# Properties

 Label 9.2e6_3e6_7e3_29e3.16t1294.1c1 Dimension 9 Group $S_4\wr C_2$ Conductor $2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 7^{3} \cdot 29^{3}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Learn more about

## Basic invariants

 Dimension: $9$ Group: $S_4\wr C_2$ Conductor: $390297362112= 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 7^{3} \cdot 29^{3}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} + 5 x^{6} - 4 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 4$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 16T1294 Parity: Odd Determinant: 1.7_29.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 90.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $x^{2} + 58 x + 2$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $57 a + 55 + \left(15 a + 49\right)\cdot 59 + \left(26 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(4 a + 56\right)\cdot 59^{3} + \left(8 a + 43\right)\cdot 59^{4} + \left(13 a + 35\right)\cdot 59^{5} + \left(26 a + 10\right)\cdot 59^{6} + \left(49 a + 46\right)\cdot 59^{7} + \left(a + 39\right)\cdot 59^{8} + \left(22 a + 50\right)\cdot 59^{9} + 39\cdot 59^{10} + \left(34 a + 27\right)\cdot 59^{11} + \left(20 a + 43\right)\cdot 59^{12} + \left(2 a + 4\right)\cdot 59^{13} + \left(30 a + 4\right)\cdot 59^{14} + \left(7 a + 28\right)\cdot 59^{15} + \left(37 a + 52\right)\cdot 59^{16} + \left(29 a + 45\right)\cdot 59^{17} + \left(25 a + 57\right)\cdot 59^{18} + \left(16 a + 50\right)\cdot 59^{19} + \left(11 a + 27\right)\cdot 59^{20} + \left(33 a + 13\right)\cdot 59^{21} + \left(49 a + 49\right)\cdot 59^{22} + \left(12 a + 12\right)\cdot 59^{23} + \left(11 a + 40\right)\cdot 59^{24} + \left(35 a + 38\right)\cdot 59^{25} + \left(56 a + 2\right)\cdot 59^{26} + \left(31 a + 55\right)\cdot 59^{27} + \left(52 a + 1\right)\cdot 59^{28} + \left(5 a + 32\right)\cdot 59^{29} + \left(40 a + 36\right)\cdot 59^{30} + \left(7 a + 3\right)\cdot 59^{31} + \left(9 a + 58\right)\cdot 59^{32} + \left(26 a + 53\right)\cdot 59^{33} + \left(58 a + 17\right)\cdot 59^{34} + \left(51 a + 32\right)\cdot 59^{35} + \left(53 a + 24\right)\cdot 59^{36} + \left(50 a + 36\right)\cdot 59^{37} + \left(30 a + 34\right)\cdot 59^{38} + \left(56 a + 51\right)\cdot 59^{39} + \left(21 a + 26\right)\cdot 59^{40} + \left(56 a + 8\right)\cdot 59^{41} + \left(37 a + 50\right)\cdot 59^{42} + \left(33 a + 5\right)\cdot 59^{43} + \left(9 a + 7\right)\cdot 59^{44} + \left(29 a + 58\right)\cdot 59^{45} + \left(28 a + 8\right)\cdot 59^{46} + \left(11 a + 3\right)\cdot 59^{47} + \left(4 a + 45\right)\cdot 59^{48} + \left(3 a + 37\right)\cdot 59^{49} + \left(a + 2\right)\cdot 59^{50} + \left(19 a + 46\right)\cdot 59^{51} + \left(28 a + 30\right)\cdot 59^{52} + \left(31 a + 57\right)\cdot 59^{53} + \left(52 a + 36\right)\cdot 59^{54} + \left(50 a + 14\right)\cdot 59^{55} + \left(20 a + 10\right)\cdot 59^{56} + \left(14 a + 21\right)\cdot 59^{57} + \left(2 a + 23\right)\cdot 59^{58} + \left(53 a + 21\right)\cdot 59^{59} + \left(21 a + 28\right)\cdot 59^{60} + \left(49 a + 6\right)\cdot 59^{61} + \left(6 a + 41\right)\cdot 59^{62} + \left(23 a + 50\right)\cdot 59^{63} + \left(34 a + 30\right)\cdot 59^{64} + 43\cdot 59^{65} + \left(31 a + 46\right)\cdot 59^{66} + \left(38 a + 3\right)\cdot 59^{67} + \left(15 a + 57\right)\cdot 59^{68} + \left(26 a + 13\right)\cdot 59^{69} + \left(57 a + 20\right)\cdot 59^{70} + \left(34 a + 55\right)\cdot 59^{71} + \left(55 a + 57\right)\cdot 59^{72} + \left(49 a + 22\right)\cdot 59^{73} + \left(8 a + 54\right)\cdot 59^{74} + \left(11 a + 30\right)\cdot 59^{75} + \left(15 a + 38\right)\cdot 59^{76} + \left(20 a + 48\right)\cdot 59^{77} + \left(55 a + 8\right)\cdot 59^{78} + \left(36 a + 2\right)\cdot 59^{79} + \left(6 a + 19\right)\cdot 59^{80} + \left(39 a + 4\right)\cdot 59^{81} + \left(33 a + 10\right)\cdot 59^{82} + \left(48 a + 5\right)\cdot 59^{83} + \left(56 a + 31\right)\cdot 59^{84} + 19\cdot 59^{85} + 27\cdot 59^{86} + \left(57 a + 53\right)\cdot 59^{87} + \left(29 a + 49\right)\cdot 59^{88} + \left(57 a + 43\right)\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $2 a + 53 + \left(43 a + 8\right)\cdot 59 + \left(32 a + 25\right)\cdot 59^{2} + \left(54 a + 34\right)\cdot 59^{3} + \left(50 a + 47\right)\cdot 59^{4} + \left(45 a + 40\right)\cdot 59^{5} + \left(32 a + 23\right)\cdot 59^{6} + \left(9 a + 10\right)\cdot 59^{7} + \left(57 a + 51\right)\cdot 59^{8} + \left(36 a + 11\right)\cdot 59^{9} + \left(58 a + 18\right)\cdot 59^{10} + \left(24 a + 2\right)\cdot 59^{11} + \left(38 a + 30\right)\cdot 59^{12} + \left(56 a + 45\right)\cdot 59^{13} + \left(28 a + 31\right)\cdot 59^{14} + \left(51 a + 5\right)\cdot 59^{15} + \left(21 a + 23\right)\cdot 59^{16} + \left(29 a + 38\right)\cdot 59^{17} + \left(33 a + 53\right)\cdot 59^{18} + \left(42 a + 41\right)\cdot 59^{19} + \left(47 a + 22\right)\cdot 59^{20} + \left(25 a + 35\right)\cdot 59^{21} + \left(9 a + 6\right)\cdot 59^{22} + \left(46 a + 35\right)\cdot 59^{23} + \left(47 a + 38\right)\cdot 59^{24} + \left(23 a + 3\right)\cdot 59^{25} + \left(2 a + 24\right)\cdot 59^{26} + \left(27 a + 30\right)\cdot 59^{27} + \left(6 a + 22\right)\cdot 59^{28} + \left(53 a + 44\right)\cdot 59^{29} + \left(18 a + 11\right)\cdot 59^{30} + \left(51 a + 30\right)\cdot 59^{31} + 49 a\cdot 59^{32} + \left(32 a + 12\right)\cdot 59^{33} + 50\cdot 59^{34} + \left(7 a + 25\right)\cdot 59^{35} + \left(5 a + 26\right)\cdot 59^{36} + \left(8 a + 33\right)\cdot 59^{37} + \left(28 a + 14\right)\cdot 59^{38} + \left(2 a + 18\right)\cdot 59^{39} + \left(37 a + 51\right)\cdot 59^{40} + \left(2 a + 42\right)\cdot 59^{41} + \left(21 a + 31\right)\cdot 59^{42} + \left(25 a + 1\right)\cdot 59^{43} + \left(49 a + 42\right)\cdot 59^{44} + \left(29 a + 18\right)\cdot 59^{45} + \left(30 a + 8\right)\cdot 59^{46} + \left(47 a + 45\right)\cdot 59^{47} + \left(54 a + 37\right)\cdot 59^{48} + \left(55 a + 36\right)\cdot 59^{49} + 57 a\cdot 59^{50} + \left(39 a + 5\right)\cdot 59^{51} + \left(30 a + 40\right)\cdot 59^{52} + \left(27 a + 1\right)\cdot 59^{53} + \left(6 a + 58\right)\cdot 59^{54} + \left(8 a + 12\right)\cdot 59^{55} + \left(38 a + 39\right)\cdot 59^{56} + \left(44 a + 14\right)\cdot 59^{57} + \left(56 a + 11\right)\cdot 59^{58} + \left(5 a + 13\right)\cdot 59^{59} + \left(37 a + 56\right)\cdot 59^{60} + \left(9 a + 33\right)\cdot 59^{61} + \left(52 a + 57\right)\cdot 59^{62} + \left(35 a + 7\right)\cdot 59^{63} + \left(24 a + 42\right)\cdot 59^{64} + \left(58 a + 9\right)\cdot 59^{65} + \left(27 a + 18\right)\cdot 59^{66} + \left(20 a + 11\right)\cdot 59^{67} + \left(43 a + 34\right)\cdot 59^{68} + \left(32 a + 24\right)\cdot 59^{69} + \left(a + 51\right)\cdot 59^{70} + \left(24 a + 32\right)\cdot 59^{71} + \left(3 a + 19\right)\cdot 59^{72} + \left(9 a + 17\right)\cdot 59^{73} + \left(50 a + 13\right)\cdot 59^{74} + \left(47 a + 33\right)\cdot 59^{75} + \left(43 a + 42\right)\cdot 59^{76} + \left(38 a + 53\right)\cdot 59^{77} + \left(3 a + 43\right)\cdot 59^{78} + \left(22 a + 42\right)\cdot 59^{79} + \left(52 a + 47\right)\cdot 59^{80} + \left(19 a + 36\right)\cdot 59^{81} + \left(25 a + 4\right)\cdot 59^{82} + \left(10 a + 20\right)\cdot 59^{83} + \left(2 a + 39\right)\cdot 59^{84} + \left(58 a + 22\right)\cdot 59^{85} + \left(58 a + 26\right)\cdot 59^{86} + \left(a + 51\right)\cdot 59^{87} + \left(29 a + 22\right)\cdot 59^{88} + \left(a + 12\right)\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $5 a + 13 + \left(46 a + 1\right)\cdot 59 + \left(33 a + 1\right)\cdot 59^{2} + \left(25 a + 33\right)\cdot 59^{3} + \left(37 a + 53\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a + 44\right)\cdot 59^{5} + \left(54 a + 40\right)\cdot 59^{6} + \left(45 a + 13\right)\cdot 59^{7} + \left(8 a + 50\right)\cdot 59^{8} + \left(36 a + 17\right)\cdot 59^{9} + \left(50 a + 5\right)\cdot 59^{10} + \left(13 a + 27\right)\cdot 59^{11} + \left(41 a + 22\right)\cdot 59^{12} + \left(26 a + 10\right)\cdot 59^{13} + \left(23 a + 35\right)\cdot 59^{14} + \left(29 a + 36\right)\cdot 59^{15} + \left(17 a + 40\right)\cdot 59^{16} + \left(29 a + 17\right)\cdot 59^{17} + \left(52 a + 7\right)\cdot 59^{18} + \left(21 a + 34\right)\cdot 59^{19} + \left(3 a + 52\right)\cdot 59^{20} + \left(55 a + 20\right)\cdot 59^{21} + \left(8 a + 24\right)\cdot 59^{22} + \left(55 a + 39\right)\cdot 59^{23} + 2 a\cdot 59^{24} + \left(41 a + 16\right)\cdot 59^{25} + \left(3 a + 7\right)\cdot 59^{26} + \left(10 a + 14\right)\cdot 59^{27} + \left(39 a + 5\right)\cdot 59^{28} + \left(29 a + 58\right)\cdot 59^{29} + \left(21 a + 44\right)\cdot 59^{30} + \left(10 a + 56\right)\cdot 59^{31} + \left(7 a + 36\right)\cdot 59^{32} + \left(5 a + 12\right)\cdot 59^{33} + \left(52 a + 16\right)\cdot 59^{34} + \left(28 a + 9\right)\cdot 59^{35} + \left(38 a + 40\right)\cdot 59^{36} + \left(19 a + 36\right)\cdot 59^{37} + \left(50 a + 12\right)\cdot 59^{38} + \left(18 a + 17\right)\cdot 59^{39} + \left(3 a + 35\right)\cdot 59^{40} + \left(47 a + 51\right)\cdot 59^{41} + \left(a + 58\right)\cdot 59^{42} + \left(20 a + 1\right)\cdot 59^{43} + \left(26 a + 25\right)\cdot 59^{44} + \left(16 a + 30\right)\cdot 59^{45} + \left(4 a + 49\right)\cdot 59^{46} + \left(55 a + 16\right)\cdot 59^{47} + \left(32 a + 32\right)\cdot 59^{48} + \left(29 a + 21\right)\cdot 59^{49} + \left(33 a + 53\right)\cdot 59^{50} + \left(21 a + 3\right)\cdot 59^{51} + \left(35 a + 20\right)\cdot 59^{52} + \left(46 a + 41\right)\cdot 59^{53} + \left(13 a + 36\right)\cdot 59^{54} + \left(15 a + 44\right)\cdot 59^{55} + \left(25 a + 13\right)\cdot 59^{56} + \left(21 a + 48\right)\cdot 59^{57} + \left(38 a + 47\right)\cdot 59^{58} + 17\cdot 59^{59} + \left(34 a + 21\right)\cdot 59^{60} + \left(4 a + 17\right)\cdot 59^{61} + \left(35 a + 8\right)\cdot 59^{62} + \left(57 a + 50\right)\cdot 59^{63} + \left(37 a + 41\right)\cdot 59^{64} + \left(37 a + 25\right)\cdot 59^{65} + \left(45 a + 7\right)\cdot 59^{66} + \left(3 a + 20\right)\cdot 59^{67} + \left(35 a + 10\right)\cdot 59^{68} + \left(25 a + 9\right)\cdot 59^{69} + \left(43 a + 15\right)\cdot 59^{70} + \left(42 a + 17\right)\cdot 59^{71} + \left(45 a + 22\right)\cdot 59^{72} + \left(40 a + 9\right)\cdot 59^{73} + \left(34 a + 56\right)\cdot 59^{74} + \left(41 a + 44\right)\cdot 59^{75} + \left(40 a + 27\right)\cdot 59^{76} + \left(26 a + 48\right)\cdot 59^{77} + \left(49 a + 48\right)\cdot 59^{78} + \left(54 a + 52\right)\cdot 59^{79} + \left(44 a + 9\right)\cdot 59^{80} + \left(55 a + 51\right)\cdot 59^{81} + \left(a + 25\right)\cdot 59^{82} + \left(11 a + 22\right)\cdot 59^{83} + \left(18 a + 45\right)\cdot 59^{84} + \left(23 a + 56\right)\cdot 59^{85} + \left(a + 55\right)\cdot 59^{86} + \left(44 a + 6\right)\cdot 59^{87} + \left(46 a + 24\right)\cdot 59^{88} + \left(a + 2\right)\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $31 a + 20 + \left(2 a + 13\right)\cdot 59 + \left(52 a + 15\right)\cdot 59^{2} + \left(11 a + 29\right)\cdot 59^{3} + \left(50 a + 2\right)\cdot 59^{4} + \left(17 a + 57\right)\cdot 59^{5} + 21 a\cdot 59^{6} + \left(24 a + 3\right)\cdot 59^{7} + \left(13 a + 6\right)\cdot 59^{8} + \left(47 a + 49\right)\cdot 59^{9} + \left(48 a + 27\right)\cdot 59^{10} + \left(18 a + 49\right)\cdot 59^{11} + \left(54 a + 36\right)\cdot 59^{12} + \left(31 a + 3\right)\cdot 59^{13} + \left(5 a + 47\right)\cdot 59^{14} + \left(30 a + 30\right)\cdot 59^{15} + \left(25 a + 22\right)\cdot 59^{16} + \left(15 a + 55\right)\cdot 59^{17} + \left(8 a + 18\right)\cdot 59^{18} + \left(12 a + 25\right)\cdot 59^{19} + \left(56 a + 29\right)\cdot 59^{20} + \left(34 a + 18\right)\cdot 59^{21} + \left(54 a + 45\right)\cdot 59^{22} + \left(11 a + 9\right)\cdot 59^{23} + \left(57 a + 18\right)\cdot 59^{24} + \left(18 a + 56\right)\cdot 59^{25} + \left(37 a + 54\right)\cdot 59^{26} + \left(28 a + 5\right)\cdot 59^{27} + \left(39 a + 5\right)\cdot 59^{28} + \left(41 a + 42\right)\cdot 59^{29} + \left(25 a + 15\right)\cdot 59^{30} + \left(41 a + 1\right)\cdot 59^{31} + \left(14 a + 32\right)\cdot 59^{32} + \left(46 a + 41\right)\cdot 59^{33} + \left(56 a + 11\right)\cdot 59^{34} + \left(52 a + 29\right)\cdot 59^{35} + \left(6 a + 4\right)\cdot 59^{36} + \left(28 a + 10\right)\cdot 59^{37} + \left(21 a + 11\right)\cdot 59^{38} + \left(38 a + 13\right)\cdot 59^{39} + \left(25 a + 28\right)\cdot 59^{40} + \left(48 a + 28\right)\cdot 59^{41} + \left(57 a + 1\right)\cdot 59^{42} + \left(25 a + 1\right)\cdot 59^{43} + \left(23 a + 33\right)\cdot 59^{44} + \left(53 a + 15\right)\cdot 59^{45} + \left(12 a + 26\right)\cdot 59^{46} + \left(27 a + 9\right)\cdot 59^{47} + \left(57 a + 13\right)\cdot 59^{48} + \left(16 a + 21\right)\cdot 59^{49} + \left(33 a + 27\right)\cdot 59^{50} + \left(22 a + 41\right)\cdot 59^{51} + \left(56 a + 38\right)\cdot 59^{52} + \left(18 a + 31\right)\cdot 59^{53} + \left(3 a + 7\right)\cdot 59^{54} + \left(47 a + 23\right)\cdot 59^{55} + \left(16 a + 31\right)\cdot 59^{56} + \left(54 a + 29\right)\cdot 59^{57} + \left(3 a + 2\right)\cdot 59^{58} + \left(18 a + 12\right)\cdot 59^{59} + \left(57 a + 21\right)\cdot 59^{60} + \left(27 a + 34\right)\cdot 59^{61} + \left(30 a + 45\right)\cdot 59^{62} + \left(17 a + 8\right)\cdot 59^{63} + \left(30 a + 53\right)\cdot 59^{64} + \left(47 a + 49\right)\cdot 59^{65} + \left(31 a + 30\right)\cdot 59^{66} + \left(17 a + 36\right)\cdot 59^{67} + \left(50 a + 22\right)\cdot 59^{68} + \left(42 a + 54\right)\cdot 59^{69} + \left(54 a + 20\right)\cdot 59^{70} + \left(5 a + 5\right)\cdot 59^{71} + \left(55 a + 2\right)\cdot 59^{72} + \left(31 a + 45\right)\cdot 59^{73} + \left(15 a + 21\right)\cdot 59^{74} + \left(48 a + 28\right)\cdot 59^{75} + \left(23 a + 2\right)\cdot 59^{76} + \left(58 a + 10\right)\cdot 59^{77} + \left(32 a + 45\right)\cdot 59^{78} + \left(38 a + 56\right)\cdot 59^{79} + \left(50 a + 4\right)\cdot 59^{80} + \left(16 a + 41\right)\cdot 59^{81} + 41 a\cdot 59^{82} + \left(37 a + 8\right)\cdot 59^{83} + \left(52 a + 41\right)\cdot 59^{84} + \left(52 a + 24\right)\cdot 59^{85} + \left(31 a + 48\right)\cdot 59^{86} + \left(22 a + 13\right)\cdot 59^{87} + \left(3 a + 39\right)\cdot 59^{88} + \left(30 a + 13\right)\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $28 a + 51 + \left(56 a + 43\right)\cdot 59 + \left(6 a + 5\right)\cdot 59^{2} + \left(47 a + 48\right)\cdot 59^{3} + \left(8 a + 40\right)\cdot 59^{4} + \left(41 a + 24\right)\cdot 59^{5} + \left(37 a + 4\right)\cdot 59^{6} + \left(34 a + 6\right)\cdot 59^{7} + \left(45 a + 54\right)\cdot 59^{8} + \left(11 a + 23\right)\cdot 59^{9} + \left(10 a + 29\right)\cdot 59^{10} + \left(40 a + 19\right)\cdot 59^{11} + \left(4 a + 13\right)\cdot 59^{12} + \left(27 a + 40\right)\cdot 59^{13} + \left(53 a + 20\right)\cdot 59^{14} + \left(28 a + 55\right)\cdot 59^{15} + \left(33 a + 17\right)\cdot 59^{16} + \left(43 a + 45\right)\cdot 59^{17} + \left(50 a + 11\right)\cdot 59^{18} + \left(46 a + 29\right)\cdot 59^{19} + \left(2 a + 14\right)\cdot 59^{20} + \left(24 a + 56\right)\cdot 59^{21} + \left(4 a + 5\right)\cdot 59^{22} + \left(47 a + 26\right)\cdot 59^{23} + \left(a + 4\right)\cdot 59^{24} + \left(40 a + 18\right)\cdot 59^{25} + \left(21 a + 14\right)\cdot 59^{26} + \left(30 a + 56\right)\cdot 59^{27} + \left(19 a + 15\right)\cdot 59^{28} + \left(17 a + 44\right)\cdot 59^{29} + \left(33 a + 58\right)\cdot 59^{30} + \left(17 a + 16\right)\cdot 59^{31} + \left(44 a + 5\right)\cdot 59^{32} + \left(12 a + 14\right)\cdot 59^{33} + \left(2 a + 22\right)\cdot 59^{34} + \left(6 a + 25\right)\cdot 59^{35} + \left(52 a + 17\right)\cdot 59^{36} + \left(30 a + 31\right)\cdot 59^{37} + \left(37 a + 4\right)\cdot 59^{38} + \left(20 a + 30\right)\cdot 59^{39} + \left(33 a + 15\right)\cdot 59^{40} + \left(10 a + 51\right)\cdot 59^{41} + \left(a + 10\right)\cdot 59^{42} + \left(33 a + 28\right)\cdot 59^{43} + \left(35 a + 30\right)\cdot 59^{44} + \left(5 a + 45\right)\cdot 59^{45} + \left(46 a + 44\right)\cdot 59^{46} + \left(31 a + 23\right)\cdot 59^{47} + \left(a + 43\right)\cdot 59^{48} + \left(42 a + 39\right)\cdot 59^{49} + \left(25 a + 43\right)\cdot 59^{50} + \left(36 a + 30\right)\cdot 59^{51} + \left(2 a + 13\right)\cdot 59^{52} + \left(40 a + 53\right)\cdot 59^{53} + \left(55 a + 50\right)\cdot 59^{54} + \left(11 a + 7\right)\cdot 59^{55} + \left(42 a + 1\right)\cdot 59^{56} + \left(4 a + 8\right)\cdot 59^{57} + \left(55 a + 11\right)\cdot 59^{58} + \left(40 a + 26\right)\cdot 59^{59} + \left(a + 1\right)\cdot 59^{60} + \left(31 a + 5\right)\cdot 59^{61} + \left(28 a + 48\right)\cdot 59^{62} + \left(41 a + 54\right)\cdot 59^{63} + \left(28 a + 6\right)\cdot 59^{64} + \left(11 a + 8\right)\cdot 59^{65} + \left(27 a + 15\right)\cdot 59^{66} + \left(41 a + 22\right)\cdot 59^{67} + \left(8 a + 55\right)\cdot 59^{68} + \left(16 a + 46\right)\cdot 59^{69} + \left(4 a + 32\right)\cdot 59^{70} + \left(53 a + 15\right)\cdot 59^{71} + \left(3 a + 51\right)\cdot 59^{72} + \left(27 a + 21\right)\cdot 59^{73} + \left(43 a + 5\right)\cdot 59^{74} + \left(10 a + 2\right)\cdot 59^{75} + \left(35 a + 37\right)\cdot 59^{76} + 44\cdot 59^{77} + \left(26 a + 19\right)\cdot 59^{78} + \left(20 a + 3\right)\cdot 59^{79} + \left(8 a + 17\right)\cdot 59^{80} + \left(42 a + 7\right)\cdot 59^{81} + \left(17 a + 25\right)\cdot 59^{82} + \left(21 a + 4\right)\cdot 59^{83} + \left(6 a + 56\right)\cdot 59^{84} + \left(6 a + 24\right)\cdot 59^{85} + \left(27 a + 27\right)\cdot 59^{86} + \left(36 a + 4\right)\cdot 59^{87} + \left(55 a + 20\right)\cdot 59^{88} + \left(28 a + 40\right)\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $9 + 45\cdot 59 + 34\cdot 59^{2} + 37\cdot 59^{3} + 29\cdot 59^{4} + 20\cdot 59^{5} + 19\cdot 59^{6} + 2\cdot 59^{7} + 49\cdot 59^{8} + 57\cdot 59^{9} + 23\cdot 59^{10} + 52\cdot 59^{11} + 38\cdot 59^{12} + 42\cdot 59^{13} + 25\cdot 59^{14} + 58\cdot 59^{15} + 14\cdot 59^{16} + 59^{17} + 13\cdot 59^{18} + 46\cdot 59^{19} + 14\cdot 59^{20} + 25\cdot 59^{21} + 44\cdot 59^{22} + 30\cdot 59^{23} + 48\cdot 59^{24} + 8\cdot 59^{25} + 50\cdot 59^{26} + 26\cdot 59^{27} + 39\cdot 59^{28} + 45\cdot 59^{29} + 28\cdot 59^{30} + 51\cdot 59^{31} + 28\cdot 59^{32} + 36\cdot 59^{33} + 43\cdot 59^{34} + 42\cdot 59^{35} + 49\cdot 59^{36} + 52\cdot 59^{37} + 37\cdot 59^{38} + 33\cdot 59^{39} + 21\cdot 59^{40} + 41\cdot 59^{42} + 38\cdot 59^{43} + 20\cdot 59^{44} + 18\cdot 59^{45} + 57\cdot 59^{46} + 22\cdot 59^{47} + 58\cdot 59^{48} + 43\cdot 59^{49} + 11\cdot 59^{50} + 3\cdot 59^{51} + 18\cdot 59^{52} + 25\cdot 59^{53} + 54\cdot 59^{54} + 55\cdot 59^{55} + 29\cdot 59^{56} + 20\cdot 59^{57} + 14\cdot 59^{58} + 32\cdot 59^{59} + 4\cdot 59^{60} + 27\cdot 59^{61} + 20\cdot 59^{62} + 26\cdot 59^{63} + 28\cdot 59^{64} + 6\cdot 59^{65} + 55\cdot 59^{66} + 11\cdot 59^{67} + 53\cdot 59^{68} + 59^{69} + 37\cdot 59^{70} + 50\cdot 59^{71} + 35\cdot 59^{73} + 46\cdot 59^{74} + 42\cdot 59^{75} + 28\cdot 59^{76} + 4\cdot 59^{77} + 44\cdot 59^{78} + 13\cdot 59^{79} + 35\cdot 59^{80} + 17\cdot 59^{81} + 53\cdot 59^{82} + 25\cdot 59^{83} + 34\cdot 59^{84} + 12\cdot 59^{85} + 15\cdot 59^{86} + 3\cdot 59^{87} + 33\cdot 59^{88} + 25\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $18 + 31\cdot 59 + 32\cdot 59^{2} + 31\cdot 59^{3} + 11\cdot 59^{4} + 38\cdot 59^{5} + 7\cdot 59^{6} + 31\cdot 59^{7} + 31\cdot 59^{8} + 38\cdot 59^{9} + 12\cdot 59^{10} + 8\cdot 59^{11} + 59^{12} + 34\cdot 59^{13} + 39\cdot 59^{14} + 37\cdot 59^{15} + 35\cdot 59^{16} + 2\cdot 59^{17} + 43\cdot 59^{18} + 4\cdot 59^{19} + 40\cdot 59^{20} + 52\cdot 59^{21} + 22\cdot 59^{22} + 55\cdot 59^{23} + 18\cdot 59^{24} + 40\cdot 59^{25} + 53\cdot 59^{26} + 26\cdot 59^{27} + 52\cdot 59^{28} + 38\cdot 59^{29} + 2\cdot 59^{30} + 30\cdot 59^{31} + 40\cdot 59^{32} + 54\cdot 59^{33} + 10\cdot 59^{34} + 26\cdot 59^{35} + 23\cdot 59^{36} + 17\cdot 59^{37} + 18\cdot 59^{38} + 27\cdot 59^{39} + 37\cdot 59^{40} + 16\cdot 59^{41} + 28\cdot 59^{42} + 20\cdot 59^{43} + 46\cdot 59^{44} + 28\cdot 59^{45} + 3\cdot 59^{46} + 47\cdot 59^{47} + 54\cdot 59^{48} + 16\cdot 59^{49} + 39\cdot 59^{50} + 54\cdot 59^{51} + 40\cdot 59^{52} + 31\cdot 59^{53} + 46\cdot 59^{54} + 30\cdot 59^{55} + 27\cdot 59^{56} + 49\cdot 59^{57} + 59^{58} + 15\cdot 59^{59} + 48\cdot 59^{60} + 5\cdot 59^{61} + 35\cdot 59^{62} + 23\cdot 59^{63} + 10\cdot 59^{64} + 8\cdot 59^{65} + 47\cdot 59^{66} + 33\cdot 59^{67} + 20\cdot 59^{68} + 26\cdot 59^{69} + 25\cdot 59^{70} + 42\cdot 59^{71} + 56\cdot 59^{72} + 20\cdot 59^{73} + 47\cdot 59^{74} + 59^{75} + 32\cdot 59^{76} + 50\cdot 59^{77} + 12\cdot 59^{78} + 6\cdot 59^{79} + 43\cdot 59^{80} + 15\cdot 59^{81} + 26\cdot 59^{82} + 54\cdot 59^{84} + 12\cdot 59^{85} + 59^{86} + 53\cdot 59^{87} + 19\cdot 59^{88} + 22\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $54 a + 18 + \left(12 a + 42\right)\cdot 59 + \left(25 a + 47\right)\cdot 59^{2} + \left(33 a + 24\right)\cdot 59^{3} + \left(21 a + 6\right)\cdot 59^{4} + \left(33 a + 33\right)\cdot 59^{5} + \left(4 a + 10\right)\cdot 59^{6} + \left(13 a + 5\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a + 13\right)\cdot 59^{8} + \left(22 a + 45\right)\cdot 59^{9} + \left(8 a + 19\right)\cdot 59^{10} + \left(45 a + 49\right)\cdot 59^{11} + \left(17 a + 49\right)\cdot 59^{12} + \left(32 a + 54\right)\cdot 59^{13} + \left(35 a + 31\right)\cdot 59^{14} + \left(29 a + 42\right)\cdot 59^{15} + \left(41 a + 28\right)\cdot 59^{16} + \left(29 a + 29\right)\cdot 59^{17} + \left(6 a + 30\right)\cdot 59^{18} + \left(37 a + 3\right)\cdot 59^{19} + \left(55 a + 34\right)\cdot 59^{20} + \left(3 a + 13\right)\cdot 59^{21} + \left(50 a + 37\right)\cdot 59^{22} + \left(3 a + 26\right)\cdot 59^{23} + \left(56 a + 7\right)\cdot 59^{24} + \left(17 a + 54\right)\cdot 59^{25} + \left(55 a + 28\right)\cdot 59^{26} + \left(48 a + 20\right)\cdot 59^{27} + \left(19 a + 34\right)\cdot 59^{28} + \left(29 a + 48\right)\cdot 59^{29} + \left(37 a + 36\right)\cdot 59^{30} + \left(48 a + 45\right)\cdot 59^{31} + \left(51 a + 33\right)\cdot 59^{32} + \left(53 a + 10\right)\cdot 59^{33} + \left(6 a + 4\right)\cdot 59^{34} + \left(30 a + 45\right)\cdot 59^{35} + \left(20 a + 49\right)\cdot 59^{36} + \left(39 a + 17\right)\cdot 59^{37} + \left(8 a + 43\right)\cdot 59^{38} + \left(40 a + 44\right)\cdot 59^{39} + \left(55 a + 19\right)\cdot 59^{40} + \left(11 a + 36\right)\cdot 59^{41} + \left(57 a + 13\right)\cdot 59^{42} + \left(38 a + 20\right)\cdot 59^{43} + \left(32 a + 31\right)\cdot 59^{44} + \left(42 a + 20\right)\cdot 59^{45} + \left(54 a + 37\right)\cdot 59^{46} + \left(3 a + 8\right)\cdot 59^{47} + \left(26 a + 10\right)\cdot 59^{48} + \left(29 a + 18\right)\cdot 59^{49} + \left(25 a + 57\right)\cdot 59^{50} + \left(37 a + 50\right)\cdot 59^{51} + \left(23 a + 33\right)\cdot 59^{52} + \left(12 a + 52\right)\cdot 59^{53} + \left(45 a + 3\right)\cdot 59^{54} + \left(43 a + 46\right)\cdot 59^{55} + \left(33 a + 23\right)\cdot 59^{56} + \left(37 a + 44\right)\cdot 59^{57} + \left(20 a + 5\right)\cdot 59^{58} + \left(58 a + 39\right)\cdot 59^{59} + \left(24 a + 54\right)\cdot 59^{60} + \left(54 a + 46\right)\cdot 59^{61} + \left(23 a + 38\right)\cdot 59^{62} + \left(a + 13\right)\cdot 59^{63} + \left(21 a + 22\right)\cdot 59^{64} + \left(21 a + 25\right)\cdot 59^{65} + \left(13 a + 15\right)\cdot 59^{66} + \left(55 a + 37\right)\cdot 59^{67} + \left(23 a + 41\right)\cdot 59^{68} + \left(33 a + 58\right)\cdot 59^{69} + \left(15 a + 32\right)\cdot 59^{70} + \left(16 a + 16\right)\cdot 59^{71} + \left(13 a + 25\right)\cdot 59^{72} + \left(18 a + 4\right)\cdot 59^{73} + \left(24 a + 50\right)\cdot 59^{74} + \left(17 a + 51\right)\cdot 59^{75} + \left(18 a + 26\right)\cdot 59^{76} + \left(32 a + 34\right)\cdot 59^{77} + \left(9 a + 12\right)\cdot 59^{78} + \left(4 a + 58\right)\cdot 59^{79} + \left(14 a + 58\right)\cdot 59^{80} + \left(3 a + 2\right)\cdot 59^{81} + \left(57 a + 31\right)\cdot 59^{82} + \left(47 a + 31\right)\cdot 59^{83} + \left(40 a + 52\right)\cdot 59^{84} + \left(35 a + 2\right)\cdot 59^{85} + \left(57 a + 34\right)\cdot 59^{86} + \left(14 a + 49\right)\cdot 59^{87} + \left(12 a + 26\right)\cdot 59^{88} + \left(57 a + 16\right)\cdot 59^{89} +O\left(59^{ 90 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,2,3,8)$ $(1,2)$ $(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $9$ $6$ $2$ $(4,6)(5,7)$ $-3$ $9$ $2$ $(1,3)(2,8)(4,6)(5,7)$ $1$ $12$ $2$ $(1,2)$ $3$ $24$ $2$ $(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$ $3$ $36$ $2$ $(1,2)(4,5)$ $1$ $36$ $2$ $(1,2)(4,6)(5,7)$ $-1$ $16$ $3$ $(1,3,8)$ $0$ $64$ $3$ $(1,3,8)(5,6,7)$ $0$ $12$ $4$ $(4,5,6,7)$ $-3$ $36$ $4$ $(1,2,3,8)(4,5,6,7)$ $1$ $36$ $4$ $(1,2,3,8)(4,6)(5,7)$ $1$ $72$ $4$ $(1,4,3,6)(2,5,8,7)$ $-1$ $72$ $4$ $(1,2)(4,5,6,7)$ $-1$ $144$ $4$ $(1,5,2,4)(3,6)(7,8)$ $1$ $48$ $6$ $(1,8,3)(4,6)(5,7)$ $0$ $96$ $6$ $(1,2)(5,7,6)$ $0$ $192$ $6$ $(1,5,3,6,8,7)(2,4)$ $0$ $144$ $8$ $(1,4,2,5,3,6,8,7)$ $-1$ $96$ $12$ $(1,3,8)(4,5,6,7)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.