{14} + \left(87 a + 60\right)\cdot 113^{15} + \left(66 a + 71\right)\cdot 113^{16} + \left(28 a + 52\right)\cdot 113^{17} + 52 a\cdot 113^{18} + \left(10 a + 50\right)\cdot 113^{19} + \left(84 a + 64\right)\cdot 113^{20} + \left(38 a + 91\right)\cdot 113^{21} + \left(92 a + 91\right)\cdot 113^{22} + \left(89 a + 51\right)\cdot 113^{23} + \left(75 a + 42\right)\cdot 113^{24} + \left(38 a + 103\right)\cdot 113^{25} + \left(31 a + 75\right)\cdot 113^{26} + \left(65 a + 90\right)\cdot 113^{27} + \left(43 a + 38\right)\cdot 113^{28} + \left(89 a + 19\right)\cdot 113^{29} + \left(23 a + 11\right)\cdot 113^{30} + \left(11 a + 108\right)\cdot 113^{31} + \left(109 a + 73\right)\cdot 113^{32} + \left(a + 1\right)\cdot 113^{33} + \left(111 a + 33\right)\cdot 113^{34} + \left(61 a + 50\right)\cdot 113^{35} + \left(103 a + 76\right)\cdot 113^{36} + \left(42 a + 62\right)\cdot 113^{37} + \left(31 a + 100\right)\cdot 113^{38} + \left(27 a + 4\right)\cdot 113^{39} + \left(29 a + 11\right)\cdot 113^{40} + \left(105 a + 18\right)\cdot 113^{41} + \left(74 a + 20\right)\cdot 113^{42} + \left(82 a + 110\right)\cdot 113^{43} + \left(111 a + 49\right)\cdot 113^{44} + \left(93 a + 40\right)\cdot 113^{45} + \left(19 a + 18\right)\cdot 113^{46} + \left(73 a + 80\right)\cdot 113^{47} + \left(71 a + 34\right)\cdot 113^{48} + \left(24 a + 67\right)\cdot 113^{49} + \left(41 a + 72\right)\cdot 113^{50} + \left(10 a + 36\right)\cdot 113^{51} + \left(42 a + 28\right)\cdot 113^{52} + \left(26 a + 105\right)\cdot 113^{53} + \left(32 a + 111\right)\cdot 113^{54} + \left(20 a + 41\right)\cdot 113^{55} + \left(63 a + 30\right)\cdot 113^{56} + \left(32 a + 64\right)\cdot 113^{57} + \left(5 a + 31\right)\cdot 113^{58} + \left(6 a + 7\right)\cdot 113^{59} + \left(13 a + 17\right)\cdot 113^{60} + \left(19 a + 15\right)\cdot 113^{61} + \left(88 a + 47\right)\cdot 113^{62} + \left(83 a + 94\right)\cdot 113^{63} + \left(75 a + 58\right)\cdot 113^{64} + \left(13 a + 93\right)\cdot 113^{65} + \left(15 a + 19\right)\cdot 113^{66} + \left(33 a + 29\right)\cdot 113^{67} + \left(104 a + 49\right)\cdot 113^{68} + \left(95 a + 58\right)\cdot 113^{69} + \left(60 a + 78\right)\cdot 113^{70} + \left(42 a + 112\right)\cdot 113^{71} + \left(67 a + 99\right)\cdot 113^{72} + \left(95 a + 26\right)\cdot 113^{73} + \left(80 a + 46\right)\cdot 113^{74} + \left(80 a + 83\right)\cdot 113^{75} + \left(17 a + 87\right)\cdot 113^{76} + \left(39 a + 52\right)\cdot 113^{77} + \left(18 a + 27\right)\cdot 113^{78} + \left(30 a + 40\right)\cdot 113^{79} + \left(54 a + 18\right)\cdot 113^{80} + \left(54 a + 71\right)\cdot 113^{81} + \left(37 a + 76\right)\cdot 113^{82} + \left(43 a + 86\right)\cdot 113^{83} + \left(90 a + 105\right)\cdot 113^{84} + \left(28 a + 68\right)\cdot 113^{85} + \left(40 a + 108\right)\cdot 113^{86} + \left(84 a + 10\right)\cdot 113^{87} + \left(68 a + 71\right)\cdot 113^{88} + \left(17 a + 106\right)\cdot 113^{89} + \left(73 a + 14\right)\cdot 113^{90} + \left(16 a + 29\right)\cdot 113^{91} + \left(99 a + 39\right)\cdot 113^{92} + \left(75 a + 79\right)\cdot 113^{93} + \left(44 a + 80\right)\cdot 113^{94} + \left(20 a + 91\right)\cdot 113^{95} + \left(7 a + 34\right)\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $20 a + 48 + \left(83 a + 100\right)\cdot 113 + \left(20 a + 22\right)\cdot 113^{2} + \left(48 a + 68\right)\cdot 113^{3} + \left(80 a + 25\right)\cdot 113^{4} + \left(78 a + 82\right)\cdot 113^{5} + \left(13 a + 52\right)\cdot 113^{6} + \left(94 a + 77\right)\cdot 113^{7} + \left(99 a + 61\right)\cdot 113^{8} + \left(95 a + 8\right)\cdot 113^{9} + \left(8 a + 91\right)\cdot 113^{10} + \left(70 a + 60\right)\cdot 113^{11} + \left(66 a + 87\right)\cdot 113^{12} + \left(89 a + 11\right)\cdot 113^{13} + \left(103 a + 47\right)\cdot 113^{14} + \left(75 a + 95\right)\cdot 113^{15} + \left(106 a + 42\right)\cdot 113^{16} + \left(52 a + 53\right)\cdot 113^{17} + \left(106 a + 48\right)\cdot 113^{18} + \left(100 a + 95\right)\cdot 113^{19} + \left(44 a + 64\right)\cdot 113^{20} + \left(112 a + 26\right)\cdot 113^{21} + \left(9 a + 104\right)\cdot 113^{22} + \left(106 a + 66\right)\cdot 113^{23} + \left(96 a + 92\right)\cdot 113^{24} + \left(34 a + 106\right)\cdot 113^{25} + \left(63 a + 70\right)\cdot 113^{26} + \left(102 a + 79\right)\cdot 113^{27} + \left(53 a + 81\right)\cdot 113^{28} + \left(29 a + 50\right)\cdot 113^{29} + \left(17 a + 84\right)\cdot 113^{30} + \left(74 a + 21\right)\cdot 113^{31} + \left(36 a + 111\right)\cdot 113^{32} + \left(105 a + 48\right)\cdot 113^{33} + \left(79 a + 61\right)\cdot 113^{34} + \left(109 a + 88\right)\cdot 113^{35} + \left(50 a + 42\right)\cdot 113^{36} + \left(19 a + 92\right)\cdot 113^{37} + \left(76 a + 19\right)\cdot 113^{38} + \left(70 a + 26\right)\cdot 113^{39} + \left(15 a + 51\right)\cdot 113^{40} + \left(30 a + 39\right)\cdot 113^{41} + \left(87 a + 91\right)\cdot 113^{42} + \left(71 a + 4\right)\cdot 113^{43} + \left(86 a + 80\right)\cdot 113^{44} + \left(16 a + 15\right)\cdot 113^{45} + \left(75 a + 32\right)\cdot 113^{46} + \left(19 a + 88\right)\cdot 113^{47} + \left(53 a + 53\right)\cdot 113^{48} + \left(35 a + 86\right)\cdot 113^{49} + \left(72 a + 10\right)\cdot 113^{50} + 30 a\cdot 113^{51} + \left(17 a + 88\right)\cdot 113^{52} + \left(75 a + 49\right)\cdot 113^{53} + \left(104 a + 21\right)\cdot 113^{54} + \left(a + 6\right)\cdot 113^{55} + \left(54 a + 12\right)\cdot 113^{56} + \left(101 a + 94\right)\cdot 113^{57} + \left(99 a + 25\right)\cdot 113^{58} + \left(26 a + 17\right)\cdot 113^{59} + \left(62 a + 56\right)\cdot 113^{60} + \left(76 a + 13\right)\cdot 113^{61} + \left(83 a + 43\right)\cdot 113^{62} + \left(50 a + 88\right)\cdot 113^{63} + \left(a + 53\right)\cdot 113^{64} + \left(65 a + 94\right)\cdot 113^{65} + \left(101 a + 53\right)\cdot 113^{66} + \left(31 a + 34\right)\cdot 113^{67} + \left(111 a + 102\right)\cdot 113^{68} + \left(35 a + 48\right)\cdot 113^{69} + \left(108 a + 102\right)\cdot 113^{70} + \left(108 a + 79\right)\cdot 113^{71} + \left(101 a + 89\right)\cdot 113^{72} + \left(45 a + 112\right)\cdot 113^{73} + \left(6 a + 65\right)\cdot 113^{74} + 40\cdot 113^{75} + \left(64 a + 27\right)\cdot 113^{76} + \left(56 a + 35\right)\cdot 113^{77} + \left(110 a + 38\right)\cdot 113^{78} + \left(54 a + 78\right)\cdot 113^{79} + 81 a\cdot 113^{80} + \left(54 a + 76\right)\cdot 113^{81} + \left(92 a + 45\right)\cdot 113^{82} + \left(71 a + 78\right)\cdot 113^{83} + \left(55 a + 92\right)\cdot 113^{84} + \left(84 a + 58\right)\cdot 113^{85} + \left(53 a + 5\right)\cdot 113^{86} + \left(75 a + 94\right)\cdot 113^{87} + \left(22 a + 81\right)\cdot 113^{88} + \left(78 a + 98\right)\cdot 113^{89} + \left(11 a + 88\right)\cdot 113^{90} + \left(50 a + 64\right)\cdot 113^{91} + \left(15 a + 97\right)\cdot 113^{92} + \left(100 a + 51\right)\cdot 113^{93} + \left(73 a + 30\right)\cdot 113^{94} + \left(104 a + 8\right)\cdot 113^{95} + \left(78 a + 76\right)\cdot 113^{96} +O\left(113^{ 97 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,6)$ $(1,6,7,8)$ $(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(2,4)(3,5)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$ $1$ $12$ $2$ $(2,3)$ $3$ $24$ $2$ $(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,6)(2,3)$ $1$ $36$ $2$ $(1,7)(2,3)(6,8)$ $-1$ $16$ $3$ $(6,8,7)$ $0$ $64$ $3$ $(2,4,5)(6,7,8)$ $0$ $12$ $4$ $(2,3,4,5)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,6,7,8)(2,3,4,5)$ $1$ $36$ $4$ $(1,6,7,8)(2,4)(3,5)$ $1$ $72$ $4$ $(1,2,7,4)(3,8,5,6)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,6,7,8)(2,3)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,2,6,3)(4,7)(5,8)$ $1$ $48$ $6$ $(2,4)(3,5)(6,7,8)$ $0$ $96$ $6$ $(2,3)(6,8,7)$ $0$ $192$ $6$ $(1,3)(2,6,4,7,5,8)$ $0$ $144$ $8$ $(1,2,6,3,7,4,8,5)$ $-1$ $96$ $12$ $(2,3,4,5)(6,8,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.